特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项

一、（一阶线性递推式）

设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。

定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即

0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即

01111,x a b c b b n n -==-.

证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c

x -=

作换元,0x a b n n -=则.)(110011

n n n n n n cb x a c c

ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--

当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕）例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23

11=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.2

1123,1101=+=≠a b x a 数列}{n b 是以3

为公比的等比数列. 于是：.N ,)3

(2112323,)31(211)3

(111

1∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n 例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？解：作方程,)32(i x x +=则.5360i x +-=要使n a 为常数，即则必须.5

3601i

x a +-==

二、（二阶线性递推式）

定理2：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程

02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，

数列{}n a 的通项为12

1--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1

--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a

的通项为1

1)(-+=n n x B A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。

例3：已知数列{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++，求数列{}n a 的通项公式。

解法一（待定系数、迭加法）由025312=+-++n n n a a a ，得)(3

112n n n n a a a a -=-+++，且a b a a -=-12。则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项，3

为公比的等比数列，于是：1

2)((-+-=-n n n a b a a 。把n n ,,3,2,1???=代入，得：

a b a a -=-12， )32()(23?-=-a b a a ， ??? ，21)3

)((---=-n n n a b a a 。

把以上各式相加，得：

])3

2()32(321)[(21-+???+++-=-n n a b a a )(3

21)32

(11

a b n ---=-。

a b b a a a b a n n n 23)3

)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。

解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征方程是：02532

=+-x x 。

32,121=

=x x , ∴1

11--+=n n n Bx Ax a 1)3

2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是：??

?-=-=???

??+=+=)(32332b a B a b A B A b B

A a 故1

)((323--+-=n n b a a b a

三、(分式递推式)

定理3：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h

ra q pa a n n n ++=+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h a r qr ph -

≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h

rx q px x ++=. （1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时，若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若

λ≠1a ，则,N ,1∈+=

n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r n a b n λ

λ特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在；（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ时，则1

2--=n n n c c a λλ，,N ∈n 其中).(,N ,)(211

212111λλλλλ≠∈----=

-a n r

p r p a a c n n 其中

例3、已知数列}{n a 满足性质：对于,3

,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.

解:依定理作特征方程,3

++=

x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有：

.N ,)2

21211(2313)(1

1212111∈?-?-?+-=--?--=

--n r p r p a a c n n n λλλλ

∴.N ,)51(521∈-=-n c n n ∴.N ,1)5

1(521

)51

(5221

1112∈----?-=--=--n c c a n n n n n λλ

即.N ,)

5(24

)5(∈-+--=n a n

n n 例5．已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.3

131+-=

+n n n a a a

（1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （ 3）若,61=a 求;n a （4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？

解：作特征方程.3

13+-=

x x x 变形得,025102=+-x x

特征方程有两个相同的特征根.5=λ依定理2的第（1）部分解答.

(1)∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a (2)∵.,311λ≠∴=a a ∴λ

λr p r

n a b n --+-=

)1(11

1131

)1(531?-?-+-=

n ,8121-+

-=n 令0=n b ，得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在，当n ≤4，N ∈n 时，

51--=

n n b a n n λ. (3)∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,8

1)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=

λλ

令,0=n b 则.7n n ?-=∴对于.0b N,n ≠∈n ∴.N ,743

558

1111

∈++=+-+

=+=

n n n n b a n

n λ (4)、显然当31-=a 时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，

51=a 时，数列}{n a 是存在的，当51=≠λa 时，则有

.N ,8

51)1(111∈-+-=--+-=

n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得N ,11351∈--=

n n n a 且n ≥2.

∴当1

51--=

n n a （其中N ∈n 且N ≥2）时，数列}{n a 从第n 项开始便不存在. 于是知：当1a 在集合3{-或

,:1

5N n n n ∈--且n ≥2}上取值时，无穷数列}{n a 都不存在. 定理3证明：(分式递推问题)：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h

ra q pa a n n n ++=

+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h

a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可

作特征方程h

rx q

px x ++=

（1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时，若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若

λ≠1a ，则,N ,1∈+=

n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r n a b n λ

λ特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在.

（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则1

2--=

n n n c c a λλ，,N ∈n 其

中).(,N ,)(211

212111λλλλλ≠∈----=-a n r

p r p a a c n n 其中

证明：先证明定理的第（1）部分. 作交换N ,∈-=n a d n n λ，则λλ-++=

-=++h ra q pa a d n n n n 11h ra h q r p a n n

+-+-=λλ)( h

d r h

q r p d n n ++-+-+=)())((λλλλ λ

λλλr h rd q p h r r p d n n -+--+--=]

)([)(2 ①

∵λ是特征方程的根，∴λ.0)(2=--+?++=q p h r h

r q

p λλλλ

将该式代入①式得.N ,)

(1∈-+-=+n r

h rd r p d d n n n λλ ②

将r

x =代入特征方程可整理得,qr ph =这与已知条件qr ph ≠矛盾.故特征方程的根λ,r

≠

于是.0≠-r p λ ③ 当01=d ，即λ+=11d a =λ时，由②式得,N ,0∈=n b n 故.N ,∈=+=n d a n n λλ 当01≠d 即λ≠1a 时，由②、③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变化：

.1)(11

p r

d r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ-+?-+=--+=

+ ④

由λ是方程h rx q px x ++=的两个相同的根可以求得.2r h

p -=

λ ∴,122=++=---+=-+h p p h r

h p p r

r h p h r p r h λλ

将此式代入④式得

.N ,111

∈-+=

+n r p r d d n n λ 令.N ,1∈=n d b n

n 则.N ,1∈-+

=+n r

p r

b b n n λ故数列}{n b 是以r p r λ-为公差的等差数列.

∴.N ,)1(1∈-?

-+=n r p r n b b n λ其中.1

1111λ

-==a d b

当0,N ≠∈n b n 时，.N ,1

∈+=

+=n b d a n

n n λλ当存在,N 0∈n 使00=n b 时，λλ+=

+=0

001

n n n b d a 无意义.故此时，无穷数列}{n a 是不存在的. 再证明定理的第（2）部分如下：

∵特征方程有两个相异的根1λ、2λ，∴其中必有一个特征根不等于1a ，不妨令.12a ≠λ于是可作变换.N ,2

∈--=

n a a c n n n λλ

故21111λλ--=

+++n n n a a c ，将h

ra q

pa a n n n ++=+1代入再整理得

N ,)()(22111∈-+--+-=

+n h

q r p a h

q r p a c n n n λλλλ ⑤

由第（1）部分的证明过程知r p x =

不是特征方程的根，故.,21r

p r p ≠≠λλ 故.0,021≠-≠-r p r p λλ所以由⑤式可得：

N ,22

11211

∈--+

--+

?--=+n r

p h q a r p h

q a r p r p c n n n λλλλλλ ⑥

∵特征方程h

rx q px x ++=

有两个相异根1λ、2λ?方程0)(2

=--+q p h x rx 有两个相

异根1λ、2λ，而方程xr

p xh

q x --=

-与方程0)(2=---q p h x rx 又是同解方程.

∴

222111,λλλλλλ-=---=--r

p h

q r p h q

将上两式代入⑥式得

N ,2121211∈--=--?--=

-n c r

p r

p a a r p r p c n n n n λλλλλλ

当,01=c 即11λ≠a 时，数列}{n c 是等比数列，公比为

p r

p 21λλ--.此时对于N ∈n 都有

.))(()(

2121111211------=--=n n n r

p r p a a r p r p c c λλλλλλ

当01=c 即11λ=a 时，上式也成立. 由2

λλ--=

n n n a a c 且21λλ≠可知.N ,1∈=n c n

所以.N ,1

2∈--=

n c c a n n n λλ(证毕)

注:当qr ph =时,

h ra q pa n n ++会退化为常数;当0=r 时,h

ra q

pa a n n n ++=+1可化归为较易解

的递推关系,在此不再赘述.

求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径.

1.已知数列{}n a 满足1n n n a a b

a c a d

+?+=?+......① 其中*0,,c ad bc n N ≠≠∈.

定义1:方程ax b

x cx d

+为①的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为,αβ. 定理1:若1,a αβ≠且αβ≠,则

11n n n n a a a c a a c a αα

αβββ

++---=?

---. 定理2: 若1a αβ=≠且0a d +≠,则

1121

n n c a a d a αα

+=+

-+-. 例1（09·江西·理·22）各项均为正数的数列{}n a ,12,a a a b ==,且对满足m n p q +=+的正数,,,m n p q 都有

(1)(1)(1)(1)

p q m n

m n p q a a a a a a a a ++=

++++. (1)当14

,25

a b ==时,求通项n a ;(2)略.

例2 已知数列{}n a 满足*11

2,2,n n a a n N a -==-∈,求通项n a .

例 3 已知数列{}n a 满足1112

2,(2)21

n n n a a a n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a

例4已知数列{}n a 满足*1121

2,()46

n n n a a a n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n a

2.已知数列{}n a 满足2112n n n a c a c a ++=+② 其中12,c c 为常数,且*20,c n N ≠∈. 定义2:方程212x c x c =+为②的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为12,λλ. 定理3:若12λλ≠,则1122n n n a b b λλ=+,其中12,b b 常数,且满足11122

21122

a b b a b b λλλλ=+??

=+?. 定理4: 若12λλλ==,则12()n

n a b b n λ=+,其中12,b b 常数,且满足1122

212

()(2)a b b a b b λ

λ=+??=+?. 例5已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a

例6已知数列{}n a 满足*

12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a

例7:已知数列{}n a 满足12212,8,44n n n a a a a a ++===-,求通项n a .

求递推数列的通项公式的十一种方法

求递推数列的通项公式的十一种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一. 一、作差求和法例1 在数列{n a }中，31=a ,) 1(1 1++=+n n a a n n ，求通项公式n a . 解：原递推式可化为：1111+- + =+n n a a n n 则,211112-+=a a 3 1 2123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故n a n 1 4-=. 二、作商求和法例2 设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(12 2 1=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为： )]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵ n n a a ++1＞0， 1 1+=+n n a a n n 则 ,43,32,21342312===a a a a a a ……，n n a a n n 11-=- 逐项相乘得：n a a n 11=，即n a =n 1 . 三、换元法例3 已知数列{n a }，其中913,3421== a a ，且当n ≥3时，)(3 1 211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）. 解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为： }{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31 .故 n n n n b b )31()31(91)31(2211==?=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：n n a )3 1 (2123-=. 例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。解由1221=+---n n n a a a 得：1)()(211=------n n n n a a a a ，令11---=n n n a a b ，则上式为 121=---n n b b ，因此}{n b 是一个等差数列，1121=-=a a b ，公差为1.故n b n =.。由于112312121-=-++-+-=+++--n n n n a a a a a a a b b b 又2 ) 1(121-=+++-n n b b b n 所以)1(211-= -n n a n ，即)2(2 1 2+-=n n a n

特征方程特征根法求解数列通项公式

特征方程特征根法求解数列通项公式一：A(n+1)=pAn+q, p,q为常数. （1）通常设：A(n+1)-λ＝p(An-λ), 则λ=q／(1-p). （2）此处如果用特征根法：特征方程为：x=px+q，其根为x=q/（1-p）注意：若用特征根法，λ的系数要是-1 例一：A（n+1)=2An+1 , 其中q=2,p=1,则 λ=1/（1-2）= -1那么 A（n+1）+1=2（An+1）二：再来个有点意思的,三项之间的关系： A(n+2)=pA(n+1)+qAn，p,q为常数（1）通常设：A(n+2)-mA(n+1)=k[pA(n+1)-mAn], 则m+k=p, mk=q （2）此处如果用特征根法：特征方程是y×y=py+q（※）注意： ①m n为（※）两根。 ②m n可以交换位置，但其结果或出现两种截然不同的数列形式，但同样都可以计算An，而且还会有意想不到的惊喜， ③m n交换位置后可以分别构造出两组An和A(n+1)的递推公式，这个时侯你会发现，这是一个关于An和A(n+1)的二元一次方程组，那么不就可以消去A（n+1），留下An，得了，An求出来了。例二：A1=1,A2=1,A(n+2)= - 5A（n+1）+6An，特征方程为：y×y= - 5y+6 那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3 于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3A] (1) A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2A] (2) 所以，A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3) A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4) you see 消元消去A（n+1），就是An勒例三：【斐波那挈数列通项公式的推导】斐波那契数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21…… 如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式： F(0) = 0，F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3) 显然这是一个线性递推数列。通项公式的推导方法一：利用特征方程线性递推数列的特征方程为： X^2=X+1 解得 X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2. 则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n ∵F(1)=F(2)=1 ∴C1*X1 + C2*X2 C1*X1^2 + C2*X2^2

九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法举隅类型一：1n n a pa q +=+（1p ≠）思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ……121(1n p a q p p -=++++…211)11n n q q p a p p p --??+=+ ?+ ? --??。思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--?? ，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=??…… 1223(122n -=++++ (211) 332)12232112n n n --+??+=+?+=- ? --?? 。方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列，则1 1342 2n n n a -++=?=，即123n n a +=-。类型二：1()n n a a f n +=+ 思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+ ∑。

线性递推数列的特征方程

具有形如21n n n x ax bx ++=+ ①的递推公式的数列{}n x 叫做线性递推数列将①式两边同时加上1 n yx +-，即： 2111n n n n n x yx ax bx yx ++++-=+- 整理得： 211()()n n n n b x yx a y x x y a +++-=--- 令1n n n F x yx +=-为等比数列，则其公比q a y =-且满足b y y a =- 即满足：2y ay b =+ ② 设②式具有两个不相等的实数根r ，s ，则： 1n n n Y x rx +=- ③ 1n n n Z x sx +=- ④ 分别是公比为a r -，a s -的等比数列，并得： 121()()n n Y x rx a r -=-- 1 21()()n n Z x sx a s -=-- 且由③、④可得： ()n n n Y Z s r x -=- 又由韦达定理可得： r s a += rs b =- 于是有：

1121211121211121221 2122121()()()() () () n n n n n n n n n n n n n Y Z x rx a r x sx a s x s r s r x rx x x rx x sx s r s b r b C sx a r a s s r s r x rx x sx s r s b s b r r r C s ------------= =----= -------= -+---++++-== ⑤ 由以上推导可知，线性递推数列的通项公式⑤只与数列的第一、二项和方程 2y ay b =+的两根有关。也就是说，只需知道1x ，2x 和方程2y ay b =+的两根r ，s ，即可得出线性递推数列的通项公式。可见方程2y ay b =+包含了线性递推数列的重要信息，故将之称为线性递推数列的特征方程。例：（斐波拉契数列）已知数列{}n x 满足： 121x x ==且21 (1,)n n n x x x n n N +++=+≥∈.求数列{}n x 的通项公式。解：该数列属于线性递推数列，其特征方程为：21x x =+ 解之得：152r + =，152s - = 故可设数列的通项公式为 12151522n n n x C C ????+-=+ ? ? ? ????? 又1121515122x C C ????+-=+= ? ? ? ?????，222121515122x C C ????+-=+= ? ? ? ????? 解得：155C =，255C =-.故所求通项公式为： 51515522n n n x ?? ????+-??=- ? ? ? ????????? .

数列通项公式的求法(较全)

常见数列通项公式的求法公式： 1、定义法若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或 11-=n n q a a 中即可. 例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式. 练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何* n N ∈都有 1234127 ,0,,,,6954 n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.

2、累加法形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1）当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-；（2）当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得当2n ≥时，() 11n n a a f n --=-， () 122n n a a f n ---=-， ()322a a f -=， () 211a a f -=，以上()1n -个等式累加得 ()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+ ++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+ ++ （3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和； ③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.

不动点(特征方程)法求数列通项

特征方程法求解递推关系中的数列通项考虑一个简单的线性递推问题. 设已知数列}{n a 的项满足其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式. 采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理1.设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-. 证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c d x -=作换元,0x a b n n -= 则.)(110011 n n n n n n cb x a c c cd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕）下面列举两例，说明定理1的应用. 例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23 111=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：作方程.2 3,23 10-=--=x x x 则当41=a 时，.2112 3 ,1101= +=≠a b x a 数列}{n b 是以3 1 -为公比的等比数列.于是.N ,)3 1 (2112323,)31(211)3 1 (111 1∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n 例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位. 当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？解：作方程,)32(i x x +=则.5 360i x +-= a 1= b a n+1=ca n +d

常见递推数列通项公式的求法

数列复习课（3）———常见递推数列通项公式的求法主备人：刘莉苹组长：李英时间：2013-9-16 教学目标： 1.通过求出数列前几项，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据特殊的递推公式求出数列的通项公式. 2.掌握把一些简单的数列变形转化为等差数列、等比数列的方法，体验解决数列问题的基本方法及理解运用的过程. 教学重点：处理递推关系的基本方法. 教学难点：通过变形转化成等差、等比数列的有关问题. 研讨互助问题生成引入新课：由递推公式求数列的通项公式的类型：（1）（2）（3）（4）()n f pa a n n +=+1型数列（p 为常数）（5）n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。（6）递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 即n a 与n s 的关系11(1)(2)n n n s n a s s n -=?=?-≥? （7）r n n pa a =+1)0,0(>>n a p （8）) ()()(1n h a n g a n f a n n n +=+ （9）周期型思考：各类型通项公式的求法？合作探究问题解决类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。例1. 在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求 1() n n a a f n +=+1() n n a a f n +=?1(0,1) n n a pa q p p +=+≠≠

变式: 1. 已知数列{}n a 满足211=a ，112 n n a a +=+，求n a . 2.若数列{}n b 满足11b =，112n n n b b +??-= ???(1)n ≥，求数列{}n b 的通项公式. 3.已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。变式： 1. 已知31=a ，132n n a a += ，求n a 。 2.已知31=a ，n n a n n a 23131 +-=+ )1(≥n ，求n a 。

(第45讲)特征方程法求递推数列的通项公式

特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-. 证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c d x -= 作换元,0x a b n n -=则.)(110011 n n n n n n cb x a c c cd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕）下面列举两例，说明定理1的应用. 例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23 1 11=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：作方程.2 3 ,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.211 23,1101=+=≠a b x a 数列}{n b 是以3 1 -为公比的等比数列.于是 .N ,)3 1 (2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n 例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数

高中数学数列通项公式的求法(方法总结)

（1）主题：求数列通项n a 的常用方法总结一、形如：特殊情况：当n+11,n n A B C A a a A =*+*+≠，常用累加法。 (n n a a +-,z 构建等比数列()1y n z *++z ；的通项公式，进而求得n a 。二、形n a a * ；

三、形 ()x f x =）情形1：1n n A B a a +=*+型。设λ是不动点方程的根，得数列 {}n a λ-是以公比为A 的等比数列。情形2：1*n n n A B C D a a a +*+=+型。设1λ和2λ 是不动点方程 *A x B x C x D *+=+的两个根；（1）当12λλ≠时，数列n 12n a a λλ??-?? ??-????是以12 A C A C λλ -*-*为公比的等比数列；（2）当12 =λλλ =时，数列1n a λ???? ??-???? 是以2*C A D +为公差的等差数列。【推导过程：递推式为a n+1= d ca b aa n n ++（c ≠0,a,b,c,d 为常数）型的数列 a n+1－λ= d ca b aa n n ++－λ= d ca c a d b a c a n n +--+ -) )((λλλ，令λ＝－λ λc a d b --，可得λ＝d c b a ++λλ ……（1）。（1）是a n+1=d ca b aa n n ++中的a n ，a n+1都换成λ后的不动点方程。 ○ 1当方程（1）有两个不同根λ１，λ２时，有 a n+1－λ１＝ d ca a c a n n +--))((11λλ，a n+1－λ２＝d ca a c a n n +--) )((22λλ ∴ 2111λλ--++n n a a ＝21λλc a c a --?21λλ--n n a a ，令b n =21λλ--n n a a 有b n ＋１＝ 2 1 λλc a c a --?b n ○ 2当方程（1）出现重根同为λ时，由a n+1－λ＝ d ca a c a n n +--))((λλ得λ-+11n a ＝))((λλ--+n n a c a d ca ＝λ c a c -＋))((λλλ--+n a c a c d （ “分离常数”）。设c n =λ-n a 1 得c n ＋１＝ λ λc a c d -+?c n ＋ λ c a c -】

特征方程推导数列

递推数列特征方程的来源与应用递推是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。新教材将数列放在高一讲授，并明确给出“递推公式”的概念：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，但从近几年来高考试题中常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题来看，这一目标是否恰当似乎值得探讨，笔者以为“根据递推公式写出数列的前几项”无论从思想方法还是从培养能力上来看，都不那么重要，重要的是学会如何去发现数列的递推关系，学会如何将递推关系转化为数列的通项公式的方法。本文以线性递推数列通项求法为例，谈谈这方面的认识。关于一阶线性递推数列：),1(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法[1]，将递推数列转化为等比数列：设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则，令d t c =-)1(，即1 -=c d t ，当1≠c 时可得 )1 (11-+=-++c d a c c d a n n 知数列??????-+ 1c d a n 是以c 为公比的等比数列， 11)1 (1--+=-+∴n n c c d a c d a 将b a =1代入并整理，得 ()1 1---+=-c d c b d bc a n n n 对于二阶线性递推数列，许多文章都采用特征方程法[2]：设递推公式为,11-++=n n n qa pa a 其特征方程为02 2=--+=q px x q px x 即， 1、若方程有两相异根A 、B ，则n n n B c A c a 21+= 2、若方程有两等根,B A =则n n A nc c a )(21+= 其中1c 、2c 可由初始条件确定。很明显，如果将以上结论作为此类问题的统一解法直接呈现出来，学生是难以接受

九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法类型一：1n n a pa q += +（1p ≠）思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ......121(1n p a q p p -=++++ (2) 1 1)11n n q q p a p p p --??+=+?+ ? --?? 。思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列 {}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--??，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=?? (1) 22 3(122n -=++++ (2) 11 332 )12232112n n n --+??+=+?+=- ? --? ?。方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134 a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=?=，即1 23n n a +=-。

1n n +思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+∑。思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、 23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1 11 ()n n i a a f n -=-= ∑ ，即 1 11 ()n n i a a f n -==+ ∑ 。例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1) (1)(2)(1)]2 n i n n n n n n =++-+-+= = ∑ 。方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、 212a a -=，将各式叠加并整理得12 n n i a a n =-= ∑ ，12 1 (1)2 n n n i i n n a a n n ==+=+ = = ∑ ∑ 。

特征方程法求解递推关系中的数列通项

特征方程法求解递推关系中的数列通项曾建国当()f x x =时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。典型例子：1n n n aa b a ca d ++= + 令 ax b x cx d +=+，即2 ()0cx d a x b +--= ，令此方程的两个根为12,x x ， (1)若12x x =,则有11111n n p a x a x +=+-- （其中2c p a d =+） (2)若12x x ≠,则有111122 n n n n a x a x q a x a x ++--=-- （其中12a cx q a cx -=-）例题1：设23 ()27 x f x x -+=-， (1)求函数()y f x =的不动点； (2）对(1)中的二个不动点,()a b a b <，求使()()f x a x a k f x b x b --=--恒成立的常数k 的值； (3)对由111,()n n a a f a -==(2)n ≥定义的数列{}n a ，求其通项公式n a 解析：(1)设函数()f x 的不动点为0x ，则00023 27 x x x -+= - 解得012x =-或03x = (2)由231111 ()1272222238248(3)83327 x x x x x x x x x x -++---++ -= ==?-++----- 可知使()()f x a x a k f x b x b --=--恒成立的常数18k =。 (3)由(2)可知1111122383 n n n n a a a a --++=?--，所以 123n n a a ??+????-????是以34-为首项，18为公比的等比数列。即 11312()348n n n a a -+=-?-?11 911()482311()48 n n n a ---=+ 例2．已知数列}{n a 满足性质：对于14 N,,23 n n n a n a a ++∈= + 且,31=a 求}{n a 的通项公式. 解:依定理作特征方程,3 24 ++= x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ 故特征方程有两个相异的根，则有114 1 12342311 142446510 52223 n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a +++--++---+-====-+++++++++ 即1111 1252n n n n a a a a ++--=-++ 又1 113122325 a a --==++ ∴数列12n n a a ??-??+?? 是以25为首项，15-为公比的等比数列 1121()255 n n n a a --=-+ 1 141()1 (5)455,N.212(5)1()55 n n n n n a n ---+--==∈+---

用特征方程求数列的通项

用特征方程求数列的通项一、递推数列特征方程的研究与探索递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。递推数列的特征方程是怎样来的？（一）、若数列{}n a 满足),0(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列：设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则，令d t c =-)1(，即1 -= c d t ，当1≠c 时可得 )1 (11-+=-+ +c d a c c d a n n ，知数列? ????? -+1c d a n 是以c 为公比的等比数列， 11)1 (1--+=-+ ∴n n c c d a c d a 将 b a =1代入并整理，得()1 1---+=-c d c b d bc a n n n . 故数列d ca a n n +=+1对应的特征方程是：x=cx+d （二）、二阶线性递推数列,11-++=n n n qa pa a 仿上，用上述参数法我们来探求数列{}n n ta a ++1的特征：不妨设 )(11-++=+n n n n ta a s ta a ，则11 )(-++-=n n n sta a t s a , 令 ? ??==-q st p t s （ ※）（1）若方程组（ ※）有两组不同的实数解),(),,(2211t s t s , 则)(11111-++=+n n n n a t a s a t a , )(12221-++=+n n n n a t a s a t a , 即{}n n a t a 11++、 {}n n a t a 21++分别是公比为1s 、2s 的等比数列，由等比数列通项公式可得 1 1 11211)(-++=+n n n s a t a a t a ①, 1 2 12221)(1-++=+n n n s a t a a t a ②, ∵,21t t ≠由上两式①+②消去1+n a 可得 ()()() n n n s t t s a t a s t t s a t a a 22121221211112..-+--+= . （2）若方程组（ ※）有两组相等的解???==21 2 1t t s s ，易证此时11s t -=，则 ())(2112 111111---++=+=+n n n n n n a t a s a t a s a t a

专题由递推关系求数列的通项公式(含答案)

专题由递推关系求数列的通项公式一、目标要求通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法：二、知识梳理求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。三、典例精析 1、公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。常用的公式有???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 及等差数列和等比数列的通项公式。例1 已知数列{n a }中12a =，2 +2n s n =，求数列{n a }的通项公式评注在运用1n n n a s s -=-时要注意条件2n ≥，对n=1要验证。 2、累加法：利用恒等式()()1211+......+n n n a a a a a a -=+--求通项公式的方法叫累加法。它是求型如 ()1+f n n n a a +=的递推数列的方法（其中数列(){}f n 的前n 项和可求）。例2 已知数列{n a }中112a =，121 ++32 n n a a n n +=+，求数列{n a }的通项公式评注此类问题关键累加可消中间项，而(f n ）可求和则易得n a 3、.累乘法：利用恒等式3 21121 n n n a a a a a a a a -=? ???????()0n a ≠求通项公式的方法叫累乘法。它是求型如()1n n a g n a +=的递推数列的方法(){}() g n n 数列可求前项积

史上最全的数列通项公式的求法13种

最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥???????-=????????????????=-2 1 11n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式. ②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2 1n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式. ③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

特征方程法求数列的通项公式

特征方程法求数列的通项公式求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径? 1.已知数列a n 满足a n 1 a -an ---------------------------- …… ① 其中c O,ad bc,n N c a n d 定义1 ：方程x ax _b 为①的特征方程，该方程的根称为数列 a n 的特征根，记为 cx d (a c )a n [ c (a c c )] (a c )a n (a c ) (a c )a n [ c (a c c )] (a c )a n (a c ) a c a ” 上/ a c 证毕 a n 定理2 :若 a 1 且 a d c rnri 1 2c 1 0，则 a n 1 a d a n 证明： * d 2 a 2 c, b c 1 1 ca n d ca n d a n 1 aa n b (aa n b) (ca n d) (a c)a n b d ca n d ca n a 2 c ca n a 2 c ca n a 2 c (a c)a n ( 2 c a 2 2 c) (a c)(a n ) a d / 2 (a n ) 2ca n 2a 4 c 2ca n (a 2 c) d 2c(a n ) (a d) (a d)(a n ) (a d)(a n ) (a d)(a n ) 定理 1：若 , 印且证明： x ax b --- 1 2 cx cx d d a ( )c,b aa n b a n 1 ca n d a n 1 aa n b ca n d ,则 a n 1 a n 1 a c a n a c a n (d a)x b c (aa n b) (ca n d) (aa n b) (ca n d) a d b W c (a c 冋(b d ) (a c )a n (b d )

已知数列递推公式求通项公式的几种方法

已知数列递推公式求通项公式的几种方法 Revised on November 25, 2020

求数列通项公式的方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则11 3 222 n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2 n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为 121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则所以3 1.n n a n =+-

递推数列特征方程的发现

递推数列特征方程的发现一、问题的提出递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。在递推数列中占有重要一席的斐波那契数列，又称兔子数列，是学生非常乐意探讨的递推问题，许多学生都会不约而同地向教师提出，这个数列有通项公式吗？如有，怎样求它的通项公式？笔者就曾碰到过一位喜爱钻研的学生，带着参考书上的解法而向我请教：已知斐波那契数列,3,2(,11121=+===-+n a a a a a n n n …)，求通项公式n a 。参考书上的解法是这样的：解此数列对应特征方程为12 +=x x 即012 =--x x ，解得2 5 1±= x ，设此数列的通项公式为n n n c c a )2 51()251( 21-++=，由初始条件121==a a 可知， ???????=-++=-++1)251()251(1251251222121c c c c ，解之得?????? ?-==51 5121c c ，所以?? ? ???--+=n n n a )251(251( 55）。这位学生坦率地表示，尽管参考书上介绍了利用特征方程求通项公式的一些结论，用上述方法得到的通项公式也是正确的，但他还是“看不懂”。换句话说，这种解法的依据是什么？特征方程是怎样来的？我虽然深知这是特征方程惹的祸，但由于现行教材只字未提特征方程，我也从未在课堂上作过补充，如果将有关利用特征方程求递推数列通项的一些结论直接呈现出来，或者以“高考不作要求”为由来搪塞，学生是难以接受的，也是不负责任的。面对一头雾水的数学尖子，我在充分肯定其善于思考、勇于探索的可贵品质的同时，也在苦苦寻觅解答这一问题的良策。其后不久，一次偶然的数学探究活动，竟使这一长期困惑我们教学活动的尴尬问题迎刃而解。二、研究与探索问题的解决源于对一阶线性递推数列通项公式的探求：若数列{}n a 满足),1(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的

数列通项公式、前n项和求法总结全

一.数列通项公式求法总结： 1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2 55a S =．求数列{}n a 的通项公式. 变式练习： 1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式 2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和. 2.公式法求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 求解。特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。（1）13-+=n n S n 。（2）12 -=n s n

变式练习： 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2 +n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满足n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。 2. 已知数列{}n a 的前n 项和2 12 n S n kn =-+（*k N ∈）,且S n 的最大值为8，试确定常数k 并求n a 。 3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，2 2.求数列{}n a 的通项公式。 3.由递推式求数列通项法类型1 特征：递推公式为 ) (1n f a a n n +=+ 对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。例3. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。