正弦定理教案

§1.1.1 正弦定理

学习目标

1. 掌握正弦定理的内容；

2. 掌握正弦定理的证明方法；

3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．

学习过程

一、课前准备

试验：固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．

思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？

二、新课导学 ※ 学习探究

探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，

根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c

C c

==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c

A B C

==

．

(

探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，

有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b

A B

=

， 同理可得sin sin c b

C B

=

， 从而sin sin a b

A B =

sin c C

=．

类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.

新知：正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即

sin sin a b

A B =

sin c C =． 试试：

（1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A =

（2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；

（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b

C B =

，sin a A =sin c C ． （3）正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A

a B

=；b = ．

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，

如sin sin a

A B b

=；sin C = ．

（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．

※ 典型例题

例1. 在ABC ?中，已知45A =o ，60B =o ，42a =cm ，解三角形．

变式：在ABC ?中，已知45B =o ，60C =o ，12a =cm ，解三角形．

例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ?===o 中，求和．

变式：在60,1,,ABC b B c a A C ?==o 中，求和．

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 正弦定理：

sin sin a b

A B =

sin c C

= 2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义， 还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法. 3．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边；

②已知两边和其中一边的对角．

※ 知识拓展 a b =2c

R ==，其中2R 为外接圆直径.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 在ABC ?中，若cos cos A b

B a

=，则ABC ?是（ ）.

A ．等腰三角形

B ．等腰三角形或直角三角形

C ．直角三角形

D ．等边三角形 2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4， 则a ∶b ∶c 等于（ ）.

A ．1∶1∶4

B ．1∶1∶2

C ．1∶1

D ．2∶23. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）. A. A B > B. A B <

C. A ≥B

D. A 、B 的大小关系不能确定

4. 已知?ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．

5. 已知?ABC 中，∠A 60=?，a =

sin sin sin a b c

A B C ++++= ．

1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120?，解此三角形．

2. 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．

§1.1.2 余弦定理

1. 掌握余弦定理的两种表示形式；

2. 证明余弦定理的向量方法；

3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．

一、课前准备

复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．

复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45?，C =30?，解此三角形．

思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？

二、新课导学 ※ 探究新知 问题：在ABC ?中，AB 、BC 、

CA 的长分别为c 、a 、b .

∵AC =u u u r

， ∴AC AC ?=u u u r u u u r

同理可得： 2222cos a b c bc A =+-， 2222cos c a b ab C =+-．

新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．

思考：这个式子中有几个量？

从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论：

222

cos 2b c a A bc

+-=

， ， ． [理解定理]

（1）若C =90?，则cos C = ，这时222c a b =+

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． （2）余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角．

试试：

（1）△ABC 中，a =2c =，150B =o ，求b ．

（2）△ABC 中，2a =，b ，1c ，求A ．

※ 典型例题

例1. 在△ABC 中，已知a b =，45B =o ，求,A C 和c ．

变式：在△ABC中，若AB，AC＝5，且cos C＝

9

10

，则BC＝________．

例2. 在△ABC中，已知三边长3

a=，4

b=，c=，求三角形的最大内角．变式：在?ABC中，若222

a b c bc

=++，求角A．

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

2. 余弦定理的应用范围： ① 已知三边，求三角；

② 已知两边及它们的夹角，求第三边．

※ 知识拓展 在△ABC 中，

若222a b c +=，则角C 是直角； 若222a b c +<，则角C 是钝角； 222C 是锐角．

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 已知a c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为（ ）.

A. 2

B.

C. 2

D. 2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）. A ．60o B ．75o C ．120o D ．150o

3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）.

A x <<

B x ＜5

C ． 2＜x

D ＜x ＜5

4. 在△ABC 中，|AB u u u r |＝3，|AC u u u r |＝2，AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为60°，则|AB u u u r

－AC u u u r |＝________． 5. 在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足 222b a c ab +-=，则∠C 等于 ．

1. 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝

13

14

，求最大角的余弦值．

2. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，求AB BC u u u r u u u r

的值.

§1.1 正弦定理和余弦定理（练习）

1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；

2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．

一、课前准备

复习1：在解三角形时

已知三边求角，用 定理；

已知两边和夹角，求第三边，用 定理； 已知两角和一边，用 定理．

复习2：在△ABC 中，已知 A ＝

6

π

，a ＝，b ＝

二、新课导学 ※ 学习探究

探究：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.

① A ＝

6

π

，a ＝25，b ＝；

② A ＝6

π

，a ，b ＝

③ A ＝6

π

，a ＝50，b ＝.

思考：解的个数情况为何会发生变化？

新知：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）．

已知边a,b和∠A

有两个解

仅有一个解

无解

CH=bsinA

a=CH=bsinA

a

试试：

1. 用图示分析（A为直角时）解的情况？

2．用图示分析（A为钝角时）解的情况？

※典型例题

例1. 在?ABC中，已知80

a=，100

b=，45

A

∠=?，试判断此三角形的解的情况．变式：在?ABC中，若1

a=，

1

2

c=，40

C

∠=?，则符合题意的b的值有_____个．

例2. 在?ABC 中，60A =?，1b =，2c =，求sin sin sin a b c

A B C

++++的值．

变式：在?ABC 中，若55a =，16b =，且1

sin 2

ab C =C ．

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；

2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；

3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；

4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．

※ 知识拓展

在?ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 ：①当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解； ②当A 为锐角时，

如果a ≥b ，那么只有一解；

如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若sin a b A >，则有两解； （2）若sin a b A =，则只有一解；

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2

sin 3

A B =，

则a b b +的值=（ ）. A.

13 B. 23 C. 43 D. 5

3

2. 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）. A ．135° B ．90° C ．120° D ．150°

3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）. A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加长度决定

4. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos B ＝ ．

5. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状 ．

1. 在?ABC 中，a xcm =，2b cm =，45B ∠=?，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围．

2. 在?ABC中，其三边分别为a、b、c，且满足

222

1

sin

24

a b c

ab C

+-

=，求角C．

§1.2应用举例—①测量距离

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题

一、课前准备

复习1：在△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝2

+，c＝A为.

复习2：在△ABC中，sin A＝sin sin

cos cos

B C

B C

+

+

，判断三角形的形状.

二、新课导学

※典型例题

例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=51?，∠ACB=75?. 求A、B两点的距离(精确到0.1m).

提问1：?ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？

提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题

题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，

再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，

应用正弦定理算出AB边.

新知1：基线

在测量上，根据测量需要适当确定的叫基线.

例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.

分析：这是例1的变式题，研究的是两个的点之间的距离测量问题.

首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.

根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC，

再利用余弦定理可以计算出AB的距离.

变式：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠BCA=60°，∠ACD=30°，∠CDB=45°，∠BDA =60°.

练：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. 2．基线的选取：

测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角45?的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P 为切点，一条直角边AC 紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA =5cm ，则球的半径等于（ ）. A ．

5cm B ．

C ．1)cm

D ．6cm

2. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向

移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（ ）.

A ．0.5小时

B ．1小时

C ．1.5小时

D ．2小时

3. 在ABC ?中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，

则ABC ?的形状（ ）.

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

4.在ABC ?中，已知4a =，6b =，120C =o ，则sin A 的值是 ．

5. 一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60o ，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15o ，这时船与灯塔的距离为 km ．

1. 的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.

2. 某船在海面A处测得灯塔C与A相距海里，且在北偏东30?方向；测得灯塔B与A

相距75?方向. 船由A向正北方向航行到D处，测得灯塔B在南偏西60?方向. 这时灯塔C与D相距多少海里？

§1.2应用举例—②测量高度

1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题；

2. 测量中的有关名称.

一、课前准备

复习1：在?ABC中，cos5

cos3

A b

B a

==，则?ABC的形状是怎样？

复习2：在?ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若::

a b c=1:1:3，求A:B:C 的值.

二、新课导学

※学习探究

新知：坡度、仰角、俯角、方位角

方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角；

坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；

仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角.

探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.

分析：选择基线HG，使H、G、B三点共线，

要求AB，先求AE

在ACE

?中，可测得角，关键求AC

在ACD

?中，可测得角，线段，又有α

故可求得AC

※典型例题

例1. 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=5440'

?，在塔底C处测得A处的俯角β=501'

?. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m)