中考数学 数学中考数学压轴题试题及解析

一、中考数学压轴题

1．如图,矩形ABCD 中，AD >AB ，连接AC ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AE ，平移线段AE 得到线段DF (点A 与点D 对应，点E 与点F 对应)，连接BF ，分别交直线AD ，AC 于点G ，M ，连接EF ．

(1) 依题意补全图形； (2) 求证：EG ⊥AD ；

(3) 连接EC ，交BF 于点N ，若AB =2，BC =4，设MB =a ，NF =b ，试比较

()()11a b ++与

9+62之间的大小关系，并证明．

2．注意：为了使同学们更好地解答本题的第（Ⅱ）问，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．

如图，将一个矩形纸片ABCD ，放置在平面直角坐标系中，()0,0A ，()4,0B ，

()0,3D ，M 是边CD 上一点，将ADM 沿直线AM 折叠，得到ANM ．

（Ⅰ）当AN 平分MAB ∠时，求DAM ∠的度数和点M 的坐标； （Ⅱ）连接BN ，当1DM =时，求

ABN 的面积；

（Ⅲ）当射线BN 交线段CD 于点F 时，求DF 的最大值．（直接写出答案） 在研究第（Ⅱ）问时，师生有如下对话：

师：我们可以尝试通过加辅助线，构造出直角三角形，寻找方程的思路来解决问题． 小明：我是这样想的，延长MN 与x 轴交于P 点，于是出现了Rt NAP △． 小雨：我和你想的不一样，我过点N 作y 轴的平行线，出现了两个Rt NAP △．

3．如图1，平面直角坐标系xoy 中，A (－4，3)，反比例函数(0)k

y k x

=

<的图象分别交矩形ABOC 的两边AC ，BC 于E ，F （E ，F 不与A 重合），沿着EF 将矩形ABOC 折叠使A ，D 重合．

（1）①如图2，当点D恰好在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长；

②若折叠后点D落在矩形ABOC内（不包括边界），求线段CE长度的取值范围．

（2）若折叠后，△ABD是等腰三角形，请直接写出此时点D的坐标．

4．在学习了轴对称知识之后，数学兴趣小组的同学们对课本习题进行了深入研究，请你跟随兴趣小组的同学，一起完成下列问题．

(1)（课本习题）如图①，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．求证：DB=DE

(2)（尝试变式）如图②，△ABC是等边三角形，D是AC边上任意一点，延长BC至E，使CE=AD．

求证：DB=DE．

(3)（拓展延伸）如图③，△ABC是等边三角形，D是AC延长线上任意一点，延长BC至E，使CE=AD请问DB与DE是否相等? 并证明你的结论．

5．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=5，cos

4

5

B ，点O是边BC上的动点，

以OB为半径的O与射线BA和边BC分别交于点E和点M，联结AM，作

∠CMN=∠BAM，射线MN与边AD、射线CD分别交于点F、N．

（1）当点E为边AB的中点时，求DF的长；

（2）分别联结AN、MD，当AN//MD时，求MN的长；

（3）将O绕着点M旋转180°得到'O，如果以点N为圆心的N与'O都内切，求O的半径长．

6．如图1，已知，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，连接AO并延长交BC于点

H ．

（1）求外接圆⊙O 的半径；

（2）如图2，点D 是AH 上（不与点A ，H 重合）的动点，以CD ，CB 为边，作平行四边形CDEB ，DE 分别交⊙O 于点N ，交AB 边于点M ． ①连接BN ，当BN ⊥DE 时，求AM 的值；

②如图3，延长ED 交AC 于点F ，求证：NM ·NF=AM ·MB ； ③设AM=x ，要使2ND -22DM <0成立，求x 的取值范围．

7．问题提出

（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．

问题探究

（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且

2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．

问题解决

（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．

8．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系

(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(03，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．

①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____； ②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；

(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段

FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；

(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．

9．如图1，△ABC 内接于⊙O ，直径AD 交BC 于点E ，延长AD 至点F ，使DF ＝2OD ，连接FC 并延长交过点A 的切线于点G ，且满足AG ∥BC ，连接OC ，若cos ∠BAC ＝1

3

，BC ＝8． （1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）求⊙O 的半径OC ；

（3）如图2，⊙O 的弦AH 经过半径OC 的中点F ，连结BH 交弦CD 于点M ，连结FM ，试求出FM 的长和△AOF 的面积．

10．如图，直角三角形ABC ?中，90460ACB AC A ∠?=∠?＝，，＝，O 为BC 中点，将

ABC ?绕O 点旋转180?得到DCB ?．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿

A B D →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM AC ⊥．

（1）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A B D →→的路线运动，且在AB

上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN 使

//QN PM ，设点Q 的运动时间为t 秒，(0

图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．

（2）当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B C D →→的路线运动，且在

BC 上以每秒

3

的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀度运动，是否存在这样的P R 、，使BPR ?为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由．

11．如图，在ABC 中，90ABC ∠=?，AB BC <，O 为AC 中点，点D 在BO 延长线上，CD BC =，AE BC ∥，CE CA =，AE 交BD 于点G ． （1）若28DCE ∠=?，求AOB ∠的度数； （2）求证：AG GE =； （3）设DC 交GE 于点M ．

①若3AB =，4BC =，求::AG GM ME 的值；

②连结DE ，分别记ABG ，DGM ，DME 的面积为1S ，2S ，3S ，当AC DE 时，123::S S S = ．（直接写出答案）

12．已知：如图①，在等腰直角ABC ?中，斜边2AC =．

（1）请你在图①的AC 边上求作一点P ，使得90APB ∠=?；

（2）如图②，在（1）问的条件下，将AC 边沿BC 方向平移，使得点A 、P 、C 对应点分别为E 、Q 、D ，连接AQ ，BQ ．若平移的距离为1，求AQB ∠的大小及此时四边形ABDE 的面积；

（3）将AC 边沿BC 方向平移m 个单位至ED ，是否存在这样的m ，使得在直线DE 上有一点M ，满足30AMB ∠=?，且此时四边形ABDE 的面积最大？若存在，求出四边形

ABDE 面积的最大值及平移距离m 的值；若不存在，请说明理由．

13．对于平面内的点M 和点N ，给出如下定义：点P 为平面内的一点，若点P 使得

PMN 是以M ∠为顶角且M ∠小于90°的等腰三角形，则称点P 是点M 关于点N 的锐

角等腰点P ．如图，点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点．在平面直角坐标系xOy 中，点

O 是坐标原点．

（1）已知点(2,0)A ，在点123(0,2),(13),(13)P P P -，4(2,2)P -中，是点O 关于点A 的锐角等腰点的是___________．

（2）已知点(3,0)A ，点C 在直线2y x b =+上，若点C 是点O 关于点A 的锐角等腰点，求实数b 的取值范围．

（3）点D 是x 轴上的动点，(,0),(2,0)D t E t -，点(,)F m n 是以D 为圆心，2为半径的圆上一个动点，且满足0n ≥．直线24y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点H K ，，若线段

HK 上存在点E 关于点F 的锐角等腰点，请直接写出t 的取值范围． 14．（1）探究发现

数学活动课上，小明说“若直线21y x =-向左平移3个单位，你能求平移后所得直线所

对应函数表达式吗？”

经过一番讨论，小组成员展示了他们的解答过程：

在直线21y x =-上任取点()01A -，， 向左平移3个单位得到点()31，

'--A 设向左平移3个单位后所得直线所对应的函数表达式为2y x n =+．

因为2y x n =+过点()31，

'--A ， 所以61n -+=-， 所以5n =，

填空：所以平移后所得直线所对应函数表达式为 （2）类比运用

已知直线21y x =-，求它关于x 轴对称的直线所对应的函数表达式； （3）拓展运用

将直线21y x =-绕原点顺时针旋转90°，请直接写出：旋转后所得直线所对应的函数表达式 ．

15．已知四边形ABCD 是正方形，点P 在直线BC 上，点G 在直线AD 上（P ，G 不与正方形顶点重合，且在CD 的同侧），PD =PG ，DF ⊥PG 于点H ，交直线AB 于点F ，将线段PG 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE ，连结EF ．

（1）如图1，当点P 与点G 分别在线段BC 与线段AD 上时． ①求证：DF =PG ；

②若AB =3，PC =1，求四边形PEFD 的面积；

（2）如图2，当点P 与点G 分别在线段BC 与线段AD 的延长线上时，请猜想四边形PEFD 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

16．已知：如图，四边形ABCD ，AB DC ，CB AB ⊥，16AB cm =，6BC cm =，

8CD cm =，动点Q 从点D 开始沿DA 边匀速运动，运动速度为1/cm s ，动点P 从点A

开始沿AB 边匀速运动，运动速度为2/cm s ．点P 和点Q 同时出发，O 为四边形ABCD 的对角线的交点，连接 PO 并延长交CD 于M ，连接QM ．设运动的时间为()t s ，

08t <<．

（1）当t 为何值时，PQ

BD ？

（2）设五边形QPBCM 的面积为(

)2

S cm

，求S 与t 之间的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使PQM 的面积等于五边形面积的11

15

？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点Q 在MP 的垂直平分线上？若存在，求出

t 的值；若不存在，请说明理由．

17．已知：菱形 ABCD ，点 E 在线段 BC 上，连接 DE ，点 F 在线段 AB 上，连接 CF 、DF ， CF 与 DE 交于点 G ，将菱形 ABCD 沿 DF 翻折，点 A 恰好落在点 G 上． （1）求证：CD=CF ；

（2）设∠CED = x ，∠DCF = y ，求 y 与 x 的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）在（2）的条件下，当 x =45°时，以 CD 为底边作等腰△CDK ，顶角顶点 K 在菱形 ABCD 的内部，连接 GK ，若 GK ∥CD ，CD =4 时，求线段 KG 的长．

18．如图，抛物线2

(40) y ax bx a =++≠与x 轴交于()() 3,0, 4,0A C -两点，与y 轴

交于点B ．

()1求这条抛物线的顶点坐标；

()2已知AD AB =(点D 在线段AC 上)，有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动：同时另一个点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过()t s 的移动，线

段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；

()3在()2的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ,使MQ MC +的值最小?若存

在，请求出点M 的坐标：若不存在，请说明理由．

19．已知：在平面直角坐标系中，抛物线2

23y ax ax a =--与x 轴交于点A ，B （点B

在点A 的右侧），点C 为抛物线的顶点，点C 的纵坐标为-2． （1）如图1，求此抛物线的解析式；

（2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，连接AP ，过点C 作//CD y 轴交AP 于点

D ，设点P 的横坐标为t ，CD 的长为m ，求m 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t

的取值范围）；

（3）如图3，在（2）的条件下，点E 在DP 上，且ED AD =，点F 的横坐标大于3，连接EF ，BF ，PF ，且EP EF BF ==，过点C 作//CG PF 交DP 于点G ，若

72

8

CG AG

，求点P 的坐标．

20．如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 同时从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t （秒）． （1）设△DPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的关系式； （2）当t 为何值时，四边形PCDQ 是平行四边形？ （3）分别求出当t 为何值时，①PD=PQ ；②DQ=PQ ．

21．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=8，点D 在△ABC 外，连接AD 、BD ，且∠ADB=90°，AB 、CD 相交于点E ，AB 、CD 的中点分别是点F 、G ，连接FG ．

（1）求AB 的长；

（2）求证：2CD ； （3）若BD=6，求FG 的值．

22．如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴和

y 轴上，已知OA=5，OB=3，点D 的坐标是（0，1），点P 从点B 出发以每秒1个单位的

速度沿折线BCA 的方向运动，当点P 与点A 重合时，运动停止，设运动的时间为t 秒．

（1）点P 运动到与点C 重合时，求直线DP 的函数解析式；

（2）求△OPD 的面积S 关于t 的函数解析式，并写出对应t 的取值范围；

（3）点P 在运动过程中，是否存在某些位置使△ADP 是不以DP 为底边的等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 23．综合与探究：

如图1，抛物线24832

999

y x x =-

++与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为D ，P 为对称轴右侧抛物线的一个动点，直线AD 与y 轴于点C ，过点P 作

//PF AD ，交x 轴于点F ．

（1）求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标；

（2）如图2，当//PC x 轴时，将AOC ?以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的正方向平移，当点C 与点P 重合时停止平移．设平移t 秒时，在平移过程中AOC ?与四边形AFPC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； （3）如图3，过点P 作x 轴的平行线，交直线AD 于点E ，直线DF 与PE 交于点M ，设点P 的横坐标为m ．

①当3DM MF =时，求m 的值；

②试探究点P 在运动过程中，是否存在值m ，使四边形AFPE 是菱形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

24．如图①，在ABC ?中，90C ∠=?，10,8AB BC ==．点,D E 分别是边,AC BC 上的动点，连接DE ．设CD x =（0x >），BE y =，y 与x 之间的函数关系如图②所示．

（1）求出图②中线段PQ 所在直线的函数表达式； （2）将DCE 沿DE 翻折，得DME ．

①点M 是否可以落在ABC ?的某条角平分线上?如果可以，求出相应x 的值；如果不可以，说明理由；

②直接写出．．．．DME 与ABC ?重叠部分面积的最大值及相应x 的值．

25．附加题：在平面直角坐标系中，抛物线2

1y ax a

=-与y

轴交于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ， （1）求抛物线的对称轴；

（2）求点B 坐标（用含a 的式子表示）； （3）已知点11,

P a ??

???

，(3,0)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求a 的取值范围．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、中考数学压轴题 1．E

解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）()()11a b ++<9+6

2.

【解析】 【分析】

（1）根据题目要求作出图形即可；

（2）连EF ，EG ，延长AB 交EF 于点H ，先依据矩形与平行线的性质，等角的余角相等，旋转的性质，得到AHE ≌ADC (AAS),依据全等的性质及等量代换可得BH FH =，结合依据相似的判定与性质，得到AB AG =，再依据SAS 可证明GAE ≌BAC ，依据全等的性质得到90AGE ABC ∠=∠=?，即EG ⊥AD ；

（3）依据勾股定理求出GB ，依据平行线分线段成比例可分别证MAG △∽MCB △，

BAG ∽BHF ，NBC ∽NFE ，依据相似三角形的性质得到MG GB 、、

42a MB ==、BF 、1

22

b NF BF ==

=，即可求出()()11a b ++=()(

)

4

21

21++=9+52<9+62.

【详解】

解：（1）补全图形如下：

（2）连EF ，EG ，延长AB 交EF 于点H ，设AD n =，CD m =，

∵//AE DF ,AE DF =,

∴四边形AEFD 是平行四边形， ∴//AD EF ，AD EF n ==， ∴ABG ∽HBF ,

∴

AB AG

BH FH =， ∵矩形ABCD ，

∴//AD BC ，90ADC BAD ABC ∠=∠=∠=?， ∴//BC EF ,

∴90AHF ABC ∠=∠=?, ∴18090AHE AHF ∠=?-∠=?， ∴AHE ADC ∠=∠, ∵90EAC BAD ∠=?=∠,

∴EAC BAC BAD BAC ∠-∠=∠-∠，即EAH CAD ∠=∠, 又∵AE AC =， ∴AHE ≌ADC (AAS),

∴EH CD m ==,AH AD n ==， ∴BH n m FH =-=,

又∵

AB AG

BH FH =， ∴AB AG =，

又∵90BAC CAD GAE ∠=?-∠=∠，AC AE =， ∴GAE ≌BAC （SAS ）， ∴90AGE ABC ∠=∠=?， ∴EG ⊥AD ；

(3) 当AB =2，BC =4，MB =a ，NF =b 时，

()()11a b ++<9+6

2，理由如下：

2AG AB ==,2222GB AG AB +=4EF AD BC ===,4AH AD ==,2BH AH AB =-=, ∵//AD BC ，

∴MAG △∽MCB △， ∴MG AG MB BC ==21

42

=, ∴22MG GB ==42a MB == ∵//AD EF ， ∴BAG ∽BHF ， ∴

GB AB BF HB ==2

12

=, ∴22BF GB == ∵//BC EF

NBC ∽NFE ，

∴

1BN BC

NF EF

==, ∴1

22

b NF BF ==

=, ()()11a b ++=()(

)

4

21

21++=9+52<9+62.

【点睛】

本题考查了矩形与平行线的性质，等角的余角相等，旋转的性质，全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是构造全等三角形，灵活运用相似三角形的性质求各条线段的长度.

2．A

解析：（I ）30DAM ∠=?，(

)

3,3M ；（II ）

24

5

；（III ）DF 的最大值为47-． 【解析】 【分析】

（Ⅰ）由折叠的性质得：△ANM ≌△ADM ，由角平分线结合得：

∠BAM=∠MAN=∠NAB=30°，由特殊角的三角函数可求DM 的长，写出M 的坐标； （Ⅱ）如图2，作辅助线，构建直角三角形，设NQ=x ，则AQ=MQ=1+x ，在Rt △ANQ 中，由勾股定理列等式可得关于x 的方程：（x+1）2=32+x 2，求出x ，得出AB 是AQ 的4

5

，即可得出△NAQ 和△NAB 的关系，得出结论；

（III ）如图3，过A 作AH ⊥BF 于H ，证明△ABH ∽△BFC ，得

BH CF

AH BC

＝，Rt △AHN 中，AH ≤AN=3，AB=4，可知：当点N 、H 重合（即AH=AN ）时，AH 最大，BH 最小，CF 最小，DF 最大，此时点M 、F 重合，B 、N 、M 三点共线，如图4所示，求此时DF 的长即可． 【详解】 （I ）如图

()0,0A ，()4,0B ，()0,3D ，

3AD ∴=，4AB =， 由折叠得：ANM ADM ≌△△， MAN DAM ∴∠=∠， AN 平分MAB ∠，

MAN NAB ∴∠=∠，

BAM MAN NAB ∴∠=∠=∠， 四边形ABCD 是矩形， 90DAB ∴∠=?， 30DAM ∴∠=?，

3

tan 3tan 3033DM AD DAM ∴=?∠=??=?

=， 30DAM ∴∠=?，(

)

3,3M

；

（II ）延长MN 交AB 的延长线于点Q ，

四边形ABCD 是矩形，

AB CD ∴∥，

DMA MAQ ∴∠=∠，

由折叠得：ANM ADM ≌△△，

DMA AMQ ∴∠=∠，3AN AD ==，1MN MD ==， MAQ AMQ ∴∠=∠， MQ AQ ∴=，

设NQ x =，则1AQ MQ x ==+，

90ANM ∠=?， 90ANQ ∴∠=?，

在Rt ANQ △中，由勾股定理得：2

2

2

AQ AN NQ =+，

()2

2213x x ∴+=+，

解得：4x =，

4NQ ∴=，5AQ =，

4AB =，5AQ =，

441412434552525

NAB NAQ S S AN NQ ∴=

=??=???=△△； （III ）如图3，过A 作AH BF ⊥于H ，

四边形ABCD 是矩形，

AB CD ∴∥，

90AHB BCF ∴∠=∠=?， ABH BFC ∴∽△△， BH

CF AH BC

∴=， Rt AHN 中，3AH AN =≤，4AB =，

∴当点N 、H 重合（即AH AN =）时，AH 最大，BH 最小，CF 最小，DF 最大，此时点M 、F 重合，B 、N 、M 三点共线，如图4所示，

由折叠得：AD AH =，

AD BC =， AH BC ∴=，

在ABH 和BFC △中， HBA BFC ANB BCF AH BC ∠=∠??

∠=∠??=?

， ABH BFC AAS ∴≌（）△△， CF BH ∴=，

由勾股定理得：2222437BH AB AH =-=-=

7CF ∴=，

DF ∴的最大值为47DC CF -=

【点睛】

本题是四边形的综合题，考查了三角形全等和相似的性质和判定、折叠的性质、勾股定理、图形与坐标特点、特殊的三角函数值，熟练掌握折叠的性质是关键，注意图形与坐标

特点，第II 问构建直角三角形，利用勾股定理列方程是关键．

3．E

解析：（1）①EC ＝2； ②7

48CE <<；（2）点D 的坐标为233(,)82-

或113(,)55

- 【解析】 【分析】

（1）①根据A (－4，3)和反比例函数图象上点的特征可得E 、F 的坐标，从而可表示出AE 、AF 并求得4

3

=AE AF ，从而证得△AEF ∽△ACB ，利用相似三角形的性质的折叠的性质可推出1

2

EC AC =

，即可求得结果； ②当D 在BO 上时，由折叠的性质和同角的余角相等证得△AEF ∽△BAD ，设AF =x ，利用勾股定理可列出方程，解之得AF 的长，进而求出AE 、CE 的长，即可得出CE 的取值范围； （2）由△ABD 是等腰三角形，可得AD BD =或AD AB =，分情况进行求解即可． 【详解】

解:（1）①由题意得(,3)3k E ，(4,)4

--k F ， ∵k 0<，则3=-k EC ，4

=-k FB ， ∴43=+

k AE ，34

=+k AF ， ∴

1

4(12)

43313

3(12)44

+

+===++k k AE k AF k ， ∵由A (－4，3)得：4,3AC AB ==，

∴4

3=AC AB ， ∴

AE AC

AF AB

=， 又∵∠A =∠A ， ∴△AEF ∽△ACB ， ∴∠AEF =∠ACB ， ∴EF ∥CB ，

如图2，连接AD 交EF 于点H ，

由折叠的性质得：AH =DH ， ∵D 在BC 上， ∴

1==AE AH

EC DH

，则AE EC =， ∴1

22

=

=EC AC ； ②由折叠得EF 垂直平分AD ，

∴90AHE =?∠，则90∠+∠=?EAH AEF ， 又∵90∠+∠=∠=?BAD EAH BAC ， ∴∠=∠BAD AEF ，

如图，当D 落在BO 上时，∵90∠=∠=?EAF ABD ，

∴△AEF ∽△BAD ， ∴

=AE AF AB BD ，则4

3

==AB AE BD AF ， ∴439

3344

=÷

=?=BD AB ， 设AF =x ，则FB =3－x ，FD=AF =x ，

在Rt △BDF 中，由勾股定理得：222FB BD FD +=，

即2

2

29(3)4??-+= ???

x x ，解得：7532=x ，

∴75

32

=

AF ，

∴44752533328

=

=?=AE AF ， ∴257

4488

=-=-

=CE AE ， ∴7

48CE <<，即折叠后点D 落在矩形ABOC 内（不包括边界），CE 的取值范围为7

48

CE <<； （2）∵△ABD 是等腰三角形，显然AB AD ≠， ∴AD BD =或AD AB =，

①当AD BD =时，BAD ABD ∠=∠， 由（1）得：∠=∠BAD AEF ， ∴∠=∠ABD AEF ，

如图，过点D 作//DG x 轴分别交AB 、y 轴于点M 、N ，

则DM AB ⊥，4==MN AC ， ∴90∠=∠=?BMD EAF ，1322

==BM AB ， ∴△AEF ∽△MBD ， ∴

=AE AF MB MD ，则4

3

==MB AE MD AF ， ∴4339

3248

=÷

=?=MD MB ， ∴923488

=-=-=DN MN MD ， ∴点D 的坐标为233(,)82

-

； ②当AD AB =时，如图，过点D 作//DG x 轴分别交AB 、y 轴于点M 、N ，

则3AD AB ==，DM AB ⊥，4==MN AC ， ∴90∠=∠=?AMD EAF ， 由（1）得∠=∠BAD AEF ， ∴△AEF ∽△MAD ， ∴

=AE AF AM MD ，则4

3

==AM AE MD AF ， 设4=AM a ，则3=MD a ，

在Rt △MAD 中，由勾股定理得：222+=AM MD AD ， 即2

2

2

(4)(3)3+=a a ，解得：3

5

a =， ∴125=

AM ，95

=MD ， ∴123355=-=-=BM AB AM ，911

455

=-=-=DN MN MD ， ∴点D 的坐标为113(,)55

-

； 综上所述，若折叠后，△ABD 是等腰三角形，点D 的坐标为233(,)82-或113

(,)55

-． 【点睛】

本题考查了反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的判定与性质，解题的关系是熟悉反比例函数图象上点的特征和熟练掌握相似三角形的判定与性质．

4．D

解析：（1）见详解；（2）见详解；（3）DB=DE 成立，证明见详解 【解析】 【分析】

（1）由等边三角形的性质，得到∠CBD=30°，∠ACB=60°，由CD=CE ，则∠E=∠CDE=30°，得到∠E=∠CBD=30°，即可得到DB=DE ；

（2）过点D 作DG ∥AB ，交BC 于点G ，证明△BDC ≌△EDG ，根据全等三角形的性质证明结论；

（3）过点D 作DF ∥AB 交BE 于F ，由“SAS ”可证△BCD ≌△EFD ，可得DB=DE ．