八年级数学上册全等三角形专题练习(解析版)

八年级数学上册全等三角形专题练习（解析版）

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在_____．

【答案】AD的中点

【解析】

【分析】

【详解】

分析：过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出

AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P点使BP+PC的之最短.

详解：如图，过AD作C点的对称点C′，

根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D

∵四边形ABCD是矩形

∴AB=CD

∴△ABP≌△DC′P

∴AP=PD

即P为AD的中点.

故答案为P为AB的中点.

点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．

2．在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，

∠=?，在x轴或y轴上取点C，使得ABC

?为等腰三角形，符合条件的C点有ABO

36

__________个．

【答案】8

【解析】

【分析】

观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．

【详解】

解：如下图所示，若以点A 为圆心，以AB 为半径画弧，与x 轴和y 轴各有两个交点， 但其中一个会与点B 重合，故此时符合条件的点有3个；

若以点B 为圆心，以AB 为半径画弧，同样与x 轴和y 轴各有两个交点，

但其中一个与点A 重合，故此时符合条件的点有3个；

线段AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴各有一个交点，此时符合条件的点有2个．

∴符合条件的点总共有：3＋3＋2=8个．

故答案为：8．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案．

3．如图，在ABC ?中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 上一点，BE AC =．若70C ∠=?，50DAC ∠=? 则EBD ∠的度数为______．

【答案】10?

【解析】

【分析】

延长AD 到F 使DF AD =，连接BF ，通过ACD FDB ?，根据全等三角形的性质得到CAD BFD ∠=∠，AC BF =， 等量代换得BF BE =，由等腰三角形的性质得到F BEF ∠=∠，即可得到BEF CAD ∠=∠，进而利用三角形的内角和解答即可得．

【详解】

如图，延长AD 到F ，使DF AD =，连接BF ：

∵D 是BC 的中点

∴BD CD =

又∵ADC FDB ∠=∠，AD DF =

∴ACD FDB ?

∴AC BF =， CAD F ∠=∠，C DBF ∠=∠

∵AC BE =， 70C ?∠=， 50CAD ?∠=

∴BE BF =， 70DBF ?∠=

∴50BEF F ?∠=∠=

∴180180505080EBF F BEF ?????∠=-∠-∠=--=

∴807010EBD EBF DBF ???∠=∠-∠=-=

故答案为：10?

【点睛】

本题主要考查的知识点有全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，解题的关键在于通过倍长中线法构造全等三角形．

4．等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm ，则三角形的面积为__________

【答案】4

【解析】

如图，根据30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，可由等腰三角形的顶角为30°，腰

长是4cm ，可求得BD=

12AB =4×12=2，因此此三角形的面积为：S=12AC?BD=12×4×2=8×12

=4（cm 2）．

故答案是：4．

5．如图，己知30MON ∠=?，点1A ，2A ，3A ，…在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，…在射线OM 上，112A B A ?，223A B A ?，334A B A ?，…均为等边三角形，若12OA =，则556A B A ?的边长为________.

【答案】32

【解析】

【分析】

根据底边三角形的性质求出130∠=?以及平行线的性质得出112233////A B A B A B ，以及22122A B B A =，得出332212244A B A B B A ===，441288A B B A ==，551216A B B A =?进而得出答案．

【详解】

解：△112A B A 是等边三角形，

1121A B A B ∴=

，341260∠=∠=∠=?，

2120∴∠=?

，

30MON ∠=?

，

11801203030∴∠=?-?-?=?

，

又360∠=?，

5180603090∴∠=?-?-?=?

，

130MON ∠=∠=?

，

1112OA A B ∴==

，

212A B ∴=

，

△223A B A 、△334A B A 是等边三角形，

111060∴∠=∠=?

，1360∠=?，

41260∠=∠=?

，

112233////A B A B A B ∴

，1223//B A B A ，

16730∴∠=∠=∠=?

，5890∠=∠=?，

22122242A B B A =∴==

，33232B A B A =，

33312428A B B A ∴===

，

同理可得:444128216A B B A ===，

?

∴

△1n n n A B A +的边长为2n ，

∴

△556A B A 的边长为5232=．

故答案为：32．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质以及30°直角三角形的性质，根据已知得出33124A B B A =，44128A B B A =，551216A B B A =进而发现规律是解题关键．

6．如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，BC DC =，60A ∠=?，点E 为AD 边上一点，连接BD .CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE AB ∥，若8AB =，6CE =，则BC 的长为_______________.

【答案】27

【解析】

【分析】

由AB AD =，BC DC =知点A,C 都在BD 的垂直平分线上，因此，可连接AC 交BD 于点O ，易证ABD △是等边三角形，EDF 是等边三角形，根据等边三角形的性质对三角形中的线段进行等量转换即可求出OB,OC 的长度，应用勾股定理可求解.

【详解】

解：如图，连接AC 交BD 于点O

∵AB AD =，BC DC =，60A ∠=?，

∴AC 垂直平分BD ，ABD △是等边三角形

∴30BAO DAO ∠=∠=?，8AB AD BD ===，4BO OD ==

∵CE AB ∥

∴30BAO ACE ∠=∠=?，60CED BAD ∠=∠=?

∴30DAO ACE ∠=∠=?

∴6AE CE ==

∴2DE AD AE =-=

∵60CED ADB ∠=∠=?

∴EDF 是等边三角形

∴2DE EF DF ===

∴4CF CE EF =-=，2OF OD DF =-=

∴2223OC CF OF =-=

∴2227BC BO OC =

+=

【点睛】

本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用等边三角形的判定与性质进行线段间等量关系的转换是解题的关键.

7．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=?，4AC BC ==，D 为BC 中点，E 为AC 边上一动点，连接DE ，以DE 为边并在DE 的右侧作等边DEF ?，连接BF ，则BF 的最小值为______.

【答案】3

【解析】

【分析】

由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长，构建等边三角形BDG ，利用△BDF ≌△GDE ，转换BF=GE ，然后即可求得其最小值.

【详解】

以BD 为边作等边三角形BDG ，连接GE ，如图所示：

∵等边三角形BDG，等边三角形DEF

∴∠BDG=∠EDF=60°，BD=GD=BG，DE=DF=EF

∴∠BDG+∠GFD=∠EDF+∠GFD，即∠BDF=∠GDE

∴△BDF≌△GDE（SAS）

∴BF=GE

当GE⊥AC时，GE有最小值，如图所示GE′，作DH⊥GE′

∴BF=GE=CD+1

2

DG=2+1=3

故答案为：3.

【点睛】

此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长.

8．△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，如图为其中一种分割法，此时△ABC中的最大内角为90°，那么其它分割法中，△ABC中的最大内角度数为_____．

【答案】117°或108°或84°．

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的性质进行分割，写出△ABC中的最大内角的所有可能值.

【详解】

①∠BAD＝∠BDA＝1

2

（180°﹣24°）＝78°，∠DAC＝∠DCA＝

1

2

∠BDA＝39°，如图1

所示：

∴∠BAC＝78°+39°＝117°；

②∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠ACD＝2∠DBA＝48°，如图2所示：

∴∠DAC＝180°﹣2×48°＝84°，

∴∠BAC＝24°+84°＝108°；

③∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠DAC＝2∠DBA＝48°，如图3所示：

∴∠BAC＝24°+48°＝72°，∠C＝180°﹣2×48°＝84°；

∴其它分割法中，△ABC中的最大内角度数为117°或108°或84°，

故答案为：117°或108°或84°．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质进行分割找出所有情况.

9．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出_____个格点三角形与△ABC成轴对称．

【答案】6

【解析】

【分析】

根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．

【详解】

如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．

10．如图，∠AOB＝45°，点M、点C在射线OA上，点P、点D在射线OB上，且OD＝32，则CP+PM+DM的最小值是_____．

34

【解析】

【分析】

如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，根据轴对称的性质得到OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝2，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝∠COD′＝45°，于是得到CP+PM+MD＝

C′+PM+D′M≥C′D′，当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为

C′D′，作C′T⊥D′O于点T，于是得到结论．

【详解】

解：如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，

则OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝32，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝

∠COD′＝45°，

∴CP+PM+MD＝C′+PM+D′M≥C′D′，

当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为C′D′，

作C′T⊥D′O于点T，

则C′T＝OT＝2，

∴D′T＝42，

∴C′D′＝34，

∴CP+PM+DM的最小值是34．

故答案为：34．

【点睛】

本题考查了最短路径问题，掌握作轴对称点是解题的关键.

二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）

11．如图所示，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC＝15°，②AD∥BC，③PC⊥AB，④四边形ABCD是轴对称图形，其中正确的个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】D

【解析】

【分析】

根据周角的定义先求出∠BPC的度数，再根据对称性得到△BPC为等腰三角形，∠PBC即可

求出；根据题意：有△APD 是等腰直角三角形；△PBC 是等腰三角形；结合轴对称图形的定义与判定，可得四边形ABCD 是轴对称图形，进而可得②③④正确．

【详解】

根据题意，BPC 36060290150∠=-?-= ，

BP PC =，

()

PBC 180150215∠∴=-÷=，①正确；

根据题意可得四边形ABCD 是轴对称图形，④正确；

∵∠DAB+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，

∴AD//BC ，②正确；

∵∠ABC+∠BCP=60°+15°+15°=90°，

∴PC ⊥AB ，③正确，

所以四个命题都正确，

故选D ．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称图形的定义与判定等，熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键.

12．如图，AOB α∠=，点P 是AOB ∠内的一定点，点,M N 分别在OA OB 、上移动，当PMN ?的周长最小时，MPN ∠的值为（ ）

A ．90α+

B ．1902α+

C ．180α-

D ．1802α-

【答案】D

【解析】

【分析】 过P 点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解.

【详解】

解：

过P 点作OB 的对称点1P ，过P 作OA 的对称点2P ,连接12PP ，交点为M,N ，则此时PMN 的周长最小，且△1P NP 和△2PMP 为等腰三角形.

此时∠12P PP =180°-α；设∠NPM=x°，则180°-x°=2（∠12P PP -x°

） 所以 x°

=180°-2α 【点睛】

求出M,N 在什么位子△PMN 周长最小是解此题的关键.

13．如图所示，等边三角形的边长依次为2，4，6，8，……，其中1(0,1)A ，

()21,13A --，()31,13A -，4(0,2)A ，()

52,223A --，……，按此规律排下去，则2019A 的坐标为（ ）

A ．(673,6736733-

B ．(673,6736733--

C ．(0,1009)

D ．(674,6746743- 【答案】A

【解析】

【分析】 根据等边三角形的边长依次为2，4，6，8，……，及点的坐标特征，每三个点一个循环，2019÷3=673，A 2019的坐标在第四象限即可得到结论．

【详解】

∵2019÷3=673，

∴顶点A 2019是第673个等边三角形的第三个顶点，且在第四象限．

第673个等边三角形边长为2×673=1346，

∴点A 2019的横坐标为

12?1346=673．

点A 2019的纵坐标为673-134632

?=673﹣6733．故点A 2019的坐标为：()673,6736733-．

故选：A ．

【点睛】

本题考查了点的坐标、等边三角形的性质，是点的变化规律，主要利用了等边三角形的性质，确定出点A

2019所在三角形是解答本题的关键．

14．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，且∠ABC ＝60°，D 为△ABC 内一点 ，且DA ＝DB ，E 为△ABC 外一点，BE ＝AB ，且∠EBD ＝∠CBD ，连DE ，CE. 下列结论：①∠DAC ＝∠DBC ；

②BE ⊥AC ；③∠DEB ＝30°. 其中正确的是（ ）

A ．①...

B ．①③...

C ．② ...

D ．①②③

【答案】B

【解析】

【分析】 连接DC,证ACD BCD DAC DBC ∠∠?=得出①，再证BED BCD ?，得出BED BCD 30∠∠==?;其它两个条件运用假设成立推出答案即可.

【详解】

解：证明：连接DC ，

∵△ABC 是等边三角形，

∴AB=BC=AC ，∠ACB=60°，

∵DB=DA ，DC=DC ，

在△ACD 与△BCD 中，AB BC DB DA DC DC =??=??=?

, ∴△ACD ≌△BCD （SSS ），

由此得出结论①正确；

∴∠BCD=∠ACD=

1302

ACB ∠=? ∵BE=AB ，

∴BE=BC ， ∵∠DBE=∠DBC ，BD=BD ，

在△BED 与△BCD 中，BE BC DBE DBC BD BD =??∠=∠??=?

, ∴△BED ≌△BCD （SAS ），

∴∠DEB=∠BCD=30°．

由此得出结论③正确；

∵EC ∥AD ，

∴∠DAC=∠ECA ，

∵∠DBE=∠DBC ，∠DAC=∠DBC ，

∴设∠ECA=∠DBC=∠DBE=∠1，

∵BE=BA ，

∴BE=BC ，

∴∠BCE=∠BEC=60°+∠1，

在△BCE 中三角和为180°，

∴2∠1+2（60°+∠1）=180°

∴∠1=15°，

∴∠CBE=30，这时BE 是AC 边上的中垂线，结论②才正确．

因此若要结论②正确，需要添加条件EC ∥AD.

故答案为：B.

【点睛】

本题考查的知识点主要是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，通过已知条件作出恰当的辅助线是解题的关键点.

15．如图，等腰ABC ?中，AB AC =，120BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP OC =.下列结论：

①30APO DCO ∠+∠=；②APO DCO ∠=∠；③OPC ?是等边三角形；

④AB AO AP =+.其中正确结论的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】D

【解析】

【分析】

①②连接OB ，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP ，即可解题；

③根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题；

④AB 上找到Q 点使得AQ=OA ，易证△BQO≌△PAO，可得PA=BQ ，即可解题.

【详解】

连接OB ，

∵AB AC =，AD ⊥BC ，

∴AD 是BC 垂直平分线，

∴OB OC OP ==，

∴APO ABO ∠=∠，DBO DCO ∠=∠，

∵AB=AC ，∠BAC =120°

∴30ABC ACB ∠=∠=?

∴30ABO DBO ∠+∠=?，

∴30APO DCO ∠+∠=．

故①②正确；

∵OBP ?中，180BOP OPB OBP ∠=?-∠-∠，

BOC ?中，180BOC OBC OCB ∠=?-∠-∠，

∴360POC BOP BOC OPB OBP OBC OCB ∠=?-∠-∠=∠+∠+∠+∠，

∵OPB OBP ∠=∠，OBC OCB ∠=∠，

∴260POC ABD ∠=∠=?，

∵PO OC ，

∴OPC ?是等边三角形，

故③正确；

在AB 上找到Q 点使得AQ=OA ，

则AOQ ?为等边三角形，

则120BQO PAO ∠=∠=?，

在BQO ?和PAO ?中，

BQO PAO QBO APO OB OP ∠∠??∠∠???

＝＝＝ ∴BQO PAO AAS ??≌（），

∴PA BQ =，

∵AB BQ AQ =+，

∴AB AO AP =+，故④正确.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，本题中求证

BQO PAO ??≌是解题的关键．

16．如图钢架中，∠A=a ,焊上等长的钢条P 1P 2, P 2P 3, P 3P 4, P 4P 5……来加固钢架.著P 1A= P 1P 2,且恰好用了4根钢条,则α

的取值范圈是( )

A ．15°≤ a <18°

B ．15°< a ≤18°

C ．18°≤ a <22.5°

D ．18° < a ≤ 22.5°

【答案】C

【解析】

【分析】

由每根钢管长度相等，可知图中都是等腰三角形，利用等腰三角形底角一定是锐角，可推出取值范围.

【详解】

∵AB=BC=CD=DE=EF

∴∠P 1P 2A=∠A=a

由三角形外角性质，可得∠P 2P 1P 3=2∠A=2a

同理可得，∠P 1P 3P 2=∠P 2P 1P 3=2a ，

∠P 3P 2P 4=∠P 3P 4P 2=∠A+∠P 1P 3P 2=3a ，

∠P 4P 3P 5=∠P 4P 5P 3=∠A+∠P 3P 4P 2=4a ，

在△P 4P 3P 5中，∠P 3P 4P 5=180°-2∠P 4P 3P 5=180°-8a

当∠P 5P 4B ≥90°即∠P 5P 4A ≤90°时，不能再放钢管，

∴3180890+-≤a a ，解得a ≥18°

又∵等腰三角形底角只能是锐角，

∴4a ＜90°，解得a ＜22.5

∴1822.5οο≤

故选C.

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的底角只能是锐角是关键.

17．如图所示，在等边△ABC 中，E 是AC 边的中点，AD 是BC 边上的中线，P 是AD 上的动点，若AD =3，则EP ＋CP 的最小值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【答案】B

【解析】 由等边三角形的性质得，点B ，C 关于AD 对称，连接BE 交AD 于点P ，则EP+CP=BE 最小，又BE=AD ，所以EP+CP 的最小值是3.

故选B.

点睛：本题主要考查了等边三角形的性质和轴对称的性质，求一条定直线上的一个动点到定直线的同旁的两个定点的距离的最小值，常用的方法是，①确定两个定点中的一个关于定直线的对称点；②连接另一个定点与对称点，与定直线的交点就是两线段和的值最小时，动点的位置.

18．如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=6,∠BAC=120°，点P 、Q 分别是线段BC 、射线BA 上一点，则CQ+PQ 的最小值为（ ）

A ．6

B ．7.5

C ．9

D ．12

【答案】C

【解析】

【分析】 通过作点C 关于直线AB 的对称点，利用点到直线的距离垂线段最短，即可求解.

【详解】

解：如图，作点C 关于直线AB 的对称点1C ，1CC 交射线BA 于

H ，过点1C 作BC 的垂线，垂足为P ，与AB 交于点Q ，CQ+PQ 的长即为1PC 的长.

∵AB=AC=6,∠BAC=120°，

∴∠ABC=30°，

易得BC=3

在Rt △BHC 中，∠ABC=30°，

∴HC=33BCH=60°， ∴163CC =

在1Rt △PCC 中，1PCC ∠=60°，

∴19PC =

∴CQ+PQ 的最小值为9，

故选：C.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质以及利用对称点求最小值的问题，认真审题作出辅助线是解题的关键.

19．如图，P 为∠AOB 内一定点，M 、N 分别是射线OA 、OB 上一点，当△PMN 周长最小时，∠MPN=110°，则∠AOB=（ ）

A．35°B．40°C．45°D．50°

【答案】A

【解析】

【分析】

作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质求解．

【详解】

作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，

∵PP1关于OA对称，∠MPN=110°

∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM，

同理可得：∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，

∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，

∴△P1OP2是等腰三角形．

∴∠OP2N=∠OP1M，

∴∠P1OP2=180°-110°=70°，

∴∠AOB=35°，

故选A．

【点睛】

考查了对称的性质，解题关键是正确作出图形和证明△P1OP2是等腰三角形是．

20．如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（）