2019天津市高二上学期数学期末考试试题

高二数学第一学期期末联考

一、选择题（每小题 5 分，共 8 小题，共 40 分）

z

1．复数

A ．0

12i 1i

i ，则 z

（ ）

B ．

C ．1

D ．

2．已知等差数列

a

n

的公差为 2，前

项和为 ，且

，则 a 8

的值为（ ）

A ．16

B ．15

C ．14

3．下列叙述中正确的是（ ）

D ．13

A ．若

a ,

b ,

c R

，则“

x R , ax

2

bx c 0

”的充分条件是“ b 2 4a c 0 ”

B ．若

a ,

b ,

c R

，则“ ab 2

cb

2

”的充要条件是“ a c ”

C ．命题“

x R , x

”的否定是“

x R , x

2

”

D ．

a

n

是等比数列，则 0

q 1是

a

n

为单调递减数列的充分条件

x 2 y 2

4．已知直线 2 2 x y 4 2 0 经过椭圆

1( a b 0) a 2 b 2

的左焦点

F 1

，且与椭

圆在第二象限的交点为 M ，与 y 轴的交点为 N ， F 是椭圆的右焦点,且 2

则椭圆的方程为（ ）

MN

M F 2

，

x 2

y 2

A ．

1

40 4

x 2 B ．

y 5

2

1

x 2

C ． y 10

2

1

x 2 y 2 D ．

1

9 5

5．如图所示，在长方体 ABCD －A B C D 中，AD ＝AA ＝2，AB ＝4，点 E 是棱 AB 的中

1 1 1 1 1

点，则点 E 到平面 ACD 的距离为（ ）

1 A ．

1 C ． 3

6．已知 ，

，则

是

2 B ．

3

D ． 2

的（

）

A ．充分不必要条件 C ．充要条件

B ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

7．已知函数

是定义在 R 上的偶函数，当

x 0

时，

xf '(x ) f ( x ) ，若

，则不

2

等式x f(x)0的解集为（）

A．或B．或C．或D．或

8．过双曲线x2y2

1

a2b2

的左焦点作圆x2y2a2的切线，切点为，延长交

抛物线y24cx于点，若F E

11

2

F P

1

，则双曲线的离心率是（）

A．1 5

1

B．

1 3

1

C．

35

2

D．

5

2

二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）

x2y2

9．已知方程1

5k42k

表示椭圆，则的取值范围为__________.

10．设公比为的正项等比数列的前项和为，且，若

，则__________.

11．在正四面体P ABC中，棱长为2，且E是棱

uur uuur

中点，则P E BC的值为__________.

12．已知，，且11b

1，则4a 2b

a b a

的最小值等于__________.

13．设抛物线y22px（p 0）的焦点为F，准线为l.过焦点的直线分别交抛物线于A,B

两点，分别过A,B作l的垂线，垂足为C,D.若AF 3BF

为3，则的值为___________.

，且三角形C DF的面积

14．已知函数f(x)e

x

x

3

3k ln x k(1x)，若x 3是函数唯一的极值点，则实数的

取值范围为__________.

三、解答题（共6小题，共80分）

15．（13分）数列的前项和为，已知a 1，(2n 1)a1

n 1(2n 3)S

n

.其中n N*

S

（Ⅰ）证明：数列是等比数列；

2n 1

（Ⅱ）求数列

S

的前

n

项和. p

n

16．（13分）已知函数f(x)ln(x a)x2x在x 0处取得极值.（Ⅰ）求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（Ⅱ）若关于的方程f(x)5

2

x b在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取

值范围.

17．（13分）在如图所示的多面体中，E A 平面ABC，DB 平面ABC，AC B C，且AC BC BD 2A E 2，M是AB的中点.

（Ⅰ）求证：CM E M；

（Ⅱ）求平面EMC与平面BCD所成的二面角的正弦值；

（Ⅲ）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与

平面EMC所成的角是60.若存在，指出点N的位置；

若不存在，请说明理由.

18．（13分）已知数列

a

满足

n

a

1

1，a

n 1

1

1

4a

n

，其中n N*

（Ⅰ）设b

n

2

2a 1

n

，求证：数列

b是等差数列，并求出

n

a的通项公式；

n

（Ⅱ）设c

n 4a

n

n 1

，数列cc

n n

2

的前n项和为T，是否存在正整数m，使得T

n n

1

c c

m m 1

对于n N*恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.

19．（14分）已知椭圆C：x2y2

1(a b 0)

a2b2

的离心率e

1

2

，左顶点为A

4,0

，

过点A作斜率为k k 0的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.O点为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k k 0都

有OP E Q，若

m

存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；

（Ⅲ）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求

OM

AD A E的最大值.

20．（14分）已知函数f(x)ln x 2x ax2，a R.

（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；

（Ⅱ）设g(x)f(x)(a 4)x，试讨论函数g(x)的单调性；

（Ⅲ）当时，若存在正实数满足f(x)f(x)3x x x x

121212

，求证：

x x 121 2 .

高二数学参考答案

1．D

2．B 3．C

4．D 5．B 6．A

7．C 8．A

9．

5 k

2且k

1 3

10．2 11．1

12．6

4 3

13．

6

2

14．k

e 3

27

15．

（Ⅰ）证明：∵

∴

， 又 ，∴

，∴

，

，

∴数列

是以 1 为首项，2 为公比的等比数列.…………… …………… 6 分

（Ⅱ）由（1）知，

，

∴

，

∴

①-②得

，①

. ②

∴

16．

，

.

…………… …………… 7 分

（Ⅰ）

故

解得

时，

.经检验

取得极值，

符合题意。

Q

f (1) ln 2 2

f ' ( 1

)

5 2

切线方程为：5x 2 y 12ln 2 0

…………… …………… 6 分

（Ⅱ）由

得

令

知，

则

等价于

在上恰有两个不同的实数根，

上恰有两个不同实数根.

当

当

时，

时，

，于是

，于是在

上单调递增；

上单调递增；

依题意有

解得.…………………………7分

17．（Ⅰ）证明：∵AC BC，M是AB 的中点，∴CM A B，

又EA 平面ABC，∴CM E A，∵

EA AB A，∴C M 平面AEM，

∴CM E M．…………………………3分

（Ⅱ）以M 为原点，分别以MB，MC为x，y轴，如图建立坐标系M xyz．则：M 0,0,0，C 0,2,0，B 2,0,0，D 2,0,2，E 2,0,1，

ME 2,0,1，MC 0,2,0，BD 0,0,2，BC 2,2,0，

2x z 0

设平面EMC的一个法向量m x,y,z，则：{

2y 0

1

取，，z 2，所以m 1,0,2，

111

，

设平面DBC的一个法向量n x,y,z

222

，则：

{

2x 2y 0,

22

2y 0,

2

取x 1

1

，y 1

1

，z 0，所以n

1

1,1,

，

11

111

x 1y 0

cos m n m n16 m n236

．

故平面EMC与平面BCD所成的二面角的正弦值为30

6

．…………………………5分

（Ⅲ）在棱DC上存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角是60，

设N x,y,z 且DN DC，01，

∴，

∴x 22，y 2，z 22，∴M N 22,2,2

2

，

若直线MN与平面EMC所成的的角为60，则：

cos MN,m

22222

32

12241

sin60

3

2，

解得1

2

，

所以在棱DC上存在一点N，使直线MN与平面EMC所成的角是60，

点N为棱DC的中

点．18．（Ⅰ）证明：

…………………………5分

b b n 1n

22224a2

n 2 2a 12a 112a 12a 12a 1

n 1n211n n n

，

所以数列

b

n

是等差数列，

a 1,

b 2，因此b 2

n 122n11n，

由b

n

2

2a 1

n

a

n

n 1

2n.…………………………6分

（Ⅱ）由c

n 2

n

c c

n n 2

n

4

n

2

1

1

2(

n n 2

x 2,y,z 22,2,2

22

4a

n n

n

)，

所以

1111111

T 21

324n 1n 1n n 2

，

所以T 21111

2

n 1n 2

，

因为 n N ，所以

T

3 n

恒成立，

依题意要使

T

n

1

c c

m

m 1

对于 n N

*

，恒成立，只需

m

m 14

3

，且

m 0

解得

m 3

，

m

的最小值为 3

.

…………… …………… 7 分

19．（Ⅰ）∵左顶点为

A

4,0

∴

a 4

又∵

e

1

2

∴

c

2

又∵ b

2

a 2

c 2

12

∴椭圆

C

的标准方程为

x 2 y 2

1 16 12

．…………… ……3 分

（Ⅱ）直线 l

的方程为

y

k x 4

，由

x 2

y 2 1 { 16 12 y k

x 4 消元得

x 2

k x 416

12 2

1

化简得，

x 4

4k 23x 16k 212

，则 x

4, x

1

2

16k 2 12

4k 2 3

当 x

16k 2 12 4k 2 3

时，

y k

16k 2 12 24k 4 4k 2 3 4k 2 3

，

16k 2 12 24k

D

，

4k 2 3 4k 2 3

∵点 P 为 AD 的中点

∴点 P 的坐标为 16k 2 12k ， 4k 2 3 4k 2 3

，则

k

op

3 4k

k 0

.

直 线 l

的 方 程 为

y

k x 4

， 令

x 0

， 得 点 E 的 坐 标 为

0，4k

， 假 设存 在 定 点

Q

m ,n

m 0使得OP EQ ,则 k k

1 OP EQ

，即

3 n 4k

4k m

1

恒成立，

∴

4m 12

k 3n 0

恒成立

∴

{ 4

m 12 0 3n 0

∴

即{m -3 n 0

∴定点Q的坐标为3，

. …………………………5分（Ⅲ）∵OM//l

∴

OM

的方程可设为 y kx ，由

{

x 2

y 2

1

16 12 得 M 点的横坐标为 y kx

x

4 3 4k 2 3

由

OM l

，得

16k 2 12

AD AE x x x

x

x 2 x

2 1 4k 2

D A

OM

x x 4 3 3 4k M

M

4k 2 3

9 2 3

1

4k 3

2

3

6 4k 2

3

2 2 ，

当且仅当

6 4k 2

3

4k

2

3

即 k

3

2

时取等号，

AD A E

∴当 k

时， 的最小值为 2

2 ． 2

OM

所以，原式最大值为

2

4

…………… …………… 6 分

20．（Ⅰ）解：因为

f ( x ) ln x 2 x ax

2

，所以

f '( x )

1 x

2 2a x

，

因为

所以

在

处取得极值， f '(1) 1 2

2a 0 ，解得 a

3

2

．

验证：当

a 3 2

时，

在 处取得极大值．

…………… …………3 分

（Ⅱ）解：因为 所以

g ( x ) f ( x ) (a 4) x

ln x ax 2 (a 2) x

．

①若

，则当

时，

，所以函数

在

上单调递增；

当

时，

， 函数

在

上单调递减．

②若

，

，

当

时，易得函数

在

和

上单调递增，

8 4k 3

D A

E A

3

在上单调递减；

当时，恒成立，所以函数在上单调递增；

当时，易得函数在和上单调递增，

在上单调递减．…………………………5分

（Ⅲ）证明：当时，f(x)ln x 2x ax2，

因为f(x)f(x)3x x x x

121212

，

所以，

即，

所以．

令，，

则，

当时，，所以函数在上单调递减；

当时，，所以函数在上单调递增．

所以函数所以在

，

时，取得最小值，最小值为．

即

因为当为正实数，所以

时，

，所以

．

，此时不存在

或．

满足条件，

所以．…………………………6分