【必考题】高一数学下期末试题及答案

【必考题】高一数学下期末试题及答案

一、选择题

1．已知集合{

}

22

(,)1A x y x y =+=，{}

(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为

（ ） A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

2．

某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6?

D ．k ＞7?

3．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，

()()1AQ AC λλ=-∈R ，若3

2

BQ CP ?=-，则λ=（ ）

A ．

12

B ．

12

2

± C ．

110

2

± D ．

32

2

± 4．已知数列{}n a 的前n 项和2

2n S n n =+，那么它的通项公式是（ ）

A ．21n a n =-

B ．21n a n =+

C ．41n a n =-

D ．41n a n =+

5．已知{}n a 的前n 项和2

41n S n n =-+，则1210a a a ++

+=（ ）

A ．68

B ．67

C ．61

D ．60

6．在ABC 中，已知,2,60a x b B ===，如果ABC 有两组解，则x 的取值范围是( )

A ．4323?? ? ???，

B ．323????

，

C ．4323????

，

D ．32,

3? ??

7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

A ．20

B ．10

C ．30

D ．60

8．已知()20191

1,0

2log ,0x x f x x x ?+≤

?=??>?

，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得

()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)

B ．[-2,0)

C ．(]2,0-

D ．（0,1）

9．已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线

:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于

4

5

，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．3(0,

] B ．3(0,]4

C ．3[

,1)2

D ．3[,1)4

10．与直线40x y --=和圆2

2

220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()2

2

112x y +++= B ．()()2

2

114x y -++= C ．()()2

2

112x y -++=

D ．()()2

2

114x y +++=

11．在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面

1ACC A 所成角的大小为（ ）

A ．30

B ．45

C ．60

D ．90

12．如图，在△ABC 中, 1

3AN NC =,P 是BN 上的一点,若29

AP m AB AC ??→??→??→=+,则实

数m 的值为( )

A ．

B ．

C ．

19

D ．

二、填空题

13．若三点1

(2,3),(3,2),(

,)2

A B C m --共线，则m 的值为 ． 14．设a ，b ，c 分别为ABC ?内角A ，B ，C 的对边.已知

233cos cos a b c

B C

=

，则222

a c

b ac

+-的取值范围为______. 15．已知0,0,2a b a b >>+=，则14

y a b

=

+的最小值是__________． 16．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =4

5

，cos C =513，a =1，则

b =___.

17．已知数列{}n a 满足1121,2n n a a a n +==+，则

n

a n

的最小值为_______. 18．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（?∞，0）上单调递增.若实数a 满足f

（2|a-1|）＞f （2-），则a 的取值范围是______.

19．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为____________．

20．已知复数z x yi =+，且23z -y

x

的最大值为__________． 三、解答题

21．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，且2AE EB =，M 是线段CE 上一动点. （1）若M 是线段CE 的中点，AM mAB nAD =+，求m n +的值； （2）若9,43AB CA CE =?=，求()

2MA MB MC +?的最小值. 22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 点为圆心的圆

22:1412600M x y x y +--+=及其上一点(4,2)A .

（1）设圆N 与y 轴相切，与圆M 外切，且圆心在直线6y =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点且BC OA =，求直线l 的方程. 23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项．数列{}n b 中，12b =，点()1,n n P b b +在直线2y x =+上． （1）求1a 和2a 的值；

（2）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（3）设n n n c a b =?，求数列{}n c 的前n 项和n T ．

24．已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .

25．等比数列{}n a 的各项均为正数，且2

12326231,9a a a a a +==.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设 31323log log ......log n

n b a a a =+++，求数列1n b ??

?

???

的前n 项和n T . 26．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)0,0.5,0.5,1,...,[)4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图中a 的值；

（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【解析】

试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆

221x y +=与直线y x =相交于两点,22? ??，22??

-- ? ??

?，则A B 中有2个元素.故选B.

【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

2．A

解析：A 【解析】

试题分析：由程序框图知第一次运行112,224k S =+==+=，第二次运行

213,8311k S =+==+=，第三次运行314,22426k S =+==+=，第四次运行4154,52557k S =+=>=+=，输出57S =，所以判断框内为4?k >，故选C.

考点：程序框图.

3．A

解析：A 【解析】 【分析】

运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】

∵BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，

∴()()

BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ?=+?+=?-?-?+?

()()22

11AB AC AB AC AB AC λλλλ=?---+-?

()()232441212222

λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴1

2λ=.

故选：A. 4．C

解析：C 【解析】

分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，

当2n ≥时，2

2

1(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -??=-=+--+-=-??， 且当1n =时：1414113n a -=?-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.

5．B

解析：B 【解析】 【分析】

首先运用11,1,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可

得到答案． 【详解】

当1n =时，112S a ==-；

当2n ≥时，()

()()2

2

141141125n n n a S S n n n n n -??=-=-+----+=-??

， 故2,1

25,2n n a n n -=?=?

-≥?

；

所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，

()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S ++

+=-+++++=-=-?-=.

故选：B ． 【点睛】

本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.

6．A

解析：A 【解析】 【分析】

已知,,a b B ，若ABC 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围. 【详解】

由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ?<<，解得43

2x <<.故选A. 【点睛】

本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或

b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 7．B 解析：B 【解析】 【分析】

根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果. 【详解】

由三视图可得几何体直观图如下图所示：

可知三棱锥高：4h =；底面面积：1155322

S =

??= ∴三棱锥体积：1

115

410332

V Sh ==?

?= 本题正确选项：B 【点睛】

本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.

8．C

解析：C 【解析】 【分析】

画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案.

【详解】

()20191

1,

02log ,0x x f x x x ?+≤?=??>?

，画出函数图像，如图所示：

根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .

【点睛】

本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.

9．A

解析：A 【解析】

试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，

2a =，设(0,)M b ，则45b d =

，所以

44

55

b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又22224

c a b b =-=-，所以03c <≤3

0c a <

≤

．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．

【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．

10．C

解析：C 【解析】

圆2

2

220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-2，过圆心()1,1-与直线

40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直

线40x y --=的距离为

322

=，则所求圆的半径为2，设所求圆的圆心为

(),a b ，且圆心在直线40x y --=的左上方，则

4

22

a b --=，且0a b +=，解得

1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为

()()

2

2

112x y -++=.

故选C ．

【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．

11．A

解析：A 【解析】 【分析】

由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ，求得1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，在1BC O ?中，即可求解． 【详解】

由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ,

因为正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1， 所以1,BO AC BO AA ⊥⊥，

因为1AC AA A ?=，所以BO ⊥平面11ACC A ， 所以1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角， 因为222113131(),(2)()222

BO C O =-=

=+=， 所以1133

2tan 32

BO BC O OC ∠===

， 所以0

130BC O ∠=，1BC 与侧面11ACC A 所成的角030．

【点睛】

本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题．

12．C

解析：C 【解析】 【分析】

先根据共线关系用基底AB AC

→→

，表示

AP

→

，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数m

的值. 【详解】

如下图，∵,,B P N 三点共线，∴

，∴，即

,

∴

①,又∵1

3

AN NC =

，∴，

∴28=99

AP m AB AC m AB AC →

→

→

→

→

=++②，

对比①，②，由平面向量基本定理可得：．

【点睛】

本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.

二、填空题

13．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：

12

【解析】

试题分析：依题意有AB AC k k =，即

53

152

2

m --=

+，解得12m =. 考点：三点共线．

14．【解析】【分析】把已知式用正弦定理化边为角由两角和的正弦公式和诱导公式化简可求得即角从而得角的范围注意由余弦定理可得结论【详解】因为所以所以即又所以则因为所以而故故答案为：【点睛】本题考查正弦与余弦

解析：()

()0,2

【解析】 【分析】

把已知式用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求得cos C ，即

C 角，从而得B 角的范围，注意2

B π

≠

，由余弦定理可得结论．

【详解】

=

，所以(

)

()2cos cos cos cos 0a C B B C =?≠，

所以(

)

2sin cos cos A B C C B =，

即(

)2sin cos A C C B A +=，又sin 0A >

，所以cos 2

C =， 则6

C π

=

，因为cos 0B ≠，所以50,

,226B πππ????

∈ ? ??

??

?

， 而2222cos a c b B ac +-=，故(

)

()2220,2a c b ac

+-∈.

故答案为：()

()0,2．

【点睛】

本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力.本题是一个易错题，学生容易忽略

cos B 不能等于0.

15．【解析】分析：利用题设中的等式把的表达式转化成展开后利用基本不等式求得y 的最小值详解：因为所以所以（当且仅当时等号成立）则的最小值是总上所述答案为点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情

解析：

92

【解析】 分析：利用题设中的等式，把y 的表达式转化成14

()()2a b a b

++，展开后，利用基本不等式求得y 的最小值.

详解：因为2a b +=，所以

12

a b

+=，所以14145259()()222222

a b b a y a b a b a b +=

+=+=++≥+=（当且仅当2b a =时等号成立），则14

y a b =

+的最小值是92，总上所述，答案为92

. 点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算.

16．【解析】试题分析：因为且为三角形的内角所以又因为所以【考点】正弦定理两角和差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信 解析：

2113

【解析】

试题分析：因为45

cos ,cos 513

A C =

=，且,A C 为三角形的内角，所以312

sin ,sin 513

A C ==，

63

sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65

B A

C A C A C A C π=-+=+=+=

，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13

a B

b A ==. 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式

【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

17．【解析】【分析】根据递推公式和累加法可求得数列的通项公式代入中由数列中的性质结合数列的单调性即可求得最小值【详解】因为所以从而…累加可得而所以则因为在递减在递增当时当时所以时取得最小值最小值为故答案

解析：

41

5

. 【解析】 【分析】

根据递推公式和累加法可求得数列{}n a 的通项公式.代入n

a n

中,由数列中*n N ∈的性质,结合数列的单调性即可求得最小值. 【详解】

因为12n n a a n +=+,所以12n n a a n +-=, 从而12(1)(2)n n a a n n --=-≥ …,

3222a a -=? 2121a a -=?,

累加可得12[12(1)]n a a n -=?++???+-,

2(1)22

n n

n n -=?

=- 而121,a =

所以2

21n a n n =-+,

则221211n a n n n n n n

-+==+-, 因为21

()1f n n n

=+-在(0,4]递减,在[5,)+∞递增 当4n =时,338.254

n a n ==, 当5n =时,

418.25n a n ==, 所以5n =时n a n 取得最小值,最小值为

41

5. 故答案为:41

5

【点睛】

本题考查了利用递推公式及累加法求数列通项公式的方法,数列单调性及自变量取值的特征,属于中档题.

18．【解析】【分析】【详解】由题意在上单调递减又是偶函数则不等式可化为则解得

解析：13

(,)22

【解析】 【分析】 【详解】

由题意()f x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 是偶函数，

则不等式1

(2

)(a f f ->可化为1

(2

)a f f ->，则12a -<1

12

a -<

，解得1322

a <<．

19．x －y ＋2＝0【解析】【分析】设直线l 方程为y ＝kx+b 由题意可得圆心C1和C2关于直线l 对称利用得k 由C1和C2的中点在直线l 上可得b 从而得到直线方程【详解】由题意可得圆C1圆心为（00）圆C2的

解析：x －y ＋2＝0 【解析】 【分析】

设直线l 方程为y ＝kx +b ，由题意可得圆心C 1和C 2关于直线l 对称，利用121C C l k k ?=-得k,由C 1和C 2的中点在直线l 上可得b ，从而得到直线方程． 【详解】

由题意可得圆C 1圆心为（0，0），圆C 2的圆心为（﹣2，2）， ∵圆C 1：x 2+y 2＝4和圆C 2：x 2+y 2+4x ﹣4y +4＝0关于直线l 对称， ∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线l 对称，设直线l 方程为y ＝kx +b ， ∴

2020k ---＝﹣1且022+＝k ?

02

2

-+b ， 解得k ＝1，b ＝2，故直线方程为x ﹣y ＝﹣2， 故答案为：x －y ＋2＝0． 【点睛】

本题考查圆与圆关于直线的对称问题，可转为圆心与圆心关于直线对称，属基础题．

20．【解析】【分析】根据复数z 的几何意义以及的几何意义由图象得出最大值【详解】复数且复数z 的几何意义是复平面内以点为圆心为半径的圆的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为故答案为： 解析：

【解析】 【分析】

根据复数z 的几何意义以及y

x

的几何意义，由图象得出最大值. 【详解】

复数z x yi =+且23z -=z 的几何意义是复平面内以点(2,0)3为半径的圆2

2

(2)3x y -+=.

y

x

的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率

由图可知：max

331y x ??== ??? 即

y

x

3 3【点睛】

本题主要考查了复数的几何意义的应用，属于中档题.

三、解答题

21．（1）43；（2）754

- 【解析】 【分析】 【详解】

（1）因为M 是线段CE 的中点， 所以()

11112222

AM AC AE AD AB AE =

+=++ 112151

223262

AB AB AD AB AD =

+?+=+， 故514

623

m n +=

+=. （2）1,3

CA AB AD CE CB BE AD AB =--=+=--

2211

4()33

3CA CE AB AD AD AB AB AB AD AD ???=--?--=+?+ ???

221

3

AB AD =

+

2222

1194333

AB AD AD +=?+= ||4, 4AD AD BC =?==

故5CE =；

设ME t =，则()505MC t t =-≤≤，

()()222MA MB MC ME EA ME EM MC +?=+++?

()()33535ME MC t t t t =?=--=-

为二次函数开口向上，故最小值在对称轴处取得，即52t =时，()

75

24

MA MB MC +?=-. 所以()

2MA MB MC +?的最小值为75

4

-

. 22．（1）22

(1)(6)1x y -+-=（2）2150x y -+=或250x y --=.

【解析】 【分析】

（1）根据由圆心在直线y =6上，可设()0,6N x ，再由圆N 与y 轴相切，与圆M 外切得到圆N 的半径为0x 和0075-=+x x 得解.

（2）由直线l 平行于OA ，求得直线l 的斜率，设出直线l 的方程，求得圆心M 到直线l 的距离，再根据垂径定理确定等量关系，求直线方程. 【详解】

（1）圆M 的标准方程为22

(7)(6)25-+-=x y ，所以圆心M （7，6），半径为5,.

由圆N 圆心在直线y =6上，可设()0,6N x 因为圆N 与y 轴相切，与圆M 外切 所以007<

所以圆N 的标准方程为2

2

(1)(6)1x y -+-=. （2）因为直线l 平行于OA ，所以直线l 的斜率为201

402

-=-. 设直线l 的方程为1

2

y x m =

+，即220x y m -+= 则圆心M 到直线l 的距离

=

=d

因为===BC OA

而2

2

2

2??=+ ???

BC MC d 所以2

(25)2555

-=+m

解得152

m = 或52m =-.

故直线l 的方程为2150x y -+=或250x y --=.

【点睛】

本题主要考查了直线方程，圆的方程，直线与直线，直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题.

23．（1）12a =，24a = （2）2n

n a =，2n b n = （3）()2124n n T n +=-+

【解析】 【分析】

（1）根据题意得到22n n a S =+，分别令1n =，2n =，得到1a ，2a ；（2）当2n ≥时，1n n n a S S -=-，再验证1n =时，得到n a 的通项，根据点()1,n n P b b +在直线

2y x =+上，得12n n b b +=+，得到n b 为等差数列，从而得到其通项；（3）根据

n n n c a b =?，得到n c 的通项，然后利用错位相减法，得到前n 项和n T .

【详解】

解：（1）由22n n a S =+

当1n =时，得1122a S =+，即1122a a =+，解得12a =； 当2n =时，得2222a S =+，即21222a a a =++，解得24a =. （2）由22n n a S =+…① 得1122n n a S --=+…②；（2n ≥） 将两式相减得1122n n n n a a S S ---=-， 即122n n n a a a --=， 所以()122n n a a n -=≥， 因为120a =≠，所以10n a -≠，

所以()1

22n

n a n a -=≥， 所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，

所以1112222n n n

n a a --==?=.

数列{}n b 中，12b =，点()1,n n P b b +在直线2y x =+上， 得12n n b b +=+，

所以数列{}n b 是首项为2，公差为2的等差数列， 所以()2212n b n n =+-=.

（3）1

2n n n n c a b n +==?，

所以()2

3

4

1

122232122

n

n n T n n +=?+?+?+???+-?+?

()345122122232122n n n T n n ++=?+?+?+???+-?+?

上式减下式得

23412122222n n n T n ++-=?+++???+-?

()22212212

n n n +-=

-?-

22242n n n ++=--?

所以()2

124n n T n +=-+.

【点睛】

本题考查由n a 和n S 的关系求数列通项，等差数列基本量计算，错位相减法求和，属于中档题.

24．（1）2n

n a =（*n N ∈）；（2）()1

6232

n n T n +=+-．

【解析】 【分析】

（1）根据等比数列通项的性质求出34,a a 的表达式，利用等差中项列方程求得公比，然后求得数列的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得数列{}n n a b 的前n 项和n T 【详解】

解：（1）设数列{}n a 的公比为，

因为24a =，所以34a q =，2

44a q =．

因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+． 即()2

24244q q +=+，化简得2

20q q -=．

因为公比0q ≠，所以2q ．

所以2

22422n n n n a a q

--==?=（*n N ∈）． （2）因为2n

n a =，所以22log 121n n b a n =-=-．

()212n n n a b n =-．

则()()2

3

1

123252232

212n n n T n n -=?+?+?+???+-+-，①

()()23412123252232212n n n T n n +=?+?+?+???+-+-.②

①－②得，

()2312222222212n n n T n +-=+?+?+???+?--

()()()11141222212623212

n n n n n -++-=+?

--=----，

所以()1

6232n n T n +=+-．

【点睛】

本小题主要考查等比数列基本量的计算，等比数列通项公式的求解，考查等差中项的性质，考查错位相减求和法求数列的前n 项和，属于中档题. 25．（1）13n n a = （2）21

n n -+ 【解析】

试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q ，由2

3269a a a =，利用等比数列的通项公式化简

后得到关于q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简12231a a +=，把求出的q 的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q 写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，利用对数的运算性质及等差数列的前n 项

和的公式化简后，即可得到bn 的通项公式，求出倒数即为1

n b 的通项公式，然后根据数列

的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{1

n

b }的前n 项和

试题解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由2

3a ＝9a 2a 6得2

3a ＝92

4a ,所以q 2＝

19

． 由条件可知q ＞0,故q ＝

13．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13

． 故数列{a n }的通项公式为a n ＝1

3

n ．

（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－

()2

1n n +．

故()1211211n b n n n n ??=-=-- ?++??． 12

111

1111

122122311n n b b b n n n ????????+++

=--+-++-=- ? ? ???++????

????

所以数列1n b ??????

的前n 项和为21n

n -+

考点：等比数列的通项公式；数列的求和 26．（1）0.3；（2）3.6万；（3）2.9. 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（1）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（2）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（3）问，将前6组的频率之和与前5组的频率之和进行比较，得出2.5≤x<3，再估计x的值.

试题解析：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，

同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．

由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，

解得a=0.30．

（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．

由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为

300 000×0.12="36" 000．

（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，

而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，

所以2.5≤x<3．

由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，

解得x=2.9．

所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．

【考点】

频率分布直方图

【名师点睛】

本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．