电磁场与电磁波复习资料

电磁场与电磁波期末复习资料

第一章

一、在直线坐标系中，过空间任意一点P （X 0，Y 0，Z 0）的三个互相正交的坐标单位矢量e x ，e y ，e z 分别是x ，y ，和z 增加的方向，且遵循右手螺旋法则：e x ×e y =e z 、e y ×e z =e x ，e z ×e x =e y

二、A 与B 的点积为：A ·B = (e x A x +e Y A y +e z A z )·(e x B x +e y B y +e z B z ) = A X B X + A Y B Y +A Z B Z

三、A 与B 的叉积为：

A X

B = (e x Ax+e y A y +e z A z ) X (e x B x +e y B y +e z B z )

=e x (A y B Z -A Z B Y ) + e y (A Z B X - A X B Z ) + e z (A X B Y - A Y B X )

= x e y z x

y x

Y

Z e e A A Az B B B ?? ? ?

???

四、场的一个重要属性是他占有一个空间，他把物理状态作为空间和时间的函数来描述，

而且，在此空间区域中，除了有限个点或某些表面外，该函数是处处连续的。若物理状态与时间无关，则为静态场；反之，则为动态场或时变场。 五、直角坐标系中梯度的表达式为：x y z u u z

grad u e e e x y y

???=++??? 六、哈密顿算符“?”，在直角坐标系中： x

y z e e e x y z

????=++??? 七、哈密顿算符?表示标量场的梯度u ： ()x

y z grad u e e e u u x y z

???=++=???? 例 1.3.1已知R = ，R = |R

|。证明：

（1）R

R R ?=

； （2）3

1()R R R

?=- ； （3）()'()f R f R ?=-?。 其中：x

y z e e e x y z ????=++???表示对x 、y 、z 的运算，''''

x y z e e e x y z ???

?=++???， 表示对x ’、y ’、z 的运算。

(')(')(')x y z e x x e y y e z z -+-+-

八、散度在直角坐标系中的表达式：

·lim

S

v F dS

Fx Fy Fz

div F V

x y z

?→???==

++?????

利用算符?，可将div F 表示为：

x y z x y z e e e

A x y z F F F ?????=

???q ?0

V V EdV dV ρε?=?? (

)()x

y

z

x

x y

y z

z d i v F e e e e F

e F

e F F

x y z

?

??=++++=?

??? 九、利用哈密顿算符，可将rot F 表示为：

()()x

y z x x y y z z rot F e e e e F e F e F A x y z

???=++?++=????? 上式亦可写成：

十、()()()()0()0

uA u A u A u A ??=??+?????≡???≡ 梯度的旋度恒等于0，旋度的散度恒等于0。

十一、矢量场的散度和旋度都是表示矢量场的性质的量度，一个矢量场所具有的性质，可由他的散度和旋度来说明。而且，可以证明：在有限的区域V 内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件（即限定区域V 的闭合面S 上的矢量场的分布）唯一的确定，且表示为： ()()()F r u r A r =-?+??

十二、亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，其意义是非常重要的。分析矢量场时，总是从研究它的散度和旋度着手，得到的散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本方程的微分形式；或者从矢量场沿闭合曲面的通量和闭合路径的环流着手，得到矢量场的基本方程的积分形式。

重要题目：第一章：1、23见附录

第二章

1、电流是由电荷做定向运动形成的，通常用电流强度来描述其大小，设在?t 时间内通过某一截面S 的电荷量为 ，则通过该截面S 的电流强度定义为：

0lim q t t

d q i t d ?→?==? J V ρ= J E δ=

2、对0E ρε?=

的两边取体积分，则有: 而

V

S

EdV E dS ?=?

?

故得：

01

S

V

E dV dV ρε=

?

?

3、微分算符?对场点坐标r 求导，与源点坐标r ’无关，故可将算符?从积分号中移出，即：

1(')

()[

']4V

r E r dV R ρπε=-??

，对左式两边取旋度，即：

1(')

()[

']

4V

r E r dV R

ρπε??=-????

上式左边括号内是一个连续标量函数，而任何一个标量函数的梯度再求旋度时恒等于0，故上式右边恒等于0，则得：0E ??= 此结果表明静电场是无璇场。

将上式对任意曲面求积分，并利用斯托克斯定理=S

C

E dS E dl ???? ，得：

0C

E dl =?

上式表明，在静电场E 中，沿任一闭合路径C 的积分恒等于0，其物理含义是将单位正电荷

沿静电场的任意一个闭合路径移动一周，电场力不做工。 4、利用散度定理

S

S

FdV F dS ?=?? ，由式()0B r ?= 得：

()()0S

V

B r dS B r dV =?=??

5、安培环路定理的微分形式：0()()r B r J μ??= 两端取积分：

00()()S

S

B r dS J r dS I μμ??==??

应用斯托克斯定理：

()()S

C

B r dS B r dl ??=?? ，上式为：0

()C

B r dl I μ=?

6、电位移矢量和电介质中的高斯定理：()D r ρ?=

7、电介质的本质关系：000()()()(1)()=()=()e e r D r E r E r E r E r E r εχχεεεε=+=+ 8、磁场强度和磁介质中的安培环路定理：将真空中的安培定理推广到磁介质中，得：

0=()M B J J μ??+

将M J M =??代入上式，得0

()

[

()]B r M r J μ??-=引入磁化效应的物理量，磁场强度H ：

B

H M μ=

-则上上上上式变为()H r J ??=，磁场强度单位为A/m （安培/米）

例题：2、4、4见附录

9、麦克斯韦方程组的微分形式：0

D

H J t

B

E t

B D ρ

???=+

????=-???=??=结构方程：D E

B H J E εμσ===代入微分形式得：

E H H E E t

t H H σεμ

ρε

????=+??=-???=?=

10、理想导体表面的上的边界条件：

111100

n s n n n e H J e E e B e D s

ρ?=?===

11、理想介质表面上的边界条件：

1212121212121212()00

()00()00()00

n t t n t t n n n n n n e H H H H e E E E E e B B B B e D D D D ?-=-=?-=-=?-=-=?-=-=或或或或

第三章

1、电位和电位差：电场强度矢量E 可以表示为标量函数?的梯度，即： ()()E r r ?=-?

2、静电位的微分方程：在均匀、线性和各向同性的电介质中，ε是一个常数。因此将

()()E r r ?=-?代入()()D r r ρ?= 中，得： ()()()()D r E r r r εε?ρ?=?=-??=

故得：2

()

()r r ρ?ε

?=-

即静电位满足标量泊松方程。若空间内无自由电荷分布，即0ρ=，则()r ?满足拉布拉斯方程：2()0r ??= 3、静电场能量密度:12e V W E DdV =? 电场不为零的空间： 2

1122

e w D E E ε== 例题3.1.6见附录

4、磁场能量密度：对空间：12m V W H BdV =? ,密度为22111

222

e B w B H H μμ===

5、唯一性定理：唯一性定理具有非常重要的意义，首先，它指出了静态场边值问题具有唯一解的条件，在边界S 上的任一点只需给定?或

n

?

??的值，而不能同时给定两者的值。其次，唯一性定理也为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据，为求解结果的正确性提供了判据。

6、镜像法:镜像法的基本思想，是在所研究的场域以外的某些适当的位置上，用一些虚设的电荷（称为镜像电荷）等效替代导体表面的感应电荷或介质分界面上的极化电荷。这样就把原来的边值问题的求解转换为均匀无界空间的问题来求解。 镜像电荷确定应遵循以下两条原则：

①所有镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间中

②镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足场域边界上的边界条件来确定。

第四章

1、电场和磁场都具有能量，在线性、各向同性的媒介中，电场能量密度w e 与磁场能量密度

w m 分别为：1

1

2

2e m w E D w H B =

=

，在时变磁场中，电磁场能量密度w e 与磁场能量密度w m 分别为：11

22

e m w w w E D H B =+=+ 当场随时间变化时，空间个点的电磁场

能量密度也要随时间变化，从而引起电磁能量流动。为了描述能量流动的流动状况，引入了能流密度矢量，其方向表示能量的流动方向，其大小表示单位时间内穿过与能量流动方向相垂直的单位面基的能量，能流密度矢量又称为坡印停矢量，用S 表示。

2、电磁能流密度矢量S ：S E H =?

3、内外导体之间任意横界面上的坡印廷矢量为： 2[]()ln(/)22ln(/)

z

U I UI

S E H e e e b a b a ρ

φρπρπρ=?=?= 4、亥姆霍兹方程：222200H k H E k E ?+=?+=

5

、

平

均

能流密度

矢

量

（

平

均

坡

印

廷

矢

量

）：

2/2**0

111

{Re[]Re[]}Re[]2222

j t av S E He E H dt E H πωωω

π

=

?+?=??

其中*表示共轭。 第五章

1、平面波的定义：所谓的均匀平面波，是指电磁波的场矢量只沿着它的传播方向，变化，

在与波传播方向垂直的无限大平面内，电场强度E 和磁场强度H 的方向，振幅和相位保持不变。

2、理想介质中的均匀平面波传播特点归纳于下：

①电场E 、磁场H 和传播方向e z 之间相互垂直，是横电磁波（TEM 波）； ②电场和磁场的振幅不变；

③波阻抗为实数，电场和磁场同相位； ④电磁波的相速和频率无关；

⑤电场能量密度等于磁场能量密度。

3、电磁波极化的概念:电磁波极化是电磁理论中的一个重要概念，他表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变化的特性，并用电场强度矢量的端点随时间变化的轨迹来描述。若该轨迹是直线，则成为直线极化；若轨迹是园，则称为圆极化；若轨迹是椭圆，则称为椭圆极化。

4、在很多情况下，系统需利用圆极化波才能正常工作，在某些情况下会出现火箭上的天线收不到地面的控制信号而造成失控。在卫星通信系统中，卫星上的天线和地面站上的天线均采用圆极化天线。在电子对抗系统中，大多也采用圆极化天线进行工作。

5、电磁波的相速v ω

β

=

是频率的函数，即在同一种导电煤质中，不同频率的电磁波的相速是不同的，这种现象叫做色散媒质。

6、导电媒质中的均匀平面波的传播特点归纳为：

①电场E 、磁场H 与传播方向e z 之间互相垂直，任然是横电磁波（TEM 波）； ②电场和磁场的振幅呈指数衰减；

③波阻抗为负数，电场与磁场不同相位； ④电磁波的相速与频率有关；

⑤平均磁场能量密度大于平均电场能量密度。

7、工程上常用趋肤深度δ（或穿透深度）来表征电磁波的趋肤程度，其定义为电磁波的幅值衰减为表面的1/e （或0.368）时电磁波所传播的距离，按定义有：1/e e αδ

-=

故1

δα

=

=

=

对于良导体，αβ=，故δ也可写为1

2λδβ

π

==

重要习题：5.10 5.12 例题6.1.1 6.7 见附录

第七章

1、对波导中传播的电磁波进行如下分类。

①横电磁波又称TEM 波，这种波既无E z 分量又无H z 分量；

②横磁波又称TM 波，这种波包含了非零的E z 分量，但是H z =0； ③横电波又称TE 波，这种波包含了非零的H z 分量。但是E z =0.

2、当传播函数γ为零，即kc=k ，这是临界情况，矩阵波导中也不能传播相应的波，此时：

0γ=

==

则c k k =

，即波数和截止波数相等，令c k k ω==

式中2

c

c k ωμε

=

=

附录：

1.23证明：（1）3r ?=

（2）0r ??=

（3）()k r k ?=

其中x y z r xe ye ze =++

，k 为一常矢量。

解：（1）111=3r ?=++

（2）0x

y z

e e e r x y z x y z

???

??=

=???

（3）令x y z k xe ye ze =++

，

k r ax by cz =++ ，()x y z k r ae be ce k ?=++=

例 2.4.4内外半径分别为a b ρρ==内外和的圆筒形磁介质中，沿轴向有电流密度为0z J e J =的传导电流，如图所示，设磁介质的磁导率为

μ，求磁化电流分布。

解：设圆筒形磁介质为无限长，则其磁场分布具有轴对称 性，可利用安培环路定理求各个区域内由传导电流J 产生的 磁场分布。

在a ρ<的区域内，得：120H φπρ= 故110,0H B == 在a b ρ<<的区域，得：22202()H J a φπρπρ=- 故;

2

2022()2J H e H e a φφφ

ρρ

==- 22022()2J B H e a φ

μμρρ==- 在b ρ>的区域，得:22302()H J b a φπρπ=- 故 22033()2J H e H e b a φφφ

ρ==- ， 2200303()2J

B H e b a φμμρ

==- 磁介质的磁化强度：220

22200

0(1)()2B M H H e J a φ

μμμ

ρμμμρ

-=-=-=-()a b ρ<< 则磁介质筒内的磁化电流密度为：

000

11=()z

M z z z z

e e e d

J M e M e J d M M M ρ

φφρφρμμρρρφ

ρρμρ-??

?=??=

=??? 在磁介质筒表面a ρ=上，

220

00()|()02SM n a z

J M e M e e J a a a

ρρμμμ=-=?=?-=-= 在磁介质筒外表面b ρ=上，

220

00|()2SM n b z

J M e M e e J b a b

ρρμμμ=-=?=?=--

例 3.1.6 半径为a 的球形空间均匀分布着体电荷密度为ρ的电荷，试求电场能量。

解：方法一：根据高斯定律求得电场强度

10

3r

r E e r a ρε=< 3

22

03r

a E e r a r ρε=> ，故

12

2

201022

3

222220020000000252525000

112211()sin ()sin 232322445915e V V a a W E dV E dV r a r d d dr r d d dr r a a a ππππεερρεθθφεθθφεεπρπρπρεεε∞=

+=+=+=???????? 方法二见书103页

例6.1.1 一右旋圆极化波垂直入射至位于z=0的理想导体板上，其电场的复数形式为：()()j z i x y m E z e je E e β-=- （1）确定反射波的极化；

（2）写出总电场强度的瞬时表达式； （3）求板上的感应面电流密度。

解：（1）设反射波电场的复数形式为：()()j z r x rx y ry E z e E e E e β=+ 有理想导体表面电场所满足的边界条件，在z=0时有

0[()()]0i r z E z E z =+=得：

()()j z r x jy m E z e e E e β=-+ 这是一个沿z e -方向传播的右旋圆极化波。 （2）z<0区域的总电场强度

1()()()1

()()()()

j z

m i z i xj y j z

m

r z r xj y E H z e E z e e e E H z e E z e e e ββη

ηη

η-=?=+=

-?=+11(,)Re{[()()]}

Re{[()()]}Re{[()2sin ]}2sin (sin cos )

j t r j z j z j t x y x y M j t

x y M M x y E z t E z E z e e e j e e e j e E e e e j z E e E z e t e t ωββωωββωω-=+=-+-+=--=-

（3）又由理想导体表面磁场所满足的边界条件 1n e H Js ?= 这里n z e e =-，则 0[()()]z i r z Js e H z H z ==-?+ 而

故：00

2[()()]()

m

z i r z x y E Js e H z H z e e j η==-?+=-

制作者：物理与电子学院15-2BF 王瑶琨同学

结语：制作不易，请同学们珍惜~~~~给个赞好不好啊