第6讲 双曲线
第6讲双曲线
[学生用书
P169]
一、知识梳理
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线．
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线．
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)
y2
a2－
x2
b2＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线y＝±
b
a x y＝±
a
b x
离心率e＝
c
a，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2
叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半
轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)．
(2)等轴双曲线?离心率e ＝2?两条渐近线y ＝±x 互相垂直． 常用结论
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .
2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2
a ，异支的弦中
最短的为实轴，其长为2a .
4．设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2
a
2.
5．P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2·
1tan
θ
2
，其中θ为∠F 1PF 2.
二、习题改编
1．(选修2-1P61A 组T1改编)若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到其渐近线的距离
等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．
解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±y
b ＝0，即
bx ±ay ＝0，
所以2a ＝
bc
a 2＋
b 2
＝b .
又a 2＋b 2＝c 2，所以5a 2＝c 2. 所以
e 2＝
c 2
a 2
＝5，所以e ＝ 5. 答案： 5
2．(选修2-1P62A 组T6改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
a 2＝±1(a ＞0)，
把点A (3，－1)代入，得a 2＝8(舍负)， 故所求方程为x 28－y 2
8＝1.
答案：x 28－y 2
8
＝1
3．(选修2-1P61练习T3改编)以椭圆x 24＋y 2
3＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方
程为________．
解析：设要求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由椭圆x 24＋y 2
3＝1，得焦点为(±1，
0)，顶点为(±2，0)．所以双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2，0)．所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝3，所以双曲线标准方程为
x 2－
y 2
3
＝1. 答案：x 2－
y 2
3
＝1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ) (2)椭圆的离心率e ∈(0，1)，双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)．( ) (3)方程x 2m －y 2
n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、易错纠偏
常见误区|Ｋ(1)忽视双曲线的定义； (2)忽视双曲线焦点的位置；
(3)忽视双曲线的渐近线与离心率的关系．
1．平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是________．
解析：由|PF 1|－|PF 2|＝6＜|F 1F 2|＝8，得a ＝3，又c ＝4，则b 2＝c 2－a 2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线y 29－x 2
7
＝1的下支．
答案：双曲线y 29－x 2
7
＝1的下支
2．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π
3，则双
曲线的离心率为________．
解析：若双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1，则渐近线的方程为y
＝±b a x ，由题意可得b a ＝tan π3＝3，b ＝3a ，可得c ＝2a ，则e ＝c
a ＝2；若双曲线的焦点在y
轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1，则渐近线的方程为y ＝±a b x ，由题意可得a b ＝tan π
3＝3，
a ＝3
b ，可得
c ＝233a ，则e ＝233.综上可得e ＝2或e ＝23
3
.
答案：2或23
3
3．若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率
为________．
解析：由条件知y ＝－b a x 过点(3，－4)，所以3b
a ＝4，即3
b ＝4a ，所以9b 2＝16a 2，所以
9c 2－9a 2＝16a 2，所以25a 2＝9c 2，所以e ＝5
3
.
答案：53
[学生用书P170]
双曲线的定义(多维探究) 角度一 利用定义求轨迹方程
已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆
C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________．
【解析】 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和点B .根据两圆外切的条件，得
|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以 |MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，
即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1
的距离小)，
其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8. 故点M 的轨迹方程为x 2－
y 2
8
＝1(x ≤－1)． 【答案】
x 2－
y 2
8
＝1(x ≤－1) 角度二 利用定义解决“焦点三角形”问题
已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，
则cos ∠F 1PF 2＝________．
【解析】 由双曲线的定义有 |PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， 所以|PF 1|＝2|PF 2|＝42，
则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2
2|PF 1|·|PF 2|
＝
（42）2＋（22）2－42
2×42×22
＝34
.
【答案】 3
4
【迁移探究1】 (变条件)将本例中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，求△F 1PF 2的面积是多少？
解：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得
cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，
所以|PF 1|·|PF 2|＝8，
所以S △F 1PF 2＝1
2
|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝2 3.
【迁移探究2】 (变条件)将本例中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→
＝0”，求△F 1PF 2的面积是多少？
解：不妨设点P 在双曲线的右支上，则 |PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，由于PF 1→·PF 2→
＝0， 所以PF 1→⊥PF 2→
，所以在△F 1PF 2中，有 |PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，
即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝4， 所以S △F 1PF 2＝1
2|PF 1|·|PF 2|＝2.
角度三 利用定义求解最值问题
若双曲线x 24－y 2
12
＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1，4)，则
|PF |＋|P A |的最小值是( )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．12
【解析】 由题意知，双曲线x 24－y 2
12＝1的左焦点F 的坐标为(－4，0)，设双曲线的右
焦点为B ，则B (4，0)，由双曲线的定义知|PF |＋|P A |＝4＋|PB |＋|P A |≥4＋|AB |＝4＋（4－1）2＋（0－4）2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．
所以|PF |＋|P A |的最小值为9. 【答案】 B
双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立|PF 1|与|PF 2|的关系．
[提醒] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
1．(2020·河南非凡联盟4月联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
9＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为
F 1，F 2，一条渐近线与直线4x ＋3y ＝0垂直，点M 在C 上，且|MF 2|＝6，则|MF 1|＝( )
A ．2或14
B ．2
C ．14
D ．2或10
解析：选C.由题意知3a ＝3
4，故a ＝4，则c ＝5.由|MF 2|＝6＜a ＋c ＝9，知点M 在C 的右
支上，由双曲线的定义知|MF 1|－|MF 2|＝2a ＝8，所以|MF 1|＝14.
2．(2020·河北廊坊省级示范学校联考)设F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞
0)的左、右焦点，过F 1的直线交双曲线C 的左支于A ，B 两点，且|AF 2|＝3，|BF 2|＝5，|AB |＝4，则△BF 1F 2的面积为________．
解析：因为|AF 2|＝3，|BF 2|＝5， |AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ， 所以|AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝4a ＝3＋5－4＝4， 所以a ＝1，所以|BF 1|＝3，又|AF 2|2＋|AB |2＝|BF 2|2， 所以∠F 2AB ＝90°，所以sin B ＝3
5
，
所以S △BF 1F 2＝12×5×3×sin B ＝12×5×3×35＝9
2.
答案：9
2
双曲线的标准方程(师生共研)
(1)(一题多解)与椭圆x 24＋y 2
＝1共焦点且过点P (2，1)的双曲线方程是( )
A.x 24－y 2
＝1 B ．x 22－y 2
＝1
C.x 23－y 2
3
＝1 D ．x 2－
y 2
2
＝1 (2)(一题多解)若双曲线的渐近线方程为y ＝±1
2x ，且经过点(4，3)，则双曲线的方程为
________．
【解析】 (1)法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝
1(a >0，b >0)，所以4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2
＝1，所以所求双曲线方程是x 22－
y 2＝1.
法二：设所求双曲线方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1<λ<4)，将点P (2，1)的坐标代入可得4
4－λ＋
11－λ
＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线方程为x 22－y 2
＝1.
(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±1
2x ，
所以可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点(4，3)，所以λ＝16－4×(3)2＝4， 所以双曲线的标准方程为x 24
－y 2
＝1.
法二：因为渐近线y ＝1
2
x 过点(4，2)，而3<2，
所以点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－1
2x 的上方(如图)．
所以双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)．
由已知条件可得???b a ＝12
，16a 2
－3b 2
＝1，解得?
????a 2＝4，
b 2
＝1，
所以双曲线的标准方程为x 24－y 2
＝1.
【答案】 (1)B (2)x 24
－y 2
＝1
(1)求双曲线标准方程的答题模板
(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法
①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2
b
2＝λ(λ≠0)；
②若双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2
b 2＝λ(λ≠0)；
③若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为x 2m ＋y 2
n ＝1(mn <0)或mx 2＋ny 2＝
1(mn <0)．
1．(2020·安阳模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c ，0)作其渐近线y ＝
3
2x 的垂线，垂足为M ，若S △OMF ＝43(O 为坐标原点)，则双曲线的标准方程为( )
A.x 24－y 2
3＝1 B ．x 28－y 2
6＝1
C.x 216－y 2
12
＝1 D ．x 232－y 2
24
＝1
解析：选C.由题意易得???b a ＝32，12ab ＝43，解得?????a ＝4，
b ＝23，
所以双曲线的标准方程为x 216－y 2
12
＝1，故选C.
2．过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若
以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )
A.x 24－y 2
12＝1 B ．x 27－y 2
9＝1
C.x 28－y 2
8
＝1 D ．x 212－y 2
4
＝1
解析：选A.因为渐近线y ＝b
a x 与直线x ＝a 交于点A (a ，
b )，
c ＝4且
（4－a ）2＋b 2＝4，
解得
a 2＝4，
b 2＝12，因此双曲线的标准方程为
x 24－y 2
12
＝1. 3．经过点P (3，27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________．
解析：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，因为所求双曲线经过点P (3，27)，Q (－62，7)，所以?????9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得?
??m ＝－175，n ＝125
.
故所求双曲线方程为y 225－x 2
75＝1.
答案：y 225－x 2
75
＝1
双曲线的几何性质(多维探究) 角度一 求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长
已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，
M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( )
A ．32
B ．16
C ．84
D ．4
【解析】 由题意知F 2(c ，0)，不妨令点M 在渐近线y ＝b
a x 上，由题意可知|F 2M |＝
bc a 2＋b 2
＝b ，所以|OM |＝
c 2－b 2＝a .由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c
a
＝
5
2
，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B. 【答案】 B
角度二 求双曲线的渐近线方程
(1)(2020·福建厦门一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F ，
点A ，B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于M ，N 两点，若|MN |＝2，△ABF 的面积为8，则C 的渐近线方程为( )
A ．y ＝±3x
B ．y ＝±3
3x
C ．y ＝±2x
D ．y ＝±1
2
x
(2)过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点为A ，
B ，双曲线的左顶点为
C ，若∠ACB ＝120°，则双曲线的渐近线方程为( )
A ．y ＝±3x
B ．y ＝±3
3x
C ．y ＝±2x
D ．y ＝±2
2
x
【解析】 (1)设双曲线的另一个焦点为F ′，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF ′是矩形，
所以S △ABF ＝S △ABF ′， 即bc ＝8，
由?????x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2
－y 2b
2＝1可得y ＝±b 2c ，
则|MN |＝2b 2
c ＝2，即b 2＝c ，
所以b ＝2，c ＝4， 所以a ＝
c 2－b 2＝23，
所以C 的渐近线方程为y ＝±3
3x ，
故选B.
(2)如图所示，连接OA ，OB ，
设双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c (c >0)，则C (－a ，0)，F (－c ，0)．
由双曲线和圆的对称性知，点A 与点B 关于x 轴对称，则∠ACO ＝∠BCO ＝1
2∠ACB ＝
1
2
×120°＝60°. 因为|OA |＝|OC |＝a ，所以△ACO 为等边三角形，所以∠AOC ＝60°. 因为F A 与圆O 相切于点A ，所以OA ⊥F A ，
在Rt △AOF 中，∠AFO ＝90°－∠AOF ＝90°－60°＝30°，所以|OF |＝2|OA |，即c ＝2a ， 所以b ＝
c 2－a 2＝
（2a ）2－a 2＝3a ，
故双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为
y ＝±b
a x ，即y ＝±3x .
【答案】 (1)B (2)A
角度三 求双曲线的离心率(或范围)
(2019·高考全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐
标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于 P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )
A. 2 B ． 3 C ．2
D ． 5
【解析】 如图，由题意，知以OF 为直径的圆的方程为????x －c 22
＋y 2＝c
2
4
①，将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得
x ＝a 2
c
，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的
方程为x ＝a 2
c ，所以|PQ |＝2
a 2－
???
?a 2c 2
.由|PQ |＝|OF |，得2a 2－
???
?a 2c 2
＝c ，整理得c 4－4a 2c 2
＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝2，故选A.
【答案】 A
与双曲线几何性质有关问题的解题策略
(1)求双曲线的离心率(或范围)：依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．
(2)求双曲线的渐近线方程：依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．
(3)求双曲线方程：依据题设条件，求出a ，b 的值或依据双曲线的定义，即可求双曲线的方程．
(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长：依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解．
1．(2019·高考全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 2
2＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，
O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )
A.324
B ．322
C ．2 2
D ．3 2
解析：选A.不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF |＝ 6.
又tan ∠POF ＝b a ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝1
2×6
×
32＝32
4
. 2．(2020·广东汕尾一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 是双曲线C 的右焦
点，A 是双曲线C 的右顶点，过F 作x 轴的垂线，交双曲线于M ，N 两点．若tan ∠MAN ＝－3
4
，则双曲线C 的离心率为( ) A ．3 B ．2 C.43
D ． 2
解析：选B.由题意可知
tan ∠MAN ＝－3
4＝2tan ∠MAF 1－tan 2∠MAF ，
解得tan ∠MAF ＝3，
可得b 2a
c －a
＝3，可得c 2＋2a 2－3ac ＝0，e 2＋2－3e ＝0，
因为e ＞1，所以解得e ＝2. 故选B.
[学生用书P376(单独成册)]
[基础题组练]
1．“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2
k －9＝1表示双曲线”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.因为方程x 225－k ＋y 2
k －9＝1表示双曲线，所以(25－k )(k －9)<0，所以k <9或
k >25，
所以“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2
k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.
2．双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±3x
C ．y ＝±2
2
x
D ．y ＝±3
2
x
解析：选A.法一：由题意知，e ＝c
a ＝3，所以c ＝3a ，所以
b ＝
c 2－a 2＝2a ，所以
b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a
x ＝±2x ，故选A. 法二：由e ＝c
a ＝
1＋????b a 2
＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a
x ＝±2x ，故选A.
3．(2020·广东揭阳一模)过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点且与x 轴垂直的直线
与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为( )
A.5－1 B ．
5＋1
2
C.32
D ．2
解析：选B.将x ＝±c 代入双曲线的方程得y 2
＝b 4a 2?y ＝±b 2a ，则2c ＝2b 2
a ，即有ac ＝
b 2＝
c 2－a 2，由
e ＝c a ，可得e 2
－e －1＝0，解得e ＝5＋12
(舍负)．故选B. 4．设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2
的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线方程为( )
A ．y ＝±1
2x
B ．y ＝±2
2x
C ．y ＝±x
D ．y ＝±2x
解析：选C.
如图，不妨令B 在x 轴上方，因为BC 过右焦点F (c ，0)，且垂直于x 轴，所以可求得B ，C 两点的坐标分别为????c ，b 2
a ，?
???c ，－b
2
a .又A 1，A 2的坐标分别为(－a ，0)，(a ，0)． 所以A 1B →＝??
??c ＋a ，b 2a ，A 2C →＝????c －a ，－b 2a . 因为A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B →·A 2C →
＝0， 即(c ＋a )(c －a )－b 2a ·b 2
a ＝0，
即c 2－a 2－b 4
a 2
＝0， 所以
b 2－
b 4a 2＝0，故b 2a 2＝1，即b
a
＝1. 又双曲线的渐近线的斜率为±b
a ，
故该双曲线的渐近线的方程为y ＝±x .
5．(2020·河北衡水三模)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (5，0)作斜率为k (k
＜－1)的直线与双曲线过第一象限的渐近线垂直，且垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若
S △BOF ＝5
3
(O 为坐标原点)，则k 的值为( )
A ．－ 2
B ．－2
C ．－ 3
D ．－ 5
解析：选B.由题意得双曲线过第一象限的渐近线方程为y ＝－1
k
x ，过第二象限的渐近线
的方程为y ＝1k x ，直线FB 的方程为y ＝k (x －5)，联立方程得?????y ＝k （x －5），y ＝1k x ?x ＝5k 2
k 2－1，
所以y ＝5k k 2－1，所以S △BOF ＝12|OF |×|y B |＝1
2×5×??????5k k 2－1＝52? ??
??－k k 2－1.
令52? ????－k k 2－1＝53，得k ＝－2或k ＝1
2
(舍)．故选B. 6．(2020·唐山模拟)过双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点(－5，0)，作圆(x －5)2
＋y 2＝4的切线，切点在双曲线E 上，则E 的离心率等于( )
A ．2 5
B ． 5 C.53
D ．
52
解析：选B.设圆的圆心为G ，双曲线的左焦点为F .由圆的方程(x －5)2＋y 2＝4，知圆心坐标为G (5，0)，半径R ＝2，则FG ＝2 5.
设切点为P ，
则GP ⊥FP ，PG ＝2，PF ＝2＋2a ， 由|PF |2＋|PG |2＝|FG |2， 即(2＋2a )2＋4＝20，
即(2＋2a )2＝16，得2＋2a ＝4，a ＝1，又c ＝5， 所以双曲线的离心率e ＝c
a
＝5，故选B.
7．设F 为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，若线段OF 的垂直平分线与双曲线
的渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为1
2
|OF |，则双曲线的离心率为( )
A ．2 2
B ．233
C ．2 3
D ．3
解析：选B.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b
a x ，线段OF 的垂直平分
线为直线x ＝c 2，将x ＝c 2代入y ＝b a x ，则y ＝bc
2a
，则交点坐标为????c 2，bc 2a ， 点????c 2，bc 2a 到直线y ＝－b
a x ，即bx ＋ay ＝0的距离d ＝????bc 2＋bc 2a 2＋b
2
＝1
2|OF |＝c
2，得c ＝2b ＝2
c 2－a 2，即4a 2＝3c 2，
所以双曲线的离心率e ＝c a ＝233
，故选B.
8．已知双曲线C ：x 23－y 2
＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两
条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )
A.32 B ．3 C ．2 3
D ．4
解析：选B.因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±3
3x ，所以∠MON ＝60°.不妨设
过点F 的直线与直线y ＝
3
3
x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2，0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，
由?????y ＝－3（x －2），y ＝33x ，得???x ＝3
2，y ＝32
，所以M ????32，32，所以|OM |＝????322＋???
?322
＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.
9．(2020·湛江模拟)设F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ，b ＞0)的右焦点，过E 的右顶点作x
轴的垂线与E 的渐近线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，四边形OAFB 为菱形，圆x 2＋y 2＝c 2(c 2＝a 2＋b 2)与E 在第一象限的交点是P ，且|PF |＝7－1，则双曲线E 的方程是( )
A.x 26－y 2
2＝1 B ．x 22－y 2
6＝1
C.x 23
－y 2
＝1 D ．x 2－
y 2
3
＝1 解析：选D.双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b
a x ，
因为四边形OAFB 为菱形，
所以对角线互相垂直平分，所以c ＝2a ，∠AOF ＝60°， 所以b
a
＝ 3.
则有?????x 2
a 2－y 2
3a 2＝1，x 2＋y 2＝c 2＝4a 2，
解得P ??
?
?
72a ，32a .
因为|PF |＝7－1，
所以????72a －2a 2
＋???
?32a 2＝(7－1)2，解得a ＝1，
则b ＝3， 故双曲线E 的方程为x 2－
y 2
3
＝1. 故选D.
10．已知双曲线x 29－y 2
b 2＝1(b ＞0)的左顶点为A ，虚轴长为8，右焦点为F ，且⊙F 与双
曲线的渐近线相切，若过点A 作⊙F 的两条切线，切点分别为M ，N ，则|MN |＝( )
A ．8
B ．4 2
C ．2 3
D ．4 3
解析：选D.因为双曲线x 29－y 2
b 2＝1(b ＞0)的虚轴长为8，
所以2b ＝8，解得b ＝4， 因为a ＝3，
所以双曲线的渐近线方程为y ＝±4
3x ，c 2＝a 2＋b 2＝25，A (－3，0)，所以c ＝5，所以F (5，
0)，
因为⊙F 与双曲线的渐近线相切， 所以⊙F 的半径为|4×5＋0|
42＋32＝4，
所以|MF |＝4，
因为|AF |＝a ＋c ＝3＋5＝8， 所以|AM |＝
82－42＝43，
因为S 四边形AMFN ＝2×12|AM |·|MF |＝1
2|AF |·|MN |，
所以2×12×43×4＝1
2×8|MN |，
解得|MN |＝43，故选D.
11．(2020·开封模拟)过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的
切线FM (切点为M )，交y 轴于点P ，若PM →＝2MF →
，则双曲线的离心率为( )
A. 2 B ．
62
C. 3
D ．2
解析：选B.设P (0，3m )，由PM →＝2MF →，可得点M 的坐标为????23c ，m ，因为OM ⊥PF ，所以m 23c ·3m －c ＝－1，所以m 2＝29c 2，所以M ???
?
2
3c ，±
2c 29，由|OM |2＋|MF |2＝|OF |2，|OM |＝a ，|OF |＝c
得，a 2＋
????c 32＋2c 2
9＝c 2，a 2＝23c 2，所以e ＝c a ＝62
，故选B. 12．过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两
点，D 为虚轴上的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为( )
A ．(1，2)
B ．(2，2＋2)
C ．(2，2)
D ．(1，2)∪(2＋2，＋∞)
解析：选D.设双曲线：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1(－
c ，0)，
令x ＝－c ，可得y ＝±b 2a ，可设A ????－c ，b 2a ，B ????－c ，－b 2a .
又设D (0，b )，可得AD →＝??
??c ，b －b 2a ，DA →＝????－c ，b 2a －b ， AB →＝??
??0，－2b 2a ，DB →＝????－c ，－b －b 2a .
由△ABD 为钝角三角形，可得∠DAB 为钝角或∠ADB 为钝角．
当∠DAB 为钝角时，可得AD →·AB →
<0，即为0－2b 2a ·????b －b 2a <0，化为a >b ，即有a 2>b 2＝c 2
－a 2.可得c 2<2a 2，即e ＝c
a
< 2.又e >1，可得1 当∠ADB 为钝角时，可得DA →·DB → <0， 即为 c 2－ ????b 2a ＋b ????b 2 a － b <0，化为 c 4－4a 2c 2＋2a 4>0，由e ＝c a ， 可得e 4－4e 2＋2>0.又e >1，可得e >2＋ 2. 综上可得，e 的范围为(1，2)∪( 2＋2，＋∞)．故选D. 13．焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2 ＝1有相同渐近线的双曲线的标准方 程是________． 解析：设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ>0)，即x 2λ－y 2 4λ＝1，则有4λ＋λ＝25， 解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 2 20 ＝1. 答案：x 25－y 2 20 ＝1 14．过双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线交双曲线的右支 于点P ，且切点为T ，已知O 为坐标原点，M 为线段PF 1的中点(点M 在切点T 的右侧)，若△OTM 的周长为4a ，则双曲线的渐近线方程为________． 解析：连接OT ，则OT ⊥F 1T ， 在直角三角形OTF 1中，|F 1T |＝ OF 21 －OT 2＝c 2－a 2＝b . 设双曲线的右焦点为F 2，连接PF 2，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点， 所以OM ＝1 2 PF 2， [课时作业·巩固练习] 实战演练 夯基提能 [A 组 基础保分练] 1．(2020·湖南永州模拟)焦点是(0，±2)，且与双曲线x 23－y 23＝1有相同的渐近线的双曲线 的方程是( ) A ．x 2－ y 2 3 ＝1 B ．y 2－ x 2 3 ＝1 C ．x 2－y 2＝2 D ．y 2－x 2＝2 解析：由已知，双曲线焦点在y 轴上，且为等轴双曲线，故选D. 答案：D 2．双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( ) A ．2 B ． 3 C. 2 D.32 解析：由渐近线互相垂直可知????－b a ·b a ＝－1，即a 2＝ b 2，即 c 2＝2a 2，即c ＝2a ，所以e ＝ 2. 答案：C 3．已知双曲线 x 2－ y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝4 3 |PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( ) A ．48 B ．24 C ．12 D ．6 解析：由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝1 3 |PF 2|＝2a ＝2， 解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10， 由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △PF 1F 2＝1 2|PF 1|·|PF 2|＝24. 答案：B 4．(2020·湖南师大附中模拟)已知A 是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点，F 1，F 2 分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若存在实数λ使得GA → ＝λPF 1→ ，则双曲线的离心率为( ) A ．3 B ．2 C ．4 D ．与λ的取值有关 解析：由题意，可知|PG |＝2|GO |，GA ∥PF 1，∴2|OA |＝|AF 1|，∴2a ＝c －a ，∴c ＝3a ，∴e ＝3. 答案：A 5．(2020·惠州市高三一调)已知双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，其中一条渐近线的倾斜角为π 3 ，则双曲线C 的离心率为( ) A ．2或 3 B ．2或23 3 C.233 D ．2 解析：双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则有b a ＝tan π3＝3，因为e 2 ＝c 2a 2＝1＋b 2 a 2＝1 ＋3＝4，所以双曲线C 的离心率为2，故选D. 答案：D 6．已知点F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，直线y ＝kx 交C 于A ，B 两点，若∠AF 2B ＝2π 3 ，S △AF 2B ＝23，则C 的虚轴长为________． 解析：设双曲线C 的左焦点为F 1，连接AF 1，BF 1(图略)，由对称性可知四边形AF 1BF 2 是平行四边形，所以S △AF 1B ＝23，∠F 1AF 2＝π3.设|AF 1|＝r 1，|AF 2|＝r 2，则4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3.又|r 1－r 2|＝2a ，所以r 1r 2＝4b 2.又S △AF 2B ＝S △AF 1F 2＝12r 1r 2sin π 3＝23，所以b 2＝2， 则该双曲线的虚轴长为2 2. 答案：2 2 7．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求椭圆和双曲线的方程； (2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值． 解析：(1)由题知c ＝13，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)， 第三讲 双曲线的第二定义 第八章 第七节 抛物线 一、选择题 1．已知抛物线x 2 ＝ay 的焦点恰好为双曲线y 2 －x 2 ＝2的上焦点，则a 等于 ( ) A ．1 B ．4 C ．8 D ．16 解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a 4)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意则 有 a 4 ＝2, 解得a ＝8. 答案：C 2．抛物线y ＝－4x 2 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( ) A ．－17 16 B ．－1516 C.7 16 D.1516 解析：抛物线方程可化为x 2 ＝－y 4，其准线方程为y ＝116 .设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定 义，可知116－y 0＝1?y 0＝－15 16 . 答案：B 3．(2011·辽宁高考)已知F 是拋物线y 2 ＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( ) A.3 4 B ．1 C.5 4 D.74 解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：1 2(|AF |＋ |BF |)－14＝32－14＝5 4 . 答案：C 4．已知抛物线y 2 ＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．不确定 解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影， 则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝ 1 2|AB |＝半径，故相切． 答案：C 5．(2012·宜宾检测)已知F 为抛物线y 2 ＝8x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，则||FA |－|FB ||的值等于 ( ) A ．4 2 B ．8 C ．8 2 D ．16 解析：依题意F (2,0)，所以直线方程为y ＝x －2由??? ?? y ＝x －2，y 2 ＝8x ，消去y 得x 2 －12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||FA |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝x 1＋x 22 －4x 1x 2＝144－16＝8 2. 答案：C 6．在y ＝2x 2 上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是 ( ) A ．(－2,1) B ．(1,2) C ．(2,1) D ．(－1,2) 解析：如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2 的准线，F 为其焦点，PN ⊥ l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋ |PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D. 答案：B 二、填空题 7．(2012·永州模拟)以抛物线x 2 ＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________． 解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2 ＋(y －4)2 ＝64. 答案：x 2 ＋(y －4)2 ＝64 8．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，抛物线上一点Q (－3，m )到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________． 解析：设抛物线方程为x 2 ＝ay (a ≠0)， 则准线为y ＝－a 4 . 第八章 第六节 双曲线 一、选择题 1．“ab <0”是“方程ax 2 ＋by 2 ＝c 表示双曲线”的 ( ) A ．必要但不充分条件 B ．充分但不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：若ax 2 ＋by 2 ＝c 表示双曲线，即x 2c a ＋y 2c b ＝1表示双曲线，则c 2 ab <0，这就是说“ab <0” 是必要条件，然而若ab <0，c 可以等于0，即“ab <0”不是充分条件． 答案：A 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3 3 x ，若顶点到渐近线的 距 离 为 1 ， 则 双 曲 线 的 方 程 为 ( ) A.x 24－3y 24＝1 B.3x 24－y 2 4＝1 C.x 24－y 2 4 ＝1 D.x 24－4y 2 3 ＝1 解析：不妨设顶点(a,0)到直线3x －3y ＝0的距离为1，即3a 3＋9＝1，解得a ＝2.又b a ＝ 33，所以b ＝233，所以双曲线的方程为x 2 4－3y 2 4 ＝1. 答案：A 3． (2011·新课标全国卷)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直， l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 ( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3 解析：设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2 b 2＝1可得 y 2 ＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2a ＝2×2a .∴b 2＝2a 2.c 2＝a 2＋b 2＝3a 2.∴e ＝c a ＝ 3. 答案：B 4．已知双曲线x 2 －y 2 3 ＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则 1PA · 2PF 的最小值为 ( ) 圆锥曲线第二讲 双曲线 一 双曲线的定义 平面内到两个定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数2a （小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点.两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距. 注：（1）定义中的限制条件1202a F F <<.当122a F F =时，点的轨迹是分别以12,F F 为端点的两条射线；当122a F F >时，轨迹不存在；当20a =时，点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线. （2）定义中的绝对值必不可少.若没有绝对值符号则点的轨迹表示双曲线的一支. 例 1 已知1(5,0)F -，2(5,0)F ，动点P 满足122PF PF a -=，当a 为3和5时，P 的 轨迹分别是_________.双曲线的一支和一条射线. 例2 已知点(,)P x y 的坐标满足下列条件，是判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形： （16=； （26= 练习1 已知平面上定点1F ，2F 及动点M ，命题甲：22()MF MF a a -=为常数，命题乙：M 点轨迹是以1F ，2F 为焦点的双曲线，则甲是乙的____条件.必要不充分条件 练习2 若平面内一动点(,)P x y 到两定点1(1,0)F -，2(1,0)F 的距离之差的绝对值为定值(0)a a ≥，讨论点P 的轨迹方程. 二 双曲线的标准方程 （1）设(,)M x y 是双曲线上任意一点，焦点1F ，2F 的坐标分别为(,0)c -，(,0)c ， M 与1F 和2F 的距离之差的绝对值等于常数2(0)a c a >>，则双曲线的标准方程 为 ：22 221(0,0)x y a b a b -=>> 其中：①222c a b =+； ②a c b c <<且，a 和b 大小关系不明确 （2）设(,)M x y 是双曲线上任意一点，焦点1F ，2F 的坐标分别为(0,)c ，(0,)c -， M 与1F 和2F 的距离之差的绝对值等于常数2(0)a c a >>，则双曲线的标准方程为 ：22 221(0,0)y x a b a b -=>> 其中：①222c a b =+； ②a c b c <<且，a 和b 大小关系不明确 例1 若方程22 123 x y m m +=--表示双曲线，则实数m 的取值范围为______. (3,2)(3,)-+∞U 例2 若1k >，则关于,x y 的方程222(1)1k x y k -+=-所表示的曲线是____.焦点在 y 轴上的双曲线. 例3 方程22 1cos 2010sin 2010 x y ?? -=所表示的曲线为_______.焦点在y 轴上的双曲线. 练习1 若方程 22 21523 x y m m m +=---表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为_____.(5,)+∞ 练习2 已知双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k =_____.-1 三 双曲线的定义及其标准方程的应用 例1 若12,F F 是双曲线22 1916 x y - =的两个焦点，若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，则点M 到另一个焦点的距离为____（4或28），若P 是双曲线左支上 的点，且1232PF PF =g ，则12F PF V 的面积为_____.16 课时作业 A组——基础对点练 1．已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( ) A.3 B．3 C.3m D．3m 解析：双曲线方程为x2 3m － y2 3 ＝1，焦点F到一条渐近线的距离为3.选A. 答案：A 2．已知双曲线x2 a2 － y2 3 ＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( ) A．2 B. 6 2 C. 5 2 D．1 解析：因为双曲线的方程为x2 a2 － y2 3 ＝1，所以e2＝1＋ 3 a2 ＝4，因此a2＝1，a＝1.选D. 答案：D 3．双曲线x2－4y2＝－1的渐近线方程为( ) A．x±2y＝0 B．y±2x＝0 C．x±4y＝0 D．y±4x＝0 解析：依题意，题中的双曲线即y2 1 4 －x2＝1，因此其渐近线方程是 y2 1 4 －x2＝0，即x±2y＝0，选 A. 答案：A 4．已知双曲线x2 3 －y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2 5，则△ PF 1F 2的面积为( ) A ．1 B. 3 C.5 D. 12 解析：在双曲线x2 3－y 2＝1中，a ＝ 3，b ＝1，c ＝2.不防设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2 3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2 5，∴|PF 1|＝ 5＋ 3，|PF 2|＝5－ 3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2 ＋|PF 2|2 ＝|F 1F 2|2 ，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝1 2×|PF 1|×|PF 2|＝1 2 ×( 5＋ 3)×( 5－ 3)＝1.故选A. 答案：A 5．已知双曲线C ： x2a2 － y2b2 ＝1(a >0，b >0)，直线l ：y ＝2x －2.若直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线且经过C 的一个顶点 ，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为 ( ) A ．1 B ．2 C. 5 D ．4 解析：根据题意，双曲线C 的方程为 x2 a2－y2b2 ＝1(a >0，b >0)，其焦点在x 轴上，渐近线方程为 y ＝±b a x ，又由直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线，可知b a ＝2，直线l ：y ＝2x －2与x 轴的交 点坐标为(1,0)，即双曲线C 的一个顶点坐标为(1,0)，即a ＝1，则b ＝2a ＝2，故双曲线C 的焦点到渐近线的距离为2，故选B. 答案：B 6．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为 ( ) 第六节 双曲线 【知识要点】 一、你熟悉双曲线的定义吗？ 二、你能写出双曲线的标准方程吗？ 三、你了解双曲线的这些性质吗？如：范围，对称性，顶点，实轴，虚轴，焦距，离心率，准线，渐近线 四、你熟悉双曲线的第二定义吗？ 【典型例题】 # 例1.已知双曲线的方程是16x 2－9y 2 =144. （1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； （2）设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|=32，求∠F 1PF 2的大小. # 例2. 根据下列条件，求双曲线方程： （1）与双曲线92 x －16 2y =1有共同的渐近线，且过点（－3，23）； （2）与双曲线162 x －4 2y =1有公共焦点，且过点（32，2） 例3.已知双曲线x 2－22 y =1与点P （1，2），过P 点作直线l 与双曲线交于A 、B 两点，若P 为AB 中点. （1）求直线AB 的方程； （2）若Q （1，1），证明不存在以Q 为中点的弦. 例4.(05重庆卷) 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。 (1) 求双曲线C 的方程； (2) 若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>?(其中O 为原点)，求k 的取值范围。 例5.已知双曲线122 22=-b y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.2 3 （1）求双曲线的方程； （2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值. 例6．直线:1l y kx =+与双曲线22 :21C x y -=的右支交于不同的两点,A B ， （I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由． 课时规范练 A 组 基础对点练 1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A.3 B ．3 C.3m D ．3m 解析：双曲线方程为x 23m －y 2 3＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为 3.选A. 答案：A 2．已知双曲线x 2a 2－y 2 3＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( ) A ．2 B.62 C.52 D ．1 解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3 a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D. 答案：D 3．(2018·邢台摸底)双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0 D ．y ±4x ＝0 解析：依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2 ＝0，即x ±2y ＝0，选 A. 答案：A 4．设F 1，F 2是双曲线x 2 －y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|＝4 3 |PF 2|，则△ PF 1F 2的面积等于( ) A ．42 B ．8 3 C ．24 D ．48 解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝2， 又|PF 1|＝4 3|PF 2|， ∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6， 又|F 1F 2|＝2c ＝10， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， △PF 1F 2为直角三角形． △PF 1F 2的面积S ＝1 2 ×6×8＝24. 答案：C 5．双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D.32 解析：由渐近线互相垂直可知????－b a ·b a ＝－1， 即a 2＝ b 2，即 c 2＝2a 2，即c ＝2a ， 所以e ＝ 2. 答案：C 6．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2 －y 2 4 ＝1 B.x 24－y 2 ＝1 C.y 24 －x 2 ＝1 D ．y 2 －x 2 4 ＝1 解析：A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，又令y 2 4－ x 2 ＝0，得y ＝±2x ，令y 2 －x 24＝0，得y ＝±1 2 x ，故选C. 答案：C 7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5 4，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 2 3＝1 B.x 29－y 2 16＝1 C.x 216－y 2 9 ＝1 D.x 23－y 2 4 ＝1 解析：由题意得e ＝ 1＋b 2a 2＝5 4 ，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y 2 9＝1. 答案：C 8．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0 垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2 ＝1 B ．x 2 －y 2 4 ＝1 C.3x 220－3y 2 5 ＝1 D.3x 25－3y 2 20 ＝1 解析：由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2 ＝1. 答案：A 专题九解析几何 第二十七讲双曲线 2019 年 1.（2019 全国III 理10）双曲线C： x y =1 的右焦点为F，点P 在C 的一条渐进线 2 2 4 2 上，O 为坐标原点，若PO = PF ，则△PFO 的面积为A． 3 2 4 B．3 2 2 C．2 2 D．3 2 2.（2019 江苏7）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 y 2 2 x 2 1(b 0) 经过点（3，4)， b 则该双曲线的渐近线方程是 . x 2 y 2 3.（2019 全国I 理16）已知双曲线C： 2 2 a b 1( 0, 0) a b 的左、右焦点分别为F1，F2， 过F1 的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点．若 F A AB ， F B F B ，则C 的 1 1 2 0 离心率为____________． 4.（2019 年全国II 理11）设F 为双曲线C： x 2 2 y 2 2 a 1( 0, 0) a b 的右焦点，O 为坐标 b 原点，以OF 为直径的圆与圆x2 y2 a2 交于P，Q 两点.若PQ OF ，则C 的离心率为A．2 B．3 C．2 D．5 5．（2019 浙江2）渐近线方程为x±y=0 的双曲线的离心率是A． 22 B．1 C．2 D．2 2 6. （2019 天津理5 ）已知抛物线y 4x 的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线 x 2 y 2 的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且| AB | 4 | OF |（O 为 2 2 a b 1 ( 0, 0) a b 原点），则双曲线的离心率为A. 2 B. 3 1 C. 2 D. 5 2010-2018 年 第八章 第八节双曲线 课下练兵场 "难度及题号 容易题 中等题 稍难题「 知识点 （题号） （题号） （题号） 双曲线的定义及其标准方程 1、2 & 10 双曲线的几何性质 3 4、5、7、9 直线与双曲线的位置关系 6 11、12 1已知定点 A 、B ,且|AB| = 4,动点P 满足|PA|—|PB|= 3,则|PA|的最小值是（ 1 A.Q C.7 D . 5 解析：因为 |AB|= 4, |PA|— |PB|= 3, 故满足条件的点在双曲线右支上， 则|PA|的最小值为右顶点到 A 的距离2 + 2=纟 答案：C 1 2.已知点F i （ — 2, 0）, F 2（ 2, 0）,动点P 满足|PF 2|—|PF i |= 2，当点P 的纵坐标是2时, 点P 到坐标原点的距离是 C. 3 解析：由已知可知 c = 2, a = 1, b = 1, ???双曲线方程为x 2— y 2= 1（x < — 1）. 代入2可求P 的横坐标为x =—于. 3.已知双曲线9y 2— m 2x 2= 1（m > 0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 5，则m =（ ） B.2 ? P 到原点的距离为 答案：A C . 1v e v 5 D . e > 5 解析：依题意，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率 解析：双曲线9y 2— m 2x 2= 1（m >0），一个顶点（0,弓, 3 32 + m 2= 5? m = 4. 答案：D =o ,^HPF i + PF 21= 答案：B 5. F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，P 是C 上一点，且△ F 1PF 2是等腰直角三角形，则双 曲线C 的 离心率为 （ ） A . 1+ 2 B . 2+ 2 C . 3— 2 D . 3 + '. 2 解析：由△ PF 1F 2为等腰直角三角形， 又|PF 1|M IPF 2I , 故必有 |F 1F 2|= IPF 2I , 即 2c = b ，从而得 c 2— 2ac — a 2= 0, a 即 e 2— 2e — 1 = 0,解之得 e = 1 ±. 2, ?/ e > 1, ??? e = 1 + 2. 答案：A 2 2 6.斜率为2的直线I 过双曲线活=1（a > 0, b > 0）的右焦点，且与双曲线的左右两支分 另肪目交，则双曲线的离心率 e 的取值范围是 （ ） B . 1 v e v 3 一条渐近线 3y — mx = 0, 4.设F i 、F 2分别是双曲线 2 x 2 -y 1的左、右焦点.若点 P 在双曲线上，且 PF^ -PF^ PF ( ) A. 10 B . 2 10 C. 5 2 y = 1的左、右焦点. 9 解析：设F 1、F 2分别是双曲线x 2 =0,则 | P F 1 + PF 2 1= 2| PO |= | F 1F 2 |= 2.10. 点P 在双曲线上，且PF^ -PF^ PF :必大 第六节双曲线 这样自检要比死记更有效基础盘查一双曲线的定义及标准方程 （一）循纲忆知 1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 2. 了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用. (二)小题査验 1.判断正误 (1)平面内到点鬥(0,4), F2(0, 一4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线 (2)平面内到点Fi(0,4), F2(0, 一4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹 是双曲线 2-（人敘A版敎材例题改褊）已知双曲线两个焦点分别为风（一5,0）, F2（5,0）.双曲线上一点P到F I， 卩2距离差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为 3.设Fi ，形是双曲线x 2-^=l 的两个焦点显是双曲线上的一点, 且 3IPF!l=4IPF 2l,则△PTS?的面积等于 解析：双曲线的实轴长为2,焦距为IF/』=2X5=10. 2=IPFj I 一 1略1=|lPF 2l-IP^2l=|lPF 2l, A \PF 2\=69 IPFil=8. AIPFil 2+lPF2l 2 = IFiF 2l 2^ ???Mi 丄“2, ?°? S^PF \F2=flPF ］卜 LPF2I=f X 6 X 8=24. , （二）小题查验 1.判断正误 2 2 ⑴方程打一占=1（如＞0）表示焦点在X轴上的双曲线（X ） 2 2 2 （2）双曲线方程和一讣=沏＞0, n＞0, 2H0）的渐近线方程是和一 必=0,即兰±》=0 n m n （3）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于边（V ） 2 2 2 2 （4）若双曲线器一器=1@＞0，〃＞0）与話—缶=1（°＞0, 〃＞0）的离心 率分别是习，%，则需+寿=K此结论中两条双曲线为共轨双曲线） 专题九 解析几何 第二十七讲 双曲线 一、选择题 1．(2018浙江)双曲线2 213 x y -=的焦点坐标是 A ．(2,0)-，2,0) B ．(2,0)-，(2,0) C ．(0,2)，2） D ．(0,2)-，(0,2) 2．(2018全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：2 213 -=x y ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N ．若?OMN 为直角三角形，则||MN = A ． 3 2 B ．3 C ．23 D ．4 3．(2018全国卷Ⅱ)双曲线22 221(0,0)-=>>x y a b a b 3 A ．2=y x B ．3=y x C ．2=y x D ．3 =y 4．(2018全国卷Ⅲ)设1F ，2F 是双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 是 坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1||6|PF OP =，则C 的离心率为 A 5 B ．2 C 3 D 2 5．(2018天津)已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴 的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ， 且126d d +=，则双曲线的方程为 A ． 221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22 193 x y -= 6．（2017新课标Ⅱ）若双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线被圆 22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 A ．2 B 3 C 2 D ． 3 3 7．（2017新课标Ⅲ）已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆 22 1123 x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ． 221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22 143x y -= 8．（2017天津）已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F 2．若经 过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 A ．22144x y -= B ．22188x y -= C ．22148x y -= D ．22 184x y -= 9．(2016天津)已知双曲线 2 22=1(0)4x y b b ->，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为 A ．22443=1y x - B ．22344=1y x - C ．2224=1x y b - D ．2 224=11x y - 10．(2016年全国I)已知方程22 2 213x y m n m n -=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 A ．(–1,3) B ．(–1,3) C ．(0,3) D ．(0,3) 11．(2016全国II)已知1F ,2F 是双曲线E ：22 221x y a b -=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与 x 轴垂直，211sin 3 MF F ∠=,则E 的离心率为 第六节双曲线 2019考纲考题考情 1．双曲线的概念 平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距。 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0}。 (1)当a＜c时，M点的轨迹是双曲线。 (2)当a＝c时，M点的轨迹是两条射线。 (3)当a＞c时，M点不存在。 2．双曲线的标准方程和几何性质 1．双曲线定义的四点辨析 (1)当0<2a <|F 1F 2|时，动点的轨迹才是双曲线。 (2)当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线。 (3)当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线。 (4)当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在。 2．方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示的曲线 (1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线。 (2)当m <0，n <0时，表示焦点在y 轴上的双曲线。 3．方程的常见设法 (1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2 b 2＝λ(λ≠0)。 (2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2 b 2＝λ(λ≠0)。 一、走进教材 1．(选修1－1P 54A 组T 1改编)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点 P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离 等于________。 解析设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝17－1>2，故|PF2|＝6。 答案6 2．(选修1－1P53练习T3改编)以椭圆x2 4＋ y2 3＝1的焦点为顶 点，顶点为焦点的双曲线方程为____________。 解析设要求的双曲线方程为x2 a2－ y2 b2＝1(a>0，b>0)，由椭圆 x2 4＋y2 3＝1，得焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)。所以双曲线的顶点为 (±1，0)，焦点为(±2,0)。所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3， 所以双曲线标准方程为x2－y2 3＝1。 答案x2－y2 3＝1 二、走近高考 3．(2018·浙江高考)双曲线x2 3－y2＝1的焦点坐标是() A．(－2，0)，(2，0) B．(－2,0)，(2,0) C．(0，－2)，(0，2) D．(0，－2)，(0,2) 解析由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2,0)，(2,0)。故选B。 答案B 4．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2 a2－ y2 b2＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为 3 2c，则 其离心率的值是________。 第53讲 双曲线 一、课程标准 1、了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质． 3、通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想. 二、基础知识回顾 1、 双曲线的定义 平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P ＝{M ||| ||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0. (1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在． 2 、双曲线的标准方程和几何性质 三、常用结论 1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2 a ，也叫通径． 2、与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2 b 2＝t (t ≠0)． 3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b . 4、若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . 四、自主热身、归纳总结 1、 双曲线x 23－y 2 2 ＝1的焦距为( ) A. 5 B. 5 C. 2 5 D. 1 【答案】 C 【解析】 由题意得c 2＝3＋2＝5，所以c ＝5，所以双曲线的焦距为2 5. 2、以椭圆x 24＋y 2 3 ＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为( ) A. x 2－y 23＝1 B. x 23 －y 2 ＝1 C. x 2－ y 22＝1 D. x 24－y 2 3 ＝1 【答案】 A 【解析】 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)．由题意得双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2，0)，所以 a ＝1，c ＝2，所以 b 2＝ c 2－a 2＝3，所以双曲线的标准方程为 x 2－ y 2 3 ＝1. 3、已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 2 3＝1有公共焦点， 则C 的方程为( ) A . x 28－y 210＝1 B . x 24－y 2 5＝1 C . x 25－y 24＝1 D . x 24－y 2 3＝1 【答案】B 【解析】双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，在椭圆中：a 2＝12， b 2＝3，∴ c 2＝9，c ＝3，故双曲线C 的焦点坐标为(±3，0)，∴双曲线中的方程组：b a ＝5 2 ，c ＝3，c 2＝a 2＋b 2，解得a 2＝4，b 2 温馨提示： 此套题为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word 文档返回原板块。 课时提升作业(五十六) 一、选择题 1.已知双曲线22 22x y 1a b -=(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为4y x 3=，则双曲线的离 心率为( ) () ( )()( 55A B C D 334 2.双曲线2 2x y 1n -=(n ＞1)的左、右两个焦点为F 1,F 2,P 在双曲线上，且满足 |PF 1|+|PF 2 |=则△PF 1F 2的面积为( ) (A) 1 2 (B)1 (C)2 (D)4 3.已知双曲线mx 2-ny 2=1(m>0,n>0)的离心率为2，则椭圆mx 2+ny 2=1的离心率为 ( ) () ( )( )( ) 1A B C D 3333 4.已知双曲线22 22x y 1a b -=(a>0,b>0) 的一条渐近线方程是y ，它的一个焦点在 抛物线y 2=24x 的准线上，则双曲线的方程为( ) ()()()()2222 2222 x y x y A 1 B 1 36108927 x y x y C 1 D 1 10836279 -=-=-=-= 5.(2013·贵阳模拟)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) (((() 11 A B C D 22 6.(2012·浙江高考)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M,N 是双曲线的两顶点，若M,O,N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( ) (A)3 (B)2 (D)7.设F 1,F 2分别为双曲线22 22x y 1a b -= (a ＞0,b ＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支 上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( ) (A)3x ±4y=0 (B)3x ±5y=0 (C)4x ±3y=0 (D)5x ±4y=0 8.(能力挑战题)已知点F 1,F 2分别是双曲线22 22x y a b -=1的左、右焦点，过F 1且垂直 于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) ()()()() A (11 B (1 C 1) D (,1 +∞ -∞， ， 二、填空题 9.(2013·昆明模拟)已知双曲线22 x y 19a -=的右焦点的坐标为 ) ，则该双曲线 的渐近线方程为_________. 课时作业 A 组——基础对点练 1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A.3 B ．3 C.3m D ．3m 解析：双曲线方程为x 23m －y 2 3＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为 3.选A. 答案：A 2．已知双曲线x 2a 2－y 2 3＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( ) A ．2 B.62 C.52 D ．1 解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3 a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D. 答案：D 3．双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0 D ．y ±4x ＝0 解析：依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2 ＝0，即x ±2y ＝0，选 A. 答案：A 4．已知双曲线x 23－y 2 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2| ＝25，则△PF 1F 2的面积为( ) A ．1 B. 3 C. 5 D.12 解析：在双曲线x 23－y 2 ＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2.不防设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1| －|PF 2|＝2a ＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－ 3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝1 2×(5＋3)×(5 －3)＝1.故选A. 答案：A 5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)，直线l ：y ＝2x －2.若直线l 平行于双曲线C 的一条第八章 第六节 双曲线(优秀经典课时作业练习及答案详解)
第三讲---双曲线的第二定义
知识梳理
（一）双曲线的第二定义：平面内一动点 的比为常数 e ? 到一定点 F (c, 0) 的距离与到一定直线 L : x ?
a2 的距离 c
c (e>1) a
定点 F (c, 0) 是双曲线的焦点，定直线 L 是双曲线的准线，常数 e 是双曲线的离心率。 （二）焦点三角形的面积公式。
S?
1 ? r1r2 sin ? ? b 2 tan 2 2
3.双曲线的方程，图形，渐进线方程，准线方程和焦半径公式： 标准方程 图像 渐进线方程
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0.b ? 0) a 2 b2
b x a a2 x?? c M 在右支上 r左 =|MF1 |=ex0 ? a y??
y 2 x2 ? ? 1(a ? 0.b ? 0) a 2 b2
a x b a2 y?? c y??
准线方程
半径公式
r右 =|MF2 |=ex 0 ? a M 在左支上 r左 =|MF|=-ex 1 0 ?a r右 =|MF2 |=-ex 0 ? a
典例分析 题型一：与双曲线准线有关的问题 例 1.(1)若双曲线
x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到右焦点的距离等于 13 ，则点 P 到右准线的距离为______ 13 12
x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 2，则该双曲线的两条准线间的距离为________ A.若双曲线 m 3
练习：已知双曲线的渐进线方程为 3x ? 2 y ? 0 ，两条准线间的距离为 解：双曲线渐进线方程为 y ? ?
16 13 ，求双曲线的标准方程。 13
3 x 2
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