初二数学下学期重点知识点总结
初二下数学正比例、反比例、一次函数
知识点回顾
分式
正比例、反比例、一次函数
第一象限(+,+),第二象限(-,+)第三象限(-、-)第四象限(+,-);
x 轴上的点的纵坐标等于0,反过来,纵坐标等于0的点都在x 轴上,y 轴上的点的横坐标等于0,反过来,横坐标等于0的点都在y 轴上,
若点在第一、三象限角平分线上,它的横坐标等于纵坐标,若点在第二,四象限角平分线上,它的横坐标与纵坐标互为相反数;
若两个点关于x 轴对称,横坐标相等,纵坐标互为相反数;若两个点关于y 轴对称,纵坐标相等,横坐标互为相反数;若两个点关于原点对称,横坐标、纵坐标都是互为相反数。
1、 一次函数,正比例函数的定义
(1)如果y=kx+b(k,b 为常数,且k ≠0),那么y 叫做x 的一次函数。
(2)当b =0时,一次函数y=kx+b 即为y=kx(k ≠0).这时,y 叫做x 的正比例函数。
注:正比例函数是特殊的一次函数,一次函数包含正比例函数。
2、正比例函数的图象与性质
(1)正比例函数y=kx(k ≠0)的图象是过(0,0)(1,k )的一条直线。
(2)当k>0时?y 随x 的增大而增大?直线y=kx 经过一、三象限?从左到右直线上升。
当k<0时?y 随x 的增大而减少?直线y =kx 经过二、四象限?从左到右直线下降。
3、一次函数的图象与性质
(1) 一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象是过(0,b )(-k
b ,0)的一条直线。
注:(0,b )是直线与y 轴交点坐标,(-
k
b ,0)是直线与x 轴交点坐标. (2)当k>0时?y 随x 的增大而增大?直线y=kx+b(k ≠0)是上升的
当k<0时?y 随x 的增大而减少?直线y =kx+b(k ≠0)是下降的
4、一次函数y=kx+b(k ≠0, k b 为常数)中k 、b 的符号对图象的影响
(1)k>0, b>0?直线经过一、二、三象限
(2)k>0, b<0?直线经过一、三、四象限
(3)k<0, b>0?直线经过一、二、四象限
(4)k<0, b<0?直线经过二、三、四象限
5、对一次函数y=kx+b 的系数k, b 的理解。
(1)k(k ≠0)相同,b 不同时的所有直线平行,即直线l 1:y=k 1x+b 1;直线l 2:y=k 2x+b 2( k 1,k 2均不为零,k 1,b 1,k 2, b 2为常数)
k 1=k 2 k 1=k 2
l 1∥l 2 l 1与l 2重合 b 1≠b 2 b 1=b 2
(2)k(k ≠0)不同,b 相同时的所有直线恒过y 轴上一定点(0,b ),例如:直线y=2x+3, y=-2x+3, y=2
1x+3均交于y 轴一点(0,3) 6、直线的平移:所谓平移,就是将一条直线向左、向右(或向上,向下)平行移动,平移得到的直线k 不变,直线沿y 轴平移多少个单位,可由公式︱b 1-b 2︱得到,其中b 1,b 2是两直线与y 轴交点的纵坐标,直线沿x 轴平移多少个单位,可由公式︱x 1-x 2︱求得,其中x 1,x 2是由两直线与x 轴交点的横坐标。
7、直线y=kx+b(k ≠0)与方程、不等式的联系
(1)一条直线y=kx+b(k ≠0)就是一个关于y 的二元一次方程
(2)求两直线l 1:y=k 1x+b 1(k 1≠0),l 2:y=k 2x+b 2(k 2≠0)的交点,就
是解关于x ,y 的方程组 y=k 1x+b 1 y=k 2x+b 2
(3)若y>0则kx+b>0。若y<0,则kx+b<0
(4)一元一次不等式,y 1≤kx+b ≤y 2( y 1,y 2都是已知数,且y 1 (5)一元一次不等式kx+b ≤y 0(或kx+b ≥y 0)( y 0为已知数)的解集就是直线y=kx+b 上满足y ≤y 0(或y ≥y 0)那条射线所对应的自变量的取范围。 8、确定正比例函数与一次函数的解析式应具备的条件 (1)由于比例函数y=kx(k ≠0)中只有一个待定系数k ,故只要一个条件(如一对x,y 的值或一个点)就可求得k 的值。 (2) 一次函数y=kx+b 中有两个待定系数k,b ,需要两个独立的条件确定两个关于k,b 的方程,求得k,b 的值,这两个条件通常是两个点,或两对x,y 的值。 9、反比例函数 (1) 反比例函数及其图象 如果)0,(≠=k k x k y 是常数,那么,y 是x 的反比例函数。 反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,可用描点法画出反比例函数的图象 (2)反比例函数的性质 当K>0时,图象的两个分支分别在一、三象限内,在每个象限内, y 随x 的增大而减小; 当K<0时,图象的两个分支分别在二、四象限内,在每个象限内,y 随x 的增大而增大。 (3)由于比例函数)0,(≠=k k x k y 是常数中只有一个待定系数k ,故只要一个条件(如一对x,y 的值或一个点)就可求得k 的值。 1、函数224 y x =+中,自变量x 的取值范围为 . 2、若函数y= -2x m+2是正比例函数,则m 的值是 . 3、已知一次函数y=kx+5的图象经过点(-1,2),则k= 。 4、已知点A (3,m )与点B (n ,-2)关于y 轴对称,则m= ,n= . 5、点 P (3,-4)关于X 轴对称的点是__________。 6、一次函数y= -2x+4的图象与x 轴交点坐标是 ,与y 轴交点坐标是 , 图象与坐标轴所围成的三角形面积是 . 7、将直线 y =3x + 4 向下平移6个单位,得到直线________________。 8、点 P (a ,a -2)在第三象限,则 a 的取值范围是___ _ . 9、已知y -2与x 成反比例,当x =3时,y =1,则y 与x 间的函数关系式为 ; 10、 设有反比例函数y k x =+1,(,)x y 11、(,)x y 22为其图象上的两点,若x x 120<<时,y y 12>,则k 的取值范围是___________ 11、已知点P 在第二、四象限夹角的平分线上,且到y 轴的距离为24,则点P 的坐标为_________________。 12.函数y =x 的取值范围是 ( ) A . x < 1 B . x ≤ 1 C . x > 1 D . x ≥1 13.若点在第二象限,且到轴的距离分别为4,3,则点的坐标为( ) A 、(4,-3) B 、(3,-4) C 、(-3,4) D 、(-4,3) 14.点M (1,2)关于x 轴对称点的坐标为( ) A 、(-1,2) B 、(-1,-2) C 、(1,-2) D 、(2,-1) 15. 一次函数y=-2x+3的图像不经过的象限是( ). A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 16.一天,小军和爸爸去登山,已知山脚到山顶的路程为300米.小军先走了一段路程,爸爸才开始出发.图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程S(米)与登山所用的时间t (分)的关系(从爸爸开始登山时计时).根据图象,下列说法错误的是( ) A .爸爸登山时,小军已走了50米 B .爸爸走了5分钟,小军仍在爸爸的前面 C .小军比爸爸晚到山顶 D .爸爸前10分钟登山的速度比小军慢,10分钟后登山的速度比小军快 17、如果反比例函数x k y = 的图像经过点(-3,-4),那么函数的图像应在( ) A 、第一、三象限 B 、第一、二象限 C 、第二、四象限 D 、第三、四象限 18、若反比例函数22)12(--=m x m y 的图像在第二、四象限,则m 的值是 ( ) A 、-1或1 B 、小于 2 1 的任意实数 C 、-1 D、不能确定 19、正比例函数kx y =- k 例函数 k y =在同一坐标系内的图象为( ) 20、如右图,A 为反比例函数x k y = 图象上一点,AB 垂直x 轴于B 点,若S △AOB =3,则k 的值为( ) A 、6 B 、3 C 、23 D 、不能确定 21、已知反比例函数x y 12=的图象和一次函数 7-=kx y 的图象都经过点()2,m 。 ⑴求这个一次函数 的解析式;⑵如图,梯形ABCD 的顶点B A 、在这个一 次函数的图象上,顶点D C 、在已知反比例函数的图象 上,两底BC AD 、与y 轴平行,且点B A 、的横坐标分 别为2和4,求梯形ABCD 的面积。 22、如图,矩形OABC 的边OC OA 、分别在x 轴和y 轴 上,且点A 的坐标为()0,4,点C 的坐标为()2,0,点P 在线段CB 上,距离y 轴3个单位,有一直线()0≠+=k b kx y 经过点P ,且把矩形OABC 分成两部分。 ⑴若直线又经过x 轴上一点D ,且把矩形OABC 分成的两部分面积相等,求k 和b 的值; ⑵若直线又经过线段AB 上一点Q ,且把矩形OABC 分成的两部分的面积比为293:,求点Q 坐标。 23、 如图所示,直线PA 是一次函数y=x+n(n>0)的图象,直线PB 是一次 函数y=-2x+m(m>n)的图象 (1)用m,n 表示A ,B ,P 的坐标 (2)若点D 是PA 与y 轴的交点,且四边形 PDOB 的面积是6 5,AB =2,试求P 点坐标并写出直线PA ·PB 的解析式 24、已知:如图,在平面直角坐标系xoy 中,A 、B 两点的坐标分别为A (12, 0)、B (0,9)若点N 在直线AB 上,且S BON ?: S BOA ?=1:3,求直线ON 的解析式。 25.已知反比例函数y=k 2x 和一次函数y=2x -1,其中一次函数的图象经过(a ,b ),(a+1,b+k )两点。(1)求反比例函数的解析式 (2)如图,已知点A 在第一象限,且同时在上述两个函数的图象上,求A 点的坐标。 (3)利用(2)的结果,请问:在x 轴上是否存在点P ,使△AOP 为等腰三角形?若存在,把符合条件的P 点坐标都求出来;若不存在,请说明理由。 26.如图,直线y =2 1x +2分别交x 、y 轴于点A 、C ,P 是该直线上在第一象限内 的一点,PB ⊥x 轴,B 为垂足,S △ABP =9. (1)求点P 的坐标; (2)设点R 与点P 的同一个反比例函数的图象上,且点R 在直线PB 的右侧,作RT ⊥x 轴,T 为垂足,当△BRT 与△AOC 相似时,求点R 的坐标. 27.已知在坐标平面内原点为O,锐角⊿ OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上,在第一象限sin ∠AOB=5 3,tg ∠BAO=3,OB=10 (1)若反比例函数的图象经过点B ,求反比例函数的解析式 (2)试判断⊿AOB 的形状 28、某单位为响应政府发出的全民健身的号召,打算在长和宽分别为20米和11米的矩形大厅内修建一个60平方米的矩形健身房ABCD . 该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁(如图为平面示意图),已知装修旧墙壁的费用为20元/平方米,新建(含装修)墙壁的费用为80元/平方米. 设健身房的高为3米,一面旧墙壁AB 的长为x 米,修建健身房的总投入为y 元. (1)求y 与x 的函数关系式; (2)为了合理利用大厅,要求自变量x 必须满足8≤x ≤12. 当投入资金为4800元时,问利用旧墙壁的总 长度为多少米? 2、(判定)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 三、学习全等三角形应注意以下几个问题: (1):要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角”与“对角”的不同含义;(2):表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上; (3):“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等; (4):时刻注意图形中的隐含条件,如“公共角”、“公共边”、“对顶角” 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边,夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。 2、全等三角形的表示和性质 全等用符号“≌”表示,读作“全等于”。如△ABC≌△DEF,读作“三角形ABC 全等于三角形DEF”。 注:记两个全等三角形时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理: (1)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”) (2)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”) (3)边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。 直角三角形全等的判定: 对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”) 1. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线。 2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 3.与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上 三、用坐标表示轴对称小结:在平面直角坐标系中,关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等. 点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为______. 点(x, y)关于y轴对称的点的坐标为______. 2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等 四、(等腰三角形)知识点回顾 1.等腰三角形的性质 ①.等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角) ②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(三线合一) 2、等腰三角形的判定: 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。(等角对等边) 五、(等边三角形)知识点回顾 1.等边三角形的性质: 等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于600 。 2、等边三角形的判定: ①三个角都相等的三角形是等边三角形。 ②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。 3.在直角三角形中,如果一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半。1、等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的性质定理及推论: 定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角) 推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 初一数学知识点总结 第一册第一章有理数 1.1正数和负数以前学过的0以外的数前面加上负号“-”的书叫做负数。以前学过的0以外的数叫做正数。数0既不是正数也不是负数,0是正数与负数的分界。在同一个问题中,分别用正数和负数表示的量具有相反的意义 1.2有理数 1. 2.1有理数正整数、0、负整数统称整数,正分数和负分数统称分数。整数和分数统称有理数。 1.2.2数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。数轴的作用:所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。注意事项:⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素,缺一不可。⑵同一根数轴,单位长度不能改变。一般地,设是一个正数,则数轴上表示a的点在原点的右边,与原点的距离是a个单位长度;表示数-a的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度。 1.2.3相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。在任意一个数前面添上“-”号,新的数就表示原数的相反数。 1.2.4绝对值一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。一个正数的绝对值是它的本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,即左边的数小于右边的数。比较有理数的大小:⑴正数大于0,0大于负数,正数大于负数。⑵两个负数,绝对值大的反而小。 1.3有理数的加减法 1.3.1有理数的加法有理数的加法法则:⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。⑵绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。⑶一个数同0相加,仍得这个数。两个数相加,交换加数的位置,和不变。加法交换律:a+b =b+a 三个数相加,先把前面两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 1.3.2有理数的减法有理数的减法可以转化为加法来进行。有理数减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数。 a-b=a+(-b) 1.4有理数的乘除法 1.4.1有理数的乘法有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。任何数同0相乘,都得0。乘积是1的两个数互为倒数。几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数。两个数相乘,交换因数的位置,积相等。 ab=ba 三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。(ab)c=a(bc)一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。 a(b+c)=ab+ac 数字与字母相乘的书写规:⑴数字与字母相乘,乘号要省略,或用“” ⑵数字与字母相乘,当系数是1或-1时,1要省略不写。⑶带分数与字母相乘,带分数应当化成假分数。用字母x表示任意一个有理数,2与x的乘积记为2x,3与x的乘积记为3x,则式子2x+3x是2x 初中数学知识点总结 一、基本知识 ㈠、数与代数A、数与式: 1、有理数 有理数:①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴:①画一条水平直线,在直线上取一点表示0(原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。正数大于0,负数小于0,正数大于负数。 绝对值:①在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小,绝对值大的反而小。 有理数的运算: 加法:①同号相加,取相同的符号,把绝对值相加。②异号相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 减法:减去一个数,等于加上这个数的相反数。 乘法:①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法:①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方:求N个相同因数A的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫幂,A叫底数,N叫次数。 混合顺序:先算乘法,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里的。 2、实数 无理数:无限不循环小数叫无理数 平方根:①如果一个正数X的平方等于A,那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A,那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算,叫做开平方,其中A叫做被开方数。 立方根:①如果一个数X的立方等于A,那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方,其中A叫做被开方数。 实数:①实数分有理数和无理数。②在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义和有理数范围内的相反数,倒数,绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式 代数式:单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项:①所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时,我们把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变。 4、整式与分式 整式:①数与字母的乘积的代数式叫单项式,几个单项式的和叫多项式,单项式和多项式统称整式。②一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中,次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。整式运算:加减运算时,如果遇到括号先去括号,再合并同类项。 幂的运算:AM+AN=A(M+N) (AM)N=AMN (A/B)N=AN/BN 除法一样。 整式的乘法:①单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母的幂分别相乘,其余字母连同他的指数不变,作新人教版八年级数学知识点总结归纳
初一初二数学知识点总结
初中数学知识点总结
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