数字信号处理教程程佩青课后题答案

第一章 离散时间信号与系统

2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2x(m)

()h n m -

n

1 1 1 0 0 0 0 y(n) 0 1

1 1 1 1

2 2 1 1 1

3 3 1 1 1 1 3

4 0 1 1 1 1 2 5

1

1

1

1

1

（4）

3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n

，通过直接计算卷积和的办法，试确定

单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。

4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：

)

6

()( )( )n 313

si n()( )()8

73cos(

)( )(πππ

π-==-=n j e n x c A n x b n A n x a

分析：

序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列， n

m

m m n n y n - - -∞ = - ? = = ≥ ∑ 2 3

1 2 5 . 0 ) ( 0

1

当 3 4

n m n

m m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1

? = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 a

a a n y n a a a

n y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m n

n

m m

n -=

=

->-=

=

-≤=<<--==∑∑--∞

=---∞=--1)(11)(1)

(*)()(1

0,)1()()()(:1

时当时当解

①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；

②；

为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P Q

P =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。 解：（1）014

2/3

πω=，周期为14 （2）06

2/13

πω=

，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）

[][]12121212()()()

()()()[()()]()()()()[()][()]

T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=?+?=+

所以是线性的

T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的

y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。（x 括号内表达式满足小于等于y 括号内表达式，系统是因果的）

│y(n)│=│g(n)x(n)│<=│g(n)││x(n)│x(n)有界，只有在g(n)有界时，y(n)有界，系统才稳定，否则系统不稳定 （3）T[x(n)]=x(n-n0)

线性，移不变，n-n0<=n 即n0>=0时系统是因果的，稳定 （5）线性，移变，因果，非稳定 （7）线性，移不变，非因果，稳定 （8）线性，移变，非因果，稳定 8.

不稳定。

是因果的。

时当解：∴∞?++=

∴=

∞

-∞

=,11

01|)(| ,0)( , 0 )1(

2

2n n h n h n

稳定。

！！！是因果的。

时，当∴=+++++<++++=+

++=∴=

???

??∑∞

-∞

=3

8

1

4121111*2*31

1*211121

1101|)(| ,0)(0 )2(n n h n h n 不稳定。

是因果的。

时，当∴∞

?+++=∴=

-∞

=2

10

333

|)(| ,0)(0 )3(n n h n h n

稳定。

是非因果的。

时，当∴=

+++=∴≠

-∞

=∑

2

3333|)(|,0)(0)4(210n n h n h n 系统是稳定的。

系统是因果的。

时，当∴=

+++=∴=

∞

-∞

=7103.03.03.0|)(|,0)(0 )5(2

10n n h n h n

系统不稳定。

系统是非因果的。

时，当∴∞

?++=∴≠

-∞

=∑

213.03.0|)(|0)(0 )6(n n h n h n

系统稳定。

系统是非因果的。

时，当∴=∴≠<∑∞

-∞=1

|)(|0)(0 )7(n n h n h n

第二章 Z 变换

1． 求以下序列的z 变换，并画出零极点图和收敛域。

（7）

分析：

Z 变换定义

∑∞

-∞

=-=

=n n

z

n x z X n x Z )()()]([，n 的取值是)(n x 的有值范围。

Z 变换的收敛域是满足∞

<=∑∞

-∞

=-M z

n x n n

)(的z 值范围。

解：(1) 由Z 变换的定义可知：

∞

====<<<

z a z a

z a z a az ,0 1

, 1

1,1 零点为：极点为：即：且

收敛域：

解：(2) 由z 变换的定义可知：

n n n z n u z X -∞

-∞=∑=)()2

1

()(

n

n n

z

a

z X -∞

-∞

=?=

∑)(n

n n n

n n z a z

a

-∞

=---∞

=-∑∑+=

1

n

n n n

n n z a z a -∞

=∞

=∑∑+=0

1)

)(1

()1()1)(1(1111212a z a

z a z a az az a z

a az az ---=

---=

-+-=-)

(21)()2(n u n x n

??

?

??=)

(21)()

2(n u n x n

??

?

??=)

1(21)()

3(--??

?

??-=n u n x n

)1(,1

)()

4(≥=n n

n x 为常数）

00(0,)

sin()()5(ωω≥=n n n n x 1

0,)

()cos()()

6(0<<+=r n u n Ar n x n Φω)1||()()

1(<=a a n x n

∑∞

=-=0)2

1(n n

n z

12

111

--=

z 2

1

1121

>

0 2

1

==z z 零点为：极点为：

解:（3）

n

n n z n u z X -∞

-∞=∑---=)1()21()(∑--∞

=--=1

)21(n n n z

∑∞

=-=

1

2n n n z z

z

212--

=

12

111

--=

z 2

1 1

2 <

0 2

1

==z z 零点为：极点为：

解： (4) ∑

-?∞

==1

1)(n n

z n z X

∑∞--=-=?

?

?11

)(1)(n n z n n dz z dX 2

1)(1

1z z z n n -=-=∑

∞

=-- ，1||>z )

1(21)()3(--??

?

??-=n u n x n

)1(,1

)()4(≥=

n n

n x

。

的收敛域为故的收敛域相同，

的收敛域和因为1||)()

()(1ln

)1ln(ln )(>-=--=∴z z X dz

z dX z X z z z z z X ∞===z 1,0 零点为：

极点为：z z

解：(5) 设 )()sin()(0n u n n y ?=ω

则有 1||cos 21sin )()(2

010

1>+-=?=

----∞

-∞

=∑z z z z z

n y z Y n

n ，ωω 而 )()(n y n n x ?=

∴)()(z Y dz d

z z X ?-=1||,)cos 21(sin )1(2201021>+--=----z z z z z ωω

因此，收敛域为 ：1>z

∞

==-====-z z z z e z e z j j ,0,1,1 , 00零点为：（极点为二阶）极点为：ωω

解：(6)

1

,cos 21)cos(cos cos 21sin sin cos 21cos 1cos )( )()sin(sin )()cos(cos )

(]sin )sin(cos )[(cos( )

()cos()( 2

01

012

010

12

010100000>+---=

+-?-+--?=∴??-??=?-?=?+=---------z z

z z z z z z z z z Y n u n n u n n u n n n u n n y ωωφφωωφωωφωφωφφωφωφω设 []

。

：的收敛域为则而的收敛域为则 || )( cos 21)cos(cos )()( )()( 1 )( 220101r z z X z r r z r z A r z

Y A z X n y Ar n x z z Y n >+---=?=∴?=>---ωωφφ

（7）Z[u(n)]=z/z-1

为常数）

00(0,sin )()5(ωω≥=n n n n x 1

0),()cos()()6(0<<+=r n u n Ar n x n φω

Z[nu(n)]=2

-z

[]1(1)d z z

dz z z =

-- 2

2

23

Z[n u(n)]=-z [](1)(1)d z z z dz z z +=

--

零点为z=0,±j,极点为z=1

1

1211

123.,,()1111212 (1) (), z (2) (), z 11241144

111114 (3)(), z (4) (), z 8115311515

X z z z

z X z X z z z z z a X z X z az a z z --------

-=>=<----=>=<<

--+用长除法留数定理部分分式法求以下的反变换

分析：

长除法：对右边序列（包括因果序列）H （z ）的分子、分母都要按

z 的降幂排列，对左边序列（包括反因果序列）H （z ）的分子、分 母都要按z 的升幂排列。

部分分式法：若X （z ）用z 的正幂表示，则按X(z)/z 写成部分分

式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z 反变换可得 x （n ）。 留数定理法：

。

号（负号）”数时要取“用围线外极点留，号（负号）”必取“用围线内极点留数时不）（。

现的错误这是常出，相抵消）（来和不能用，消的形式才能相抵的表达式中也要化成因而注意留数表示是）（ 2 )1/(1 )/(1 )( )()()

)(( Re 1111

1-----=-==----k k k n k

n k k

n z z z z z z z z X z z z z X z z z z z z X s

（1）（i ）长除法：

1

21

2

111411211)(---+=

--

=z z z

z X

,2/1||,2/1>-=z z 而收敛域为：极点为

按降幂排列

分母要为因果序列，所以分子因而知)(n x

?

??-+---214

12

11z z

1

1

2

1112

11--++

z z

2

11

4

12121------

z z z

24

1-z

∑

∞

=---???? ?

?-=-+-

=???02

121 4

1211)(n n

n

z

z z z X

所以：)(21)(n u n x n

???

?

??-=

（1）(ii)留数定理法：

?--+=c n dz z z j n x 11

2

111

21)(π, 设 c 为 2

1

>z 内的逆时针方向闭合曲线：

当0≥n 时，

n

n z z z z 211112111+=+--在c 内有 2

1

-=z 一个单极点

则0 ,2121Re )(2

1≥???

??-=??????

?????

?+=-=n z z s n x n n z

，是因果序列由于 )( n x

0)( 0 =

)(21)( n u n x n

???

?

??-=所以

（1）(iii)部分分式法：

2

12111411211)(121

+=

+=--=---z z z z z z X

因为 2

1

>

z 所以 )(21)(n u n x n

????

??-=

（2）(i). 长除法：

41

,41<=z z 而收敛域为由于极点为 ,

因而 )(n x 是左边序列,所以要按z 的 升幂排列：

???+++2112288z z

z

z z 8224

1

---

2

2877z

z z -

3

2

2

1122828z

z z -

∑∑--∞

=--∞

=??+

=??+=+++=?

??1

1

24

78 478 112288)(n n

n

n n

n z z z z z X

所以 )1(417)(8)(--???

?

???+?=n u n n x n

δ

（2）(ii)留数定理法:

4

1

)( 21)(1，为设<=

?

-z c dz z z X j n x c n π 内的逆时针方向闭合曲线 时：当 0

1)(-n z z X 在c 外有一个单极点4

1

=

z

)

0( ,)4

1

(7 ])([Re )(4

11

-n z z X s n x n z n

时：当 0 =n

1)(-n z z X 在c 内有一个单极点0=z

∴0,8])([Re )(01====-n z z X s n x z n

，内无极点在时：当 )( 0 1c z z X n n ->

0,0)( >=n n x 则：

综上所述，有：

)1()4

1

(7)(8)(--+=n u n n x n δ

(2)(iii). 部分分式法：

417

8)41(2)(--+

=--=z z z z z z z X 则 14117

84

178)(---=-

-=z z z z X 因为 4

1

所以 )1()4

1

(7)(8)(--+=n u n n x n δ

(3)(i). 长除法： 因为极点为a

z 1

=

，由a z 1>可知,)(n x 为

因果序列, 因而要按 z 的降幂排列: ???+-+-+-

--221)1

(1)1(11z a a a

z a a a a a

z a z az 11-

-+-

1

)1(1)1()

1(--+----z

a

a a a a a

a

?

?????----+-

---2211)1

(1)1(1

)1(1z a a a

z a a a

z a

a a 则∑∞=-????

??-+-=11)1(1)(n n n

z a a a a z X

所以

)1(1)1()(1)(-???

?

???-+?-=n u a a a n a n x n

δ

(3)(ii). 留数定理法:

a

z dz z z X j n x c n 1 c )(21)(1>=

?

-为，设π 内的逆时针方向闭合曲线。

[]

[]

[])

1(1)1()(1)( 0)( )( 01 1 )(Re )(Re )0(1

,0 c )( 0 )

0(,1)1( 11 )(Re )( 1

)( 0 0

111111111

-???

?

??-+?-==<-=--

=+==

==>???

???-=???

??

????????-

--===>=------===n u a a a n a n x n x n x n a

a a a z z X s z z X s x a

z z z z X n n a a a z a z a z a z z X s n x a

z c z z X n n

n n n n

n n n z a

z a

z a

z δ所以

。此时是因果序列，时：由于当两个单极点内有在时：当一个单极点

内有在时：

当

(3)(iii). 部分分式法：

az

a z a az z a z z z X --+-=--=11)1()(2

则1

111

)1()(--?-+-=z a

a a a z X

所以

)(1)1()()()(n u a a a n a n x n

????

???-+?-=δ

)1(1)1()(1-????

???-+?-=n u a a a n a n

δ

(4)

1()

4

1111()()

35

3

5

z X z A B z

z z z z -==+

----

A=5/8, B=3/8

5

3()118

8

35

5131

()()(1)()()

8385

n n z z X z z z x n u n u n =

+--=---+

5．对因果序列,初值定理是

)

(lim )0(z X x z ∞

→=,如果序列为 0>n 时0)(=n x ,问相应的

定理是什么? 讨论一个序列x(n)，其z 变换为：

() (0) X z x 的收敛域包括单位圆，试求其值。 分析：

这道题讨论如何由双边序列Z 变换)(z X 来求序列初值)0(x ，把序列分成因果序列和反因果序列两部分，[它们各自由)(z X 求)0(x 表达式是不同的]，将它们各自的)0(x 相加即得所求。

)

0()(lim )2()1()0( )()(:

,0)(,00

20

x z X z x z x x z

n x z X n x n z n n

=+-+-+==

=>→--∞

=-?

??∑所以此时有：有时当序列满足解：

若序列)(n x 的Z 变换为：

2

11

2

5

12419127)(---+--=

z z z z X

2

1

,2 )()()(2

1 3

2 4 )

21)(2(24191272512419127)(21212211=

=∴+=-+-=---=+--=---z z z X z X z X z z z z z z z z z z z z X 的极点为）

（）

（

由题意可知：X(Z)的收敛域包括单位圆,则其收敛域应该为：

22

1

<

)0()0()0(3

1

213lim )(lim )0(024lim

)(lim )0( )( 0 )( 2122010121=

+=∴=

-===-==≤∞→∞→→→x x x z z z X x z z

z X x n x n n x z z z z ）

（）

（为因果序列：

时为有值左边序列，为则

6.有一信号)(n y ，它与另两个信号)(1n x 和)(2n x 的关系是:

)1()3()(21--*+=n x n x n y ，其中)(21)(1n u n x n ??? ??=，)(31)(2n u n x n

??

? ??=，已知1

11

)]([--=az

n u a Z n ，a z >，利用z 变换性质求y(n)的z 变换Y(z)。 解：

)z 3)(2

1-(z 3z )z 311)(21-(z z 3112111)]1n (x [3 13 3

3

11)()1(31 3

111)()(21 2

111)()3(3

111)()( 2111)()(5

513212112211221

31311

22111-=

-=-?-?

=--?+=--+=<-=?→←-->

-=?→←->

-?=?→←+?-=?→←-=

?→←-------z

z

z z Z )](n Z[x Y(z))

n ()*x (n x y(n)z z

z z zX n x z z

z X n x z z z z X z n x z z X n x z z X n x Z

Z

Z

Z

Z 所以而

8. 若)(),(21n x n x 是因果稳定序列，求证：

???-

-

-

=π

πω

π

π

ωπ

π

ωωωπ

ωπ

ωπ

})(21}{

)(21{

)()(212121d e

X

d e X d e X e X j j j j

分析：

利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解

ωπ

ωωπ

π

ωd e e X e X n x n x n j j j )()(21)(*)(2121?

-=

，

而 )()(21 )0()0(0

)

(*)( 212121ωπ

ωπ

π

ωd e X e X x x n n x n x j j ?-

=

==

再利用)()(21n x n x 、的傅里叶反变换，代入n = 0即可得所需结果。

证明:

?-

∴?=∴?=*=π

π

ωωωωωωω

π

d e e X e X e X e X e Y z X z X z Y n x n x n y n j j j j j j )()(21

)()()( )()()( )()()( 21212121则设

)

()()()(2121n x n x n y d e e Y n j j *===?-ππ

ωωωπ

)

0()0( )()( |)()( )()(21 210

0210

2121x x k n x k x n x n x d e X e X n n k n j j ?=?

??

???-=*=∴===-∑

?

ππ

ωωωπ ??-

-

=

=

??

?

π

π

ωωπ

πωω

ω

π

ω

πd e e X n x d e e

X

n x n j j n j j )(21

)( )(21)(2211

∴?-

=

π

π

ωωπd e X x j )(21)0(11

?-

=

π

πωωπ

d e X

x j )(21

)0(2

2