最新2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角--教案设计
课堂教学设计
课题：2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角授课时数：1课时
平面向量的数量积教案
§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 博白县龙潭中学 庞映舟 一、教学重难点： 1、重点：平面向量数量积的概念、性质的发现论证； 2、难点：平面向量数量积、向量投影的理解； 二、教学过程： （一）创设问题情景，引出新课 问题：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运 算的结果是什么？ 新课引入：本节课我们来研 究学习向量的另外一种运算：平面向量的数量积的 物理背景及其含义 （二）新课： 1、探究一：数量积的概念 展示物理背景：视频“力士拉车”,从视频中抽象出下面的物理模型 背景的第一次分析： 问题：真正使汽车前进的力是什么？它的大小是多少？ 答：实际上是力→F 在位移方向上的分力，即θCOS F → ,在数学中我们给它一个名字叫投影。 “投影”的概念：作图
定义：|→b |cos 叫做向量→b 在→ a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量； 2、背景的第二次分析： 问题：你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 分析：θCOS S F w →→=用文字语言表示即：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积；功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算结果呢？ 平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量→a 与→b ，它们的夹角是θ，则数量|→a ||→b |θcos 叫→a 与→b 的数量积，记作→a ·→b ，即有→a ·→b = |→a ||→b |θcos （０≤θ≤π）.并规定→0与任何向量的数量积为0. 注：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定. 3、向量的数量积的几何意义： 数量积→a ·→b 等于→a 的长度与→b 在→a 方向上投影|→b |cos θ的乘积. 三、例题讲解： 例1 已知｜→a ｜＝5，｜→b ｜＝4，→a 与→b 的夹角θ=O 60，求→a ·→b 解：由向量的数量积公式得：（先复习特殊角度的余弦值） →a ·→b =|→a ||→ b |cos θ=5×4×cos O 60=5×4×21=10 练习1已知｜→a ｜＝8，｜→b ｜＝6，①→a 与→b 的夹角为O 60，②→a 与→b 的夹 角θ=00，求→a ·→ b ；
平面向量数量积说课稿
《平面向量数量积》说课稿 一，说教材： 平面向量数量积是人教版高一下册第五章第六节内容，本节课是以解决某些几何问题、物理问题等的重要工具。学习本节要掌握好数量积的定义、公式和性质，它是考查数学能力的一个结合点，可以构建向量模型，解决函数、三角、数列、不等式、解析几何、立体几何中有关长度、角度、垂直、平行等问题，因此是高考命题中“在知识网络处设计命题”的重要载体。 二，说学生 学生是天祝一中普通班学生，基础较薄弱。在学生已经学习了有关向量的基本概念和基础知识，同时也已经具备一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。但在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。 三，说教法 以数学思维的完善和情感态度的发展为出发点，用多媒体辅助教学，在教师的组织、引导、参与下，以学生的积极动脑、动口为主线来促进学生的有效学习活动。以数学来源于生活，又服务于生活的理念来设计本节课。突出新知识必须在学生自主探索，交流合作的基础上让学生自己去发现和归纳。 四，说学法 1、首先，从学生的认知特点出发，通过创设情境，以物理学中的功为主线，把整节课串联起来，在功的概念的复习中，不知不觉来学习新知识。 2、引导学生自主探究、合作交流根据已有的知识经验，归纳、总结新的知识等一系列活动， 3、设计几道技能训练题，激发学生的积极性，让学生主动的参与知识的巩固、深化过程。 五，课时安排： 3课时，这是第一课时 六，说教学过程 一、创设情景引入新课 问题1：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S， （1）力F所做的功W= 。 （2） W（功）是量， F（力）是量， S（位移）是量， α是。 问题1的设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积 绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究 这种新运算的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。 二、探究新知[师生互动]引出两个向量的夹角的定义： 1、定义：向量夹角的定义：设两个非零向量a=OA与b=OB,称∠AOB= 为向量a 与b的夹角，(00≤θ≤1800)，（此概念可由老师用定义的方式向学生直接接示）问题2 当两向量垂直，共线时其夹角是怎样的？注：（1）当非零向量a与b同方向时，θ=00 （2）当a与b反方向时θ=1800 （共线或平行时）
最新25平面向量数量积的坐标表示汇总
25平面向量数量积的 坐标表示
平面向量数量积的坐标表示（1） 教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式。 ⑶能用所学知识解决有关综合问题。 教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与ｂ，作?Skip Record If...?＝a，?Skip Record If...?＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫a与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cosθ， （０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0。 C 3．向量的数量积的几何意义： 数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积。 4．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1）e?a = a?e =|a|cosθ；2）a⊥b?a?b = 0 3）当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = -|a||b|。 特别的a?a = |a|2或?Skip Record If...? 4）cosθ =?Skip Record If...?；5）|a?b| ≤ |a||b|
5． 平面向量数量积的运算律 交换律：a ? b = b ? a 数乘结合律：(?Skip Record If...?a )?b =?Skip Record If...?(a ?b ) = a ?(?Skip Record If...?b ) 分配律：(a + b )?c = a ?c + b ?c 二、讲解新课： ⒈平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，试用 ?Skip Record If...?和?Skip Record If...?的坐标表示?Skip Record If...?。 设?Skip Record If...?是?Skip Record If...?轴上的单位向量，?Skip Record If...?是?Skip Record If...?轴上的单位向量，那么 ?Skip Record If...?，?Skip Record If...? 所以?Skip Record If...??Skip Record If...? 又?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? 所以?Skip Record If...??Skip Record If...? 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 即?Skip Record If...??Skip Record If...? 2.平面内两点间的距离公式 （1）设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?或?Skip Record If...?。 （2）如果表示向量?Skip Record If...?的有向线段的起点和终点的坐标分别为?Skip Record If...?、?Skip Record If...?，那么?Skip Record If...?(平面内两点间的距离公式) 3.向量垂直的判定 1)
平面向量的数量积与应用举例专题训练
平面向量的数量积与应用举例专题训练 A组基础题组 1.已知向量a=(2,1),b=(1,m),c=(2,4),且(2a-5b)⊥c,则实数m=( ) A.- B.- C. D. 2.已知向量a=(1,0),|b|=,a与b的夹角为45°,若c=a+b,d=a-b,则c在d方向上的投影为( ) A. B.- C.1 D.-1 3.向量a,b满足|a+b|=2|a|,且(a-b)·a=0,则a,b的夹角的余弦值为( ) A.0 B. C. D. 4.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记 I1=·,I2=·,I3=·,则( ) A.I1 10.已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-∈[0,π]. (1)若a∥b,求x的值; (2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. B组提升题组 1.已知a、b均为单位向量,且a·b=0.若|c-4a|+|c-3b|=5,则|c+a|的取值范围是( ) A.[3,] B.[3,5] C.[3,4] D.[,5] 2.非零向量m,n的夹角为,且满足|n|=λ|m|(λ>0),向量组x1,x2,x3由一个m和两个n排列而成,向量组 y1,y2,y3由两个m和一个n排列而成,若x1·y1+x2·y2+x3·y3的所有可能值中的最小值为4|m|2,则λ = . 3.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值. 《平面向量的数量积》教学设计及反思 交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。 一、总体设想： 本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。 二、教学目标： 1. 了解向量的数量积的抽象根源。 2. 了解平面的数量积的概念、向量的夹角 3. 数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义 4. 理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算 三、重、难点： 【重点】1.平面向量数量积的概念和性质 2.平面向量数量积的运算律的探究和应用 【难点】平面向量数量积的应用 四、课时安排： 2课时 五、教学方案及其设计意图：1．平面向量数量积的物理背景平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力F 的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为W F s cos ，这里的是矢量F 和s 的夹角，也即是两个向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b 的数量积的概念。 2．平面向量数量积（内积）的定义 已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b，即有a b = |a||b|cos ，（０≤θ≤π）. 并规定0 与任何向量的数量积为0. 零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积 的定义a b = |a||b|cos 无法得到，因此另外进行了规定。 3. 两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０ ≤θ≤π） . 平面向量数量积运算平面向量数量积的基本运算题型一DCBCEFABCDBAD，，＝120°，点的边长为2，∠1 例(1)(2014·天津)已知菱形分别在边→→AFDFAEBCBEDC________. .若λ·上，的值为＝3＝，1＝λ，则→→PBPAPAOPBAB) · (2)已知圆为切点，的半径为1，， 那么为该圆的两条切线，的最小值为，( 2 －43＋2 ＋B.A.－2 3＋2C.－4＋D.22 －→→→→→OBOAOAABOA________. ·＝|＝1 变式训练(2015·湖北)已知向量3⊥，则，| 利用平面向量数量积求两向量夹角题型二 22babaababab与＋(|，且2－(1)(2015·重庆例2 )若非零向量，则，)⊥(3满足||)＝|3的夹 角为( ) ππ3πA. B. C. D.π424πabababab的夹角2－＋与＝|2，|，则|＝32(2)若平面向量与平面向量，的夹角等于|3的余弦值等于( ) 1111A. B.－ C. D.－262612121→→→→ABCOAOABACAB与)＝(＋，则上的三点，若2 变式训练(2014·课标全国Ⅰ)已知，，为圆2→AC的夹角为________. 教育资料． . 利用数量积求向量的模题型三 baababab等于＋的夹角为|120°，则|＝2，且例3 (1)已知平面向量|2和与，|||＝1，) ( B.4 A.2 D.6 5 C.2ABCDADBCADCADBCPDC上的动点，则是腰＝，∠1＝90°，，＝(2)已知直角梯形2中，，∥→→PAPB|的最小值为________. ＋3|1eeeebbe·.是平面单位向量，且若平面向量·满足变式训练3 (2015·浙江)已知，＝beb|＝，则＝|·________. 112212 ＝12 第十三教时 教材：平面向量的数量积的坐标表示 目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。 过程： 一、复习： 1．平面向量的坐标表示及加、减、实数与向量的乘积的坐标表示 2．平面向量数量积的运算 3．两平面向量垂直的充要条件 4．两向量共线的坐标表示： 二、 课题：平面两向量数量积的坐标表示 1．设a = (x 1, y 1)，b = (x 2, y 2)，x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ， 则：i ?i = 1，j ?j = 1，i ?j = j ?i = 0 2．推导坐标公式： ∵a = x 1i + y 1j , b = x 2i + y 2j ∴a ?b = (x 1i + y 1j )(x 2i + y 2j ) = x 1x 2i 2 + x 1y 1i ?j + x 2y 1i ?j + y 1y 2j 2 = x 1x 2 + y 1y 2 从而获得公式：a ?b = x 1x 2 + y 1y 2 例一、设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ?b 解：a ?b = 5×(-6) + (-7)×(-4) = -30 + 28 = -2 3．长度、角度、垂直的坐标表示 1?a = (x , y ) ? |a|2 = x 2 + y 2 ? |a | =22y x + 2?若A = (x 1, y 1)，B = (x 2, y 2)，则=221221)()(y y x x -+- 3? co s θ = | |||b a b a ??2 2 2 22 1 2 12121y x y x y y x x +++= 4?∵a ⊥b ? a ?b = 0 即x 1x 2 + y 1y 2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原则） 4．例二、已知A (1, 2)，B (2, 3)，C (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形。 证：∵=(2-1, 3-2) = (1, 1), = (-2-1, 5-2) = (-3, 3) ∴?=1×(-3) + 1×3 = 0 ∴⊥ ∴△ABC 是直角三角形 三、补充例题：处理《教学与测试》P153 第73课 例三、已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ?a = 9与x ?b = -4的向量x 。 解：设x = (t , s )， 由x ?a = 9 ? 3t - s = 9 t = 2 由x ?a = 9 ? 3t - s = 9 s = -3 ∴x = (2, -3) 例四、如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90?， 求点B 和向量AB 的坐标。 解：设B 点坐标(x , y )，则= (x , y )，= (x -5, y -2) ∵⊥ ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2 -5x - 2y = 0 又∵|| = || ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x + 4y = 29 由??? ?????????= =-==????=+=--+272323272941002522112 2 y x y x y x y x y x 或 ∴B 点坐标)23,27(-或)2 7 ,23(；=)27,23(--或)23,27(- 例五、在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值。 解：当A = 90?时，?= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =2 3 - 当B = 90?时，AB ?BC = 0，BC =AC -AB = (1-2, k -3) = (-1, k -3) ∴2×(-1) +3×(k -3) = 0 ∴k = 3 11 当C = 90?时，AC ?BC = 0，∴-1 + k (k -3) = 0 ∴k =2 13 3± 四、小结：两向量数量积的坐标表示 长度、夹角、垂直的坐标表示 五、作业： P121 练习及习题5.7 《教学与测试》P154 5、6、7、8，思考题 ? A O B 平面向量的数量积 【知识点精讲】 一、平面向量的数量积 （1）已知两个非零向量a r 和b r ，记为OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，，则)0(πθθ≤≤=∠AOB 叫做向量a r 与b r 的夹角，记作,a b <>r r ，并规定[],0,a b π<>∈r r 。如果a 与b 的夹角是2 π，就称a r 与b r 垂直，记为.a b ⊥r r （2）cos ,a b a b <>r r r r 叫做向量a r 与b r 的数量积（或内积），记作a b ?r r ，即b a ? cos ,a b a b <>r r r r . 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 两个非零向量a r 与b r 垂直的充要条件是0.a b ?=r r 两个非零向量a r 与b r 平行的充要条件是.a b a b ?=±r r r r 二、平面向量数量积的几何意义 数量积a b ?r r 等于a r 的长度a r 与b r 在a r 方向上的投影cos b θr 的乘积，即cos a b a b θ ?=r r r r （b r 在a r 方向上的投影为cos a b b a θ?=r r r r ）；a r 在b r 方向上的投影为 cos .a b a b θ?=r r r r 三、平面向量数量积的重要性质 性质1 cos .e a a e a θ?=?=r r r r r 性质2 0.a b a b ⊥??=r r r r 性质3 当a r 与b r 同向时，a b a b ?=r r r r ；当a r 与b r 反向时，a b a b ?=-r r r r ；22a a a a ?==r r r r 或 a =r 性质4 cos (00)a b a b a b θ?=≠≠r r r r r r r r 且 性质5 a b a b ?≤r r r r 注：利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题。 四、平面向量数量积满足的运算律 （1）a b b a ?=?r r r r （交换律）； 2. 4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义 一、教材分析 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律. 二．教学目标 1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义； 2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算； 3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。 三、教学重点难点 重点： 1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。 难点：平面向量数量积的概念 四、学情分析 我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细 五、教学方法 1．实验法：多媒体、实物投影仪。 2．学案导学：见后面的学案。 3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1．学生的学习准备：预习学案。 2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。。 七、课时安排：1课时 八、教学过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 （二）情景导入、展示目标。 创设问题情景，引出新课 1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。 2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？ 期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用 、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向3．量数量积的物理背景及其含义（三）合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念：1、给出有关材料并提出问题3 F 培优点9 平面向量数量积的最值问题 平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化． 例 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC → |AC →|，则PB →·PC → 的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ????1t ，0，C (0，t )，AB →＝????1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB →|AB →|＋4AC →| AC →|＝t ????1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)， PB →·PC →＝????1t －1，－4· (－1，t －4) ＝17－????1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13， 当且仅当t ＝12 时等号成立． ∴PB →·PC →的最大值等于13. (2)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3 的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为________． 答案 5－213 解析 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)， 设P (2cos θ，2sin θ)????π3≤θ≤2π3， 则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)， 其中0 《平面向量的数量积》复习课 说课稿 黄州区一中李世品 尊敬的各位评委、各位老师：大家好！ 今天我说课的题目是《平面向量的数量积》—复习课。下面我将从一下几个方面阐述我对本节课的分析和设计。 一、教材分析： 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。将平面向量引入高中课程，是现行数学教材的重要特色之一。由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合和转换的桥梁。而这一切之所以能够实现，平面向量的数量积功不可没。《平面向量的数量积》是数学必修4第二章第四节的内容。平面向量的数量积是继向量的线性运算之后，且已具备了一定的对向量的理解和应用能力的基础上进行的又一个重要运算，同时为探索空间向量的研究奠定了理论基础，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节复习课是把这两节并一节来复习的。本节课数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，高考中也经常考察的内容，而且很好的体现了数形结合的数学思想和类比思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点之一。 二、教学目标的设计： 1、知识与技能： (1)理解平面向量的数量积的含义及物理意义。 (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系。 (3)掌握平面向量的数量积的坐标表达式，会进行平面向量的数量积的运算。 (4)能运用平面向量的数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2、过程与方法： (1)通过本节课的复习培养学生应用平面向量的数量积解决相关问题的能力。 (2)通过师生共同探讨培养“数形结合思想”与“分类讨论思想”的能力。 3、情感态度与价值观： 培养学生发现问题的意识和运用知识的意识，让学生参与解决相关问题的全过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力，激发学生学习数学的兴趣。 三、重、难点分析： 1、重点：理解平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量的数量积的坐标表运算；用平面向量的数量积解决夹角、长度及垂直等问题。 2、难点：平面向量的数量积的综合应用。 四、教学方法与学法分析： 1、教学方法：本节课是高三第一轮复习中的《平面向量数量积的复习课》，重点理解平面向量的数量积及其几何意义，掌握平面向量数量积的坐标运算。用数量积求夹角、距离、判断垂直等问题及平面向量数量积的。培养学生类比思想以及数形结合思想。 一．方法综述 平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．由于命题方式灵活多样，试题内容活泼、新颖，因此，在高考试卷中备受青睐，是一个稳定的高频考点．解决这类问题有三种基本方法：投影法、基底法和坐标法．“三法”的准确定位应是并举！即不应人为地、凭主观划分它们的优劣，而应具体问题具体分析． 本专题举例说明解答解决平面向量数量积问题的方法、技巧. 二．解题策略 类型一投影定义法 【例1】【2018届河南省中原名校高三上第一次考评】已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则·（＋）＝_________． 【答案】6 【解析】设BC的中点为D，则AD⊥BC， 【指点迷津】 1、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）： 向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ?=，可变形为()cos a b a b θ?=?或() cos a b b a θ?=?，进而与向量投影找到联系 （1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→?=?（记a b λ→为a 在b 上的投影） （2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解： a b a b b λ→?= 即数量积除以被投影向量的模长 2、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题 （1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）学科&网 （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 【举一反三】 已知圆M 为直角三角形ABC 的外接圆，OB 是斜边AC 上的高，且6,22AC OB ==，AO OC <，点P 为线段OA 的中点，若DE 是 M 中绕圆心M 运动的一条直径，则PD PE ?=_________ M C A O B P D E Q 【答案】-5 【解析】思路：本题的难点在于DE 是一条运动的直径，所以很难直接用定义求解.考虑到DE 为直径，所以延长EP 交圆M 于Q ，即可得DQ QE ⊥，则PD 在PE 上的投影向量为PQ .所求 PD PE PE PQ ?=-?，而由PE PQ ?联想到相交弦定理，从而PE PQ AP PC ?=?.考虑与已知条 件联系求出直径AC 上的各段线段长度.由射影定理可得：2 8AO CO OB ?==，且 《2.4.1平面向量数量积的 物理背景及其含义》 教学设计 2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计 一、教材分析 1.地位与作用 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版必修4第二章《平面向量》的第4节内容。本节内容教材共分为两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。向量数量积运算是继向量的线性运算后的一种新的重要的运算，它有明显的物理意义、几何意义。向量数量积是代数、几何与三角的结合点，应用广泛，很好地体现了数形结合的数学思想。 2.学情分析 学生在学习本节内容之前，已经学习了平面向量的线性运算，理解并掌握了向量数乘运算及其几何意义。学生会产生这样的疑问——平面向量之间可以进行向量与向量的乘法运算吗？而学生此时已学习了功等物理知识，能够解决简单的物理问题，并熟知了实数的运算体系，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。所以本节课我从学生所熟悉的“功”引入“数量积”，通过学生的自主探究，小组合作探究，教师点评等环节完成本节知识的学习。 二、教学目标 1.知识与技能 ⑴理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义； ⑵掌握平面向量数量积的性质与运算律； ⑶会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； ⑷以数学知识的教学为载体，为学生创造学习数学英语知识的环境，进而了解数学专业术语的英语表示，能用英语进行数学方面的交流，培养学生的跨文化意识与双思维，提高英语理解能力。 2.过程与方法 本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生明白数量积的物理背景，学习“投影”后，通过设置例1让学生练习计算数量积与投影，并引导学生观察完成的表格发现数量积与投影的关系，从而得出数量积的几何意义，随后通过学生的自主学习与小组活动，探究数量积的性质与运算律。设置分层例题与分层练习，夯实基础，提升能力。采用双语教学，不仅达到学习数学知识的目的，同时还提高了学生的英语理解能力，激发了学生学习的兴趣。 3.情感态度与价值观 通过平面向量数量积的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，体会数形结合思想、类比思想，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。课堂中不断培养学生自主学习、主动探索，勤于观察、思考，善于总结的态度，并提高参与意识和合作精神。 三、教学重难点 重点：平面向量数量积的概念，用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角,判断向量的 《平面向量数量积》说课稿 一：说教材 平面向量的数量积是两向量之间的乘法，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算。本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法。本节内容也是全章重要内容之一。 二：说学习目标和要求 通过本节的学习，要让学生掌握 （1）：平面向量数量积的坐标表示。 （2）：平面两点间的距离公式。 （3）：向量垂直的坐标表示的充要条件。 以及它们的一些简单应用，以上三点也是本节课的重点，本节课的难点是向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用。 三：说教法 在教学过程中，我主要采用了以下几种教学方法： （1）启发式教学法 因为本节课重点的坐标表示公式的推导相对比较容易，所以这节课我准备让学生自行推导出两个向量数量积的坐标表示公式，然后引导学生发现几个重要的结论：如模的计算公式，平面两点间的距离公式，向量垂直的坐标表示的充要条件。 （2）讲解式教学法 主要是讲清概念，解除学生在概念理解上的疑惑感；例题讲解时，演示解题过程！ 主要辅助教学的手段（powerpoint） （3）讨论式教学法 主要是通过学生之间的相互交流来加深对较难问题的理解，提高学生的自学能力和发现、分析、解决问题以及创新能力。 四：说学法 学生是课堂的主体，一切教学活动都要围绕学生展开，借以诱发学生的学习兴趣，增强课堂上和学生的交流，从而达到及时发现问题，解决问题的目的。通过精讲多练，充分调动学生自主学习的积极性。如让学生自己动手推导两个向量数量积的坐标公式，引导学生推导4个重要的结论！并在具体的问题中，让学生建立方程的思想，更好的解决问题！ 五：说教学过程 这节课我准备这样进行： 首先提出问题：要算出两个非零向量的数量积，我们需要知道哪些量？ 继续提出问题：假如知道两个非零向量的坐标，是不是可以用这两个向量的坐标来表示这两个向量的数量积呢？ 引导学生自己推导平面向量数量积的坐标表示公式，在此公式基础上还可以引导学生得到以下几个重要结论： （1）模的计算公式 （2）平面两点间的距离公式。 （3）两向量夹角的余弦的坐标表示 （4）两个向量垂直的标表示的充要条件 第二部分是例题讲解，通过例题讲解，使学生更加熟悉公式并会加以应用。 例题1是书上122页例1，此题是直接用平面向量数量积的坐标公式的题，目的是让学生熟悉这个公式，并在此题基础上，求这两个向量的夹角？目的是让学生熟悉两向量夹角的余弦的坐标表示公式例题2是直接证明直线垂直的题，虽然比较简单，但体现了一种重要的证明方法，这种方法要让学生掌握，其实这一例题也是两个向量垂直坐标表示的充要条件的一个应用：即两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。 例题3是在例2的基础上稍微作了一下改变，目的是让学生会应用公式来解决问题，并让学生在这要有建立方程的思想。 再配以练习，让学生能熟练的应用公式，掌握今天所学内容。 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 【学习目标】 1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点) 2.会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题．(难点) 3.分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点) 4.能用向量方法证明两角差的余弦公式．(重点) 【核心素养】 1.通过平面向量数量积的坐标表示，培养数学运算和数据分析的核心素养. 2.借助向量的坐标运算求向量的夹角、长度以及论证垂直问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 【自主学习】 一、设计问题，创设情境 问题1：在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3,2)，b＝(2,1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a·b为多少？ 二、学生探索、尝试解决 问题2; 若a=(x, y),则|a|2=x2+y2,或|a|=√x2+y2， 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2) ,那你能用坐标表示出|a|吗？ 问题3; 设a=(x1,y1)，b=(x2, y2)，若a⊥b,你能得到什么？ 问题4; 设a,b都是非零向量，a=(x1,y1)，b=(x2, y2)，θ是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示你能得到什么 三、运用规律，解决问题 例1.若点 A(1, 2) , B(2, 3) , C(-2, 5)，则△ABC是什么形状？证明你的猜想。例2 设a=(3, -1) ,b=(1, -2) ,.求a·b及a,b的夹角θ 例3用向量方法证明两角差的余弦公式 cos(α?β)=cosαcosβ+sinαsinβ 平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. (2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋ 2 C.－4＋2 2 D.－3＋2 2 变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝22 3 |b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π (2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π 3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦 值等于( ) A.126 B.－126 C.112 D.－1 12 变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与 AC → 的夹角为________. 题型三 利用数量积求向量的模 例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5 D.6 (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB → |的最小值为________. 变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝1 2.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2 ＝1，则|b |＝________. 2.4《平面向量的数量积》教案（第一课时） 2017级应用数学专业康萍 一．教学内容分析 本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4（人教A版）§2.4 平面向量的数量积的第一课时,本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律,本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程. 二．学生学习情况分析 学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法。在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上,学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律,对于运算律不一定给全或给对,对运算律的证明可能会存在一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断. 三．设计思想 遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导，采用探究式教学，以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究，在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展， 引导学生积极将知识融入自己的知识体系。 四．教学目标 知识与技能：以物理中功的实例认识理解平面向量数量积的含义及物理意义。 过程与方法：培养学生观察、归纳、类比、联想和数形结合等发现规律的一般方法。 情感态度价值观：让学生经历由实例到抽象的数学定义的形成过程，性质的发现到论证过程，进一步参悟数学的本质。 五．教学重点和难点 重点是平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角；难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。 六．教学过程设计 活动一：创设问题情景，引出新课 1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？(完整版)《平面向量的数量积》教学设计及反思
平面向量数量积运算专题附答案
6290平面向量的数量积的坐标表示
向量数量积专题(总)
人教版高中数学全套教案导学案241平面向量的数量积的物理背景及其含义教学案
专题二 培优点9 平面向量数量积的最值问题
《平面向量的数量积的复习课》说课稿#(精选.)
专题03 “三法”解决平面向量数量积问题(第二篇)-2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破(解析
高中数学——平面向量数量积的教学设计
《平面向量数量积》说课稿
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积运算专题(附标准答案)
平面向量的数量积教案