2018年高考理科数学全国卷3(含答案与解析)

数学试卷 第1页（共20页） 数学试卷 第2页（共20页）

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)

理科数学

本试卷满分150分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合{10}A x x =-∣≥,{0,1,2}B =,则A B = ( )

A .{0}

B .{1}

C .{1,2}

D .{0,1,2} 2.()(1i 2i)+-=

( )

A .3i --

B .3i -+

C .3i -

D .3i +

3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

(

)

A

B

C D 4.若1

sin 3α=

,则cos2α=

( )

A .89

B .79

C .79

- D .89

- 5.252

()x x

+的展开式中4x 的系数为

( )

A .10

B .20

C .40

D .80

6.直线2=0x y ++分别与x 轴,y 交于A ,B 两点,点P 在圆22(2)=2x y -+上,则

ABP △面积的取值范围是

( )

A .[2,6 ]

B .[4,8]

C

.

D 7.函数422y x x =-++的图象大致为

(

)

A

B

C

D

8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ,各成员的支付方式相互独立.设X

为该群体的10位成员中使用移动支付的人数, 2.4DX =,()6(4)P X P X ==＜,则p =

( )

A .0.7

B .0.6

C .0.4

D .0.3

9.ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若ABC △的面积为222

4

a b c +-,则

C = ( )

A .π2

B .

π3

C .

π4

D .

π6

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________

-------------在

--------------------此--------------------

卷--------------------

上--------------------

答--------------------题--------------------

无--------------------

效

----------------

数学试卷 第3页（共20页） 数学试卷 第4页（共20页）

10.设A ,B ,C ,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC △为等边三角形且其面

积为则三棱锥D ABC -体积的最大值为

( )

A

.

B

.

C

.

D

.11.设1F ,2F 是双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=＞＞的左、右焦点,O 是坐标原点.过2F 作

C 的一条渐近线的垂线,垂足为P .

若1|||PF OP =,则C 的离心率为 ( )

A

B .2

C

D

12.设0.2log 0.3a =,2log 0.3b =,则

( )

A .0a b ab +＜＜

B .ab a b +＜＜0

C .0a b ab +＜＜

D .0ab a b +＜＜

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知向量2)(1,=a ,)2(2,=-b ,),(1λ=c .若2()+∥c a b ,则=λ . 14.曲线)e (1x

y ax =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-,则a = .

15函数π

()cos(3)6

f x x =+在[0,π]的零点个数为 .

16.已知点1()1,M -和抛物线C ：24y x =,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若90AMB ∠=,则k = .

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考

题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.) (一)必考题：共60分. 17.(12分)

等比数列{}n a 中,11a =,534a a =. (1)求{}n a 的通项公式；

(2)记n S 为{}n a 的前n 项和.若63m S =,求m .

18.(12分)

某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min )绘制了如下茎叶图：

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高，并说明理由；

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ,并将完成生产任务所需时间超过

(

3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附：22

()(a b)(c d)(a c)(b d)

n ad bc K -=++++,

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19.(12分)

如图,边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直,M 是CD 上异于C ,D 的点.

(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；

(2)当三棱锥M ABC -体积最大时,求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值.

20.(12分)

已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：22

143

x y +=交于A ,B 两点,线段AB 的中点为

(1,)()M m m ＞0.

(1)证明：1

2

k ＜-；

(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=.证明：FA ,FP ,FB

成等差数列,并求该数列的公差. 21.(12分)

已知函数22()()ln(1)2f x a x x x x +=-++.

(1)若0a =,证明：当10x -＜＜时,()0f x ＜；当0x ＞时,()0f x ＞； (2)若=0x 是()f x 的极大值点,求a .

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.

22.［选修4—4：坐标系与参数方程］(10分)

在平面直角坐标系xOy 中,O 的参数方程为cos ,

sin x y θθ=??=?

(θ为参数),

过点且

倾斜角为α的直线l 与O 交于A ,B 两点. (1)求α的取值范围；

(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.

23.［选修4—5：不等式选讲］(10分) 设函数()211f x x x =++-. (1)画出() y f x =的图象；

(2)当[ 0),x ∈+∞,()b x f ax +≤,求a b +的最小值

.

-------------在

--------------------此--------------------

卷--------------------

上--------------------

答--------------------

题--------------------

无--------------------

效

----------------

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________

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2018年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)

理科数学答案解析

第Ⅰ卷

一、选择题 1.【答案】C

【解析】∵={1}A x x ｜≥,{0,1,2}B =,∴={1,2}A B ,故选C .

2.【答案】D

【解析】21i 2i)(2i 2i i 3i )(+-=-+-=+,故选D . 3.【答案】A

【解析】两个木构件咬合成长方体时,小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的木构件,易知俯

视图可以为A .故选A . 4.【答案】B 【解析】由1

sin 3

α=,得22127cos212sin 12()=1=399αα=-=-?-.故选B .

5.【答案】C

【解析】252()x x

+的展开式的通项251103155()(2)2r r r r r r r T C x x C x ---+==,令1034r -=,

得2r =,所以4x 的系数为22

5

240C ?=.故选C . 6.【答案】A

【解析】由圆22(2)=2x y -+可得圆心坐标(2,0),

半径r =ABP △的面积记为S ,点

P 到直线AB 的距离记为d ,则有1

2

S AB d =

.

易知AB =

max

d ==

min d =所以26S ≤≤,故选A .

7.【答案】D

【解析】∵42()2f x x x =-++,∴3()42f x x x '=-+,令()0f x '＞,

解得2

x -

＜

或x 0＜此时,()f x 递增；令()0f x '＜,

解得x ＜0

或x ,此时,()f x 递减.由此可得()f x 的大致图象.故选D . 8.【答案】B

【解析】由题知~1()0,X B p ,则(101 2.4)DX p p =??-=,解得0.4p =或0.6.又∵

()6(4)P X P X ==＜,即4466642210

10(1)(1)(1)0.5C P p C P p p p p --?-?＜＜＞,∴0.6p =,故选B .

9.【答案】C

【解析】根据余弦定理得222

2cos a b c ab C +-=,因为222

4

ABC

a S

b

c +-=

△,所以c 42o s ABC ab C S =

△,又1sin 2ABC S ab C =△,所以tan 1C =,因为π()0,C ∈，所以4

C π

=.故选C .

10.【答案】B

【解析】设ABC △的边长为a ,则1

sin60=932ABC S a a =

△,解得6a =(负值舍去).ABC △的外接圆半径r 满足6

2sin60

r =,得r =球心到平面ABC 的距离

为2=.所以点D 到平面ABC 的最大距离为246+=,所以三棱锥

D

ABC -

体积的最大值为1

63

?=故选B .

11.【答案】C

【解析】点2(,0)F c 到渐近线b y x a =

的距离2(0)PF b b ==＞,而2OF c =,所以

在2Rt OPF △中,由勾股定理

可得OP a ,

所

以1PF ==.在

2

Rt OPF △中,

222

cos PF b PF O OF c

∠=

=

,在12F F P

△中

,

2

2

2

2222121

2212

46cos 22PF F F PF b c a PF O PF F F b c

+-+-∠=

=

??2,

所

以

222

222463464b b c a b c a c bc +-=?=-,则有2

2223(

)46c a c a -=

-,解得c a

=负

值舍去),即e =.故选C .

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12.【答案】B

【解析】解法一：∵0.20.2log 0.3log 1=0a =＞,22log 0.3log 1=0b =＜,∴0ab ＜,排除C . ∵0.20.20log 0.3log 0.2=1＜＜,22log 0.3log 0.5=1-＜,即01a ＜＜,1b ＜-,∴0a b +＜,排除D .

∵220.2log 0.3lg0.2log 0.2log 0.3lg 2b a ===,∴2223log 0.3log 0.2log 12

b b a -=-=＜,∴

1b

b ab a b a

+

?+＜＜,排除A .故选B . 解法二：易知01a ＜＜,1b -＜,∴0ab ＜,0a b +＜,

∵

0.30.30.311

log 0.2log 2log 0.41a b +=+=＜, 即1a b ab

+＜,∴a b ab +＞,

∴0ab a b +＜＜.故选B .

第Ⅱ卷

二、填空题

13.【答案】1

2

【解析】由已知得2(4,2)+=a b .又,()1c λ=,2()+∥c a b ,所以42=0λ-,解得12

λ=. 14.【答案】3-

【解析】设(e ))1(x

f x ax =+,则()()1e x

f x ax a '=++,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜

率(0)12k f a '==+=-,解得3a =-. 15.【答案】3

【解析】令()0f x =,得πcos(3)6x +,解得ππ+()39k x k =

∈Z .当0k =时,π

9

x =；当1

k =时,4π9x =；当2k =时,7π

9

x =,又[ 0,π]x ∈,所以满足要求的零点有3个.

16.【答案】2

【解析】解法一：由题意可知C 的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k 的

直线方程为1y x k =

+,设111,y A y k ??+ ???,221,y B y k ??

+ ???

,将直线方程与抛物线方程联立得21,

4,

y x k y x ?

=+???=?整理得2440y y k --=,从而得124y y k +=,124y y =-.∵

1()1,M -,90AMB ∠=,∴0MA MB =,即1212(2)(2)(1)(1)0y y

y y k k

+++--=,

即2440k k -+=,解得2k =.

解法二：设11A(,)x y ，22(),B x y ,则2112224,4,y x y x ?=?=?①②

②-①得2

22

1214()y y x x -=-,从而212112

4y y x x k y y --+==.设AB 的中点为M '，连接MM '.∵直线AB 过抛物线

24y x =的焦点，∴以线段AB 为直径的M '⊙与准线:1l x =-相切.∵

1()1,M -,90AMB ∠=,∴点M 在准线:1l x =-上,同时在M '⊙上,∴准线l 是

M '⊙的切线,切点M ,且MM l '⊥,即MM '与x 轴平行,∴点M '的纵坐标为1,即121222

1y y y y =?++=,故1244

22y y k =+=

=. 故答案为：2. 三、解答题

17.【答案】(1)解：设{}n a 的公比为q ,由题设得1n n a q -=.

由已知得424q q =,解得0q =(舍去)或2q =-或2q =. 故1(2)n n a -=-或12n n a -=. (2)若1

(2)

n n a -=-,则1(2)3

n

n S --=.

数学试卷 第11页（共20页） 数学试卷 第12页（共20页）

由63m S =得(2)188m -=-.此方程没有正整数解.

若12n n a -=,则21n n S =-.由63m S =得264m =,解得6m =. 综上,6m =.

【解析】(1)解：设{}n a 的公比为q ,由题设得1

n n a q

-=.

由已知得424q q =,解得0q =(舍去)或2q =-或2q =. 故1(2)n n a -=-或12n n a -=.

(2)若1

(2)n n a -=-,则1(2)3

n n S --=.

由63m S =得(2)188m -=-。此方程没有正整数解.

若12n n a -=,则21n n S =-.由63m S =得264m =,解得6m =. 综上,6m =.

18.【答案】(1)第二种生产方式的效率更高. 理由如下：

(i )由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至

少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多

79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

(ii )由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分

钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

(iii )由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；

用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟。因此第二种生产方式的效率更高.

(iv )由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最

多,关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少。因此第二种生产方式的效率更高.

以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. (2)由茎叶图知7981

802

m +==.

(3)由于2

40(151555)10 6.63520202020

K ??-?==???＞,所以有99%的把握认为两种生产方式的

效率有差异.

【解析】(1)第二种生产方式的效率更高. 理由如下：

(i )由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至

少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多

79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

(ii )由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分

钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

(iii )由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；

用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟。因此第二种生产方式的效率更高.

(iv )由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最

多,关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少。因此第二种生产方式的效率更高.

以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

数学试卷 第13页（共20页） 数学试卷 第14页（共20页）

(2)由茎叶图知7981

802

m +==.

(3)由于2

40(151555)10 6.63520202020

K ??-?==???＞,所以有99%的把握认为两种生产方式的

效率有差异.

19.【答案】(1)由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC CD ⊥,BC ?

平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC DM ⊥.

因为M 为

CD 上异于C ,D 的点,且DC 为直径,所以DM CM ⊥. 又BC

CM C =,所以DM ⊥平面BMC .

而DM ?平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC .

(2)以D 为坐标原点,DA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系

D xyz -.

当三棱锥M ABC -体积最大时,M 为CD 的中点. 由

题

设

得

(0,0,0)D ,(2,0,0)A ,(2,2,0)B ,(0,2,0)C ,(0,1,1)M ,(2,1,1)AM =-,(0,2,0)

AB =,(2,0,0)DA =.

设(,,)n x y z =是平面MAB 的法向量,则

0,0,n AM n AB ?=??

=??即20,

20,x y z y -++=??=?

可取(1,0,2)n =.

DA 是平面MCD 的法向量,因此

5cos ,5n DA n DA n DA

=＜＞=2sin ,5n DA ＜＞=. 所以面MAB 与面MCD . 【解析】(1)由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC CD ⊥,BC ?平

面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC DM ⊥.

因为M 为

CD 上异于C ,D 的点,且DC 为直径,所以DM CM ⊥. 又BC

CM C =,所以DM ⊥平面BMC .

而DM ?平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC .

(2)以D 为坐标原点,DA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系

D xyz -.

当三棱锥M ABC -体积最大时,M 为CD 的中点. 由

题

设

得

(0,0,0)D ,(2,0,0)A ,(2,2,0)B ,(0,2,0)C ,(0,1,1)M ,(2,1,1)AM =-,(0,2,0)

AB =,(2,0,0)DA =.

设(,,)n x y z =是平面MAB 的法向量,则

0,0,n AM n AB ?=??

=??即20,

20,x y z y -++=??=?

可取(1,0,2)n =.

DA 是平面MCD 的法向量,因此

数学试卷 第15页（共20页） 数学试卷 第16页（共20页）

5cos ,5n DA n DA n DA

=

＜＞=

2sin ,5

n

DA ＜＞=. 所以面MAB 与面MCD . 20.【答案】(1)设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则2211143x y +=,22

22

143

x y +=.

两式相减,并由1212y y k x x -=-得1212

043x x y y k +++=.

由题设知1212x x +=,122y y m +=,于是3

4k m

=-

. 由题设得302m ＜＜,故1

2

k -＜.

(2)由题意得(1,0)F .设33(,)P x y ,则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)x y x y x y -+-+-=. 由(1)及题设得3123()1x x x =-+=,312()20y y y m =-+=-＜. 又点P 在C 上,所以34m =

,从而3(1,)2P -,32

FP =｜｜. 于是

1(22

x

FA x ==-｜｜. 同理，2

22x FB =-

. 所以121

4()32

FA FB x x +=-+=.

故2FP FA FB =+,即

FA ,FP ,FB 成等差数列.

设该数列的公差为d ,则

1212=2d FB FA x x --=

.② 将3

4m =

代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+,代入C 的方程,并整理得21

71404

x x -+=.

故1

22x x +=,12

1

28x x =,代入②解得d .

【解析】(1)设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则2211143x y +=,2222

143x y +=.

两式相减,并由1212y y k x x -=-得1212

043

x x y y k +++=. 由题设知

1212x x +=,122y y m +=,于是3

4k m

=-

. 由题设得302m ＜＜,故1

2

k -＜.

(2) 由题意得(1,0)F .设33(,)P x y ,则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)x y x y x y -+-+-=. 由(1)及题设得3123()1x x x =-+=,312()20y y y m =-+=-＜. 又点P 在C 上

,所以34m =

,从而3(1,)2P -,3

2

FP =｜｜. 于是

1(22

x

FA x ==-｜｜. 同理，222x

FB =-.

所以121

4()32

FA FB x x +=-+=.

故2FP FA FB =+,即

FA ,FP ,FB 成等差数列.

设该数列的公差为d ,则

1212=2d FB FA x x --=

② 将3

4

m =

代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+,代入C 的方程,并整理得2

1

71404

x x -+=.

故1

22x x +=,12

1

28

x x =,代入②解得d .

21.【答案】(1)当0a =时,()(2)ln(1)2f x x x x =++-,()ln(1)1x

f x x x

'=+-

+. 设函数()()ln(1)1x

g x f x x x '==+-+,则2()(1)x g x x '=+. 当10x -＜＜时,()0g x '＜； 当0x ＞时,()0g x '＞.故当1x ＞-时,()(0)=0g x g ≥,且仅当0x =时,()0g x =,

从而()0f x '≥,且仅当0x =时,()0f x '=.

所以()f x 在(1,)x -+∞单调递增. 又(0)0f =,故当10x -＜＜时,()0f x ＜；当0x ＞时,()0f x ＞.

(2)(i )若0a ≥,由(1)知,当0x ＞时,()(2)ln(1)20=(0)f x x x x f ++-≥＞,这与0x =是

数学试卷 第17页（共20页） 数学试卷 第18页（共20页）

()f x 的极大值点矛盾.

(ii )若0a ＜,设函数22

()2()ln(1)22f x x

h x x x ax x ax

==+-++++.

由于当min{x ＜时,220x ax ++＞,故()h x 与()f x 符号相同. 又(0)(0)0h f ==,故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点.

22222222

12(2)2(12)(461)

()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++.

如果610a +＞,则当61

04a x a

+-

＜＜,

且min{x ＜时,()0h x '＞,故0x =不是()h x 的极大值点.

如果610

a +＜,则224610a x ax a +++=存在根10x ＜,故当1(,0)x x ∈,

且min{x ＜时,()0h x '＜,所以0x =不是()h x 的极大值点. 如果610a +=,则3

22

(24)

()(1)(612)x x h x x x x -'=

+--.则当(1,0)x ∈-时,()0h x '＞；

当(0,1)x ∈时,()0h x '＜.所以0x =是()h x 的极大值点,从而0x =是()f x 的极大值点。 综上,1

6

a =-.

【解析】(1)当0a =时,()(2)ln(1)2f x x x x =++-,()ln(1)1x f x x x

'=+-+. 设函数()()ln(1)1x

g x f x x x

'==+-+,则2()(1)x g x x '=+.

当10x -＜＜时,()0g x '＜；

当0x ＞时,()0g x '＞.故当1x ＞-时,()(0)=0g x g ≥,且仅当0x =时,()0g x =, 从而()0f x '≥,且仅当0x =时,()0f x '=. 所以()f x 在(1,)x -+∞单调递增.

又(0)0f =,故当10x -＜＜时,()0f x ＜；当0x ＞时,()0f x ＞.

(2)(i )若0a ≥,由(1)知,当0x ＞时,()(2)ln(1)20=(0)f x x x x f ++-≥＞,这与0x =是

()f x 的极大值点矛盾.

(ii )若0a ＜,设函数22

()2()ln(1)22f x x

h x x x ax x ax =

=+-

++++.

由于当min{x ＜时,220x ax ++＞,故()h x 与()f x 符号相同. 又(0)(0)0h f ==,故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点.

22222222

12(2)2(12)(461)

()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++.

如果610a +＞,则当61

04a x a +-

＜＜,

且min{x ＜时,()0h x '＞,故0x =不是()h x 的极大值点.

如果610

a +＜,则224610a x ax a +++=存在根10x ＜,故当1(,0)x x ∈,

且min{x ＜时,()0h x '＜,所以0x =不是()h x 的极大值点. 如果610a +=,则322

(24)

()(1)(612)

x x h x x x x -'=+--.则当(1,0)x ∈-时,()0h x '＞； 当(0,1)x ∈时,()0h x '＜.所以0x =是()h x 的极大值点,从而0x =是()f x 的极大值点。 综上,16

a =-.

22.【答案】(1)⊙O 的直角坐标方程为22=1x y +.

当π

=

2α时,l 与⊙O 交于两点. 当π

2α≠时,记tan =k α,则l 的方程

为y k x =-.l 与⊙O 交于两点当且仅

当

1,解得1k -＜或1k ＞,即ππ

(,)42α∈或π3π(,)24α∈.

综上,α的取值范围是π3π

(,)44

.

(2)l

的参数方程为cos ,sin x t y t αα

=??

?=??(t 为参数,π3π44α＜＜).

设A ,B ,P 对应的参数分别为A t ,B t ,p t ,则2

A B

P t t t +=

,且A t ,B t 满

足2s i n 10

t α-+=.

于是A B t t α+=

,P t α=.

又点P 的坐标(,)x y

满足cos ,

sin .

P P x t y t αα=???=??