广东省高考数学试卷(理科)含解析
2015年广东省高考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）（2015?广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（）
A．{1，4} B．{﹣1，﹣4} C．[0} D．?
2．（5分）（2015?广东）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）
A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i
3．（5分）（2015?广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）
A．
y=B．
y=x+
C．y=2x+D．y=x+e x
4．（5分）（2015?广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1
5．（5分）（2015?广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0
C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0
6．（5分）（2015?广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4B．C．6D．
7．（5分）（2015?广东）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）
A．
﹣=1 B．
﹣=1
C．
﹣=1
D．
﹣=1
8．（5分）（2015?广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5
二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）
9．（5分）（2015?广东）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为．
10．（5分）（2015?广东）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=．11．（5分）（2015?广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，
C=，则b=．
12．（5分）（2015?广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）
13．（5分）（2015?广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．
14．（5分）（2015?广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．
15．（2015?广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=．
三、解答题
16．（12分）（2015?广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，
cosx），x∈（0，）．
（1）若⊥，求tanx的值；
（2）若与的夹角为，求x的值．
17．（12分）（2015?广东）某工厂36名工人年龄数据如图：
工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄
1 2 3 4 5 6 7 8 9 40
44
40
41
33
40
45
42
43
10
11
12
13
14
15
16
17
18
36
31
38
39
43
45
39
38
36
19
20
21
22
23
24
25
26
27
27
43
41
37
34
42
37
44
42
28
29
30
31
32
33
34
35
36
34
39
43
38
42
53
37
49
39
（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；
（3）36名工人中年龄在﹣s 和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？
18．（14分）（2015?广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．
（1）证明：PE⊥FG；
（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；
（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．
19．（14分）（2015?广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；
（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP 平行，（O是坐标原点），证明：m ≤﹣1．
20．（14分）（2015?广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．
（1）求圆C1的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
21．（14分）（2015?广东）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．
（1）求a3的值；
（2）求数列{a n}的前n项和T n；
（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．
2015年广东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）（2015?广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（）
A．{1，4} B．{﹣1，﹣4} C．[0} D．?
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：求出两个集合，然后求解交集即可．
解答：解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，
N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，
则M∩N=?．
故选：D．
点评：本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力．
2．（5分）（2015?广东）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）
A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．
解答：解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，
故选：A．
点评：本题开采方式的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．
3．（5分）（2015?广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）
A．
y=B．
y=x+
C．y=2x+D．y=x+e x
考点：函数奇偶性的判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：直接利用函数的奇偶性判断选项即可．
解答：
解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；
对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；
对于C，y=2x+是奇函数，所以C不正确；
对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函
数，也不是偶函数，所以D正确．
故选：D．
点评：本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查．
4．（5分）（2015?广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1
考点：古典概型及其概率计算公式．
专题：概率与统计．
分析：首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．
解答：
解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；
∴基本事件总数为105；
设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；
则A包含的基本事件个数为=50；
∴P（A）=．
故选：B．
点评：考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟练掌握组合数公式和分步计数原理．
5．（5分）（2015?广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0
C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0
考点：圆的切线方程．
专题：计算题；直线与圆．
分析：设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．
解答：解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，
所以=，所以b=±5，
所以所求直线方程为：2xy+5=0或2x+y﹣5=0
故选：A．
点评：本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．
6．（5分）（2015?广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）
A．4B．C．6D．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．解答：
解：不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，
则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，
此时z最小，
由，解得，即A（1，），
此时z=3×1+2×=，
故选：B．
点评：本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）（2015?广东）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）
A．
﹣=1 B．
﹣=1
C．
﹣=1
D．
﹣=1
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．
解答：
解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），
可得：，c=5，∴a=4，b==3，
所求双曲线方程为：﹣=1．
故选：C．
点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
8．（5分）（2015?广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5
考点：棱锥的结构特征．
专题：创新题型；空间位置关系与距离．
分析：先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．
解答：解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；
4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；
n大于4，也不成立；
在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；
若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，
第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，
由三角形的两边之和大于三边，故不成立；
同理n＞5，不成立．
故选：B．
点评：本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题．
二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）
9．（5分）（2015?广东）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为6．
考点：二项式定理的应用．
专题：计算题；二项式定理．
分析：
根据题意二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r+1=?（﹣1）r?，分析
可得，r=1时，有x的项，将r=1代入可得答案．
解答：
解：二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r+1=?（﹣1）r?，
令2﹣=1，求得r=2，
∴二项式（﹣1）4的展开式中x的系数为=6，
故答案为：6．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题
10．（5分）（2015?广东）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=10．
考点：等差数列的通项公式．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．
解答：解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，
得到a5=5，
则a2+a8=2a5=10．
故答案为：10．
点评：本题主要考查了等差数列性质的简单应用，属于基础试题
11．（5分）（2015?广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=1．
考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．
专题：计算题；解三角形．
分析：
由sinB=，可得B=或B=，结合a=，C=及正弦定理可求b
解答：
解：∵sinB=，
∴B=或B=
当B=时，a=，C=，A=，
由正弦定理可得，
则b=1
当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾
故答案为：1
点评：本题考查了正弦、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键
12．（5分）（2015?广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560条毕业留言．（用数字作答）
考点：排列、组合的实际应用．
专题：排列组合．
分析：通过题意，列出排列关系式，求解即可．
解答：解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．
故答案为：1560．
点评：本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键．
13．（5分）（2015?广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．
考点：离散型随机变量的期望与方差．
专题：概率与统计．
分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．
解答：解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，
故答案为：．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．
14．（5分）（2015?广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．
考点：简单曲线的极坐标方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可．
解答：
解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．
点A到直线l的距离为：=．
故答案为：．
点评：本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．
15．（2015?广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=8．
考点：相似三角形的判定．
专题：选作题；创新题型；推理和证明．
分析：
连接OC，确定OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP?OD，即可得出结论．
解答：解：连接OC，则OC⊥CD，
∵AB是圆O的直径，
∴BC⊥AC，
∵OP∥BC，
∴OP⊥AC，OP=BC=，
Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP?OD，
∴4=OD，
∴OD=8．
故答案为：8．
点评：本题考查圆的直径与切线的性质，考查射影定理，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题
16．（12分）（2015?广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．
（1）若⊥，求tanx的值；
（2）若与的夹角为，求x的值．
考点：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．
专题：平面向量及应用．
分析：
（1）若⊥，则?=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值；
（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值．
解答：
解：（1）若⊥，
则?=（，﹣）?（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx=0，
即sinx=cosx
sinx=cosx，即tanx=1；
（2）∵||=1，||=1，?=（，﹣）?（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx，
∴若与的夹角为，
则?=||?||cos =，
即sinx ﹣cosx=，
则sin（x ﹣）=，
∵x∈（0，）．
∴x ﹣∈（﹣，）．
则x ﹣=
即x=+=．
点评：本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，比较基础．
17．（12分）（2015?广东）某工厂36名工人年龄数据如图：
工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄
1 2 3 4 5 6 7 8 9 40
44
40
41
33
40
45
42
43
10
11
12
13
14
15
16
17
18
36
31
38
39
43
45
39
38
36
19
20
21
22
23
24
25
26
27
27
43
41
37
34
42
37
44
42
28
29
30
31
32
33
34
35
36
34
39
43
38
42
53
37
49
39
（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；
（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？
考点：极差、方差与标准差；分层抽样方法．
专题：概率与统计．
分析：（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；
（2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s2；
（3）求出样本和方差即可得到结论．
解答：解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，
∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9），
其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．
（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．
由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=．
（3）∵s2=．∴s=∈（3，4），
∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数，
即40，40，41，…，39，共23人．
∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间所占百分比为≈63.89%．
点评：本题主要考查统计和分层抽样的应用，比较基础．
18．（14分）（2015?广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．
（1）证明：PE⊥FG；
（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；
（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（1）通过△POC为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；
（2）通过（1）及面面垂直定理可得PG⊥AD，则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，利用勾股定理即得结论；
（3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC，在△PAC中，利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线FG所成角∠PAC的余弦值．
解答：（1）证明：在△POC中PO=PC且E为CD中点，
∴PE⊥CD，
又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE?平面PCD，
∴PE⊥平面ABCD，
又∵FG?平面ABCD，
∴PE⊥FG；
（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，
又∵CD⊥AD且PE∩CD=E，
∴AD⊥平面PDC，
又∵PD?平面PDC，∴AD⊥PD，
又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，
在Rt△PDE中，由勾股定理可得：
PE===，
∴tan∠PDC==；
（3）解：连结AC，则AC==3，
在Rt△ADP中，AP===5，
∵AF=2FB，CG=2GB，
∴FG∥AC，
∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线FG所成角∠PAC，
在△PAC中，由余弦定理得
cos∠PAC=
=
=．
点评：本题考查线线垂直的判定、二面角及线线角的三角函数值，涉及到勾股定理、余弦定理等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．
19．（14分）（2015?广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；
（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP 平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：常规题型；导数的综合应用．
分析：（1）利用f'（x）≥0，求出函数单调增区间．
（2）证明只有1个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点．
（3）利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂．
解答：解：（1）f'（x）=e x（x2+2x+1）=e x（x+1）2…2分
∴f′（x）≥0，
∴f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．…3分
（2）证明：由（1）问可知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数．
又f（0）=1﹣a，
∵a＞1．∴1﹣a＜0…5分
∴f（0）＜0．当x→+∞时，f（x）＞0成立．
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点…7分
（3）证明：f'（x）=e x（x+1）2，
设点P（x0，y0）则）f'（x）=e x0（x0+1）2，
∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f'（x0）=0，即：e x0（x0+1）2=0，
∴x0=﹣1…9分
将x0=1代入y=f（x）得y0=．∴，
∴…10分
令；g（m）=e m﹣（m+1）g（m）=e m﹣（m+1），
则g'（m）=e m﹣1，由g'（m）=0得m=0．
当m∈（0，+∞）时，g'（m）＞0
当m∈（﹣∞，0）时，g'（m）＜0
∴g（m）的最小值为g（0）=0…12分
∴g（m）=e m﹣（m+1）≥0
∴e m≥m+1
∴e m（m+1）2≥（m+1）3
即：
∴m≤…14分
点评：本题考查了导数在函数单调性和最值上的应用，属于综合应用，在高考中属于压轴题目，有较大难度．
20．（14分）（2015?广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．
（1）求圆C1的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
考点：轨迹方程；直线与圆的位置关系．
专题：创新题型；开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；
（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；
（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．
解答：解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，
整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，
∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；
（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立方程组，
消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，
由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜
由韦达定理，可得x1+x2=，
∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，
∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；
（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C
只有一个交点．
理由如下：
联立方程组，
消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k）x+16k2=0，
令△=（3+8k）2﹣4（1+k2）?16k2=0，解得k=±，
又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，
∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，
k的取值范围为（﹣，）∪{﹣，}．
点评：本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于中档题．
21．（14分）（2015?广东）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．
（1）求a3的值；
（2）求数列{a n}的前n项和T n；
（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．
考点：数列与不等式的综合；数列的求和．
专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．
分析：（1）利用数列的递推关系即可求a3的值；
（2）利用作差法求出数列{a n}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{a n}的前n项和T n；
（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．
解答：解：（1）∵a
1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．
∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2，
解得a2=，
∵a1+2a2+…+na n=4﹣，n∈N+．
∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n﹣1=4﹣，n∈N+．
两式相减得na n=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，
则a n=，n≥2，
当n=1时，a1=1也满足，
∴a n=，n≥1，
则a3=；
（2）∵a n=，n≥1，
∴数列{a n}是公比q=，
则数列{a n}的前n项和T n==2﹣21﹣n．
（3）b n=+（1+++…+）a n，
∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3，
∴S n=b1+b2+…+b n=（1+++…+）（a1+a2+…+a n）=（1+++…+）T n
=（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），
设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，
则f′（x）=﹣．
即f（x）在（1，+∞）上为增函数，
∵f（1）=0，即f（x）＞0，
∵k≥2，且k∈N?时，，
∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞，
∴ln，，…，
即=lnn，
∴2×（1+++…+）＜2+lnn，
即S n＜2（1+lnn）=2+2lnn．
点评：本题主要考查数列通项公式以及前n项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．