数学数学二次根式的专项培优练习题(及答案
一、选择题
1．下列计算，正确的是（ ）
A ．=
B ．=
C ．0=
D ．10=
2．下列计算正确的为（ ）．
A 5=-
B =
C ．
2
+=+
D 2
=
3．下列计算正确的是（ ）
A =
B =
C 2
6
D 4=
4．下列各式中，正确的是（ ）
A ．
B ．a 3 ? a 2=a 6
C ．(b+2a) (2a -b) =b 2 -4a 2
D ．5m + 2m = 7m 2
5．下列运算正确的是（ ）
A B ．﹣=1
C ．
D ．﹣（a ﹣b
6．如果a ，那么a 的取值范围是（ ） A ．a 0= B ．a 1=
C ．a 1≤
D ．a=0a=1或
7．下列说法中正确的是（ ）
A ±5
B ．两个无理数的和仍是无理数
C ．-3没有立方根.
D .
8．已知：
，，则a 与b 的关系是（ ） A ．相等
B ．互为相反数
C ．互为倒数
D ．平方相等
9．a 的值是（ ） A ．2
B ．-1
C ．3
D ．-1或3
10．m 的值为（ ） A ．7
B ．11
C ．2
D ．1
二、填空题
11．甲容器中装有浓度为a ，乙容器中装有浓度为b ，两个容器都倒出m kg ，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m 的值为_________．
12．+的形式(,,a b c 为
正整数)，则abc =______.
13．已知：
可用含x =_____． 14．已知整数x ，y 满足
y =，则y =__________．
15．把
16．若0xy >，则二次根式________．
17．已知1＜x ＜2，1
7
1
x x +=-_____．
18．x 的取值范围是______．
19．，3，，，则第100个数是_______．
20．下列各式： 是最简二次根式的是:_____（填序号）
三、解答题
21．小明在解决问题：已知a
2a 2－8a ＋1的值，他是这样分析与解答的：
因为a
＝2，
所以a －2
所以(a －2)2＝3，即a 2－4a ＋4＝3. 所以a 2－4a ＝－1.
所以2a 2－8a ＋1＝2(a 2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：
= － . (2)
… (3)若a
，求4a 2－8a ＋1的值．
【答案】 ，1；(2) 9；(3) 5 【分析】
（11
==；
（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解； （3）首先化简a ，然后把所求的式子化成()2
413a --代入求解即可. 【详解】
(1)计算：1
=； (2)原式
)
1...11019=
+
+
++
==-=；
(3)1
a =
==，
则原式(
)
()2
2
4213413a a a =-+-=--，
当1a =
时，原式2
435=?
-=.
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键.
22．计算
(1)2213113
a a a a a a +--+-
+-;
(2)已知a 、b +b ＝0.求a 、b 的值 (3)已知abc ＝1，求111
a b c
ab a bc b ac c ++++++++的值
【答案】（1）2
22
23
a a a ----；（2）a =－3，
b ；（3）1. 【分析】
（1）先将式子进行变形得到
()()1131
13
a a a a a a +--+-
+-，此时可以将其化简为1113a a a a ?
???--+ ? ?+-?
???，然后根据异分母的加减法法则进行化简即可；
（2）根据二次根式及绝对值的非负性得到2a +6=0，b =0，从而可求出a 、b ； （3）根据abc ＝1先将所求代数式转化：
11
b ab ab
bc b abc ab a ab a ==++++++，
21
11c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，然后再进行分式的加减计算即可.
【详解】
解：（1）原式=()()1131
13
a a a a a a +--+-
+- =1113a a a a ?
???
--+ ? ?+-????
=1113
a a --+- =()()
()()
3113a a a a -++-+-
=2
22
23
a a a --
--；
（20b =，
∴2a +6=0，b =0，
∴a =－3，b ； （3）∵abc ＝1， ∴
11b ab ab bc b abc ab a ab a ==++++++，21
11
c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，
∴原式=1
111
a a
b ab a ab a ab a ++++++++
=
1
1a ab ab a ++++
=1.
【点睛】
本题考查了分式的化简求值和二次根式、绝对值的非负性，分式中一些特殊求值题并非一味的化简，代入，求值，熟练掌握转化、整体思想等解题技巧是解答这类题目的关键.
23．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.
比如：2224312111-=-=-+=).善于动脑的小明继续探究：
当a b m n 、、、为正整数时，若2a n +=+)，则有
22(2a m n =+，所以222a m n =+，2b mn =.
请模仿小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a b m n 、、、为正整数时，若2a n =+)，请用含有m
n 、的式子分别表示a b 、，得：a = ，b = ；
（2）填空：13-( - 2；
（3）若2a m +=()，且a m n 、、为正整数，求a 的值.
【答案】（1）223a m n =+，2b mn =；（2）213--；（3）14a =或46. 【解析】 试题分析：
（1）把等式)
2
a n +=
+右边展开，参考范例中的方法即可求得本题答案；
（2）由（1）中结论可得：22313
24
a m n
b mn ?=+=?==? ，结合a b m n 、、、都为正整数可
得：m=2，n=1，这样就可得到：213(1-=-；
（3）将()
2
a m +=+右边展开，整理可得：225a m n =+，62mn =结合
a m n 、、为正整数，即可先求得m n 、的值，再求a 的值即可.
试题解析：
（1）∵2a n =+)，
∴223a m n +=++， ∴2232a m n b mn =+=，；
（2）由（1）中结论可得：22313
24a m n b mn ?=+=?==?
，
∵a b m n 、、、都为正整数， ∴12m n =??
=?
或2
1m n =??=? ，
∵当m=1，n=2时，223713a m n =+=≠，而当m=2，n=1时，22313a m n =+=， ∴m=2，n=1，
∴(2
131--；
（3）∵222()52a m m n +=+=++ ∴225a m n =+，62mn = ， 又∵a m n 、、为正整数， ∴=1=3m n ，， 或者=3=1m n ，，
∴当=1=3m n ，时，46a =；当=3=1m n ，，14a =， 即a 的值为：46或14.
24．阅读下列材料，然后回答问题：
其进一步化简：
535
==33
333??；22(31)2(31)=313+1(3+1)(31)(3)1?-?-==--- . 以上这种化简过程叫做分母有理化.
3+1还可以用以下方法化简：22(3)1(3+1)(31)
=313+13+13+13+1
--===-. （1）请用其中一种方法化简1511
-；
（2）化简：
++++
3+15+37+5
99+97
.
【答案】(1) 15＋11；(2) 311－1. 【分析】
(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为1511－；
（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案. 【详解】 （1）原式==
；
（2）原式=+
++…
=﹣1+﹣
+﹣
+…
﹣
=
﹣1
=3
﹣1
【点睛】
本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键.
25．（1）计算：1
153208105
（2）先化简，再求值：(()2
28a a a a +--，其中1
34
a =．
【答案】（1）5-2）82-a ，3【分析】
（1）分别根据二次根式的除法法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算和化简各项，再合并同类二次根式即可；
（2）分别根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算各项，再把a 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】
（1）
=
=；
（2）(()8a a a a +--
2228a a a =--+
82a =-,
当14a =时，原式1824?=?-=??．
【点睛】
本题考查了整式的乘法和二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
26．计算下列各题
（1）?÷ ?
（2）2-
【答案】(1)1;(2)． 【分析】
(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可； (2)利用完全平方公式和平方差公式展开，然后再进行合并即可. 【详解】
(1)原式
=1；
(2)原式+2)
． 【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.
27．观察下列各式．
====……
根据上述规律回答下列问题．
（1）接着完成第⑤个等式： _____；
（2）请用含(1)
n n≥的式子写出你发现的规律；（3）证明（2）中的结论．
【答案】（1
=2
(n
=+3）见解析
【分析】
（1）当n=5
=
（2
(n =+
（3）直接根据二次根式的化简即可证明．【详解】
解：（1
=
（2
(n =+
（3
=
(n
==+
【点睛】
此题主要考查探索数与式的规律，熟练发现规律是解题关键．
28．
一样的式子，其实我
3
==
3
==
，
1
===；以上这种化简的步骤叫做分母有理化
还可以用以下方法化简：
2
2
111
1
===
-
=
（1
2
）化简：
2n
++
+
【答案】（1-2）
1 2
.
【解析】
试题分析：（12看出5-3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．
（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．
试题解析：（1）
==
===
（2）原式
2n +++
=.
考点：分母有理化．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
A、B、C、根据合并同类二次根式的法则即可判定；
D、利用根式的运算法则计算即可判定．
【详解】
解：A、B、D不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意；
C=，故选项正确．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查二次根式的运算，应熟练掌握各种运算法则，且准确计算．
2．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的性质、二次根式的加法以及混合运算的法则逐项进行判断即可．【详解】
A 5=，故A 选项错误；
B B 选项错误；
C =
，故C 选项错误；
D 2
=
，正确， 故选D ． 【点睛】
本题考查了二次根式的运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
3．B
解析：B 【解析】
解：A ；
B ==；
C =
；
D 2===．故选项错误．
故选B ．
4．A
解析：A 【分析】
比较两个二次根式的大小可判别A ，根据同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算法则分别计算可判断B 、C 、D 的正误． 【详解】
A 、=，= ∵1812>，
∴>，故该选项正确； B 、3a ?25a a =，故该选项错误；
C 、()()2
2
224b a a b a b +-=-，故该选项错误；
D 、527m m m +=，故该选项错误； 故选：A ． 【点睛】
本题考查了二次根式大小的比较，同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5．D
解析：D 【解析】
利用二次根式的加减法计算，可知：
A 、
B 、﹣
C 、
D 、﹣（a ﹣b ，此选项正确． 故选：D ．
6．C
解析：C 【解析】
试题解析：∵a 1，
a ∴1-a ≥0， a ≤1， 故选C ．
7．D
解析：D 【分析】
根据算术平方根和平方根的概念，无理数的概念立方根的概念，和二次根式的概念逐一判断即可． 【详解】
5=，故A 选项错误；
0ππ-+=，故B 选项错误；
-3=，故C 选项错误；
D 选项正确；
故选D ． 【点睛】
本题考查了算术平方根和平方根的区别，无理数、二次根式和立方根的概念，题目较为综合，熟练掌握相关概念是本题的关键．
8．C
解析：C 【解析】 因为1
a b ?=
=,故选C. 9．C
解析：C 【分析】
根据同类二次根式的性质即可求出答案．
【详解】
由题意可知：a2-3=2a
∴解得：a=3或a=-1
当a=-1时，该二次根式无意义，
故a=3
故选C．
【点睛】
本题考查二次根式的概念，解题的关键是熟练正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念.
10．C
解析：C
【分析】
几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式即为同类二次根式.
【详解】
解=m=7时==，故A错误；当m=11
时==B错误；当m=1
时=故D错误；
当m=2时=故C正确；
故选择C.
【点睛】
本题考查了同类二次根式的定义.
二、填空题
11．【分析】
分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后果汁的浓度相等列出关系式，求出m即可．
【详解】
解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为akg，乙容器
解析：
5
【分析】
分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利
=，求出m即可．
【详解】
，
甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，
，
=，
整理得，-6b=5ma-5mb，∴（a-b）=5m（a-b），
∴m
【点睛】
本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．
12．【解析】
【分析】
根据题意，可得到=，利用平方关系把根号去掉，根据、、的系数相等的关系得到关于a，b，c的三元方程组，解方程组即可.
【详解】
∵=
∴，
即．
解得
．
【点睛】
本题考查了
解析：【解析】
【分析】
a，b，c的三元方程组，解方程组即可.
【详解】
∴(2
2118=，
即2222118235a b c =+++++．
2222352118,2120,2540,2144,a b c ab ac bc ?++=?
=?∴?=??=? 解得15,4,18.a b c =??
=??=?
154181080abc ∴=??=． 【点睛】
本题考查了二次根式的加减，解本题的关键是将等式平方去根号，利用等量关系中等式左
、
.
13．【解析】 ∵=， ∴==
= -==﹣x3+x ， 故答案为：﹣x3+x.
解析：211166
x x -+ 【解析】
∵x =
-
3
=
=
123
=
146
+
= -
2
1116
?
?-???
?
=
3
1
11
6
6
-
+
=﹣16x 3+11
6
x ，
故答案为：﹣
16x 3+11
6
x. 14．2018 【解析】 试题解析： ， 令，，
显然， ∴， ∴，
∵与奇偶数相同， ∴， ∴， ∴．
故答案为：2018.
解析：2018 【解析】 试题解析：
y =
=
=
令a =
b =
显然0a b >≥， ∴224036a b -=， ∴()()4036a b a b +-=， ∵()a b +与()-a b 奇偶数相同，
∴2018
2a b a b +=??
-=?， ∴1010
1008a b =??
=?
， ∴2018y a b =+=． 故答案为：2018.
15．﹣ 【解析】
解：通过有意义可以知道≤0，≤0，所以＝﹣＝﹣． 故答案为：．
点睛：此题主要考查了二次根式的性质应用，正确判断二次根式的整体符号是解题关键．
解析：
【解析】
解：通过a ≤0，，所以
故答案为：
点睛：此题主要考查了二次根式的性质应用，正确判断二次根式的整体符号是解题关键．
16．－ 【分析】
首先判断出x ，y 的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】
解：∵，且有意义， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是
解析：
【分析】
首先判断出x ，y 的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】
解：∵0xy > ∴00x y ＜，＜，
∴x ==．
故答案为． 【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．即
(0)
(0)a a a a a ≥?==?-
=
（a ≥0，b >0）． 17．-2 【详解】
∵x+=7，∴x-1+=6，∴（x-1）-2+=4， 即 =4， 又∵1＜x ＜2, ∴=-2， 故答案为-2.
【点睛】
本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是
解析：-2 【详解】 ∵x+
11x -=7，∴x-1+11x -=6，∴（x-1）-2+11
x -=4，
即2
=4，
又∵1＜x ＜2,
∴
， 故答案为-2. 【点睛】
本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是要根据所求的式子对已知的式子进行变形.
18．且 【分析】
根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得． 【详解】 由题意得：， 解得且， 故答案为：且． 【点睛】
本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分
解析：3x ≤且2x ≠- 【分析】
根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得． 【详解】 由题意得：20
30
x x +≠??
-≥?，
解得3x ≤且2x ≠-， 故答案为：3x ≤且2x ≠-． 【点睛】
本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键．
19．【分析】
原来的一列数即为，，，，，，于是可得第n 个数是，进而可得答案．
【详解】
解：原来的一列数即为：，，，，，，
∴第100个数是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了数的规律探求，属于常考
解析：
【分析】
，，于是可得第n
进而可得答案．
【详解】
，
∴第100=．
故答案为：
【点睛】
本题考查了数的规律探求，属于常考题型，熟练掌握二次根式的性质、找到规律是解题的关键．
20．②③
【分析】
根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．
【详解】
②③是最简二次根式，
故答案为②③．
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义，
解析：②③
【分析】
根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．
【详解】
③
是最简二次根式，
4
故答案为②③．
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被
开方数不含能开得尽方的因数或因式．三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无