江苏省扬州中学2013届高三10月月考数学(附答案) (4)

江苏省扬州中学2012—2013学年第一学期 高三数学质量测试 2012.10

一、填空题（5′×14=70′）

1．已知集合},3,1{m A =，},1{m B =，A B A = ，则____________=m ． 2．设复数z 满足i i z 46)32(+=-（i 为虚数单位），则z 等于___________．

3．已知a ，b ，c R ∈，

命题“若3=++c b a ，则2

22c b a ++≥3的否命题是___________． 4．在ABC ?中，已知A sin ∶B sin ∶=C sin 2∶3∶4，则=B cos __________．

5．已知6.3log 2=a ，2.3log 4=b ，6.3log 4=c ，则a 、b 、c 的大小关系是____________．

6．已知αβαsin 2sin 2sin 322=+，则βα22sin sin +的取值范围是______________． 7．下列命题中，真命题是______________（写出所有真命题的序号）．

①R x ∈?0，0x

e ≤0 ②R x ∈?，x

2＞2

x ③a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件 ④ac b =

是a ，b ，c 成等比的既不充分又不必要条件

8．已知α为第二象限角，3

3

cos sin =

+αα，则=α2cos __________． 9．已知向量a ，b 的夹角为45°，且1||=a ，10|2|=-b a ，则||b =__________． 10．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，55=a ，155=S ，则数列}1

{

1

+n n a a 的前100项和为__________．

11．回文数是指从左到右读与从右到右读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然2位回文数有9个：11，22，…99，3位回文数有90个：101，111，121，…191，202，…999，则5位回文数有________个．

12．已知二次函数c x ax x f ++=2)(2

)(R x ∈的值域为),0[+∞，则

a

c c a 1

1+++的最小值是__________________．

13．已知函数21

|

1|)(2+---=kx x x x f ，恰有两个零点，则k 的取值范围是_____________． 14．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R x ∈，)('x f ＞2，则)(x f ＞x 24+的解集为____________________．

二、解答题

15．（本小题14′）

已知}{n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，且1a ，3a ，9a 成等比数列． ⑴求数列}{n a 的通项公式；⑵求数列}2{n a

的前n 项和n S ．

16．（本小题14′）

已知函数n m x f ?=)(，其中)cos 3,cos (sin x x x m ωωω+=，-=x n ω(cos ,sin x ω

)sin 2x ω，其中ω＞0，若)(x f 相邻两对称轴的距离大于等于

2

π． ⑴求ω的取值范围．

⑵在ABC ?中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，3=a ，3=+c b ，当ω最

大时，1)(=A f ，求ABC ?的面积．

17．（本小题15′）

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需建隔热层，某建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：5

3)(+=

x k

x C 0(≤x ≤)10，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设)(x f 为隔热层建造费用与

20年的能源消耗费用之和．

⑴求k 的值及)(x f 的表达式．

⑵隔热层修建多厚时，总费用)(x f 达到最小，并求最小值．

18．（本小题15′）

已知函数x a x x x f ln )2(4)(2-+-=，R a ∈．

⑴当8=a 时，求函数)(x f 的单调区间． ⑵求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值．

19．（本小题16′）

设向量)12,(),2,(-+==x n x b x a )(*

∈N n ，函数b a y ?=在]1,0[上的最大值与最小值的和为n a ，又数列}{n b 满足：n n b b b n nb +++-+-1212)1( ++=--21)10

9

()109(

n n 110

9

++

． ⑴求n a 、n b 的表达式．

⑵n n n b a C -=，问数列}{n c 中是否存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有n

C

≤k C 成立，若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由．

20．（本小题16′）

已知函数b ax ax x g ++-=12)(2（1,0<≠b a ），在区间]3,2[上有最大值4，最小值1，设x

x g x f )

()(=

． ⑴求a ，b 的值．

⑵不等式x x k f 2)2(?-≥0在∈x 1[-，]1上恒成立，求实数k 的范围． ⑶方程0)3|

12|2

(|)12(|=--+-x x

k f 有三个不同的实数解，求实数k 的范围．

高三数学质量检测加试题

1.已知矩阵A =2143-??=??-??

A ，

B =4131-??=??-??B ，求满足AX =B 的二阶矩阵X ．

2.如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在棱AA 1是上否存在一点E ，使得直线AB 和平面B D 1E 的夹角是0

30？若存在，求出点E 的位置，若不存在，请说明理由。

3.某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中： （Ⅰ）恰有2人申请A 片区房源的概率；

（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望

4.集合{}1,2,3,,n S n =??????的子集X 中,如果奇数的个数比偶数的个数多，则称X 为好子集，记集合n S 的好子集的个数为()f n 。 （Ⅰ）求(3),(4)f f 的值； （Ⅱ）求证1

()2

n f n -≤．

1.由题意得1

312221-????=????A

， =AX B ，1

3

19

411222312151-????

--??

????

∴===?

?????-??-????

X A B 2.以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴建立空间直角坐标系．则B (1,0,0)，D 1(0,1,1)，E (0,0，t )，其中0≤t ≤1，BE →

＝(－1, 0，t )，1(1,1,1)BD =- ，可求平面B D 1E 的法向量n ＝(t ， t －1,1)；(1,0,0)AB = , 1cos 2θ=,得t=51

2

-.

3解：（I ）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式2242C ?种，从而恰有2人申请A 片区房源的概率为2

244

28

.273C ?=

（II ）ξ的所有可能值为1，2，3.又271

3

3)1(4

===ξP 4

21322

2432442344

31(1),

273

()(22)1414

(2)((2))272733

P C C C C C C P P ξξξ==

=+-======或 12123

3424344

44

(3)((3)).

9933C C C C A P P ξξ======或

综上知，ξ有分布列

ξ 1 2 3

P

127 1427 49