河南省郑州市高三第一次质量检测数学试卷及答案理

郑州市2015年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试卷及答案

一、选择题：

1.已知集合{}|12M x x =-<<，{}|N x x a =<，若M N ?，则实数a 的取值范围是( ) A. ()2,+∞ B. [2,)+∞ C. (),1-∞- D. (,1]-∞-

2.在复平面内与复数

512i

z i

=

+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ）

A. 12i +

B. 12i -

C. 2i -+

D. 2i +

3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且336,0S a ==，则公差d 等于（ ） A. 1- B. 1 C. 2 D. 2-

4.命题:p “2a =-”是命题:q “直线310ax y +-=与直线6430x y +-=垂直”成立的（ ） A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知点(),P a b 是抛物线2

20x y =上一点，焦点为F ，25PF =，则ab =（ ）

A. 100

B.200

C.360

D.400

6.已知点(),P x y 的坐标满足条件11350x y x x y ≥??

≥-??+-≤?，那么点P 到直线34130x y --=的最小值为（ ）

A.

11

5

B. 2

C. 95

D. 1

7.某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为（ ）

A. 32

B. 327

C.64

D. 647

8.如图，函数()()sin f x A x ω?=+（其中0,0,2

A π

ω?>>≤

）与坐标轴的三个交点,,P Q R 满足()1,0P ，

(),2,24

PQR M π

∠=

-为线段QR 的中点，则A 的值为（ ）

A. 23

B.

73 C. 83

D. 43

9.如图所示的程序框图中，若()()2

1,4f x x x g x x =-+=+，且()h x m ≥恒成立，则m 的最大值是（ ）

A. 4

B.3

C. 1

D. 0

10.设函数()()224,ln 25x f x e x g x x x =+-=+-，若实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点，则（ ） A. ()()0g a f b << B. ()()0f b g a << C. ()()0g a f b << D. ()()0f b g a <<

11.在Rt ABC ?中，3CA CB ==，,M N 是斜边AB 上的两个动点，且2MN =则CM CN ?u u u u r u u u r

的取值范围为（ ）

A. 52,2??????

B. []2,4

C. []3,6

D. []4,6

12.设函数()()()122015,log ,1,2,,20152015

i i

f x x f x x a i ===

=…，记 ()()()()2132k k k k k I f a f a f a f a =-+-+…()()20152014k k f a f a +-，1,2k =，则（ ）

A. 12I I <

B. 12I I =

C. 12I I >

D. 无法确定 二、填空题：

13.已知等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，12453

,64

a a a a +=

+=，则6S = 14.已知20cos a xdx π

=?，在二项式5

2a x x ?

?- ??

?的展开式中，x 的一次项系数的值为

15.设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点

(),a b 为函数()y f x =图象的对称中心.研究函数()3sin 2f x x x =++的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定

义，可得到()19120f f ??

-+-

+ ???…()19120f f ??

++= ???

16.给定方程：1sin 102x

x ??

+-= ???

，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方

程在(),0-∞内有且只有一个实数根；④若0x 是方程的实数根，则01x >-. 正确命题是 三、解答题：

17.（本小题满分12分）在ABC ?中，,,a b c 分别为角A 、B 、C 的对边，D 为边AC 的中点，

232,cos 4

a ABC =∠= （1）若3c =，求sin ACB ∠的值；

（2）若3BD =，求ABC ?的面积.

18.（本小题满分12分）某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的正确率为2

3

p =，背诵错误的的概率为1

3

q =

，现记“该班级完成n 首背诵后总得分为n S ”. （1）求620S =且()01,2,3i S i ≥=的概率； （2）记5S ξ=，求ξ的分布列及数学期望.

19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，PD ⊥底面ABCD ，

1

90,1,22

ADC BC AD PD CD ∠=?=

===，Q 为AD 的中点，M 为棱PC 上一点. （1）试确定点M 的位置，使得//PA 平面BMQ ，并证明你的结论； （2）若2PM MC =，求二面角P BQ M --的余弦值.

20.（本小题满分12分）已知动点P 到定点()1,0F 和直线:2l x =2

，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于,A B 两点，直线:l y mx n =+与曲线E 交于,C D 两点，与线段AB 相交于一点（与,A B 不重合） （1）求曲线E 的方程；

（2）当直线l 与圆22

1x y +=相切时，四边形ABCD 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由.

21.（本小题满分12分）已知函数()()

222ln 2f x x x x ax =-++. （1）当1a =-时，求()f x 在点()()

1,1f 处的切线方程；

（2）当0a >时，设函数()()2g x f x x =--，且函数()g x 有且仅有一个零点，若2

e

x e -<<，()g x m ≤，求m 的

取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲：

如图所示，EP 交圆于,E C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F . （1）求证：AB 为圆的直径；

（2）若,5AC BD AB ==，求弦DE 的长.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程：

在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为

224πρθ?

?=+ ???，直线的参数方程为122x t y t

=???

=-+??（为参数），直线和圆C 交于,A B 两点，P 是圆C 上不同于,A B 的任意一点.

（1）求圆心的极坐标；

（2）求PAB ?面积的最大值.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲： 已知函数()121f x m x x =---+.

（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；

（2）若二次函数2

23y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.

参考答案

一、选择题

1-12：BCDA DBCC BADA 二、填空题 13.

63

4

14.10- 15.82 16.②③④ 三、解答题

17.解：(Ⅰ) 4

2

cos 23=

∠=ABC a ，，3=c ， 由余弦定理：ABC a c a c b ∠??-+=cos 2222

=184

23232)23(32

2=???-+，………………………………2分 ∴ 23=b ． ……………………………………………………………………4分

又(0,)π∠∈ABC ，所以4

14cos 1sin 2

=∠-=∠ABC ABC ，

由正弦定理：ABC b

ACB c ∠=

∠sin sin ， 得4

7

sin sin =∠?=∠b ABC c ACB ．………………………………………6分

(Ⅱ)

以

BC BA ，为邻边作如图所示的平行四边形ABCE ，如图，则

4

2

cos cos -

=∠-=∠ABC BCE ，…………………8分 ,62==BD BE 在△BCE 中，

由余弦定理：BCE CE CB CE CB BE ∠??-+=cos 22

2

2

．

即)4

2

(23218362

-

???-+=CE CE ， 解得：，3=CE 即，3=AB …………………10分 所以4

7

9sin 21=∠=

?ABC ac S ABC .…………………………………………12分 18.解：(Ⅰ)当206=S 时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，………………2分 若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；…………………3分

若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对1首，

此时的概率为：811631)32(323132)3

1()32()32

(213222

42=?????+

???=C C p ………… …………5分 （2）∵5S =ξ的取值为10，30，50，又21

,,32

p q ==…………………6分

∴8140)31()32()31()32()10(32252

335=

+==C C P ξ, 81

30)31()32()31()32()30(4

1151445=

+==C C P ξ 5505

552111(50)()().3381P C C ξ==+=…………………9分

∴ξ的分布列为：

B

C

D

E

∴81

815081308110=

?+?+?=ξE .…………………………………………12分 19.解：（1）当M 为PC 中点时，//PA 平面BMQ ，…………………2分 理由如下： 连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，

因为090ADC ∠=，Q 为AD 的中点，所以N 为AC 的中点．

当M 为PC 的中点，即PM MC =时，MN 为PAC ?的中位线，

故//MN PA ，又MN ?平面BMQ ，

所以//PA 平面BMQ .…………………………………………5分 （2）由题意，以点D 为原点DP DC DA ,,所在直线分别为z y x ,,轴， 建立空间直角坐标系，…………………6分 则),0,2,1(),0,0,1(),2,0,0(B Q P …………………7分 由MC PM 2=可得点)3

2,34,0(M , 所以)3

2,34,1(),0,2,0(),20,1(-==-=QM

QB PQ ,

设平面PQB 的法向量为),,(1z y x n =，则11

20,2,

0.20,PQ n x z x z y QB n y ??=-==??∴??=?==???u u u r u r u u u r u r 令)1,0,2(,11=∴=n z ，…………………9分

同理平面MBQ 的法向量为)1,0,3

2

(2=n ,…………………10分 设二面角大小为θ，.65

65

7cos =

=

θ…………………………………………12分 20.解：(1).设点),(y x P ，由题意可得，2

2

|2|)1(22=-+-x y x ，…………………2分

整理可得：122

2=+y x .曲线E 的方程是12

22=+y x .………………………5分 (2).设),(11y x C ，),(22y x D ，由已知可得：||AB =

当0=m 时，不合题意. …………………6分

y

当0≠m 时，由直线l 与圆12

2=+y x 相切，可得：

11

||2=+m n ，即221.m n +=

联立?

??

??=++=12

2

2y x n

mx y 消去y 得2221()210.2m x mnx n +++-=…………………8分

02)1)(2

1

(4422222>=-+-=?m n m n m ，122,12222

21+?--=+?+-=m mn x m mn x 所以，122

2,1242

221221+-=+-=+m n x x m mn x x ||||2

1

12x x AB S ACBD

-=四边形=

12||2121222222+=++-m m m n m

=21

2

2||||

m m ≤

+

10分 当且仅当|

|1||2m m =

，即22±=m 时等号成立，此时26±=n ，经检验可知，

直线2622-=

x y 和直线2

6

22+-=x y 符合题意. ………………………………12分 21.解：（1）当1a =-时，2

2

()(2)ln 2f x x x x x =--+,定义域为()0,+∞，

()()()22ln 22.f x x x x x '=-+-- …………………2分

(1)3f '∴=-，又(1)1,f =()f x 在()()1,1f 处的切线方程340.x y +-= ……………4分

（2）令()()20,g x f x x =--=则()

222ln 22,x x x ax x -++=+即1(2)ln ,x x

a x

--?=

令1(2)ln ()x x

h x x

--?=

， …………………5分

则222

1122ln 12ln ().x x x h x x x x x ---'=-

-+= …………………6分 令()12ln t x x x =--,22

()1x t x x x

--'=--

=，

()0t x '，当1x <时，()0h x '<，

所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()max (1)1h x h ∴==.………8分 因为0>a ， 所以当函数()g x 有且仅有一个零点时，1a =. 当1a =，()()

222ln g x x x x x x =-+-，若2

,(),e

x e g x m -<<≤只需证明max (),

g x m ≤

…………………9分

()()()132ln g x x x '=-+，

令()0g x '=得1x =或32

x e -

=，又2e x e -<

∴函数()g x 在32

2

(,)e e --上单调递增，在32

(,1)e -上单调递减，在(1,)e 上单调递增，10分

又3332

21()22

g e e e -

--=-+ ， 2

()23,g e e e =-

Q 3

3332

2213

()2222()().22

g e e e e e e e g e ----=-+<<<-=

即32

()()g e

g e -

< ，2max ()()23,g x g e e e ==- 223.m e e ∴≥- ………12分

22．证明：(1)因为PD PG =，所以PGD PDG ∠=∠.

由于PD 为切线，故DBA PDA ∠=∠，…………………2分 又因为PGD EGA ∠=∠，所以DBA EGA ∠=∠， 所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠， 从而BDA PFA ∠=∠.…………………4分

又,EP AF ⊥所以ο90=∠PFA ，所以ο90=∠BDA ， 故AB 为圆的直径．…………………5分 (2)连接BC ，DC .

由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.

在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB ， 于是∠DAB ＝∠CBA . …………………7分

又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB . ………………8分 因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角，…………………9分

所以ED 为直径，又由(1)知AB 为圆的直径，所以5==AB DE .…………………10分 23.解：(Ⅰ)圆C 的普通方程为0222

2

=+-+y x y x ，即2

2

(1)(1) 2.x y -++=………2分 所以圆心坐标为（1，-1）

，圆心极坐标为7)4

π

；…………………5分 (Ⅱ)直线l 的普通方程：0122=--y x ，圆心到直线l 的距离

3

2

23

1

122=

-+=

d ，…………………7分 所以,3

1029822=-

=AB 点P 直线AB 距离的最大值为,3

2

53222=+

=

+d r …………………9分 9

5

10325310221max =??=

S .…………………10分 24.解：（Ⅰ）当5=m 时，,1,3411,21

,63)(??

?

??>-≤≤-+--<+=x x x x x x x f ………………………3分

由2)(>x f 易得不等式解集为)0,3

4(-∈x ；………………………5分

（2）由二次函数2)1(322

2

++=++=x x x y ，该函数在1-=x 取得最小值2，

因为31,1()3,1131,1x m x f x x m x x m x ++<-??

=--+-≤≤??-+->?

在1-=x 处取得最大值2-m ，…………………7分

所以要使二次函数322

++=x x y 与函数)(x f y =的图象恒有公共点，只需22≥-m ， 即 4.m ≥.……………………………10分