高中数学竞赛考前辅导
目录
第一讲集合 (1)
第二讲函数综合问题.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10第三讲三角函数与反三角函数........ ...... ...... ... ............. . . ... .... . . . . . . . . ..... . ......... .21 第四讲等差数列与等比数列 (32)
第五讲递归数列.. . . . . . . . ....,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 第六讲几个著名代数不等式 (83)
第七讲不等式综合问题 (95)
第丿＼讲最大值和最小值问题 (104)
第九讲数学归纳法.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115第十讲复数 (122)
第十一讲平面几何问题（一）.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131 第十二讲平面几何问题（二）........... ......... ...... ...... ... . . . ... ... . . . . ........ . . . . . . . (143)
第十三讲立体几何.................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155 第十四讲解析几何.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171 第十五讲数论问题.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187 第十六讲计数问题 (197)
第十七讲图论........................................................· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·206 第十丿＼讲组合问题.................................................· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·215
全国高中数学联赛模拟题（一）................................... · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·223全国高中数学联赛模拟题（二）·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·225全国高中数学联赛模拟题（三）·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·227全国高中数学联赛模拟题（四）..... ·............. · ·..... ·.... · ·..... ·..... ·..... ·........... ·........ ·229全国高中数学联赛模拟题（五）·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·231全国高中数学联赛模拟题（六）................................... ·.............. ·... · · ·........ ·.. · · · ·233参考答案...............................................................· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·235
第一讲集合,·
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.1'＄ 杞俨、沪',:.,1户r r 它知识梳理
集合是数学中最重要的概念之一，是现代数学的基础．函数也是数学中的最重要的概念之一，是中学数学的主线．理解和掌握好集合与函数的基本概念以及它们的应用，对学好中学数学和将来进一步学习高等数学至关重要．
1.集合的概念
集合是一个不加定义的原始概念．“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．“集合中的每一个对象叫做这个集合的元素．对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的、互异的、无序的．
2.集合的表示方法
常常用下列两种方法来表示集合：
(1)列举法．把集合中的元素一一列举出来的方法
(2)描述法．对任意给的一个性质P,存在一个集合S,它的元素恰好是具有性质P 的一些对象，即S = {x I P x }, 其中P(x 表示"x具有性质P".
3.集合的运算
分配律：
A n
B u
C = A n B) u A n C ' A
U B n C = A U B)门A UC). De M o r g a n公式：L (A u B = C A)门L B)'LcA n B > = c 上4.)LJ C ,B .
4.集合的元素个数
有限集合A 的元素个数记为c ar d A 或IA I.我们有下面的容斥原理：
l I A U B I = I A l+I B I —I An BI.
2 I AU BU C I= I A l +I B l+I CI —!An BI —I B n C l —IC n A l+I An B n C I.
5.集合的划分
把一个集合M分成若千个非空的子集：A l 'A 2'
…, A,,, 如果满足l A n A j = 0 l < i , j < n, 卢气）；(2) U A = M, 那么称这些子集的全体为集合M 的一个划分，其中每一个子集叫做集合M 的一个类
6.最小数原理
设M 是正整数集的一个非空子集，则M 中必有最小数
设M是实数集的一个有限的非空子集，则M中必有最小数
第一讲集合1
砬A 1'Az'…，心是集合{1, 2'…, 2003}的子集，且I A i l;;;?:660, i =L 2, …, 30. 证明：存在i,j E {L 2, …, 30} , i -::j::. j, 使得I A i
n A j I;;;?: 203.
陌设N 是非负整数集，J:N-N 是一个函数，使得对任一n E N , 都有
(f(2n+ 1))2 -(f(2n))2
= 6/(n) + 1, f(2n)彦f(n).问：f(N )中有多少个元素小于2003?
14若A是S={l,2,…，n}的一个K元子集，m 为正整数，满足条件n>(m —l)CC!+l),则存在S 中的元素t l'…，t m
'使得A j = {x + t j I x EA}, j = 1, …，m 中任意两个的交集为空
集．e
)51对于非空数集S、T ,定义
S + T = { s + t I s E S , t E T }, 2S = { 2s I s E S }.
设n 为正整数，A、B 均为{1, 2'…, n}的非空子集，证明：存在A +B 的子集D,使得
D+D?2C A +B ), 且IDI 多，
I A I I B I 2n 这里1兄表示有限集X的元素个数．（笫29届中国数学奥林匹克）
第—讲集合9