高中物理双星问题和卫星变轨考点归纳

考点1：双星问题

一、要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源

双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提

供。由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。

二、要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系

两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等

的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。

三、要明确两子星圆周运动的动力学关系。

设双星的两子星的质量分别为M 1和M 2，相距L ，M 1和M 2的线速度分别为v 1和v 2，

角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得： M 1： 22121111121M M v G M M r L r ω== M 2： 2

2122222222M M v G M M r L r ω== 在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。

四、“双星”问题的分析思路

质量m 1，m 2；球心间距离L ；轨道半径 r 1 ，r 2 ；周期T 1，T 2 ；角速度ω1，ω2 线速度V 1 V 2；

角速度相同：（参考同轴转动问题）ω1 =ω2

（由于在双星运动问题中，忽略其他星体引力的情况下向心力由双星彼此间万有引力提供，可理解为一对作用力与反作用力）

m 1ω2r 1=m 2ω2r 2

m 1r 1=m 2r 2 r 1:r 2=m 2

:m 1

线速度之比与质量比相反：（由半径之比推导）

2 2

V 1=ωr 1 V 2=ωr 2

V 1:V 2=r 1:r 2=m 2:m 1

两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。双星问题是万有引力定律在天文学上的应用的一个重要内容，现就这类问题的处理作简要分析。

考点2：卫星变轨

一、人造卫星基本原理

绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由万有引力提供。轨道半径r 确定后，与之对应的卫星线速度r GM v =、周期GM

r T 32π=、向心加速度2r GM a =也都是确定的。如果卫星的质量也确定，那么与轨道半径r 对应的卫星的动能E k （由线速度大小决定）、重力势能E p （由卫星高度决定）和总机械能E 机（由能量转换情况决定）也是确定的。一旦卫星发生变轨，即轨道半径r 发生变化，上述物理量都将随之变化。同理，只要上述七个物理量之一发生变化，另外六个也必将随之变化。

在高中物理中，会涉及到人造卫星的两种变轨问题。

二、渐变

由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化（逐渐增大或逐渐减小），由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看做是匀速圆周运动。

解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径是增大还是减小，然后再判断卫星的其他相关物理量如何变化。

如：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，无论轨道多高，都会受到稀薄大气的阻力作用。如果不及时进行轨道维持（即通过启动星上小型火箭，将化学能转化为机械能，保持卫星应具有的速度），卫星就会自动变轨，偏离原来的圆周轨道，从而引起各个物理量的变化。由于这种变轨的起因是阻力，阻力对卫星做负功，使卫星速度减小，所需要的向心力r

m v 2

减小了，而万有引力大小2

r GMm 没有变，因此卫星将做向心运动，即半径r 将减小。由㈠中结论可知：卫星线速度v 将增大，周期T 将减小，向心加速度a 将增大，动能E k 将增大，势能E p 将减小，该过程有部分机械能转化为内能（摩擦生热），因此卫星机械能E 机将减小。

为什么卫星克服阻力做功，动能反而增加了呢？这是因为一旦轨道半径减小，在卫星克服阻力做功的同时，万有引力（即重力）将对卫星做正功。而且万有引力做的正功远大于克服大气阻力做的功，外力对卫星做的总功是正的，因此卫星动能增加。

根据E 机=E k +E p ，该过程重力势能的减少总是大于动能的增加。

再如：有一种宇宙学的理论认为在漫长的宇宙演化过程中，引力常量G 是逐渐减小的。如果这个结论正确，那么恒星、行星将发生离心现象，即恒星到星系中心的距离、行星到恒星间的

距离都将逐渐增大，宇宙将膨胀。

三、突变由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞

行器轨道发生突变，使其到达预定的目标。

如：发射同步卫星时，通常先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v 1，第一次在P 点点火加速，在短时间内将速率由v 1增加到v 2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ；卫星运行到远地点Q 时的速率为v 3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v 3增加到v 4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。第一次加速：卫星需要的向心力r

m v 2增大了，但万有引力2r GMm 没变，因此卫星将开始做离心运动，进入椭圆形的转移轨道Ⅱ。点火过程有化学能转化为机械能，卫星的机械能增大。

在转移轨道上，卫星从近地点P 向远地点Q 运动过程只受重力作用，机械能守恒。重力做负功，重力势能增加，动能减小。在远地点Q 时如果不进行再次点火，卫星将继续沿椭圆轨道运行，从远地点Q 回到近地点P ，不会自动进入同步轨道。这种情况下卫星在Q 点受到的万有引力大于以速率v 3沿同步轨道运动所需要的向心力，因此卫星做向心运动。

为使卫星进入同步轨道，在卫星运动到Q 点时必须再次启动卫星上的小火箭，短时间内使卫星的速率由

v 3增加到v 4，使它所需要的向心力r

m v 24增大到和该位置的万有引力相等，这样就能使卫星进入同步轨道Ⅲ而做匀速圆周运动。该过程再次启动火箭加速，又有化学能转化为机械能，卫星的机械能再次增大。

结论是：要使卫星由较低的圆轨道进入较高的圆轨道，即增大轨道半径（增大轨道高度h ），一定要给卫星增加能量。与在低轨道Ⅰ时比较，卫星在同步轨道Ⅲ上的动能E k 减小了，势能E p 增大了，机械能E 机也增大了。增加的机械能由化学能转化而来。

四、与玻尔理论类比

人造卫星绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供，电子绕氢原子核做圆周运动的向心力由库仑力提供。万有引力和库仑力都遵从平方反比率：2

21r m Gm F =和221r q kq F =，因此关于人造卫星的变轨和电子在氢原子各能级间的跃迁，分析方法是完全一样的。

⑴电子的不同轨道，对应着原子系统的不同能级E ，E 包括电子的动能E k 和系统的电势能E p ，即E =E k +E p 。 ⑵量子数n 减小时，电子轨道半径r 减小，线速度v 增大，周期T 减小，向心加速度a 增大，动能E k 增大，电势能E p 减小，原子向相应的低能级跃迁，要释放能量（辐射光子），因此氢原子系统总能量E 减小。由E =E k +E p 可知，该过程E p 的减小量一定大于E k 的增加量。

反之，量子数n 增大时，电子轨道半径r 增大，线速度v 减小，周期T 增大，向心加速度a 减小，动能E k 减小，电势能E p 增大，原子向相应的高能级跃迁，要吸收能量（吸收光子），因此氢原子系统总能量E 增大。由E =E k +E p 可知，该过程E p 的增加量一定大于E k 的减少量。

典型例题

【例题1】两颗靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是：

A 、它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比。

B 、它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比。

C 、它们做圆周运动的半径与其质量成正比。

D 、它们做圆周运动的半径与其质量成反比。

解析：两子星绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等。由v=r ω得线速度与两子星圆周运动的半径是成正比的。因为两子星圆周运动的向心力由两子星间的万有引力提供，向心力大小相等，由

212112M M G M r L ω=，21

2222M M G M r L

ω=可知：221122M r M r ωω=，所以它们的轨道半径与它们的质量是成反比的。而线速度又与轨道半径成正比，所以线速度与它们的质量也是成反比的。正确答案为：BD 。

【例题2】用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质存在的形式和分布有了较深刻的认识，双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的线度都小于两星体间的距离，一般双星系统距离其它星体很远，可以当做孤立系统处理，现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M ，两者相距L ，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。

（1）计算该双星系统的运动周期T 计算。

（2）若实验上观测到的运动周期为T 观测，且T 观测：T 计算=1

(N>1)，为了解释T 观测与T 计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假定在这两个星体边线为直径的球体内均匀分布着暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。

解析：（1）双星绕它们的连线中点做圆周运动，由万有引力提供向心力，根据万有引力和牛顿第二定律得：2222

M M L G L ω=，而2T πω=

。解得：T π计算＝（2）

因为T T 观测计算计算＜，这个差异是以双星连线为直径的球体内均匀分布着的暗物质引起的，设这种暗物质质量为M ′，位于两星连线中点处的质点对双星的影响相同，这时双星做圆周运动的向心力由

双星的万有引力和M ′对双星的万有引力提供，所以有：()22/222/2M L M MM G G L L ω=观测＋，又2T πω=观测观测

解得暗物质的质量为：/N 1/4M M ＝（－）而暗物质的体积为：34L V 32

π＝（所以暗物质的密度为：/3M 3(1)/(2)V

N M L ρπ=-＝ 1．如图，地球赤道上山丘e ，近地资源卫星p 和同步通信卫星q 均在赤道平面上绕地球做

匀速圆周运动。设e 、p 、q 的圆周运动速率分别为v 1、v 2、v 3，向心加速度分别为a 1、