2020-2021学年山东省济南外国语学校高三(上)开学数学(理科)试题word版含解析
2020-2021学年山东省济南外国语学校高三（上）开学
数学（理科）试题
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）复数z=的共轭复数=（）
A．i B．i C．i D．i
2．（4分）设集合P={x||x+1|≤3}，Q={y|y=（）x，x∈（﹣2，1）}，则P∩Q=（）
A．（﹣4，）B．（，2] C．（，2] D．（，2）
3．（4分）某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学生共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学生共有女生（）
A．1030人B．97人C．950人D．970人
4．（4分）下列说法不正确的是（）
A．若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题
B．命题“?x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“?x∈R，x2﹣x﹣1≥0”
C．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件
D．a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减
5．（4分）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（ξ＜2）=0.6，则P（0＜ξ＜1）=（）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
6．（4分）若x、y满足不等式，则z=3x+y的最大值为（）
A．11 B．﹣11 C．13 D．﹣13
7．（4分）执行如图所示的程序框图，输出的T=（）
A．29 B．44 C．52 D．62
8．（4分）将函数f（x）=sin（x+）的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是（）
A． B．C．D．
9．（4分）函数f（x）=的图象可能是（）
A．B．C．D．
10．（4分）过双曲线C：x2﹣=1（b＞1）的左顶点P作斜率为1的直线l，若直线l与双曲线的两条渐近线分别相交于点Q，R，且+=2，则双曲线的离心率为（）
A．B． C．D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
11．（4分）若等比数列{a n}的首项为，且a4=（1+2x）dx，则公比q等于．
12．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x2的系数与的展开式中x3的系数相等，则a= ．13．（4分）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是．
14．（4分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点P，则点P落在圆x2+y2=1
内的概率为．
15．（4分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为．
三、解答题：本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（8分）在△ABC中，已知sin（+A）=，cos（π﹣B）=﹣．
（1）求sinA与B的值；
（2）若角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值．
17．（8分）甲、乙两名篮球运动员，各自的投篮命中率分别为0.5与0.8，如果每人投篮两次．
（I）求甲比乙少投进一次的概率．
（Ⅱ）若投进一个球得2分，未投进得0分，求两人得分之和ξ的分布列及数学期望Eξ．
18．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，E、F分别为BD、PD的中点，EA=EB=AB=1，PA=2．（Ⅰ）证明：PB∥面AEF；
（Ⅱ）求面PBD与面AEF所成锐角的余弦值．
19．（10分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n，正项等比数列{b n}满足：b1=a1﹣1，且b4=2b2+b3．
（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c n}满足：c n=，其前n项和为T n，求T n的取值范围．
20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．
21．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过点F作直线l交抛物线C于A，B两点．椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率．
（Ⅰ）分别求抛物线C和椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过A，B两点分别作抛物线C的切线l1，l2，切线l1与l2相交于点M．证明AB⊥MF．
2020-2021学年山东省济南外国语学校高三（上）开学
数学（理科）试题参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）复数z=的共轭复数=（）
A．i B．i C．i D．i
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解：复数z===的共轭复数=，
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．
2．（4分）设集合P={x||x+1|≤3}，Q={y|y=（）x，x∈（﹣2，1）}，则P∩Q=（）
A．（﹣4，）B．（，2] C．（，2] D．（，2）
【分析】求出P中不等式的解集确定出P，求出Q中y的范围确定出Q，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由P中不等式变形得：﹣3≤x+1≤3，
解得：﹣4≤x≤2，即P=[﹣4，2]，
由Q中y=（）x，x∈（﹣2，1），得到＜x＜9，即Q=（，9）．
则P∩Q=（，2]，
故选：C．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3．（4分）某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学生共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学生共有女生（）
A．1030人B．97人C．950人D．970人
【分析】根据样本容量和女生比男生少6人，可得样本中女生数，再根据抽取的比例可得总体中的女生人数．
【解答】解：∵样本容量为200，女生比男生少6人，
∴样本中女生数为97人，
又分层抽样的抽取比例为=，
∴总体中女生数为970人．
故选：D．
【点评】本题考查了分层抽样的定义与应用问题，是基础题目．
4．（4分）下列说法不正确的是（）
A．若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题
B．命题“?x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“?x∈R，x2﹣x﹣1≥0”
C．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件
D．a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减
【分析】分别根据复合命题真假之间的关系，含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：A．若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题，正确．
B．命题“?x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“?x∈R，x2﹣x﹣1≥0”，正确，
C．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件，故C错误．
D．a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减，正确．
故选：C
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，比较基础．
5．（4分）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（ξ＜2）=0.6，则P（0＜ξ＜1）=（）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到P（0＜ξ＜1）．
【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），
∴曲线关于x=1对称，
∵P（ξ＜2）=0.6，
∴P（0＜ξ＜1）=0.6﹣0.5=0.1，
故选：D．
【点评】题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．
6．（4分）若x、y满足不等式，则z=3x+y的最大值为（）
A．11 B．﹣11 C．13 D．﹣13
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最大值．
【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+y得y=﹣3x+z，
平移直线y=﹣3x+z，则由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时直线y=﹣3x+z的截距最大，
此时z最大，
此时M=z=3×+5×=17，由，
解得，即A（4，﹣1），
此时z=3×4﹣1=11，
故选：A．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
7．（4分）执行如图所示的程序框图，输出的T=（）
A．29 B．44 C．52 D．62
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T，n的值，当S=12，n=4，T=29时，满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．
【解答】解：执行程序框图，有
S=3，n=1，T=2，
不满足条件T＞2S，S=6，n=2，T=8
不满足条件T＞2S，S=9，n=3，T=17
不满足条件T＞2S，S=12，n=4，T=29
满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．
故选：A．
【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查．
8．（4分）将函数f（x）=sin（x+）的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是（）
A． B．C．D．
【分析】根据三角函数的图象变换关系进行求解即可．
【解答】解：将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=sin（），
由=+kπ，
即+2kπ，k∈Z，
∴当k=0时，函数的对称轴为，
故选：D．
【点评】本题主要考查三角函数的图象变换关系以及三角函数对称轴的计算，求出函数的解析式是解决本题的关键．
9．（4分）函数f（x）=的图象可能是（）
A．B． C．D．
【分析】判断f（x）的奇偶性，判断f（x）在（0，）上的函数值的符号，结合选项得出答案．
【解答】解：∵f（﹣x）==﹣f（x），即函数f（x）是奇函数，
∴f（x）的图象关于原点对称，排除A、D，
当0时，sinx＞0，x2﹣2＜0，∴f（x）=＜0，排除B，
故选C．
【点评】本题考查了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊点等方面判断，属于中档题．10．（4分）过双曲线C：x2﹣=1（b＞1）的左顶点P作斜率为1的直线l，若直线l与双曲线的两条渐近线分别相交于点Q，R，且+=2，则双曲线的离心率为（）
A．B． C．D．
【分析】先由双曲线线方程可得P的坐标和直线l的方程与双曲线的渐近线联立求得Q和R的横坐标，进而根据且，求得b的值，进而根据c=求得c，最后根据离心率公式答案可得．
【解答】解：由题可知P（﹣1，0）所以直线L的方程为y=x+1，
两条渐近线方程为y=﹣bx或y=bx
联立y=x+1和y=﹣bx得Q的横坐标为x Q=﹣
同理得R的横坐标为x R=，
∵，
∴（﹣1，0）+（，y R）=2（﹣，y Q），
∴﹣1+=﹣?b=3，c==，
∴e==，
故选B．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题的能力．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
11．（4分）若等比数列{a n}的首项为，且a4=（1+2x）dx，则公比q等于 3 ．
【分析】先计算定积分得到a4，因为等比数列的首项为，然后根据等比数列的通项公式列出关于q的方
程，求出即可．
【解答】解：由已知得：a4=∫14（1+2x）dx=x+x2|14=18．
又因为等比数列的首项为，设公比为q根据等比数列的通项公式a n=a1q n﹣1，
令n=4得：a4=×q3=18，解得q3==27，所以q=3．
故答案为3．
【点评】本题考查定积分运算及等比数列基本量的求解．
12．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x2的系数与的展开式中x3的系数相等，则a= ．【分析】分别计算出（ax+1）5的展开式中x2的系数和的展开式中x3的系数，利用它们相等，建立方程关系，进行求解即可．
【解答】解：（ax+1）5的展开式中x2的项为=10a2x2，x2的系数为10a2，
与的展开式中x3的项为=5x3，x3的系数为5，
∴10a2=5，
即a2=，解得a=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，利用展开式的通项公式确定项的系数是解决本题的关键．13．（4分）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是．
【分析】画出几何体的直观图，然后利用三视图的数据求解几何体的体积即可．
【解答】解：由图知此几何体为边长为2的正方体裁去一个三棱锥（如右图），
所以此几何体的体积为：2×=．
故答案为：．
【点评】本题考查几何体的三视图与直观图的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
14．（4分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点P，则点P落在圆x2+y2=1
内的概率为．
【分析】先画出满足条件的平面区域，分别求出区域D的面积和区域D在圆中的部分面积，从而求出满足条件的概率P的值．：
【解答】解：画出区域D和圆，如图示：
区域D的面积是：，区域D在圆中的部分面积是，
∴点P落在圆内的概率是=，
故答案为：．
【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查了概率问题，是一道基础题．
15．（4分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为．
【分析】由等积法证明，然后利用棱锥的体积公式求得答案．
【解答】解：如图，连接B1C，则，
又，
∴，
∵AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，
∴．
【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及体积等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，是中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（8分）在△ABC中，已知sin（+A）=，cos（π﹣B）=﹣．
（1）求sinA与B的值；
（2）若角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值．
【分析】（1）利用诱导公式与同角三角函数基本关系式即可得出；
（2）利用正弦定理与余弦定理即可得出．
【解答】解：（1）∵，
∴，
又∵0＜A＜π，
∴．
∵，且0＜B＜π，
∴．
（2）由正弦定理得，
∴，
另由b2=a2+c2﹣2accosB得49=25+c2﹣5c，
解得c=8或c=﹣3（舍去），
∴b=7，c=8．
【点评】本题主要考查解三角形的基础知识，正、余弦定理，诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和与差的余弦公式等知识，考查了考生运算求解的能力，属于中档题．
17．（8分）甲、乙两名篮球运动员，各自的投篮命中率分别为0.5与0.8，如果每人投篮两次．
（I）求甲比乙少投进一次的概率．
（Ⅱ）若投进一个球得2分，未投进得0分，求两人得分之和ξ的分布列及数学期望Eξ．
【分析】（I）设“甲比乙少投进一次”为事件A，依题意可知它包含以下两个基本事件：①甲投进0次，乙投进1次，记为事件B，②甲投进1次，乙投进2次，记为事件C，由P（A）=P（B）+P（C），能求出甲比乙少投进一次的概率．
（II）两人得分之和ξ的可能取值为0，2，4，6，8，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和ξ的期望Eξ．
【解答】解：（I）设“甲比乙少投进一次”为事件A，依题意可知它包含以下两个基本事件：
①甲投进0次，乙投进1次，记为事件B，
则有：，…（2分）
②甲投进1次，乙投进2次，记为事件C，
则有：，…（4分）
∴P（A）=P（B）+P（C）=0.08+0.32=0.40…（5分）
答：甲比乙少投进一次的概率为0.40．…（6分）
（II）两人得分之和ξ的可能取值为0，2，4，6，8，
P（ξ=0）=（1﹣0.5）2（1﹣0.8）2=0.01，
P（ξ=2）==0.10，
Pξ=4）=0.52?（1﹣0.8）2+（1﹣0.5）2?0.82+=0.33，
P（ξ=6）==0.4，
P（ξ=8）=0.52×0.82=0.16，
∴ξ的分布列为：
ξ0 2 4 6 8
P 0.0
1 0.1
0.3
3
0.4
0.1
6
∴Eξ=0×0.01+2×0.10+4×0.33+6×0.40+8×0.16=5.2…（11分）
∴两人得分之和ξ的期望Eξ为5.2．…（12分）
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式的合理运用．
18．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，E、F分别为BD、PD的中点，EA=EB=AB=1，PA=2．（Ⅰ）证明：PB∥面AEF；
（Ⅱ）求面PBD与面AEF所成锐角的余弦值．
【分析】（Ⅰ）由题设条件推导出EF∥PB，由此能证明PB∥面AEF．
（Ⅱ）由题设条件推导出∠ABE=60°，∠ADE=∠DAE，从而得到BA⊥AD．分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立坐标系，利用向量法能求出面PBD与面AEF所成锐角的余弦值．
【解答】（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：∵E、F分别为BD、PD的中点，
∴EF∥PB…（2分）
∵EF?面AEF，PB?面AEF
∴PB∥面AEF…（4分）
（Ⅱ）解：∵EA=EB=AB=1
∴∠ABE=60°
又∵E为BD的中点
∴∠ADE=∠DAE
∴2（∠BAE+∠DAE）=180°
解得∠BAE+∠DAE=90°，∴BA⊥AD…（6分）
∵EA=EB=AB=1，∴，
分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立坐标系
由题设条件知：
∴…（8分）
设、分别是面PBD与面AEF的法向量
则，∴
又，∴…（11分）
∴．
∴面PBD与面AEF所成锐角的余弦值为．…（12分）
【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．
19．（10分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n，正项等比数列{b n}满足：b1=a1﹣1，且b4=2b2+b3．
（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c n}满足：c n=，其前n项和为T n，求T n的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出首项，利用a n=S n﹣S n﹣1，求解a n，设{b n}的公比为q，由题意得q＞0，且b1=a1﹣1，且b4=2b2+b3．求解数列{b n}的通项公式．
（Ⅱ）化简c n，由错位相减法求解前n项和，推出结果即可．
【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，，当n≥2时a n=S n﹣S n﹣1=2n+1，
当n=1时也适合上式，所以a n=2n+1．
设{b n}的公比为q，由题意得q＞0，且，
∴q2﹣q﹣2=0∴q=2或q=﹣1（舍去），
故数列{b n}的通项公式为．
（Ⅱ）由错位相减法得，∵，
又，
∴．
【点评】本题考查数列求和，数列通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力．
20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．
【分析】（Ⅰ）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值；
（Ⅱ）利用导数的正负，可得f（x）的单调性，从而可求f（x）的极大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，
∴f′（x）=e x（ax+a+b）﹣2x﹣4，
∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4
∴f（0）=4，f′（0）=4
∴b=4，a+b=8
∴a=4，b=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4e x（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4e x（x+2）﹣2x﹣4=4（x+2）（e x﹣），
令f′（x）=0，得x=﹣ln2或x=﹣2
∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0
∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2）
当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键．
21．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过点F作直线l交抛物线C于A，B两点．椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率．
（Ⅰ）分别求抛物线C和椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过A，B两点分别作抛物线C的切线l1，l2，切线l1与l2相交于点M．证明AB⊥MF．
【分析】（Ⅰ）由已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1）可得抛物线C的方程为x2=4y；由点椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率，求出a，b，椭圆方程可求．（Ⅱ）要证明AB⊥MF，只需证=0即可．设直线l的方程为y=kx+，1与双曲线方程联立，消去y，得到关于A，B点横坐标的一元二次方程，求两根的和与积，再用导数求过A，B点的切线方程，求出切点坐标，计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）由已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1）可得抛物线C的方程为x2=4y．
设椭圆E的方程为，半焦距为c．由已知可得：，解得 a=2，b=1．所
以椭圆E的方程为：．…（4分）
（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意，…（6分）
故可设直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），
由，消去y并整理得x2﹣4kx﹣4=0，∴x1x2=﹣4．
∵抛物线C的方程为，求导得，
∴过抛物线C上A、B两点的切线方程分别是，，
即，，
解得两条切线l1，l2的交点M的坐标为，即M，
=，
∴AB⊥MF．…（12分）
【点评】本题考查了抛物线，椭圆与直线导数等的综合应用，属于较难题型，做题适应认真分析，找到他们的联系点．