华师版八年级数学下册知识点

第17章 分式

1．分式 形如B

A （A 、

B 是整式，且B 中含有字母，0≠B ）的式子，叫做分式。其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

【注】分式中。分母不能为零，否则分式无意义。

2．有理式

整式和分式统称为有理式。

（1）下列各有理式中，哪些是分式？那些值整式？

()13

94,3,2,3,21,1y x x x x m x y x x +--+ （2）当x 取何值时，下列分式有意义？

①,21x ②22+-x x ③142++x x ④5

34-x x

（1） 一件工作,甲独做a 小时完成,乙独做b 小时完成,则甲、乙两人合作完成需要( )小时。 A.

b a 11+ B.ab 1 C.b a +1 D.b

a a

b + （2）当a 时，分式321+-a a 有意义。

把下列有理式中是分式的代号填在横线上

①－3x ；②y

x

；③22732xy y x -；④－x 81；⑤35+y ；⑥112--x x ；⑦－π12-m ；⑧5.023+m . 3．分式的基本性质

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

4．最简分式

分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。

5．最简公分母

各分母所有因式的最高次幂的积

（1）约分

①2232axy y ax ②)(3)(2b a b b a a ++- ③()()32a x x a -- ④y xy x 242+- （2）通分

①xy x 125,312 ②x

x x x -+221,1

（1）不改变分式y x y x +-

32252的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( ) A.y x y x +-4152 B.y x y x 3254+- C.y x y x 24156+- D.y

x y x 641512+- （2）分式:①

322++a a , ②22b a b a --, ③()b a a -124, ④21-x 中,最简分式有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

6．分式的运算

（1）分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。

（2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相除。 （3）分式的乘方等于分子分母分别乘方。

（4）分式的符号法则：

（1）b a b a b a -=-=-；（2）b a b a =--；（3）b a b a =---

（1）计算

①x

b by ax 22

22ay · ②222222a a x b yz z b xy ÷ ③22??? ??-x y ④3

2??

? ??-c a （2）水果店有两种苹果，甲种苹果每箱净重m 千克。售a 元，乙种苹果每箱净重n 千克，售b 元，请问，甲种苹果的单价是乙种苹果的多少倍？

（1）若分式2242

x x x ---的值为零,则x 的值是( ) A.2或-2 B.2 C.-2 D.4

（2）计算 3

2

231487x 12x y y x y ?÷ （4）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

（1）计算

①a b a +2 ②ab a

322- ③1624432---x x （2）琳琳家距离学校a 千米，骑自行车需要b 分钟。若有一天她从家出发迟到了c 分钟，则她每分钟应多骑多少千米，才能使到达时间和往常一样？

（1）化简a b a b a b

--+等于( ) A.2222a b a b +- B.222()a b a b +- C.22

22

a b a b -+ D.222()a b a b +- （2）计算 32311x 1x x x ???? ?

?-+ （3）某农场原计划用m 天完成a 公顷的播种任务,如果要提前b 天结束,那么平均每天比原

计划要多播种_________公顷.

计算

①2424422x y x y x x y x y x y x y ?-÷-+-+ ②(x+y)·22

22x y x y y x

+-- 7．分式方程

（1）分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

（2）解分式方程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解。所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母。

（3）增根是指不适合原分式方程的解（或根），因此，解分式方程必须进行检验。

（4）解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零。有时为了方便起见，可将它代入最简公分母中，看它的值是否为零，若为零，则为增根。

（1）解方程

① 130100-=x x ②21212339

x x x -=+-- （2）列方程解应用题

2640名学生的成绩由两位程序操作员各向计算机输入，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2个小时输完。问这两个操作员呢每分钟各输入多少名学生的成绩？

（1）当m=______时,方程233

x m x x =---会产生增根。 （2）若关于x 的方程ax=3x-5有负数解,则a 的取值范围是( )

A.a<3

B.a>3

C.a ≥3

D.a ≤3

（3）解分式方程2236111

x x x +=+--,分以下四步,其中,错误的一步是( ) A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)

B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6

C.解这个整式方程,得x=1

D.原方程的解为x=1

（1）当x 时，分式

x

x --23的值为负数。 （2）甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做1天, 再由两队合作2天就完成全

部工程,已知甲队与乙队的工作效率之比是3:2,求甲、 乙两队单独完成此项工程各需多少天?

8．零指数幂与负整指数幂

（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1。

【注】0的零次幂没有意义。

（2）任何不等于零的数的-n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数。 n a a

a n n ,0(1≠=

-是正整数）

（1）计算 ① 23- ②10

1031-???? ?? （2）计算下列各式，并把结果化成只含有正整指数幂的形式

①()()322

3--ab a ②()223x --yz （3）用小数表示下列各数 ①410- ②5

10.12-?

（1）计算1

201(1)5(2004)2π-??-+-÷- ???的结果是_________。

（2）若-1,则x+x -1=__________.

计算

① 410255÷ ②241-??? ??- ③()()2233

2m 2----mn n

9．利用10的负整指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成n a -?10

的形式，其中n 是正整数，101<≤a 。

（1）用科学记数法表示

① 0.00003 ②-0.0000064 ③201000000

（2）一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？

（1）用10的负整指数幂填空

①1毫克= 千克 ②1平方厘米= 平方米

③1纳米= 微米= 毫米= 厘米= 分米= 米

（2）把下列各数用科学记数法表示

①1000000 ②0.0000001 ③-11200000 ④-0.00000112

自然界隐含着许多规律，一定质量的理想气体，当温度保持不变时，它的压强p 与体积

V 的乘积也保持不变。现在它的压强511001.1p ?=帕时，体积1V =2立方米，若这些气体加压到521003.3?=p 帕时，求这些气体的体积2V 。（已知2211,,,V p V p 满足

1

221V p V p =） 第18章 函数及其图像

1．变量与函数

（1）变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。

（2）一般的，如果在一变化过程中，有两个变量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，我们就说x 是自变量，y 是因变量。此时也称y 是x 函数。

2、对函数概念的理解，主要抓住三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的数值随另一个变量的数值的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量就有一个并且只有一个值与其对应。

3表示函数关系的方法

1）解析法（关系式法）：两个变量之间的关系，有时可以用一个含有这两个变量的等式表

示，这种方法叫解析式法。

2）列表法

3）图像法

（4）在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量。

写出下列各问题中的函数关系式，并指出常量与变量。

①圆的周长C 与半径r 的函数关系式。

②火车以60㎞／时的速度行驶，它驶过的路程s 与所用时间的函数关系式。

③n 边形的内角和的度数S 与边数n 的函数关系式。

（5）求函数自变量的取值范围

1．实际问题中的自变量取值范围

按照实际问题是否有意义的要求来求。

2．用数学式子表示的函数的自变量取值范围

(1)解析式为整式的，x 取全体实数；(2)解析式为分式的，分母必须不等于0式子才有意义；

(3)解析式的是二次根式的被开方数必须是非负数式子才有意义；(4)解析式是三次方根的，自变量的取值范围是全体实数。

3．函数值：指自变量取一个数值代入解析式求出的数值，称为函数值；实际上就是以前学的求代数式的值。

（1）求下列函数自变量x 的取值范围

① y=3x+1 ② 122

+=x y ③2

1+=x y ④2-=x y （2）已知等腰三角形的面积是20㎡，设它的底边长是x （米），求底边上的高y （米）关于x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围。

（1）求下列函数自变量x 的取值范围

① 252y x x --= ②3

6+=x x y ③12-=x y （2）分别写出下列问题中的函数关系式，指出自变量和因变量，以及自变量的取值范围。

①寄一封重量为20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n 封这样的信所需邮资y

（元）与n 间的函数关系式。

②如果一个直角三角形中一个锐角是α，那么求另一个锐角的度数β与α之间的函数关系

式。

2．函数的图像

（1）直角坐标系

1)在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面直

876

5

4

3

角坐标系。通常把其中水平的一条数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两数轴的交点O 叫做坐标原点。

2)在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示。例如点P 分别向x 轴

和y 轴作垂线，垂足分别为M 和N 。这时，点M 在x 轴上对应的数字是m ，称为点P 的横坐标；点N 在y 轴上的坐标为n ，称为点P 的纵坐标，得到一对有序实数（m ，n ），称为点P 的坐标，可记为P （m ，n ）。

3)在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，分别称为第

一、二、三、四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限。

4)在平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的。

Ⅱ Ⅰ

Ⅲ Ⅳ

1.平面直角坐标系

⑴ 坐标平面内的点与______________一一对应．

⑵根据点所在位置填图

⑶x 轴上的点______坐标为0, y 轴上的点______坐标为0.

⑷ P(x,y)关于x 轴对称的点坐标为__________，关于y 轴对称的点坐标为________，

关于原点对称的点坐标为___________.

例题：

在直角坐标系中描出点A （2,3），分别找出它与x 轴、y 轴及原点的对称点，并写出这

些点的坐标，说出这些点分别在第几象限？

练习：

在如图所示的国际象棋棋盘中，双方四只马的位置分别是A （b ，3）、B （d ，5）、C （f ，

7）、D （h ，2）,请在图中描出它们的位置。

M N x

y O P n m

（2）函数的图像

1）一般来说，函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成。图像上的每一点的坐标 （x

，y ）代表函数的一对对应值，它的横坐标x 表示自变量的某一个值，纵坐标y 表示与它对应的函数值。

2）画函数图像的方法：描点法。即列表、描点、连线三步。

线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用的时间（分）的关系看图回答问题：

①小强让爷爷先上了多少米？②山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上山顶？

（1）画出下列函数图像，并判断大括号里的点是否在该图像上。

①y=3x-1，{（0，-1），（-2，-7）（1，-2），（2.5，6.5）}

②()()()?

???????? ??≥+=1,3,32,2,2,0,0,12y x x （2）周末小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里，他离家的距离s （千米）与时间t （时）的关系可以用图中的曲线表示，根据这个图像回答下列问题。

①小李到达离家最远的地方是什么时候？

②小李何时第一次休息？

③10时到13时，小李骑了多少千米？ ④返回时，小李的平均车速是多少？

3．一次函数

（1）函数的解析式都是用自变量的一次整式表示，我们称它们为一次函数。

一次函数通常可以表示为y=kx+b 的形式，其中k 、b 是常数，k ≠0。

特别的，当b=0时，一次函数y=kx （常数k ≠0），也叫做正比例函数。

（2）一次函数的图像

一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，k ≠0）的图像是一条直线，通常也称为直线y=kx+b 。特别的，正比例函数y=kx （k ≠0）的图像是经过原点（0，0）。

对于直线y=kx+b （k 、b 是常数，k ≠0），k 表示直线的倾斜程度。b 是直线与y 轴交点的纵坐标。

(3)一次函数的图象：函数y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0)的图象是一条直线. 过点(0，b )且与

直线y=kx 平行

（1）在同一个坐标系内画出下列函数图像，并说出它们有什么关系？

①y=-2x ②y=-2x-4

（2）①将直线y ＝-2x ＋3向下平移5个单位，得到直线 ．

②直线y=－5x+7可以看作是由直线y=－5x －1向 平移 个单位得到的。

（3）求函数32

3-=x y 与x 轴、y 轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积。

（4）写出一条与直线y=2x-3平行的直线

（1）①直线y=－x+2与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是

②直线y=23

2-x 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 （2）直线y=2x-3可以由直线y=2x 经过 单位而得到；直线y=-3x+2可以由直线y=-3x 经过 而得到；直线y=x+2可以由直线y=x-3经过 而得到．

（3）写出一条与直线y=2x-3平行，且经过点（2，7）的直线

（1）直线y ＝4x －3过点（_____，0）、（0， ）；直线23

1+-=x y 过点（ ，0）、（0， ）．

（2）一次函数y ＝3x ＋b 的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24，求b 。

y x O O y x

（3)一次函数的性质

设y=kx+b(k ≠0)，则

当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0， y 随x 的增大而减小.

当b ＞0时，直线交y 轴于正半轴；当b ＜0时，直线交y 轴于负半轴；当b=0时，直线过原点

正比例函数的图象：函数y=kx(k 是常数，k ≠0)的图象是过原点及点(1，k)的一条直线.

当k ＞0时，图象过原点及第一、第三象限；当k ＜0时，图象过原点及第二、第四象

限.

正比例函数的性质：设y=kx(k ≠0)，则当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y

随x 的增大而减小.

（2）、求一次函数b kx y +=与x 轴、y 轴的交点坐标

①与x 轴的交点坐标：令y = 0，求x ；②与y 轴的交点坐标：令x = 0, 求y

当k>0时，y 随x 的增大而增大，这时函数的图像从左到右上升。

当k<0时，y 随x 的增大而减小，这时函数的图像从左到右下降。

当k>0，b>0时，函数经过Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ象限。

当k>0，b<0时，函数经过Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ象限。

当k<0，b>0时，函数经过Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ象限。

当k<0，b<0时，函数经过Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限。

（1）画出函数y =-2x +2的图象,结合图象回答下列问题。

①随着x 的增大，y 将 （填“增大”或“减小”）

②它的图象从左到右 （填“上升”或“下降”）

③图象与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是

④这个函数中,随着x 的增大,y 将增大还是减小?它的图象从左到右怎样变化? ⑤当x 取何值时,y =0?当x 取何值时,y ＞0?

（2）某个一次函数的图象位置大致如下图所示，试分别确定k 、b 的符号，并说出函数的性质。 ① ②