高中数学高二数学同步辅导教材(第12讲)椭圆及其标准方程

一、本章主要内容

8． 1 椭圆及其标准方程 课本第92页至第97页

本讲主要内容

1、椭圆的定义及运用；

2、用待定系数法求椭圆标准方程。

二、学习指导

1、椭圆的定义用集合表示为{P||PF 1|+|PF 2|=2a ，其中F 1、F 2是两个定点，2a 为定值，2a>|F 1F 2|}

当2a=|F 1F 2|时，点P 的轨迹为线段F 1F 2 当2a<|F 1F 2|时，点P 不存在

椭圆的定义作为判定定理用，是求轨迹方程中的定义法；椭圆的定义作为性质定理用，是解决椭圆问题的重要思想方法。

课本在推导椭圆标准方程时，涉及到两个无理式的化简及字母计算，希望同学们亲手操作。字母运算是本章的特点，属于技能范畴，同学们要定下心来，在合理选择运算途径后，多算，细心算。

2、椭圆的标准方程是指在以焦点的中点为原点，焦点在坐标轴上的前提条件下推导出来的。

当焦点在x 轴上时，方程类型为

1b y a x 2

22

2=+

当焦点在y 轴上时，方程类型为2

22

2a y b x +

=1

恒有a>b>0。字母x 通常写在前面。

为了运算简单，有时也用整式形式，如Ax 2+By 2

=1（A>0，B>0)等。 3、求椭圆的标准方程，主要用待定系数法。其步骤为：

（1）选标准，即判定焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两种情况都有可能； （2）定参数，通过解方程组的思想求得a 2

，b 2

，或c 2

，a 2

=b 2

+c 2

。

实际上，定参数（a ，b ，c ）是定椭圆的形状，选标准是确定椭圆在坐标系中的位置。

四、典型例题

例1、椭圆焦距|F 1F 2|=4，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2=π3

2

，若△F 1PF 2

的面积S=313，求椭圆的标准方程。

解题思路分析： 因△F 1PF 2的面积可通过S=h |F F |2

1

21? 及S=

2121PF F sin |PF ||PF |2

1

∠??两种方式转化，故本题有两种解题途径。 思路一：如图，建立坐标系，则F 1(-7，0)，F 2(7，0)，不妨设P(x 0，y 0)，（x 0>0，y 0>0） ∵ 021PF F y |F F |2

1

S 21=? ∴ 37

13

y 0=

又 7x y k 00PF 1

+=，7

x y k 00

PF 2-= 直线PF 1到直线PF 2的角为π32

∴ )7x )(7x (y 17x y 7x y 3

2

tan 002

000

00-++

+-

-=

π

∴ 49

y x y 1432

02

00-+=-

∴ 49

620

x 20=

∵ P 在椭圆上 ∴ 1b y a x 2

202

20=+

∴

1b

49507a

496202

2

=+

……①

又 a 2

-b 2

=c 2

=49 ……② ①②联立，解得a 2

=62，b 2

=13 ∴ 所求椭圆方程为113

y 62x 2

2=+

当F 1，F 2在y 轴上时，椭圆方程为113

x 62y 2

2=+

思路二：不防设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，则 π=

?3

2sin r r 21S 21PF F 21

∴ r 1r 2=52 在△F 1PF 2中

|F 1F 2|2=r 12+r 22

-2r 1r 2cos π32

∴ |F 1F 2|2

=(r 1+r 2)2

-r 1r 2 ∴ 142

=(2a)2-52 ∴ a 2=62 ∴ b 2

=a 2

-c 2

=13

当焦点在x 轴上时，椭圆方程为113y 62x 2

2=+

当焦点在y 轴上时，椭圆方程为162

y 13x 2

2=+

注：思路一偏重于坐标系中的运算，思路二涉及到三个方面的重要知识，一是定义，一般地，当涉及到椭圆上的点到焦点的距离（又称焦半径）时，总是联想到定义，这是解题规律；二是解三角形的知识，如正弦定理，余弦定理等，△PF 1F 2常称为焦点三角形，三是整体计算的思想，如2a=r 1+r 2，求得r 1+r 2，即求得2a ；对条件r 1r 2的整体运用等。思路二是先定形状，再定位置。

例2、定点A （-1，1），B （1，0），点P 在椭圆13

y 4x 2

2=+上运动，求|PA|+|PB|的

最值。

解题思路分析： B 为右焦点

若用距离公式建立函数关系再求最值显然行不通 考虑用平面几何知识求解 解题的突破口是用定义转化|PB|

设左焦点为B 1（-1，0），则|PB|=2a-|PB 1|=4-|PB 1| ∴ |PA|+|PB|=4+|PA|-|PB 1| ∵ |PA|-PB 1|≤|AB 1|

当且仅当P 、A 、B 1三点共线时，等号成立 ∴ 连AB 1，延长交椭圆于P 1，则|P 1A|-|P 1B 1|=|AB 1| ∴ 当P 在P 1时(|PA|-|PB 1|)max =|AB 1|=1 ∴ (|PA|+|PB|)max =5，此时P 1（-1，2

3

-

） 又 |PA|+|PB|=4+|PA-|PB 1|=4-（|PB 1|-|PA|） ∴ 当|PB 1|-|PA|最大时，|PA|+|PB|最小

同刚才理由，延长B 1、A 交椭圆于P 2 则|PB 1|-|PA|≤|AB 1|=|P 2B 1|-|P 2A|=1 ∴ (|PA|+|PB|)min =3，此时P 2（-1，

2

3） 注：本题关键有二，一是利用定义转化焦半径；二是利用了三角形中边的不等关系，即两边之差小于第三边，如一般情形下，|PB 1|-|PA|<|AB 1|。当|AB 1|为常数，且严格不等号能取得等号时，|AB 1|为|PB 1|-|PA|的最大值。这是利用最值定义求最值时一种重要的处理方法，即先找不等关系，再试图寻找等号成立的条件。

例3、已知△ABC 的三边a>b>c ，且a 、b 、c 成等差数列，A 、C 坐标分别为（-1，0）和（1，0），求顶点B 的轨迹。

解题思路分析： ∵ a 、b 、c 成等差数列 ∴ a+c=2b

即 |BC|+|BA|=2|AC|=4 ∵ A 、C 为定点，4>|AC|>2

∴ 由椭圆定义知，点B 轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆，其方程为13

y 4x 2

2=+

根据题设，需检查完备性 ∵ a>b>c ∴ |BC|>|BA| ∴ 点B 在y 轴右侧 又ABC 构成三角形 ∴ y ≠0

∴ 所求轨迹为椭圆13

y 4x 2

2=+在y 轴左侧部分，去掉（-2，0），如图

例4、已知椭圆两个焦点坐标是F 1（-2，0）、F 2（2，0），且经过点P （23

,25-），试

求椭圆的标准方程。

解题思路分析： 法一：利用待定系数法

根据焦点坐标特征，设椭圆方程为1b

y a

x 2

22

2=+

（a>b>0）

则 ????

???=-+==-1b )23(a )25(4

c b a 222

2222

解之得?????==6

b 10a 22

，或???

????-==)(23b 2

5a 22舍

∴ 椭圆的标准方程为16

y 10x 2

2=+

思路二：已知两焦点及椭圆上一点，利用定义求参数

2a=|PF 1|+|PF 2|=102)2

3

()225()23()225(2222=-+-+-++

∴ a 2

=10 ∴ b 2

=a 2

-c 2

=6

∴ 所求椭圆方程为16

y 10x 2

2=+

注：比较两种方法可知，思路一运算量大，利用定义则可大大减少字母运算，希望同学们重视定义法解题。

例5、已知两圆⊙O 1：x 2

+y 2

+2x-15=0，⊙O 2：x 2

+y 2

-2x=0 （1）证明两圆内含；

（2）如果⊙P 与⊙O 1内切，又与⊙O 2外切，试求⊙P 圆心P 的轨迹方程。 解题思路分析：

（1）⊙O 1：(x+1)2

+y 2

=42

，⊙O 2：(x-1)2

+y 2

=1

∴ 圆心O 1（-1，0），O 2（1，0），半径r 1=4，r 2=1 只需证|O 1O 2|<|r 1-r 2|即可 ∵ |O 1O 2|=2，|r 1-r 2|=r 1-r 2=3 ∴ ⊙O 1与⊙O 2内含 （2）设⊙P 的半径为r 1

则 ?

??+=-=r 1|PO |r

4|PO |21

∴ |PO 1|+|PO 2|=5 ∵ 5>|O 1O 2|=2

∴ 点P 轨迹是以O 1、O 2为焦点的椭圆，其方程为14

9y 425x 22=+

五、同步练习 （一）选择题

1、焦距为6，焦点在x 轴上的椭圆经过点（0，-4），则如椭圆标准方程是

A 、136y 100x 22=+

B 、164y 100x 22

=+

C 、116y 25x 22=+

D 、19

y 25x 22=+

2、方程13

m y m 7x 22=-+-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是

A 、（3，7）

B 、（3，5）∪（5，7）

C 、（3，5）

D 、（5，7） 3、过椭圆13

y 4x 2

2=+的一个焦点，且垂直于x 轴的直线被此椭圆截得的弦长为

A 、

2

3

B 、3

C 、23

D 、3

4、若椭圆2kx 2

+ky 2

=1的一个焦点是（0，-4），则实数k 的值是

A 、8

1 B 、8 C 、321

D 、32

5、已知F 1、F 2是椭圆19

y 25x 2

2=+的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点，则

△MNF 2的周长是

A 、10

B 、16

C 、20

D 、32

6、若关于x 、y 的方程x 2

sin α-y 2

cos α=1所表示的曲线是椭圆，则方程(x+cos α)2

+ (y+sin α)2

=1所表示的圆的圆心在

A 、第一象限

B 、第二象限

C 、第三象限

D 、第四象限

7、已知两椭圆ax 2

+y 2

=8与9x 2

+25y 2

=100的焦距相等，则a 的值为 A 、9或

179 B 、43或23 C 、9或43 D 、179或2

3

8、若F 是椭圆1b

y a x 22

2=+（a>b>0）的一个焦点，MN 是过中心的一条弦，则△FMN 面积的最大值是

A 、ab

B 、ac

C 、bc

D 、2

ab

（二）填空题

9、椭圆4x 2

+2y 2

=1的焦点坐标是____________。

10、椭圆上一点P 与两焦点恰好构成边长为2的正三角形，则此椭圆标准方程为______________________________。

11、中心在原点，以直线3x+4y-12=0与两坐标轴的交点分别作为顶点和焦点的椭圆方程是________________________。

12、对称轴在坐标轴上的椭圆经过点P （3，0），且长轴长是短轴长的三倍，则椭圆方

程是_______________________。

13、若方程1k 3y 5k x 22

-=-+-表示椭圆，则实数k 的取值范围是______________。

14、若方程1k

10y 5k x 22

=-+-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是

______________。

15、椭圆ax 2

+by 2

+ab=0（a

16、椭圆的两个焦点F 1、F 2在x 轴上，以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点为（3，4），求椭圆的标准方程。

17、一动点到两条相交于原点直线y=±kx （k>0）的距离的平方和为常数r 2

（r>），求此动点的轨迹。

18、设P 是椭圆

1b y a x 2

22

2=+（a>b>0）上的一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点

（1）记∠F 1PF 2=θ，求证2

tan

b S 2PF F 21θ

=?； （2）若|PF 1|-|PF 2|=2m （m>0），求证：∠F 1PF 2=2

22

22n a a b 2m arccos --+

19、已知B （8，0），C （-8，0）是△ABC 的两个顶点，AB 、AC 上中线长之和为30，分别求重心G 和顶点A 的轨迹方程。

20、过原点的椭圆的一个焦点为F （1，0），其长轴长为4，求椭圆中心的轨迹方程。 六、参考答案 （一）选择题

1、C 。 设两焦点F 1（-3，0）、F 2（3，0），定点P （0，-4），则2a=|PF 1|+|PF 2|= 10)4()3()4(32

2

2

3

=-+-=-+，∴a=5，∴b 2

=a 2

-c 2

=25-9=16，∴椭圆方程19

y 25x 2

2=+ 或用待定系数法：设椭圆方程为1b y a x 22

22

=+（a>b>0)，则???

??===-1b

169c b a 2222，∴?????==16

b 25a 22

2、D 。 m 满足??

?

??-<->->-3m m 703m 0m 7，∴5

3、B 。 取焦点（1，0），令x=1，则2

3

y ±

=，d=2|y|=3

4、C 。 方程为1k 1y k 21x 2

2

=+，则??????

?=->>16

k

21k 10k

21k 1，∴321k = 5、C 。 周长=(|MF 1|+|MF|)+(|NF 1|+|NF|)=2a+2a=4a=20

6、D 。 ∵???>α->α0cos 0sin ，∴?

??>α-<α-0cos 0

sin ，∴圆心（-cos α，-sin α）在第四象限

7、A 。 方程化为标准方程18y a 8x 22=+，14y 9

100x 22=+，则491008a 8-=-，4

9100

a 88-=-∴a=

17

8

或a=9 8、C 。当MN 为短轴时,面积最大S=

2

1

·c ·2b=bc （二）填空题

9、)21,0(± 方程为12

1y 41x 22=+，c 2=414121

=-，c=21，焦点在y 轴上

10、14

y 3x 13y 4x 2

222=+=+或 P 为椭圆与y 轴交点，c=1，a=2，对焦点位置进行讨

论

11、125

y 16x 19y 25x 2

222=+=+或 直线3X+4Y-12=0与坐标轴交点分别为（4，0），（0，

3），当焦点在x 轴上时，c=4，b=3，c=5，当焦点在y 轴上时，c=3，b=4，c=5

12、181y 9x 1y 9x 22

22=+=+或 设椭圆方程为1b y a x 2222=+（a>b>0）则???

??=?=1a

9

3b 2a 22，?????==9

a 3

b 2

2，当焦点在y 轴上时，同理可得b 2=9，a 2

=81 13、(3，4)∪(4，5) 标准方程为13k y k 5x 22=-+-，则?????-≠->->-3k k 50

3k 0k 5，∴??

?

??≠><4

k 3k 5

k 14、)215,5( k 满足???

??-<->->-k 105k 0

k 100

5k ，???

????

<

<>215k 10k 5k ，∴215k 5<<

15、)a b ,0(-± 椭圆标准方程为1a

y b x 22=-+-，则-a>-b>0，c 2

=-a-(-b)=b-a ，∴焦

点（0，a b -±） （三）解答题

16、解：设P （3，4），则圆心为F 1F 2中点（原点），|F 1F 2|=2|OP|=10， ∴ c=5

∴ F 1（-5，0），F 2（5，0）

∴ 2a=|PF 1|+|PF 2|=5642482222=+++ ∴ a 2

=45 ∴ b 2

=a 2

-c 2

=20

∴ 所求椭圆方程120

y 45x 2

2=+

17、解：设动点P （x ，y ），则22222r )1

k |y kx |(

)1

k |y kx |(=+-+++

整理得：2k 2x 2

+2y 2

=r 2

(1+k 2

)

当k 2=1，k=1时，方程为x 2+y 2=r 2

，轨迹是以原点为圆心，r 为半径的圆 当k 2

≠1，k ≠1时，整理方程得

12

)

k 1(r y k 2)k 1(r x 2222

222=++

+

当k>1时，2222k

2)

k 1(r 2)k 1(r +>+，方程表示焦点在y 轴上的椭圆 当0

)k 1(r k 2)k 1(r 222

22+>+，方程表示焦点在x 轴上的椭圆

18、证明

（1）记|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2

△F 1PF 2中，由余弦定理|F 1F 2|2

=r 12

+r 22

-2r 1r 2cos ∠F 1PF 2 ∴ 4c 2

=(r 1+r 2)2

-2r 1r 2(1+cos θ) 又 r 1+r 2=2a

∴ r 1r 2=θ+-cos 1)c a (222=θ

+cos 1b 22

∴ 2

tan b cos 1sin b sin r r 21S 2221PF F 2

1θ=θ+θ=θ=? （3）由???=-=+m 2r r a 2r r 2121得???-=+=m a r m

a r 2

1

△F 1PF 2中

cos ∠F 1PF 2=222

2222222212212221m a a b 2m )m a (2c 4)m a ()m a (r r 2|F F |r r --+=

---++=-+ ∵ ∠F 1PF 2∈[0，π] ∴ ∠F 1PF 2=arccos

2

22

22m a a b 2m --+

19、解：如图，设E 、F 分别为AC 、AB 中点 则 |BE|+|CF|=30

∴ |GB|+|GC|=20|)CF ||BE (|32

=+=定值

∴ 点G 的轨迹为椭圆，其方程为136

y 100x 22

=+

设G （x 0，y 0），A （x ，y ） 则???

????==3y y 3x x 00

代入136y 100x 220=+，得1324

y 900x 22

=+

∴ 所求点A 轨迹方程为1324

y 900x 22

=+

20、解：设中心（x ，y ），则另一焦点F ’(2x-1，2y) ∵ O 在椭圆上 ∴ |OF|+|OF ’|=4

∴ 4)y 2()1x 2(122=+-+ 整理得：4

9

y )21x (22=+-