2018中考相似三角形-动点问题-分类讨论问题(培优及答案).docx

2018 年中考复习

相似动点分类讨论

1.如图，已知一个三角形纸片 ABC ， BC 边的长为 8， BC 边上的高为 6 ， B 和 C 都为锐角， M 为 AB 一动点（点 M 与点 A 、B 不重合），过点 M 作 MN ∥ BC ，交 AC 于点 N ，在 △

AMN 中，设 MN 的长为 x ， MN 上的高为 h ．

（ 1）请你用含 x 的代数式表示 h ．

（ 2）将 △ AMN 沿 MN 折叠，使 △ AMN 落在四边形 BCNM 所在平面，设点 A 落在平面

的点为 A 1，△ A 1 MN 与四边形 BCNM 重叠部分的面积为 y ，当 x 为何值

时， y 最大，最大值为多少？【答案】解：（ 1）Q MN ∥ BC

h x 3x

△ AMN ∽△ ABC

（ 2） Q △ AMN ≌△ A 1MN △ A 1MN 的边 MN 上的高为 h ，

① 当点 A 1 落在四边形 BCNM 内或

BC 边上时，

y S △ A 1 MN = 1

1 3 3 2

（ 0

x ≤ 4 ）

MN ·h

x · x

8 x

2 4

② 当 A 1 落在四边形 BCNM 外时，如下图 (4

x 8) ，

设 △ A 1EF 的边 EF 上的高为 h 1 ，则 h 1

6 3 x

Q EF ∥ MN △ A 1EF ∽△ A 1 MN

Q △ A 1MN ∽△ ABC △ A 1 EF ∽△ ABC

△ A 1 EF

h 1

Q S △ ABC

6 8 24

△ABC

x 6 2

S △A 1 EF

24x 12 x 24

Q y

S △ A 1 MN S △ A 1EF

3 x 2 3 x 2 12 x 24

9 x 2 12x 24

所

2 8

9 x 2 12x 24 (4 x

综上所述：当 0

x ≤ 4 时， y

x 2 ，取 x 4 ， y 最大

8 16

当 4

x 8

时， y

x 2 12x 24 ，取 x ， y 最大

B E F C

Q 8 6 当 x

时， y 最大， y 最大 8

2．如图，抛物线经过

A(4，0)， B(10)，， C (0， 2) 三点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2） P 是抛物线上一动点，过 P 作 PM

x 轴，垂足为 M ，是否存在 P 点，使得以 A ，P ，

M 为顶点的三角形与 △OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点

P 的坐标；若不存在，请

说明理由；

【答案】解：（ 1）该抛物线过点

C (0， 2)

，可设该抛物线的解析式为

y ax 2

bx 2 ．

将 A(4，0) ， B(1，0) 代入，

16a 4b

2 ， a 1，

1 5

得

0 解得

此抛物线的解析式为

x 2 x 2 ． a b

2 0.

2 2

（2）存在．

如图，设 P 点的横坐标为 m ，则 P 点的纵坐标为

1 m

2 5 m 2 ，

2 2

当 1 m 4 时， AM

4 m ， PM

m 2

m 2 ．

2 2

又 Q

COA

PMA

，

①当

2 △ APM ∽△ ACO ，

90°

PM OC 时，

即 4

m 2

1 m

2 5 m 2 ．解得 m 1 2， m 2 4 （舍去）， P(21)，．

2 2

②当

OC 1 时， △ APM ∽△CAO ，即 2(4 m)

1 m

2 5 m 2 ．

PM OA 2

2 2

解得

m 1

4 ， m 2

5 （均不合题意，舍去）

当

1 m 4 时， P(2，1) ．

类似地可求出当 m 4 时， P(5， 2) ．

当 m

1时， P( 3， 14) ．综上所述，符合条件的点

P 为 (2，1) 或 (5， 2) 或 ( 3， 14) ．

3．如图，已知直线

2 x 8

与直线 l 2 : y

2x 16 相交于点

，、 l 2 分别交 x 轴于

l 1 : y

C l 1

A 、

B 两点．矩形 DEFG 的顶点 D 、E 分别在直线 l 1、 l 2 上，顶点 F 、G 都在 x 轴上，且

点 G 与点 B 重合．

（ 1）求 △ ABC 的面积；

（ 2）求矩形 DEFG 的边 DE 与 EF 的长；

（3）若矩形 DEFG 从原点出发，沿 x 轴的反方向以每秒 1 个单位长度的速度平移，设移动时间为 t(0 ≤ t ≤ 12) 秒，矩形 DEFG 与 △ ABC 重叠部分的面积为 S ，求 S 关于 t 的函数

关系式，并写出相应的

t 的取值范围．

l 2

1 y

C D

A O

F （

G ）

B x

【答案】（ 1）解：由

8 0

4． A 点坐标为

4 0

，得 x

，．

由 2x 16 0， x

8． B

点坐标为

8，0 ． AB 8

4 12．

得

∴

y 2

8 ， x

，

3 5

5，6 ． ∴

由

解得

． ∴ C 点的坐标为

2x ． y 6

S △ ABC

1 · 1 1

2 6

． 2 AB y C

2 8

（ 2）解：∵点 D 在 l 1 上且 x D

x B 8， y D

8． ∴ D 点坐标为 8，8．

又 ∵ 点 E 在 l 2 上且 y

D 8， 2x 16 8． x

4．∴

E 点坐标为，． ∴

4 8

OE 8 4 4，EF 8．

（ 3）解法一： ① 当 0 ≤ t 3 时，如图 1，矩形 DEFG 与 △ ABC 重叠部分为五边形

CHFGR （ t 0 时，为四边形 CHFG

）．过 C 作 CM

AB 于 M ，则

Rt △RGB ∽ Rt △CMB ．

l 2 y

l 1

l 2

l 1

l 2

l 1

A O

F M

G B x

A F O G M

B x

F A

G O

M B x

（图 1）

（图 2）（图 3）

∴ BG

RG ，即 t RG

，∴ RG 2t ．

CM 3

Q Rt △ AFH ∽ Rt △ AMC ，

S △ AFH 36

2 8

∴

S S △ ABC S △BRG t 2t

8 t

t ．

即

4 t 2 16 t 44

．

·············································

3 3 3 G （ 8－ t,0）∴ GR=2

8 2t , 当 3

t 8时，如图 2，为梯形面积，∵ (8

3 3 8

∴ s

1 4[ 2

( 4 t ) 8 8

]

8 t 80

2 3 3

3 3

当 8 t

12 时，如图 3, 为三角形面积，

1 2t t)

t 2

(8)(12

8t 48

4．如图，矩形

ABCD 中， AD 3 厘米， AB a 厘米（ a 3 ）．动点 M ， N 同时从 B 点

出发，分别沿 B A ， B

C 运动，速度是 1厘米／秒．过 M 作直线垂直于 AB ，分别交 AN ， C

D 于 P ，Q ．当点 N 到达终点 C 时，点 M 也随之停止运动．设运动时间为 t 秒．

（1）若 a 4厘米， t 1秒，则 PM ______厘米；

（2）若 a

5 厘米，求时间 t ，使 △ PNB ∽△ PAD ，并求出它们的相似比；

（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等，求

a 的取值

范围；

（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形

PMBN ，梯形 PQDA ，梯

形 PQCN 的面积都相等？若存在，求

a 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】解：

（ 1） PM

，

（ 2） t 2 ，使 △ PNB ∽△ PAD ，相似比为 3: 2

（3） Q PM ⊥ AB ，CB ⊥ AB ， AMP ABC ，

△ AMP ∽△ ABC ，

AM 即

PM a t

，Q PM t (a t) ，

t( a 1) BN AB

t a a

(QP AD )DQ

(MP BN ) BM

当梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等，即

t( a t ) 3 (a 1)

(a t) t t

化简得 t

，

2 2

6 a

Q t ≤ 3 ，

≤ 3 ，则 a ≤ 6， 3 a ≤ 6 ，

6 a

（ 4） Q 3 a ≤ 6 时梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等

梯形 PQCN 的面积与梯形

PMBN 的面积相等即可，则 CN PM

t (a t ) 3 t ，把 t

代入，解之得

2 3 ，所以 a

2 3 ．

6 a

所以，存在 a ，当 a 2 3 时梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积、梯形 PQCN 的面积相等．

5．如图，已知△ ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P 、 Q 同时从 A 、 B 两点出发，分别沿 AB 、 BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s ，点 Q 运动的速度是 2cm/s ，当点 Q 到达点 C 时， P 、 Q 两点都停止运动，设运动时间为 t （ s ），解答下列问题：

（ 1）当 t ＝ 2 时，判断△ BPQ 的形状，并说明理由；

（ 2）设△ BPQ 的面积为 S （cm 2），求 S 与 t 的函数关系式；

（ 3）作 QR//BA 交 AC 于点 R ，连结 PR ，当 t 为何值时，△ APR ∽△ PRQ ？【答案】

解： (1) △ BPQ 是等边三角形 , 当

t=2 时 ,AP=2 × 1=2,BQ=2× 2=4, 所以

BP=AB-AP=6-2=4,所以 BQ=BP 又.因为∠ B=60 , 所以△ BPQ 是等边三角形 .

(2) 过 Q 作 QE ⊥ AB,垂足为 E, 由 QB=2y,得 QE=2t · sin60 0

= 3 t, 由 AP=t, 得 PB=6-t,

所以 S △ BPQ=

×BP × QE=

(6-t) ×

3 t= －

3 2 2

t +3 3 t ；

(3) 因为 QR ∥BA,所以∠ QRC=∠ A=60 ，∠ RQC=∠ B=60 ，又因为∠ C=60 ,

所以△ QRC 是等边三角形 , 所以 QR=RC=QC=6-2t 因.为 BE=BQ · cos60 0

= 1

× 2t=t,

所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,

所以 EP ∥ QR,EP=QR,所以四边形 EPRQ 是平行四边形 ,

所以 PR=EQ= 3 t, 又因为∠ PEQ=90, 所以∠ APR=∠PRQ=90. 因为△ APR ～△ PRQ, 所以∠ QPR=∠ A=600, 所以 tan60 0= QR , 即 6

2t 3 , 所以 t= 6 , 所以当 t=

时 , △

APR ～△ PRQ

6．在直角梯形 OABC 中，CB ∥ OA ，∠ COA ＝ 90o ，CB ＝ 3，OA ＝ 6，BA ＝ 3 5．分别以 OA 、 OC 边所在直线为 x 轴、 y 轴建立如图 1 所示的平面直角坐标系．

（ 1）求点 B 的坐标；

（ 2）已知 D 、E 分别为线段 OC 、OB 上的点， OD ＝ 5，OE ＝ 2EB ，直线 DE 交 x 轴于点 F ．求直

线 DE 的解析式；

（3）点 M 是（ 2）中直线 DE 上的一个动点，在

x 轴上方的平面内是否存在另一个点

N ．使

以 O 、 D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点

N 的坐标；若不存在，请

说明理由．

C B

A F

（第 26 题

图 1）

.7．在图 15-1 至图 15-3 中，直线MN 与线段 AB 相交于点 O，∠ 1 = ∠ 2 = 45 ．°

M D

（1）如图 15-1，若 AO = OB，请写出 AO 与 BD 的数量关系和位置关系；N （2）将图15-1 中的 MN 绕点 O 顺时针旋转得到图15-2，其中 AO = OB ．求证： AC = BD， AC ⊥ BD；

D （ 3）将图15-2 中的 OB 拉长为 AO 的 k 倍得到

图 7-1

图 15-3，求的值．O E A AC A B

【答案】解：（ 1）AO = BD， AO⊥ BD ；

N F

N图 4

1 C

图7-2

（ 2）证明：如图4，过点 B 作 BE∥ CA 交 DO 于 E，∴∠ ACO = ∠ BEO．又∵ AO = OB，∠ AOC = ∠ BOE，∴△ AOC ≌△BOE．∴ AC = BE．

又∵∠ 1 = 45 °，∴∠ ACO = ∠ BEO = 135 °．∴∠ DEB = 45 °．

1 C

∵∠ 2 = 45 °，∴ BE = BD，∠ EBD = 90 °．∴ AC = BD．延长 AC 交 DB 的延长线于F，

N图 7-3如图 4．∵ BE∥ AC，∴∠ AFD = 90 °．∴ AC⊥BD ．

（3）如图 5，过点 B 作 BE∥ CA 交 DO 于 E，∴∠ BEO = ∠ ACO．

又∵∠ BOE = ∠ AOC ，∴△ BOE ∽△AOC．∴BE

BO ．E

AC AO

又∵ OB = kAO，由（ 2）的方法易得BE = BD ．∴BD 1 C O k ．图 5 AC N

10．如图，已知过 A（ 2， 4）分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足分别为M、 N，若点 P 从 O点出发，沿OM作匀速运动， 1 分钟可到达 M点，点 Q从 M点出发，沿 MA作匀速运动， 1 分钟可到达 A 点。（ 1）经过多少时间，线段 PQ的长度为 2？

（ 2）写出线段PQ长度的平方y 与时间 t 之间的函数关系式和t 的取值范围；

（ 3）在 P、 Q运动过程中，是否可能出现PQ⊥ MN？若有可能，求出此时间t ；若不可能，请说明理由；

（ 4）是否存在时间t ，使 P、Q、M构成的三角形与△ MON相似？若存在，求出此时间 t ；若不可能，请说明理由；

N A

O P M X

考点五：相似三角形中的动点问题

1．在矩形ABCD 中，AB=12cm ，AD=6cm 速度移动，点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点用 t （秒）表示运动时间（ 0≤t≤6），那么当，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以 2cm/秒的 A

以 1cm/ 秒的速度移动，如果 P、 Q 同时出发， t 为

何值时，△ APQ 与△ ABD 相似？说明理由．

2．（ 2011?乌鲁木齐）如图，在△ABC 中，∠ B=90 °，AB=6 米， BC=8 米，动点 P 以 2 米 / 秒的速度从 A 点出发，沿 AC 向点 C 移动．同时，动点 Q 以 1 米 /秒的速度从 C 点出发，沿

CB 向点 B 移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）①当 t=2.5 秒时，求△ CPQ 的面积；

②求△ CPQ 的面积 S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；

（2）在 P， Q 移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t 的值；

3．（金华）如图所示，在△ ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着 AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿CA 以每秒 3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x．

（1）当 x 为何值时， PQ∥ BC；

（2）当，求的值；

（3）△ APQ 能否与△ CQB 相似？若能，求出AP 的长；若不能，请说明理由．

4．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为（6，0），（6，8）．动点 M 、 N 分别从 O、 B 同时出发，都以每秒 1 个单位的速度运动，其中，点M 沿 OA 向终

点A 运动，点 N 沿 BC 向终点 C 运动，过点 N 作 NP⊥ BC，交 AC 于点 P，连接 MP，已知动点运动了 x 秒．

（1）用含 x 的代数式表示 P 的坐标（直接写出答案）；

（2）设 y=S 四边形OMPC，求 y 的最小值，并求此时x 的值；

（3）是否存在x 的值，使以P、 A 、 M 为顶点的三角形与△ AOC相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．

5、如图，正方形ABCD 的边长为 4 ，E 是 BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作PF AE 于F．

（1）求证：△PFA∽△ABE；

（2）当点P在射线AD上运动时，设PA 三角形也与△ ABE 相似？若存在，请求出

x ，是否存在实数x ，使以P，F，E为顶点的x 的值；若不存在，说明理由．

6．（ 2012?鸡西）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△ AOB 的两条直角边 OA 、 OB 分别

在 y 轴和 x 轴上，并且 OA 、 OB 的长分别是方程x 2

﹣ 7x+12=0 的两根（ OA ＜ OB ），动点 P

从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 0 运动；同时，动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动，设点 P、Q 运动的时间为 t 秒．（1）求 A、 B 两点的坐标．

（2）求当 t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似 .

（3）当 t=2 时，在坐标平面内，是否存在点M ，使以 A 、P、Q、M 为顶点的四边形是平行

四边形？若存在，请直接写出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．

培优相似辅导专题训练附答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：（1）求证：△BEF∽△DCB；（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．【答案】（1）解：证明：∵四边形是矩形，在中，分别是的中点，（2）解：如图1，过点作于，

（舍）或秒（3）解：四边形为矩形时,如图所示：解得：（4）解：当点在上时，如图2，

当点在上时，如图3，时，如图4，时，如图5，综上所述，或或或秒时，是等腰三角形．【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可证得AD∥BC，∠A=∠C，根据中位线定理可证得EF∥AD，就可得出EF∥BC，可证得∠BEF=∠C，∠BFE=∠DBC，从而可证得结论。（2）过点Q作QM⊥EF，易证QM∥BE，可证得△QMF∽△BEF，得出对应边成比例，可求出QM的值，再根据△PQF的面积为0.6cm2，建立关于t的方程，求解即可。（3）分情况讨论：当点 Q 在 DF 上时，如图2， PF=QF；当点 Q 在 BF 上时， PF=QF，如图3；PQ=FQ 时，如图4；PQ=PF 时，如图5，分别列方程即可解决问题。

九年级培优圆与相似辅导专题训练含答案

九年级培优圆与相似辅导专题训练含答案一、相似 1．如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的 Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2，把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4， ∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4 （2）解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2， ∴A（﹣1，0），当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）；当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4），从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB， ∵AC=3，AD=1，CD=4，AB= ，BC=2 ，BD=2 ， ∴△BCD为等腰三角形， ∴构造的三角形是等腰三角形的概率=

（3）解：存在，易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC= AC?OB= ×3×4=6， M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2）， ①当N点在AC上，如图1， ∴△AMN的面积为△ABC面积的， ∴（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，当m=0时，M点的坐标为（0，4），N（0，0），则AN=1，MN=4， ∴tan∠MAC= =4；当m=1时，M点的坐标为（1，2），N（1，0），则AN=2，MN=2， ∴tan∠MAC= =1； ②当N点在BC上，如图2， BC= =2 ， ∵BC?AN= AC?BC，解得AN= ， ∵S△AMN= AN?MN=2，

相似三角形培优拔高题(精编文档).doc

【最新整理，下载后即可编辑】第一讲相似三角形 1、已知432z y x ==，且1032=+-z y x ，则z y x ++= 。 2、已知△ABC 中，AB=AC,∠BAC=120°，求AB:BC 的值。 3、若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB=10， 23==BQ AQ BP AP ,求线段PQ 的长。 4、若55432+==+c b a ，且2132=+-c b a ，试求a:b:c 。 5、△ABC 为等边三角形，点E 在BA 的延长线上，点D 在BC 边上，且ED=EC 。若△ABC 的边长为4，AE=2，则BD 的长为。 6、点D,E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，DE ∥BC ，点G 在边BC 上，AG 交DE 于点H ，点O 是线段AG 的中点，若 13=DB AD ,则 =OH AO

7、在正方形ABCD 中，P 是CD 的中点，连接AP 并延长交BC 的延长线于点E ，连接DE ，取DE 的中点Q ，连接PQ ，求证： PQ=PC. 8、四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似，相似比为2:3，四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2相似，相似比为5:4，则四边形ABCD 与四边形A 2B 2C 2D 2相似且相似比为。 9、已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿 AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 处。若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD= 10、已知∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE 11、点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形

中考数学培优(含解析)之圆与相似及详细答案.docx

中考数学培优 (含解析 )之圆与相似及详细答案一、相似 1．如图，在四边形ABCD 中， AD//BC，， BC=4， DC=3， AD=6.动点P 从点 D 出发，沿射线 DA 的方向 ,在射线 DA 上以每秒 2 两个单位长的速度运动，动点发，在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动，点 P、 Q 分别从点 Q从点C D,C 同时出发出 ,当点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停止运动.设运动的时间为t(秒 ). （ 1）设的面积为，直接写出与之间的函数关系式是________（不写取值范围） . （2）当 B,P,Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时的值. （3）当线段PQ 与线段 AB 相交于点O，且 2OA=OB 时，直接写出=________.（4）是否存在时刻，使得若存在，求出的值；若不存在,请说明理由 . 【答案】（1）（2）解：如图1，过点 P 作 PH⊥ BC 于点 H， ∴∠ PHB=∠ PHQ=90 ，° ∵∠ C=90 ，°AD∥ BC， ∴∠ CDP=90 ，° ∴四边形 PHCD是矩形， ∴PH=CD=3， HC=PD=2t， ∵CQ=t， BC=4， ∴H Q=CH-CQ=t，BH=BC-CH=4-2t，BQ=4-t， ∴BQ2=，BP2=，PQ2=，由 BQ2=BP2可得：，解得：无解；由 BQ2=PQ2可得：，解得：；由 BP2= PQ2可得：，解得：或， ∵当时， BQ=4-4=0，不符合题意，

∴综上所述，或；（3）（4）解：如图 3，过点 D 作 DM∥ PQ 交 BC的延长线于点 M，则当∠ BDM=90°时， PQ⊥ BD，即当 BM2=DM2+BD2时， PQ⊥ BD， ∵AD∥ BC， DM∥ PQ， ∴四边形 PQMD 是平行四边形， ∴Q M=PD=2t ， ∵QC=t, ∴CM=QM-QC=t， ∵∠ BCD=∠MCD=90 °， ∴BD2=BC2+DC2=25， DM2=DC2 +CM2=9+t 2， ∵B M2=(BC+CM)2=(4+t)2， ∴由 BM2=BD2+DM2可得：，解得：， ∴当时，∠ BDM=90 °，即当时， PQ⊥ BD. 【解析】【解答】解：（1）由题意可得BQ=BC-CQ=4-，t点 P 到 BC 的距离 =CD=3， ∴S△PBQ= BQ × 3=；（ 3 ）解：如图2，过点 P 作 PM⊥ BC交 CB的延长线于点M ， ∴∠ PMC=∠ C=90 ，° ∵AD∥ BC， ∴∠ D=90 ，°△ OAP∽ △ OBQ，

中考数学备考之圆与相似压轴突破训练∶培优易错难题篇含答案

中考数学备考之圆与相似压轴突破训练∶培优易错难题篇含答案一、相似 1．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2=EH?EA；（3）若⊙O的半径为，sinA= ，求BH的长．【答案】（1）证明：如图， ∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC， ∴∠ODB=∠ABC， ∵OF⊥BC， ∴∠BFD=90°， ∴∠ODB+∠DBF=90°， ∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°， ∴BD⊥OB， ∴BD是⊙O的切线（2）证明：连接AC，如图2所示： ∵OF⊥BC， ∴， ∴∠CAE=∠ECB， ∵∠CEA=∠HEC，

∴△CEH∽△AEC， ∴， ∴CE2=EH?EA （3）解：连接BE，如图3所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∵⊙O的半径为，sin∠BAE= ， ∴AB=5，BE=AB?sin∠BAE=5× =3， ∴EA= =4， ∵， ∴BE=CE=3， ∵CE2=EH?EA， ∴EH= ， ∴在Rt△BEH中，BH= . 【解析】【分析】（1）要证BD是⊙O的切线，只需证∠OBD=90°，因为∠OBC+∠BOD=90°，所以只须证∠ODB=∠OBC即可。由圆周角定理和已知条件易得∠ODB=∠ABC，则∠OBC+∠BOD=90°=∠ODB+∠BOD，由三角形内角和定理即可得∠OBD=90°；（2）连接AC，要证CE2=EH?EA；只需证△CEH∽△AEC，已有公共角∠AEC，再根据圆周角定理可得∠CAE=∠ECB，即可证△CEH∽△AEC，可得比例式求解；（3）连接BE，解直角三角形AEB和直角三角形BEH即可求解。 2．如图所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，EC的延长线交BD于点P．

相似三角形培优专题讲义

相似三角形培优专题讲义知识点一：比例线段有关概念及性质（1）有关概念 1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n 例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。 2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。）例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。（2）比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a =?= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=??，交换内项，交换外项．同时交换内外项 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ．注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．

相似三角形培优训练含答案

相似三角形分类提高训练一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作 EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C 移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC 于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着 AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．

相似三角形培优训练(含答案)之令狐文艳创作

相似三角形分类提高训练令狐文艳一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC 交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D 在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q 从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x 为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB 边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t 为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

相似三角形培优难题集锦(含答_案)

一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F， G是EF中点，连接DG．设点D 运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中， ACB＝90°，AC＝6，BC＝（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中， BA＝BC＝20cm，AC＝ 30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P 沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t ＜6）。（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

相似三角形培优专题

相似三角形培优专题1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．求证：(1)△ACD∽△ABC； (2)AC2＝AD?AB； (3)CD2＝AD?DB． A 证明：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°＝∠ACB， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC. (2)∵△ACD∽△ABC， ∴AC AD AB AC =， ∴AC2＝AD?AB； (3)∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90° ∴∠A+∠B＝90° ∴∠ACD＝∠B ∴△ACD∽△BCD， ∴CD AD BD CD =， ∴CD2＝AD?DB．

2．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证： (1)△ACP∽△PDB， (2)CD2＝AC?BD．证明：(1)∵△PCD是等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°， ∴∠ACP＝∠PDB＝120°， ∵∠APB＝120°， ∴∠APC+∠BPD＝60°， ∵∠CAP+∠APC＝60° ∴∠BPD＝∠CAP， ∴△ACP∽△PDB； (2)由(1)得△ACP∽△PDB， ∴， ∵△PCD是等边三角形， ∴PC＝PD＝CD， ∴， ∴CD2＝AC?BD．

3. 如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC 的边BC＝15，高AH＝10， (1)求证：△ADG∽△ABC； (2)求这个正方形的边长和面积．解：(1)∵四边形形DEFG是正方形， ∴DG∥BC ∴△ADG∽△ABC； (2) 如图，高AH交DG于M，设正方形DEFG的边长为x，则DE＝MH＝x， ∴AM＝AH﹣MH＝10﹣x， ∵ADG∽△ABC， ∴DG AM BC AH =， ∴ 10 1510 x x - =， ∴x＝6， ∴x2＝36．答：正方形DEFG的边长和面积分别为6，36．

苏科版九年级数学下册培优培优相似三角形的判定

第12讲相似三角形的判定【思维入门】 1．如图4－12－1，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是() A．1B．2C．3D．4 图4－12－1 图4－12－2 2．如图4－12－2，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一定点，过点M作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有() A．1条B．2条C．3条D．4条 3．如图4－12－3，在?ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶CF等于() A．3∶2 B．3∶1 C．1∶1 D．1∶2 图4－12－3 图4－12－4 4．如图4－12－4，在?ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形____． 5．如图4－12－5，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转

得到△A′B′C，使CB′∥AB，分别延长AB，CA′相交于点D，则线段BD的长为____．图4－12－5 6．如图4－12－6，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G. (1)求证：△ADE≌△CFE； (2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的长．图4－12－6 【思维拓展】 7．以下三角形中，与图4－12－7中的三角形相似的是() 8．如图4－12－8①，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠B>∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F. (1)求证：DE＝EF；

(2)如图②，连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B＝∠A ＋∠DGC. 图4－12－8 9．如图4－12－9，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E. (1)求证：△ACD≌△CBE； (2)已知AD＝4，DE＝1，求EF的长．图4－12－9 10．如图4－12－10，等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连结AF，BE相交于点P. (1)若AE＝CF， ①求证：AF＝BE，并求∠APB的度数；

2020-2021九年级培优相似辅导专题训练及详细答案

2020-2021九年级培优相似辅导专题训练及详细答案一、相似 1．如图，抛物线与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B 运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式．【答案】（1）解：把A（﹣4，0），B（1，0），点C（0，2）代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：，对称轴为：直线x=﹣；（2）解：存在，∵AD=2t， ∴DF=AD=2t， ∴OF=4﹣4t， ∴D（2t﹣4，0）， ∵直线AC的解析式为：，∴E（2t﹣4，t）， ∵△EFC为直角三角形，分三种情况讨论： ①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC， ∴，即，解得：t= ； ②当∠FEC=90°，

∴∠AEF=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴DE= AF，即t=2t， ∴t=0，（舍去）， ③当∠ACF=90°，则AC2+CF2=AF2，即（42+22）+[22+（4t﹣4）2]=（4t）2，解得：t= ，∴存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形，此时，t= 或；（3）解：∵B（1，0），C（0，2）， ∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+2，当D在y轴的左侧时，S= （DE+OC）?OD= （t+2）?（4﹣2t）=﹣t2+4 （0＜t＜2）；当D在y轴的右侧时，如图2， ∵OD=4t﹣4，DE=﹣8t+10，S= （DE+OC）?OD= （﹣8t+10+2）?（4t﹣4），即（2＜t＜）．综上所述：【解析】【分析】（1）（1）利用待定系数法，将点A、B、C的坐标代入函数解析式，建立方程组求解即可。（2）根据题意分别求出AD、DF、OF的长，表示出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，表示出点E的坐标，再分三种情况讨论△EFC为直角三角形：①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，根据相似三角形的性质，列出关于t的方程求解即可； ②∠FEC=90°，∠AEF=90°，△AEF是等腰直角三角形求出t的值即可；③当∠ACF=90°，则AC2+CF2=AF2，建立关于t的方程求解即可，从而可得出答案。（3）求得直线BC的解析式为：y=-2x+2，当D在y轴的左侧时，当D在y轴的右侧时，如图2，根据梯形的面积公式即可得到结论。 2．已知：如图一，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点

初三数学相似三角形培优练习题(含答案)

(3题图）E D C B A D B C A N M O 相似三角形练习题 1、如图1，当四边形PABN 的周长最小时，a = ． 2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（） A ．只有1个 B ．可以有2个 C ．有2个以上但有限 D ．有无数个 3、如图3，等腰ABC ?中，底边BC=a ,A ∠=0 36,ABC ∠的平分线交AC 于D ，BCD ∠的平分线交BD 于E ，设k = DE=( ) A 、2 K a B 、3 K a C 、2a k D 、 3 a k 4、如图4，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接 OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形 B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形 C ．四边形AMON 与四边形ABC D 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形 5、如图5将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕O 点顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB =30°，∠B =90°，AB =1，则B′点的坐标为( ) A ．3)22 B ．3(22 C ．1(22 D ．1)22 x （1题图）图 4 图 5

F E D C B A E F A D C B 6、如图小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与AB C △相似的是（） 7、如图7，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 在BC 上，AE BE =，点F 是CD 的中点，且AF AB ⊥，若 2.746AD AF AB ===，，，则CE 的长为 A ． 1 C. 2.5 D. 2.3 (7题图) 8、如图8，在ABC △中，AB AC =，点E F 、分别在AB 和AC 上，CE 与BF 相交于点D ，若AE CF D =，为BF 的中点，AE AF :的值为___________. 9、如图9，已知ABC ?，延长BC 到D ，使CD=BC 取AB 的中点F,连接FD 交AC 于点E 。（1）求AE AC 的值；（2）若AB=a ，FB=EC ，求AC 的长。

初三相似三角形的判定培优同步讲义

初三相似三角形的判定培优同步讲义学科教师辅导讲义体系搭建一、知识框架二、知识概念 (一)相似三角形的概念对应角相等,对应边之比相等的三角形叫做相似三角形. 1、相似三角形是相似多边形中的一种; 2、应结合相似多边形的性质来理解相似三角形; 3、相似三角形应满足形状一样,但大小可以不同; 4、母子型:已知∠ACB=90°,AB ⊥CD ,则△CBD ∽△ABC ∽△ACD . 5、斜交型: 如图:其中∠1=∠2,则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。 (有“反 A 共角型”、“反 A 共角共边型”、 “蝶型”)b5E2RGbCAP 6、垂直型:有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型(也称“射影定理型”)”“三垂直型”) 考点 1:三角形相似判定方法的运用例 1、如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点 D ,则图中相似三角形共有( ) A .1 对 B .2 对 C .3 对 D .4 对 p1EanqFDPw 例 2、如图,下列条件不能判定△ADB ∽△ABC 的是( ) A .∠ABD=∠ACB B .∠ADB=∠ABCDXDiTa9E3d C .AB 2 =AD?AC D .= 典例分析 A B C D A B C D E 12 A

A B B C C D D E E 124 1 2 E C B D A B C D E A E
( )
A D C B 例 3、已知:在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,BC=2AD,E 是 BC 的中点,连接 AE、 AC.RTCrpUDGiT (1)点 F 是 DC 上一点,连接 EF,交 AC 于点 O(如图 1),求证:△AOE∽△COF; (2)若点 F 是 DC 的中点,连接 BD,交 AE 与点 G(如图 2),求证:四边形 EFDG 是菱形. 例 4、如图,在△ABC 中,AB=AC=1,BC=,在 AC 边上截取 AD=BC,连接 BD. (1)通过计算,判断 AD2 与 AC?CD 的大小关系; (2)求∠ABD 的度数. 考点 2:网格图中相似三角形的判定例 1、下列四个三角形中,与图中的三角形相似的是() A.B.C.D. 实战演练课堂狙击 1、下列命题中,是真命题的为() A.锐角三角形都相似

相似三角形培优试题(五)

九年级培优试题(五）一．选择题： 1.下面四组线段中，不能成比例的是（） A.a=4,b=6,c=5,d=10 B 、a=3,b=9,c=5,d=12 C 、a=2,b=2,c=6,d=3 D 、a=2,b=3,c=4,d=5 2.如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（） A ．AD BC DF CE = B ．B C DF CE AD = C ．CD BC EF BE = D ．CD AD EF AF = 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝3，BD ＝2，则△ADE 与四边形DBCE 的面积比是（）（A ）3︰2；（B ）3︰5；（C ）9︰16；（D ）9 ︰4． 4.如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4.其中正确的有：（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5.如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角 B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形 C ．四边形AMON 与四边形ABC D 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形 6.等边三角形的中线与中位线长的比值是（） A 、1:3 B 、2:3 C 、23:21 D 、1：3 7.如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC=（） A.1:4 B.1:3 C.2:3 D.1:2 . 8（2013?牡丹江）如图，在△ABC 中∠A=60°，BM ⊥AC 于点M ， CN ⊥AB 于点N ，P 为BC 边的中点，连接PM ，PN ，则下列结论：①PM=PN ；②；③△PMN 为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC ．其中正确的个数是（） A,1个 B.2个 C.3个 D.4 9如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB ，则下列关系式中正确的是（） A 、 AE BC AD A B = B 、AD B C AE AC = C 、AE BC DE AB = D 、AD AB AE AC = 10.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（） D B C A N M O B C A D E

相似三角形培优题

相似三角形培优题 1、如图,在正方形ABCD 中，点P 是ＡＢ上一动点(不与A,B 重合),对角线AC ，ＢD 相交于点O,过点Ｐ分别作A Ｃ，BD 的垂线，分别交AC,BD 于点E ，F ，交ＡＤ,BC 于点M,Ｎ.下列结论: ①△A ＰE ≌△AM Ｅ；②PM+ＰＮ=AC ；③PE 2+PF ２ =PO 2;④△POF ∽△BN Ｆ；⑤当△PMN ∽△A ＭP 时,点P 是A Ｂ的中点. 其中正确的结论有( ）A ．5 Ｂ.４ C ．３Ｄ.2 2、如图，Rt △AB Ｃ中，∠A ＣB=90°，∠ＡB Ｃ=60°,BC=2ｃm ，D 为BC 的中点，若动点Ｅ以１c ｍ/s 的速度从A 点出发,沿着A →B →Ａ的方向运动,设E 点的运动时间为t 秒(0≤t<6),连接D Ｅ，当△BDE 是直角三角形时,t 的值为( ） 3、如图，△ABC 中，ＤE ∥BC ，DE=１,AD=２,DB ＝３，则BC 的长是（ ) 4、如图，在?ABC Ｄ中,E 为ＣＤ上一点，连接A Ｅ、ＢD ，且AE 、BD 交于点Ｆ，S △DEF ：Ｓ△ABF =4:25,则D Ｅ:EC ＝( ） A ． 2:5 Ｂ． 2：3 C . 3:5 Ｄ． 3：2 5、如图，在平行四边形A ＢCD 中,AB=6,AD=９，∠BAD 的平分线交ＢＣ于E ，交ＤC 的延长线于F ，B Ｇ⊥AE 于G ，ＢG=,则△EFC 的周长为( ） A ． 1１ B ． 10 C ． 9 Ｄ．８ 6、如图,在?ABCD 中，Ｅ在AB 上，CE 、ＢD 交于F ，若AE:BE=4:3,且BF ＝2，则DF= .. 7、如图,DE 是△ABC 的中位线，延长DE 至F 使E Ｆ=DE ，连接CF,则S △ＣＥF ：S 四边形BCED 的值为( ) A . 1:3 B ． 2:3 C ．１：4 D ．２:5 8、如图,D 是△ABC 的边BC 上一点,已知ＡB=4,A Ｄ=２.∠ＤAC=∠B,若△ＡBD 的面积为ａ,则△ＡCD 的面积为( ) Ａ．a ? B. ? C. D ． 9、如图，边长为６的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1,S 2,则S 1+S ２的值为( ）A ．16 B ．1７?C ．18?D ．19 １0如图,在△ABC 中,ＡB ＝ＡC=a ，BC=ｂ（a ＞ｂ).在△ABC 内依次作∠ＣBD=∠A ，∠DCE=∠CBD ，∠E ＤＦ=∠DC Ｅ．则E Ｆ等于（ ) １1、如图,点A ，Ｂ,C ，D 的坐标分别是(1，7）,（1,１），(4，1),（6,1）,以C,D,Ｅ为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是（ ) A ． (6，0） B ．（6，3) C . （6，５） D ．（4,２) 1２、如图,正方形ＡB ＣD 是一块绿化带,其中阴影部分EO ＦＢ,GHM Ｎ都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上,则小鸟在花圃上的概率为（） A . B ． 12 C ． D ．１3、如图所示,在平行四边形ABCD 中,ＡＣ与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交ＤＣ于点F,则ＤＦ：F Ｃ＝（） A.２ B ．２.5或３．5 C. 3．5或4.５ D ．２或3．5或４.５ A ． B ． C . D ．

湘教版九年级数学上《相似三角形判定与性质》综合培优题

A B C P 九年级上培优五 1、如图RtΔABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB与D，AC=6，BC=8，则 AB= ，CD= ，AD= ，BD= 第1题图第2题图 2、如图□ABCD中，EF∥AB，DE:DA=2:5,EF=4，则CD的长为。 3、如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD , AB∥CD,AB=2米，CD=5米，点P到CD的距离是3米，则P到 AB的距离是米。第3题图第4题图 4、如图，在河两岸分别有A、B两村，现测得A、B、D在一条直线上，A、C、E在一条直线上，BC//DE，DE=90米，BC=70米，BD=20 米，则A、B两村间的距离为。 5、如图，AC⊥AB，BE⊥AB，AB=10，AC=2，用一块三角尺进行如下操作：将直角顶点P在线段AB上滑动，一直角边始终经过点C，另一直角边与BE相交于点D，若BD=8，则AP的长为第5题图第6题图 6、如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，BF与AC交于点G，则△BGC与四边形CGFD的面积之比是 7、如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有对。 8、如图，梯形ABCD中，AD∥BC（AD＜BC），AC、BD交于点O，若 S S OAB25 6 = ?梯形ABCD 则△AOD与△BOC的周长之比为第7题图第8题图 9、如图，D为△ABC的边AC上的一点，∠DBC=∠A，已知BC=2， △BCD与△ABC的面积的比是2：3，则CD的长是第9题图第10题图 10、如图，已知AD∥BC，连结CD交AB于E，且AE∶EB=1∶3 EF∥BC交AC于F，S△ADE=2cm2，则S△BCE= ，S△AEF= . 11、如图，已知ΔABC中，AD为BC边中线，E为AD上一点，且CE=CD,∠EAC=∠B,求证：ΔAEC∽ΔBDA, DC2=AD?AE 12、如图、在等边⊿ABC中，P为BC边的一点，D为AC上的一点，且∠APD= ?0 6，BP=1，CD= 3 2 ，求⊿ABC的边长. 13、如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=6，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似． 14、如图，在⊿ABC中，∠ACB = ?0 6，点P是⊿ABC内的一点，使得∠APB =∠BPC=∠CPA ，且PA=6，PB=8，求PC. 15、如图，在△ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。求证： EF CD AB 1 1 1 = +．

相似三角形的综合应用(培优提高)

相似三角形的应用【学习目标】 1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算． 2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．【知识回顾】一、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等．（2）相似三角形的周长比等于相似比．（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方．．．．．．．（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比．二、相似三角形的应用: 1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； 2、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度．如求河的宽度、求建筑物的高度等．【典型例题】例1：如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上，（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？【同步练习】如图，△ABC 是一块三角形余料，AB=AC=13cm ，BC=10cm ，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在△ABC 的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方形的边长是多少？例2：阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度” 活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高 A B C Q M D N P E

度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米．小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1.6m 的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m ．（1）在横线上直接填写甲树的高度为米．（2）求出乙树的高度（画出示意图）．（3）请选择丙树的高度为（） A 、6.5米 B 、5.75米 C 、6.05米 D 、7.25米（4）你能计算出丁树的高度吗？试试看．【同步练习】如图，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度．图1 图2 图3 图4

相似三角形培优试题

1、（本题满分7分）如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．求证：（1）CG AE =；（2）.MN CN DN AN ?=? 2、(本题满分7分) 如图11，已知△ABC 的面积为3，且AB=AC ，现将△ABC 沿CA 方向平移CA 长度得到△EFA ．（1）求四边形CEFB 的面积；（2）试判断AF 与BE 的位置关系，并说明理由；（3）若 15=∠BEC ，求AC 的长． 3、如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1) 求证：△ADF ∽△DEC (2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长. 4、如图（4），在正方形ABCD 中，E F 、分别是边 AD CD 、上的点，1 4AE ED DF DC ==，，连结EF 并延长交BC 的延长线于点G ．（1）求证：ABE DEF △∽△；（2）若正方形的边长为4，求BG 的长． 5．如图（15），在梯形ABCD 中，906DC AB A AD ∠==∥，°，厘米，4DC =厘米，BC 的坡度34i =∶，动点P 从A 出发以2厘米/秒的速度沿AB 方向向点B 运动，动点Q 从点B 出发以3厘米/秒的速度沿B C D →→方向向点D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t 秒．（1）求边BC 的长；（2）当t 为何值时，PC 与BQ 相互平分；（3）连结PQ ，设PBQ △的面积为y ，探求y 与t 的函数关系式，求t 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？ 6．（本题满分9分）一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图1，乙设计方案如图2．你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由．（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数） 7、如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 、OE=2OD ，连接EF ．将△EOF 绕点O 逆时针旋转α角得到△E1OF1（如图2）．（1）探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明； A E D F B C 图（4） C B Q P 图（5）ＥＢ D Ｃ E