2017中考一次函数与反比例函数[含答案]

反比例函数与一次函数综合题针对演练

1. 已知正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝k

x

(k≠0)在第一象限内的图象交于点A，过点

A作x轴的垂线，垂足为点P，已知△OAP的面积为1.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)有一点B的横坐标为2，且在反比例函数图象上，则在x轴上是否存在一点M，使得MA＋MB 最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

第1题图

2. 如图，反比例函数

2

y

x

=的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点A、B，点A、B的横坐

标分别为1、－2，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D.

(1)求一次函数的解析式；

(2)对于反比例函数

2

y

x

=，当y＜－1时，写出x的取值范围；

(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝

2S△OCA？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第2题图3. 已知，如图，一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，

k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝n

x

(n为常数且n≠0)的图象

在第二象限交于点C.CD⊥x轴，垂足为D.若OB＝2OA＝3OD＝6.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)求两函数图象的另一个交点坐标；(3)直接写出不等式：kx＋b≤n

x

的解

集．

4. 如图，点A(－2，n)，B(1，－2)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝m

x

的图象的两

个交点．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；

(3)若C是x轴上一动点，设t＝CB－CA，求t的最大值，并求出此时点C的坐标．

第4题图

5. 如图，直线y1＝1

4

x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y

2

＝

m

x

(x>0)的图象

交于点P，过点P作PB⊥x轴于点B，且AC＝BC.

(1)求点P的坐标和反比例函数y2的解析式；

(2)请直接写出y1>y2时，x的取值范围；

(3)反比例函数y2图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

第5题图

6. 如图，直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，与y轴交于点B，并与双曲线y＝m

x

(x＜0)交于

点A(－1，n)．

(1)求直线与双曲线的解析式；

(2)连接OA，求∠OAB的正弦值；

(3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形△OAB相似？若存在求出D 点的坐标，若不存在，请说明理由．

第6题图

7. 如图，直线y＝

3

3

x－3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝

k

x

(k＞0)图象交于点

C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.

(1)求点A的坐标；

(2)若AE＝AC.

①求k的值；

②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由．

第7题图

8. 如图，已知双曲线y＝k

x

经过点D(6，1)，点C是双曲线第三象限上的动点，过点C作CA⊥x

轴，过点D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC.

(1)求k的值；

(2)若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；

(3)判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

第8题图

9. 如图，点B为双曲线y＝k

x

(x＞0)上一点，直线AB平行于y轴，交直线y＝x于点A，交x

轴于点D，双曲线y＝k

x

与直线y＝x交于点C，若OB2－AB2＝4.

(1)求k的值；

(2)点B的横坐标为4时，求△ABC的面积；

(3)双曲线上是否存在点P，使△APC∽△AOD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第9题图

答案

1．解：(1)设A点的坐标为(x，y)，则OP＝x，PA＝y，

∵△OAP的面积为1，

∴1

2

xy＝1，∴xy＝2，即k＝2，∴反比例函数的解析式为

2

y

x

；

(2)存在，如解图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点M，此时MA＋MB最小，

∵点B的横坐标为2，∴点B的纵坐标为y＝2

2

＝1，

即点B的坐标为（2,1）.

又∵两个函数图象在第一象限交于A

点，∴22x x

=

， 解得x 1＝1，x 2＝－1(舍去)．∴y ＝2，∴点A 的坐标为(1，2)， ∴点A 关于x 轴的对称点A ′(1，－2)，

设直线A ′B 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入A ′(1，－2)，B (2，1)得，

23

,215k b k k b b +=-=????

+==-??

解得， ∴直线A ′B 的解析式为y ＝3x －5，令y ＝0，得x ＝53

，

∴直线y ＝3x －5与x 轴的交点为(53，0)，即点M 的坐标为(5

3

，0)．

第1题解图

2．解：(1)∵反比例函数y ＝

2

x

图象上的点A 、B 的横坐标

分别为1、－2，

∴点A 的坐标为(1，2)，点B 的坐标为(－2，－1)， ∵点A (1，2)、B (－2，－1)在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，

∴21

,211k b k k b b +==????-+=-=??

解得，∴一次函数的解析式为y ＝x ＋1；

(2)由图象知，对于反比例函数2

y x

=，当y ＜－1时，x 的取值范围是－2＜x ＜0； (3)存在．

对于y ＝x ＋1，当y ＝0时，x ＝－1，当x ＝0时，y ＝1， ∴点D 的坐标为(－1，0)，点C 的坐标为(0，1)， 设点P (m ，n )，

∵S △ODP ＝2S △OCA ，∴12×1×(－n )＝2×1

2

×1×1，∴n ＝－2，

∵点P (m ，－2)在反比例函数图象上，∴－2＝ 2

m

， ∴m ＝－1，

∴点P 的坐标为(－1，－2)． 3．解：(1)∵OB ＝2OA ＝3OD ＝6， ∴OA ＝3，OD ＝2.

∴A (3，0)，B (0，6)，D (－2，0)． 将点A (3，0)和B (0，6)代入y ＝kx ＋b 得，

302

,66k b k b b +==-???

?==??

解得， ∴一次函数的解析式为y ＝－2x ＋6. ……………………(3分) 将x ＝－2代入y ＝－2x ＋6，得y ＝－2×(－2)＋6＝10， ∴点C 的坐标为(－2，10)．

将点C (－2，10)代入y ＝n

x ，得10＝2

n -，解得n ＝－20，

∴反比例函数的解析式为20

y x

=-

；………………………(5分) (2)将两个函数解析式组成方程组，得26,20y x y x =-+??

?

=-??

解得x 1＝－2，x 2＝5. ………………………………………(7分) 将x ＝5代入20

4,y x

=-

=- ∴两函数图象的另一个交点坐标是(5，－4)； …………… (8分) (3)－2≤x＜0或x≥5. …………………………………… (10分)

【解法提示】不等式kx ＋b ≤n x

的解集，即是直线位于双曲线下方的部分所对应的自变量x 的取值范围，也就是－2≤x ＜0或x ≥5.

4．解：(1)∵点A (－2，n )，B (1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝m

x 的

图象的两个交点，

∴m ＝－2，∴反比例函数解析式为2

y x =-，∴n ＝1，∴点A (－2，1)，

将点A (－2，1)，B (1，－2)代入y ＝kx ＋b ，得

211

,21k b k k b b -+==-???

?+=-=-??

解得， ∴一次函数的解析式为y ＝－x －1；

(2)结合图象知：当－2＜x ＜0或x ＞1时，一次函数的值小于反比例函数的值；

(3)如解图，作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接BA ′延长交x 轴于点C ，则点C 即为所求， ∵A (－2，1)， ∴A ′(－2，－1)，

设直线A ′B 的解析式为y ＝mx ＋n ，

1123

,25

3m m n m n n ?

=-?-=-+????-=+??=-??

解得，

∴y ＝－13x －5

3，

令y ＝0，得x ＝－5， 则C 点坐标为(－5，0)，

∴t 的最大值为A ′B ＝（－2－1）2＋（－1＋2）2＝10.

第4题解图

5．解：(1)∵一次函数y 1＝1

4x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，

∴A (－4，0)，C (0，1)，又∵AC ＝BC ，CO ⊥AB ， ∴O 为AB 的中点，即OA ＝OB ＝4，且BP ＝2OC ＝2，

∴点P 的坐标为(4，2)，将点P (4，2)代入y 2＝m x

，得m ＝8，

∴反比例函数的解析式为y 2

＝8

x

；

(2)x >4；

【解法提示】由图象可知，当y 1＞y 2时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量x 的取值范围是x ＞4.

(3)存在．假设存在这样的D 点，使四边形BCPD 为菱形，如解图，连接DC 与PB 交于点E ， ∵四边形BCPD 为菱形，

∴CE ＝DE ＝4，∴CD ＝8，∴D 点的坐标为(8，1)，

将D (8，1)代入反比例函数8

y x

=，D 点坐标满足函数关系式，

即反比例函数图象上存在点D ，使四边形BCPD 为菱形，此时

D 点坐标为(8，1)．

第5题解图

6

．解：(1)∵直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，

∴把点C(4，0)代入y＝x＋b，得b＝－4，

∴直线的解析式为y＝x－4，∵直线也过A点，

∴把点A(－1，n)代入y＝x－4，得n＝－5，∴A(－1，－5)，

将A(－1，－5)代入y＝m

x

(x＜0)，得m＝5，∴双曲线的解析式为

5

y

x

；

(2)如解图，过点O作OM⊥AC于点M，

∵点B是直线y＝x－4与y轴的交点，∴令x＝0，得y＝－4，∴点B(0，－4)，∴OC＝OB＝4，∴△OCB是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

∴在△OMB中，sin45°＝OM

OB

＝

4

OM

，∴OM＝22，∵AO＝12＋52＝26，

∴在△AOM中，sin∠OAB＝OM

OA

＝

22

26

＝

213

13

；

第6题解图

(3)存在．

如解图，过点A作AN⊥y轴于点N，则AN＝1，BN＝1，

∴AB＝12＋12＝2，∵OB＝OC＝4，∴BC＝42＋42＝42，又∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠OBA＝∠BCD＝135°，

∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，

∴OB

BC

＝

BA

CD

或

OB

DC

＝

BA

BC

，即

4

42

＝

2

CD或

4

DC＝

2

42

，

∴CD＝2或CD＝16，∵点C(4，0)，∴点D的坐标是(6，0)或(20，0)．

7．解：(1)当y＝0时，得0＝

3 3 x

－3，解得x＝3.

∴点A的坐标为(3，0)；……………………………………(2分) (2)①如解图，过点C作CF⊥x轴于点F.

设AE＝AC＝t, 点E的坐标是(3，t).

在Rt△AOB中， tan∠OAB＝

OB

OA

＝

3

3

，∴∠OAB＝30°.

在Rt△ACF中，∠CAF＝30°，∴CF＝

1

2

t，AF＝AC·cos30°＝

3

2

t，∴点C的坐标是(3＋

3

2

t，

1

2

t)．∵点C、E在y＝

k

x

的图象上，

∴(3＋

3

2

t)×

1

2

t＝3t，解得t

1

＝0(舍去)，t2＝23，

∴k＝3t＝63；…………………………………………… (5分) ②点E与点D关于原点O成中心对称，理由如下：

由①知，点E的坐标为(3，23)，

设点D的坐标是(x，

3

3

x－3)，

∴x(

3

3

x－3)＝63，解得x

1

＝6(舍去)，x2＝－3，

∴点D的坐标是(－3，－23)，

∴点E与点D关于原点O成中心对称．…………………(8分)

第7题解图

8．解：(1)∵双曲线y＝

k

x

经过点D(6，1)，∴6

k

＝1，解得k＝6；

(2)设点C到BD的距离为h，∵点D的坐标为(6，1)，DB⊥y轴，