天津市第一中学2019届高三下学期第四次月考数学理试题

? ? R 天津一中、益中学校 2018-2019 高三年级四月考数学试卷（理）

本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分 钟．

第 I 卷（选择题 共 40 分）

一．选择题：共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题的 4 个选项中，只有一项是符

合题目要求的，将．答．案．涂．在．答．题．卡．上．

．

1．设集合 A = {x x - 2 ≤ 2, x ∈ R } ， B = {y | y = - x 2

, -1 ≤ x ≤ 2}

，则 C

( A

B ) 等于

A ． R

B ． {x x ∈ R , x ≠ 0

}

C ． {0}

D ． ?

? x + y ≥ 3 2．设变量 x , y 满足约束条件： ?

x - y ≥ -1 .则目标函数 z = 2x + 3y

?

2x - y ≤ 3

的最小值为

A ．6

B ．7

C ．8

D ．23

3．执行如图所示的程序框图，如果输入的 t 0.01 ，则输出的 n

A ． 5

B ． 6

C ． 7

D ． 8

? 3

2 2

2 2

2 ? 2 5．设等比数列的 {a n }的前 n 项和是 S n ，则“ a 1 > 0 ”是 “ S

3 > S 2 ”的

A ．充要条件

B ．充分而不必要条件

C ．必要而不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

6．已知函数 f (x ) = e x - e - x ，若 3a = log b = c ，则

A ． f (a ) < f (b ) < f (c )

B ． f (b ) < f (c ) < f (a )

C. f (a ) < f (c ) < f (b ) ．

D ． f (c ) < f (b ) < f (a )

x 2 y 2

7．已知双曲线 - a 2 b 2

= 1 （ a > 0 ， b > 0 ）左支上点 B 与右焦点 F 关于渐近线对称，且

BF = 4 ，则该双曲线的方程为

A ． x 2 - y = 1

B ． x - y = 1 C. x - y = 1

D ． x 2 - y 2 = 4 4 2 4

3 4

8．己知函数 f ( x ) = x 3 + a , a ∈ R 在 [- 1,1]上的最大值为 M (a ) ，若函数

g ( x ) = M ( x ) - x 2 + t 有 4 个零点，则实数 t 的取值围为

? 5 ? A. 1, ? ? 4 ?

B. (- ∞,-1)

C. (- ∞,-1) ? 1, 5 ?

? 4 ?

D. (- ∞,-1) ? (1,2)

第 II 卷（非选择题 共 110 分）

二、填空题：共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分，将．答．案．填．写．在．答．题．纸．上．

．

9．若 z = (a 2

-1) + (a -1)i 为纯虚数，其中 a ∈ R ，则 a + i

等于

1 + ai

4 2

10．如图，半球有一接正四棱锥 S ?A BCD ，该四棱锥的体积为 3 ，

则该半球的体积为

?

x

- ?

2 2

? 11．二项式

?

n

x 2 ?

2 ?

的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值。则展开式中

x 项的系数是

12．由1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且1、3 都不与5 相邻的六位偶数的个数是

13．设正实数m, n 满足m >1

, n > 1 ，则

4m

+

n的最小值为2 n -12m -1

14．在Rt?ABC 中，已知∠A 为直角，BC =a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，则BP ?CQ 的最大值为

三．解答题：共6 个小题，总计80 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．已知△ABC 的角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足

sin(2 A+B)

= 2 + 2 c os( A +B) .

sin A

b

（Ⅰ）求

a

的值；（Ⅱ）若a = 1, c = 7 ，求?ABC 的面积.

16．英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词；每周五对一周所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）

（Ⅰ）英语老师随机抽了4 个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概率；

4（Ⅱ）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为

5

3，对前两天所学过的单词每

个能默写对的概率为

5

．若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的个数ξ的分布列和期望．

17．已知在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为4 的正方形，?PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD, E、F、G 分别是PA、PB、BC 的中点．

（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAD ；

（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；

（Ⅲ）线段PD 上是否存在一个动点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π，若存

6

在，求线段PM 的长度，若不存在，说明理由．

n

18．已知正项等比数列 {a n }，等差数列 {b n }满足 a 1 = b 1 = 1, a 2 + b 2 = 7 ，且 a 2 是 b 1 与

b 3 + 2 的等比中项．

（Ⅰ）求数列 {a n }， {b n }的通项公式；

（Ⅱ）设 = (-1)

b n + a n b 2n ，求数列 {

c n }的前 n 项和 T n ．

x 2 y 2

19．如图已知椭圆 + a 2 b 2

= 1(a > b > 0), A (2,0) 是长轴的一个端点，弦 BC 过椭圆的中

心 O ，且 AC ? BC =-=-.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设 P , Q 为椭圆上异于 A , B 且不重合的两点，且 ∠PCQ 的平分线总是垂直于 x 轴， 是否存在实数 λ ，使得 PQ = λ AB ，若存在，请求出 λ 的最大值，若不存在，请说明理由.

1 3

20．己知函数 f (x ) = ln x - mx , m ∈ R .

（Ⅰ）求 f (x ) 的极值；

（Ⅱ）证明： m = 0 时， e x > f (x + 2)

（Ⅲ）若函数 g (x ) = (x - e ) f (x ) 有且只有三个不同的零点，分别记为 x 1 , x 2 , x 3 ，设

x 3 x 1 < x 2 < x 3 且

x 1

的最大值是 e 2

，证明： x x ≤ e 2( e 2 +1) e 2 -1

参考答案：

一、选择题：

B B

C

D A C A C

二、填空题：

4 2 15

9．i 10．π11．－

3 2

12．108 13．8 14．0三．解答题：

15．解析：（Ⅰ）∵sin(2 A+B) = 2 + 2 c os( A +B) ，

sin A

∴sin(2 A +B) =2s in A +2s in A c os( A +B) ，

∴sin[ A +(A +B)] =2s in A +2s in A c os( A +B) ，-----------------------2 分∴sin( A +B) cos A - sin A c os( A +B) =2s in A ，

∴sin B =2s in A ，------------------------------------------------4 分

∴b = 2a ，∴b = 2 -----------------------------------------------6 分a

（Ⅱ）∵a =1，c

，b

= 2 ，∴b = 2 ，--------------------------8 分a

a2 +b2 -c2 1 + 4 - 7 1 2π

∴cos C===-，∴C = .--------------------11 分2ab 4 2 3

∴S =1 ab s in C =1 ?1?2?= ，即△ABC .--------13 分△ABC 2 2 2 2

16．

（Ⅱ）由题意可得ξ可取 0，1，2，3，

则有 P (ξ=0) = ( 1 )2 ? 2 = 2

………7 分

5 5 125

P (ξ=1) = C 1 ? 4 ? 1 ? 2 + ( 1 )2 ? 3 = 19 ，

2 5 5 5 5 5 125

P (ξ=2) = ( 4 )2 ? 2 + C 1 ? 4 ? 1 ? 3 = 56 ， 5 5 2 5 5 5 125

P (ξ=3) = ( 4 )2 ? 3 = 48

…………………………………………………10 分

5 5 125

所以ξ的分布列为： …11 分

故 E ξ=0× 2

125 19 +1× 125 56 +2× 125 48 +3× 125 11 = ……………………………13 分

5

17

18．

又，则：，解得或

因为中各项均为正数，所以，进而．-----------------------3 分

故．-------------------------------------------------------5 分

（2）设----------------------------------6 分

设数列的前项和为，数列的前项和为，

当为偶数时，，

当为奇数时，，----------------8 分

而①，

则②，

由①-②得：

，

，因此，---------------------------11 分

综上：---------------------------------------13 分

19．

y

p

-y

Q=

k (x

p

+x

Q

) - 2k k ?- 2k

1 + 3k

2 1 + 3k 2 1

x

p

-x

Q

x

p

-x

Q

=

-12k

=

-12k

=

3

1 + 3k

2 1 + 3k 2

max

2

2

2

解（I）∵AC ?BC = 0,∴AC ⊥BC, ∠ACB = 90?

又OC -OB = 2 BC -BA , 即BC = 2 AC ，∴△AOC 是等腰直角三角形……………2 分

∵A(2, 0),∴C(1,1) 而点C 在椭圆上，∴1 +1

a2 b2

=1, a = 2, ∴b2 =

4

3

∴所求椭圆方程为x3y2

+=1…………………4 分

4 4

（II）对于椭圆上两点P 、Q，∵∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴

∴PC 与CQ 所在直线关于x = 1 对称，设k

PC

=k(k ≠ 0 且k ≠±1) ，则k CQ =-k ，………5 分则PC 的直线方程y -1=k(x-1) ?y =k(x-1) +1 ①

QC 的直线方y -1=-k(x-1) ?y -k(x-1) +1②

将①代入x3y2

+=1得(1 + 3k 2 )x2 - 6k (k -1) x+ 3k 2 - 6k -1= 0 ③

4 4

∵C(1,1) 在椭圆上，∴x = 1 是方程③的一个根，∴x

p

3k 2 - 6k -1

?1 ==x

1 + 3k

2 p

……………7 分

以-k 替换k ，得到x=3k+ 6k -1.----------------------------------------8 分

Q 3k 2 +1

k

PQ

=

6k 2 - 2 -4k

-------------------10 分

而k =1 , ∴k=k ,∴PQ ∥AB，∴存在实数λ，使得PQ =λA B………………11 分AB 3 PQ AB

| PQ |= ( x ==≤

当9k2 = 1 时即k2 =1 ,k =± 时取等号，

k2 3 3

又| AB |= 10 ，λ==…………………… 14 分

20．

（1）函数的定义域为(0，+∞).

由已知可得

．--------------------------------------------1 分

当 m ≤0 时， >0，故

在区间(0，+∞)上单调递增； f (x ) 无极值-------2 分

当 m>0 时，由 >0，解得 ；由 0，解得 ．

所以函数

在(0，)上单调递增，在(，+∞)上单调递减.

f (x ) 的极大值为 f ( 1

) = - ln m -1 ，无极小值--------------------------4 分

m

（Ⅱ）证明：令 F (x ) = e x

- ln(x + 2) 故只需证明

.

函数

在（－2，+∞）上为增函数，且

． 故

在（－

2，+∞）上有唯一实数根，且∈（－1，0）．--------------------5 分

当

时，，当时，,

从而当

时，取得最小值． ------------------------------------------------------

---6 分

由

，得

，即

，-----------------------------7 分

故．--------------------------------------------------- 8 分

综上，当m≤2 时，即＞m．

（Ⅲ）∵函数 g(x)=(x-e)(lnx-mx)有且只有三个不同的零点，

显然 x=e 是其零点，

∴函数存在两个零点，即有两个不等的实数根．

可转化为方程在区间(0，+∞)上有两个不等的实数根，

即函数 y=m 的图象与函数的图象有两个交点.

∵

，

∴由>0，解得，故在上单调递增；

由

<0，解得 x>e ，故在(e，+∞)上单调递减；

故函数 y=m 的图象与的图象的交点分别在(0，e)，(e，+∞)上，

即 lnx-mx=0 的两个根分别在区间(0，e)，(e，+∞)上，------------------------9 分∴ g(x)的三个不同的零点分别是 x1，e，x3，且 0e．

令，则 t∈．

由，解得故，t∈．---11 分令，则．令，则

．------------------------12 分所以在区间

上单调递增，即>．

所以，即在区间上单调递增，

即≤=，

所以，即x1x3≤，---------------------------------------14 分