一元二次方程的应用(分类讲解)

海豚教育个性化简案

学生姓名：年级：科目：

授课日期：月日上课时间：时分------ 时分合计：小时

教学目标1. 掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况；

2. 掌握韦达定理及其简单的应用；

3. 会在实数范围内把二次三项式分解因式。

重难点导航1. 一元二次方程根的判别式和韦达定理；

2. 灵活运用根的判别式和韦达定理解决问题.

教学简案：

一元二次方程的应用

题型一：送卡片、握手、比赛问题题型二：传播问题

题型三：平均增长（下降）率问题题型四：利润问题

题型五：面积问题

授课教师评价：□ 准时上课：无迟到和早退现象

（今日学生课堂表□ 今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握现符合共项）□ 上课态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况

（大写）□ 海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象审核人签字：学生签字：教师签字：

1. 关于x 的方程10422

=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝ 。

一元二次方程的应用

【知识要点】

1.列方程解应用题的一般步骤：

（1）审题。了解问题的实际意义，分清已知条件和未知量之间的关系。

（2）设未知数。一般情况下求什么设什么为未知数。

（3）列方程。根据量与量之间的关系，找出相等关系，列出方程。

（4）解方程。灵活运用一元二次方程的四种解法。

（5）验根。检验一元二次方程的根是否满足题意。

（6）答。作答。

2. 一元二次方程应用题常见题类型：

（1）增长率问题。（2）利润问题。（3）面积问题。（4）行程为题。（5）工程问题。

题型一：送卡片、握手、比赛问题

例1：毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为。

例2：一次同学聚会，每两人都相互握了一次手，小芳统计一共握了28次手，这次聚会的人数是。例3：庆“五一”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有队参加比赛．

题型二：传播问题

有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．

（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

题型三：平均增长（下降）率问题

例1：雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．

（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；

（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？

例2：为了绿化家乡，某中学在2003年植树400棵，计划到2005年底，使这三年的植树总数达到1324棵，求该校植树平均每年增长的百分数．

例3：恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率。

题型四：利润问题

例1：种新商品每件进价为120元，商场在试销阶段发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件。当每件商品售价高于130元时，每涨价2元，日销售量就减少4件，据此规律，商场要想达到每日赚取1600元利润的目标，应涨价多少元？

例2：山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：

（1）每千克核桃应降价多少元？

（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

例3：某商场试销一种成本为60元/件的T 恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元/件）符合一次函数b kx y +=，且70=x 时，50=y ；80=x 时，

40=y ；（1）写出销售单价x 的取值范围；（2）求出一次函数b kx y +=的解析式；（3）销售单价定为多少

时，商场可获得利润500元？

例4：销售某种商品，根据经验，销售单价不少于30元∕件，但不超过50元∕件时，销售数量N（件）与商品单价M（元∕件）的函数关系的图象如图所示中的线段AB．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）若商品的成本为20元，要想获利1200元时，那么该商品的单价应该定多少元？

题型五：面积问题

例1：在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．

（1）如果如图①所示设计，并使花园四周小路宽度都相等，那么小路的宽是多少？

（2）如果如图②所示设计，并使小路宽度都相等，那么小路的宽是多少？

例2：如图，利用一面墙（墙EF最长可利用25米），围成一个矩形花园ABCD，与围墙平行的一边BC上要预留3米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），用砌46米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为299平方米．

例3：小林准备进行如下操作实验；把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．

（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？

（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．”他的说法对吗？请说明理由．

【课堂训练】

1.某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份的营业额的平均月增长率。

2. 如图，我区某中学计划用一块空地修建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的板材可使新建的板墙的总长为24米．为方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门．求这个车棚的长和宽分别是多少米？

3. 2010年底某市汽车拥有量为100万辆，而截止到2012年底，该市的汽车拥有量已达到144万辆．

（1）求2010年底至2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率；

（2）该市交通部门为控制汽车拥有量的增长速度，要求到2013年底全市汽车拥有量不超过155.52万辆，预计2013年报废的汽车数量是2012年底汽车拥有量的10%，求2012年底至2013年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求．

4. 某商场推销一种书包，进价为30元，在试销中发现这种书包每天的销售量P（个）与每个书包销售价x（元）满足一次函数关系式．当定价为35元时，每天销售30个；定价为37元时，每天销售26个．问：如果要保证商场每天销售这种书包获利200元，求书包的销售单价应定为多少元？

5. 某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定每件商品的利润不得超过30%．

（1）根据物价局规定，此商品每件售价最高可定为多少元？

（2）若每件商品售价定为x元，则可卖出（170-5x）件，商店预期要盈利280元，那么每件商品的售价应定为多少元？

6. 为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）

海豚教育个性化教案（真题演练）

1.（2015?连云港）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．（1）求每张门票的原定票价；

（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．

海豚教育1对1出门考（_______年______月______日周_____）

学生姓名_____________ 学校_____________ 年级______________ 等第______________ 1.某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万

评语：元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，

求：（1）该企业2007年盈利多少万元？

（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？

2. 如图，某农户打算建造一个花圃，种植两种不同的花卉供应城镇市场，这是需要用长为24

米的篱笆，靠着一面墙（墙的最大可用长度a是10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.

设花圃的宽AB为xm,面积为S2

m.

（1）求x与S的函数关系式；

（2）若要围成面积为452

m的花圃，AB的长是多少米？

（3）花圃的面积能达到482

m吗？如果能，请求出此时AB的长；如果不能，请说明理由.

3. 某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加赢

利，尽快减少库存，商场决定采取社党降价措施。经调查发现，如果每件衬衫煤降价1元，商

场平均每天可多售出2件。求若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

3A作业：

周一：周二：

周三：周四：

周五：