基本随机信号的产生与分析

电子科技大学

随机信号的仿真与分析

实验指导书

电子科技大学“随机信号分析”课程组

实验一随机信号的仿真与分析

【实验目的】：

1．利用计算机仿真随机信号，考察其数字特征，以此加深对满足各种分布的随机信号的理解

2．熟悉常用的信号处理仿真软件平台：matlab.

【实验环境】

硬件实验平台：通用计算机

软件实验平台：matlab6.5

【实验任务】

1.生成满足各种概率分布的仿真随机信号

2.自己编写程序计算各种概率分布的仿真随机信号的各种特征

3.撰写实验报告

【实验原理】

1.随机信号的产生和定义

随机信号是随机变量在时间上推进产生的过程量，它同时具有过程性和不确定性。定义如下：

给定参量集T与概率空间（Ω, F, P），若对于每个T

t∈，都有一个定义在（Ω, F, P）上的实随机变量X(t)与之对应，就称依赖于参量t的随机变量族{}T

(为一（实）随机过程或随机信号。

),

t

t

X∈

2.高斯分布随机信号

统计分布是正态分布（高斯分布）的随机信号为高斯分布随机信号。高斯分布的随机变量概率密度函数满足下式：

2

2

()

2

1

()

x m

X

f x eσ

-

=

3.均匀分布随机信号

统计分布是均匀分布的随机信号为均匀分布随机信号。均匀分布的随机变量概率密度函数满足下式：

1

(),

X

f x a x b

b a

=<<

-

4.正弦随机信号

给定具有某种概率分布的振幅随机变量A、角频率随机变量Ω与相位随机变量Θ，（具体概率分布与特性视应用而定），以（时间）参量t建立随机变量：

)

sin(

)

,(Θ

+

Ω

=

=t

A

s

t

W

W

t

。于是，相应于某个参量域T的随机变量族{}T

t

W

t

∈

,为正弦随机信号（或称为正弦随机过程）。

5.贝努里随机信号

贝努里随机变量X(s)基于一个掷币实验（s表示基本结果事件）：1表示s为正面，0表示s不为正面；s不为正面的概率为P[X(s)=1]=p，s为正面的概率为P[X(s)=0]=q，其中p+q=1。

若无休止地在t=n (n=0, 1, 2, …)时刻上，独立进行（相同的）掷币实验构成无限长的随机变量序列：,...}

...,

,

,

{

,3

2

1n

X

X

X

X,其中

n

X与n和s都有关，应记为X(n,s)，于是，

?

?

?

≠

=

=

=

=

=

正面

时刻，

在

正面

时刻，

在

，

，

s

n

t

s

n

t

s

n

X

X

n0

1

)

,

(

而且有概率：

q

s

n

X

P

p

s

n

X

P=

=

=

=]0

)

,

(

[

]1

)

,

(

[

其中, p+q=1。上述的随机变量序列：,...}

...,

,

,

{

,3

2

1n

X

X

X

X通常被称为随机序列（或随机过程），也被称为（离散）随机信号，即贝努里随机信号。

正式的定义如下：

给定某个序列随机实验，观测某事件B 发生与否，建立事件B 的指示函数，

?

?

?===不发生时刻，在发生

时刻，在，，B 01n t B n t X n 而且，序列随机实验间彼此统计独立并有相同的概率，

1]0[,

]1[=+====q p q

X P p X P n n 和

于是，n X 是一个（0，1）贝努里随机变量，相应的随机变量序列

{},...3,2,1,=n X n 为（0，1）贝努里随机序列（或称随机信号，有时也称为随

机过程）。

【实验方法】

要实际地获得某种分布的随机变量，我们可以构造相应的物理实验装置。比如，0－1分布的随机变量可以通过掷币实验产生，正态分布的随机变量可以通过噪声二极管实验电路产生。显然，这些实验方法很不方便，而且，对于较为复杂的分布，难于用这类方法准确实现。

实际上，几乎所有的计算机程序语言与仿真软件都配备有产生随机数的措施。利用计算机模拟产生某种分布的随机数非常方便与准确，因而，得到广泛的运用。本实验通过简单例子说明使用Matlab 在PC 上仿真与分析常见随机变量的基本方法。

Matlab 是一种最常用的PC 机模拟与仿真软件，它数学功能丰富，包括各种随机数产生与辅助功能。Matlab 简单易用，只要拥有初步的计算机基础、编程知识、基本的数学与专业知识就可以借助Help 边实践边学习。

在Matlab 上很容易产生各种随机数，并进行基本测量。有关函数与命令可以通过Help 按类查到，或按英文名称查找。主要功能包括：

1. 产生指定分布随机数，函数名形如“????rnd ”，其中“????”是该分布的

英文缩写；

2. 统计一组随机数的均值、方差与直方图（概率密度），函数名形如mean 、

var 与hist ；

3. 绘制某种概率分布与密度函数曲线，函数名形如“????cdf ”与“????pdf ”，

其中“????”也是该分布的英文缩写。

表1列出了有关的部分函数与命令，它们的具体使用方法请阅读Matlab Help 中的说明。

表1 Matlab 中的部分相关函数与命令

【实验项目1】

随机数的产生与测量：产生 1.0λ=的10000个指数分布随机数，测量它们的均值、方差与概率密度。

【实验步骤】

用Help 在Statistics Toolbox 中找到有关命令，并阅读有关说明。其中的核心函数为：

(1) (,,)exprnd m n λ，它产生参数为λ的指数分布随机数m n ?个，形成m n

?的随机数矩阵。

(2) ()mean x 与var()x 分别计算数据组（矩阵）x 的均值与方差。

(3) (,...)hist x 计算数据组x 的直方图，它反映出数据的近似概率密度状况。

命令可以含控制参数，也可以省去。选择适当的控制参数时，能够得到更优美的直方图结果。

使用命令行方式很容易进行尝试，试验的过程与结果如下所示。可以看出，这些结果与该分布的理论参数吻合。

图1.25 实验1结果图

Matlab 的图形表示功能突出，可使得结果显示很直观，下面的实验说明了这点；

【实验项目2】

概率密度曲线的图形表示：绘制(0,1)N 与(2,3)N 的密度函数曲线。

【实验步骤】

用Help 找到正态分布密度函数的计算功能normpdf （）与绘图功能plot （）：

(1) 2(,,)X X normpdf x μσ计算2

(,)X X N μσ分布在x 处的概率密度值。这里，

x 是一批数据{10.0,9.9,9.8,...,9.9,10.0}---++，它们从－10到＋10，每间距0.1一个，共201个。

(2) (,,...)plot x y 绘制~x y 的曲线，后面是控制参数。''k 表示使用黑色，''

k -表示使用黑色虚线。

在命令行方式下的过程与结果如下所示。

-10

-50510

00.1

0.20.30.4

图1.26 实验2结果图

利用Matlab 还可以进行符号的与数值的积分运算，使我们很容易进行统计分析。

【实验项目3】

统计分析：二维正态分布(,)

(0,1,0,4;0.5)X Y N 的联合概率密度函数为

()222(,)0.50.253f x y x xy y ??=

--+????

利用Matlab ，（1）求()Y f y ；（2）求()E X Y +；（3）求(0,0)P X Y ≤≤；

【实验步骤】

实验中，可以利用syms 定义符号量，进行公式推导；利用int(,,,)f x a b 求解定积分()b a

f x dx

?

观察结果中的fy ，我们注意到：

(1

-=281474976710656/6126469605667549*2^(1/2)*3^(1/2)*pi^(1/2)=0

.1995

因此，经过化简后得到，

2()

8Y y f y ??=-????

同样，进一步化简上面Exy 与P 的结果值，可见，它们分别为0.211与0.3333，即

()0.2110E x y += 与 (0,0)0.3333P x y ≤≤=

【思考题】

1，用计算机产生的随机信号是真正的随机信号吗？

2，