人教版八年级数学上册第15章

“第十五章整式的乘除与因式分解”教材分析

一、教学目标

1.使学生掌握正整数幂的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.使学生掌握单项式乘(或除以)单项式、多项式乘(或除以)单项式以及多项式的法则，并运用它们进行运算.

2.使学生会推导乘法公式(平方差公式和完全平方公式),了解公式的几何意义,能利用公式进行乘法运算.

3.使学生掌握整式的加、减、乘、除、乘方的教简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.

4. 使学生理解因式分解的意义,并感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形,掌握提公因式法和运用公式法(直接运用公式不超过两次)这两种分解因式的基本方法,了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.

二、教材特点

1.重视运算性质和公式的发生和归纳过程

本章整式乘法运算性质、除法运算性质、乘法公式的得出过程，一般都是从数的运算，归纳得到的运算性质，是一个由特殊到一般，从具体到抽象的归纳过程. 2.渗透转化的思想方法以及数学知识间的内在联系

教材安排从易到难,逐步深入,符合学生的认知过程.在整式乘法和乘法公式部分内容中,采用给出几何图形的方式来直观地表示运算法则及公式,体现了代数与几何的内在联系和统一. 3.充分发挥学生的主观能动性

教材安排了九个“探究”栏目让学生体验研究、解决问题和归纳得出一般结论的过程，加深学生对所学知识的理解. “思考”栏目为学生提供了一个共同探索、共同发现和共同发展的空间.“观察与猜想”栏目拓展了学生们的知识面.

4.重视学生基本运算能力训练

教材提供大量的基础运算练习,让学生能及时得到充分训练.

三、课时安排

本章教学时间约需14课时，具体安排如下：

§15.1 整式的乘法——————————————————— 4课时 §15.2 乘法公式———————————————————— 2课时 §15.3 整式的除法——————————————————— 2课时 §15.4 因式分解———————————————————— 4课时数学活动

小结 ————————————————————————— 2课时四、教学安排

§15.1 整式的乘法(4课时) 总体说明:

1. 掌握同底数幂的乘法公式：a m ·a n =a m+n

(m, n 都是正整数数)

注意: 同底数幂相乘,底数不变, 指数相加. 底数可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式,

如：(3a+2b)2·(3a+2b)3=(3a+2b)5

,底数就是3a+2b.并且理解同底数幂相乘法则可以推广到三个或三个以上的

同底数幂相乘，即n

n n n n n

n a a a a +???++=??????2

(n 1 ，n 2 ，…,n n 都是正整数)和同底数幂的乘法法则的双向应用.

2．掌握幂的乘方公式：(a m )n =a mn

(m, n 都是正整数数) 推广: 3

213

])[(n n n n n n a a = (m, n 都是正整数数)

注意: 幂的乘方，底数不变, 指数相乘.同上幂的底数a 可以是具体的数也可以是多项式,如[(x+y)3]2

二次幂

的底数为(x+y)，底数可以是一个多项式，[(x+y)3]2=(x+y)6

，运算过程不要和同底数幂的乘法法则相混淆,学会双向应用幂的乘方运算公式.

3．掌握幂的积的乘方运算公式：(ab)n =a n b n

注意: 积的乘方等于各因数乘方的积. 理解积的乘方法则可以推广到三个或三个以上的因数乘方的积，即

(a ·a ·a ·…·a )n = a n ·a n ·a n ·…·a n

(m, n 都是正整数)和积的乘方运算公式的双向应用.

§15.1.1 同底数幂的乘法(1课时)

教学目标:理解同底数幂的乘法法则,运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题.通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，?使学生初步理解特殊到般再到特殊的认知规律. 教学重点: 正确理解同底数幂的乘法法则以及适用范围解决过程:

环节1:回顾幂的相关知识 a n 的意义：a n

表示n 个a 相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a 叫做底数，?n 是指数．环节2: 创设情境

1．问题：课本第141页．（让学生直观感觉）环节3:引入新课 2.计算下列各式：（1）25×22 （2）a 3·a 2 （3）5m ·5n （m 、n 都是正整数） 3.引导学生得出运算特点并归纳得到结论：

（1）特点：这三个式子都是底数相同的幂相乘．相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和． (2)结论:a m ·a n 表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得： a m ·a n =()a a

a m 个a

·()a a

a n 个a

=a a

a (m+n)个a

=a m+n

a m ·a n =a m+n （m 、n 都是正整数），即为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加（3）分析：底数不变，指数要降一级运算，变为相加．注意:底数不相同时，不能用此法则（两种情况除外）环节4:巩固训练例1：计算：（1）x 2·x 5 （2）a·a 6 （3）x m ·x 3m+1

例2：（1）2×24×23 （2） a m ·a n ·a p

练习：课本P142练习环节5:拓展训练

1.我们刚才讲到，只有底数相同时，才可以用此法则进行运算，但有两特例，这节课我们先涉及其中的一个：底数互为相反数。例：计算：（-a ）2×a 6 练习：（-a ）2×a 4 （-

21）3×(2

)6 2．当底数为一个多项式的时候，我们可以把这个多项式看成一个整体

例：计算（a+b ）2×(a+b)4×[-(a+b)]7

练习：（m-n ）3×(m-n)4×(n-m)7 a 2×a ×a 5+a 3×a 2×a 2

环节6:小结：

同底数幂的乘法：a m ·a n =a m+n (m, n 是自然数)

同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算法则，也是整式乘法的主要依据之一.学习这个法则时应注意以下几个问题：

（1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义.

（2）它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，如：

(2x+y)2·(2x+y)3=(2x+y)5

，底数就是一个二项式(2x+y). （3）指数都是正整数

（4）这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即a m ·a n ·a p ....=a m+n+p+...

(m, n, p 都是自然数).

（5）不要与整式加法相混淆。乘法是只要求底数相同则可用法则计算，即底数不变指数相加，如：x 5·x 4=x 5+4=x 9

；

而加法法则要求两个相同；底数相同且指数也必须相同，实际上是幂相同系数相加，如-2x 5+x 5=(-2+1)x 5=-x 5

，

而x 5+x 4

就不能合并。

教学目标: 经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题. 教学重点: 会进行幂的乘方的运算，幂的乘方法则的总结及运用。教学过程:

环节1:回顾同底数幂的乘法 a m ·a n =a m+n

（m 、n 都是正整数）环节2:自主探索，感知新知 64表示_________个___________相乘. (62)4

表示_________个___________相乘. a 3表示_________个___________相乘. (a 2)3

表示_________个___________相乘. 环节3:推广形式，得到结论 1．（a m ）n 表示_______个________相乘

=________×________×…×_______×_______ =__________

即（a m ）n = ______________(其中m 、n 都是正整数) 2．通过上面的探索活动,发现了什么?

归纳:幂的乘方，底数不变，指数相乘 . 环节4:巩固练习

例：计算：（1）（103）5 （2）[（

2）3]4

（3）[（－6）3]4 （4）（x 5）2 （5）－（x 4）3 （6）（a m ）3 练习：P143 练习

例：判断题，错误的予以改正。（1）a 5+a 5=2a 10 （）（2）（x 3）3=x 6 （）（3）（－3）2·（－3）4=（－3）6=－36 （）（4）x 3+y 3=（x+y ）3 （）

（5）[（m －n ）3]4－[（m －n ）2]6=0 （）环节5: 综合运用

例：计算 23×42×8

例：计算（x 3）4·x 2 2（x 2）n －（x n ）2 [（x 2）3]7 例:计算 5（P 3）4·（P 2）3－2 (P 2) 4·（P 5）2

训练:1若（x 2）m =x 8，则m=______ . 2.若[（x 3）m ]2=x 12，则m=_______ . 3.若x m ·x 2m =2，求x 9m 的值. 4.若a 2n =3，求（a 3n ）4的值. 5.已知a m =2,a n =3,求a 2m+3n 的值. （七）附加练习

[(x+y)3]4 (a n+1)2×(a 2n+1)3 (32)3 a 3×a 4×a+(a 2)4-3(a 4)2

环节6:小结：幂的乘方，(a m )n =a mn

，(m, n 都为正整数)运用法则时注意以下以几点：

①幂的底数a 可以是具体的数也可以是多项式。如[(x+y)2]3

三次幂的底数为(x+y)，是一个多项式，

[(x+y)2]3=(x+y)6

②要和同底数幂的乘法法则相区别，不要出现下面的错误。如：

(a 3)4=a 7； [(-a)3]4=(-a)7； a 3·a 4=a 12

教学目标: 经历探索积的乘方的运发展推理能力和有条理的表达能力．学习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力．进一步体会幂的意义．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．教学重点: 积的乘方运算法则及其应用．幂的运算法则的灵活运用．环节1:回顾旧知识

1.同底数幂的乘法

2.幂的乘方环节2:创设情境，引入新课

问题：已知一个正方体的棱长为2×104c m ，?你能计算出它的体积是多少吗？环节3:自主探究，引出结论

1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？（1）（ab ）2=（ab ）·（ab ）=（a·a ）·（b·b ）=a ( )b ( ) （2）（ab ）3=______=_______=a ( )b ( ) （3）（ab ）n =______=______=a ( )b ( )（n 是正整数） 2．自主分析：（1）（ab ）2 =（ab ）·（ab ）= （a·a ）·（b·b ）= a 2b 2，（2）（ab ）3=（ab ）·（ab ）·（ab ）=（a·a·a ）·（b·b·b ）=a 3b 3；（3）（ab ）n =()()

()ab ab ab n 个ab

=()a a

a n 个a

·()b b

b n 个b

=a n b n

3．得到结论：积的乘方：（ab ）n =a n ·b n （n 是正整数）

把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积． 4．积的乘方法则可以进行逆运算．即： a n ·b n =（ab ）n （n 为正整数） a n ·b n =()a a

a n 个a

·()b b

b n 个b

──幂的意义

=()()

()a b a b a b n 个(a b)

──乘法交换律、结合律

＝（a·b ）n ──乘方的意义同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．环节4:巩固成果，加强练习例：（1）（2a ）3 （2）（-5b ）3 （3）（xy 2）2 （4）（-2x 3）4 练习：P144 的练习环节5:综合练习

①2(x 3)2·x 3-(3x 3)3+(5x)2·x 7 ②(3xy 2)2+(-4xy 3) · (-xy) ③(-2x 3)3·(2

1x 2)2

④(-x 2y)3+7(x 2)2·(-x)2·(-y)3 ⑤[(m-n)3]p ·[(m-n)(m-n)p ]5 ⑥(0.125)7×88 ⑦(0.25)8×410 ⑧2m ×4m ×(

1)m ⑨已知10m =5,10n =6,求102m+3n 的值

环节6:小结：1.总结积的乘方法则，理解它的真正含义. 2．幂的三条运算法则的综合运用.

3.积的乘方(ab)n =a n b n

，（n 为正整数）运用法则时注意以下几点：

①注意与前二个法则的区别：积的乘方等于将积的每个因式分别乘方（即转化成若干个幂的乘方），再把所得的幂相乘。

②积的乘方可推广到3个以上因式的积的乘方，如：(-3a 2b)3 如(a 1·a 2·……a n )m =a 1m ·a 2m ·……a n m

教学目标: 探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力.

教学重点: 单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则教学过程: 第一课时：

环节一:知识回顾：回忆幂的运算性质：

a m ·a n =a m+n (a m )n =a mn (ab)n =a n

b n (m ，n 都是正整数) 环节二:创设情境，引入新课

应用实际问题引入书本第144页思考：

问题1:光的速度约为3×105

千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102

秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?

问题2：如果将上式中的数字改为字母，即ac 5·bc 2，如何计算？环节三:实践探索

1．计算：(1)2c 5·5c 2；(2)(-5a 2b 3)·(-3b 2c)

2．归纳得出结论：单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．环节四:巩固结论，加强练习

课本第145页例：计算：（-5a 2

b ）·（-3a ）（2x ）3

·（-5xy 2

）

练习：P145 练习1，2 附加练习：

1.小民的步长为a 米，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米? 2．3222(2)a bc ab ?- 323

(3)x x -? (-10xy 3

)(2xy 4

z) (-2xy 2

)(-3x 2y 3

)(4

-xy) 3. 3(x-y)2

·[154-(y-x)3][ 2

3-(x-y)4

] 4.判断：单项式乘以单项式，结果一定是单项式（）

两个单项式相乘，积的系数是两个单项式系数的积（）两个单项式相乘，积的次数是两个单项式次数的积（）

两个单项式相乘，每一个因式所含的字母都在结果里出现（） 5.计算：0.4x 2y·（

xy ）2－（－2x ）3·xy 3 6.已知a m =2,a n =3,求(a 3m+n )2的值. 7.求证：52·32n+1·2n -3n ·6n+2能被13整除环节五：小结

环节一: 知识回顾：

单项式乘以单项式的运算法则环节二:创设情境，提出问题

课本145页问题：三家连锁店以相同的价格m(单位：元/瓶)销售某种商品，它们在一个月内的销售量(单位：瓶)，分别是a,b,c.你能用不同方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？另一种方法是先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和即总收入为：________________ 所以：m(a+b+c)= ma+mb+mc

提出问题：根据上式总结出单项式与多项式相乘的方法吗？得出结论:

单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即：m(a+b+c)= ma+mb+mc 环节三: 实践探索

例： 2a 2·(3a 2－5b) (－4x 2) ·(3x+1) ab ab ab 2

)23

- 环节四:巩固练习

书本练习：P146 练习1，2

1．若(-5a m+1b 2n-1)(2a n b m )=-10a 4b 4，则m-n 的值为______ .

2．计算：(a 3b)2(a 2b)3 3. 计算：(3a 2b)2+(-2ab)(-4a 3b) 4. 计算：)34232()25-

(2y xy xy xy +-? 5．计算：)22

(6)5)(3-(2222y xy x y x xy -+ 6．已知,3,2==b a 求)232()(32

a a

b a ab ab ab b a ab -+--+的值 7．解不等式：12)23()1(22

-?+--+x x x x x x

8．若m x x +-322

与22

-+mx x 的和中不含x 项，求m 的值，并说明不论x 取何值，它的值总是正数环节五：小结

环节一:回顾旧知识

单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法则环节二:创设情境，感知新知

书本第147页问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a 米，宽m 米的长方形绿地增长b 米，加宽n 米，求扩地以后的面积是多少？

2. 提问：用几种方法表示扩大后绿地的面积?不同的表示方法之间有什么关系? 3．引导学生分析得出结果：

方法一：这块花园现在长(a+b)米，宽(m+n)米，因而面积为(a+b)(m+n)米2

．

方法二：这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为：am 米2、an 米2、bm 米2、bn 米2

，故这块绿地

的面积为(am+an+bm+bn)米2

．

(a+b)(m+n)和(am+an+bm+bn)表示同一块绿地的面积，所以有(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 环节三:新课讲授

1. 引导观察：等式的左边(a+b)(m+n)是两个多项式(a+b)与(m+n)相乘，把(m+n)看成一个整体，那么两个多项式(a+b)与(m+n)相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘． 2．过程分析：(a+b)(m+n) =a(m+n)+b(m+n) ----单×多 =am+an+bm+bn ----单×多 3. 得到结论：

多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．环节四:实践探索

课本147页例： )y x y -y)(x (x y)-8y)(x -(x 2)1)(x (3x 2

++++ 练习：)32)(2(2

y xy x y x -+- )65)(52(2

+-+x x x

P148 练习1

例：先化简，再求值：(a-3b)2+(3a+b)2-(a+5b)2+(a-5b)2

，其中a=-8,b=-6 练习：1.化简求值：)32)(12()1)(1(3)3)(2(-+--+++-x x x x x x ，其中x=

4 2.一块长m 米，宽n 米的玻璃，长宽各裁掉a 米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小)，问台面面积是多少? 环节五:深入研究

1.计算：①(x+2)(x+3)；②(x -1)(x+2)；③(x+2)(x -2)；④(x -5)(x-6)；⑤(x+5)(x+5)；⑥(x -5)(x-5)；并观察结果和原式的关系

2.结合P148练习第2题图引导学生分析，直观认识规律，并完成此题．附加题： 1．?

?++?+-?+-++)2)(5()6)(1(22

)1()3)(2(x x x x x x x x

2. 求证：对于任意自然数n ，)2)(3()5(+--+n n n n 的值都能被6整除

3. 计算：(x+2y-1)2

(x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)

5. 小明找来一张挂历画包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小明想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米．问小明应该在挂历画上裁下多大面积的长方形?

环节六:小结

§15.2 乘法公式(2课时) 总体说明:

1.通过自主探索,掌握两数和乘以它们的差公式（即平方差公式）、两数和的平方公式（即完全平方和公式）的特点,并能得出两数差的平方公式（即完全平方差公式）.

平方差公式：（a+b ）(a-b)=a 2-b 2

完全平方和公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2

完全平方差公式：（a-b ）2=a 2-2ab+b

2.掌握平方差公式、完全平方和公式和完全平方差公式的几何意义，明白数形结合的思想.

3.灵活运用公式进行计算或混合运算并能解决实际生活问题和科学计算问题.

4.初步掌握公式的互逆运算.

§15.2.1 平方差公式（1课时）

教学目标：经历探索平方差公式的过程．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算，培养学生观察、归纳、概括的能力．

教学重点：平方差公式的推导和应用．理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．教学过程：

环节一：发现规律，得到公式课本151页探究： 1.计算：（1）（x+1）（x-1）（2）（m+2）（m-2）（3）（2x+1）（2x-1）（补充）（4）（x+3y ）（x-3y ） 2.提出问题：观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？ 3.引导学生总结特点,得到结论（a+b ）（a-b ）=a 2-ab+ab-b 2=a 2-b 2．即（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2 环节二:熟悉公式

下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？

)32)(32(b a b a -+ )32)(32(b a b a -+- )32)(32(b a b a +-+- )32)(32(b a b a --- ))((c b a c b a +-++ ))((c b a c b a -+--

环节三:运用公式 1.直接运用第152页例1：（1）（3x+2）（3x-2）（2）（b+2a ）（2a-b ）（3）（-x+2y ）（-x-2y ） 2.简便计算第152页例2：（1）102×98 （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）环节四:巩固练习：第153页练习1，2补充练习1:

①)2)(2(x y y x +--- ②)25)(52(x x -+ ③)25.0)(5.0)(5.0(2++-x x x ④22)6()6(--+x x

补充练习2:简便计算: ① 100.5×99.5 ② 99×101×10001

环节五:平方差公式的直观几何意义: 第152页思考

附加题：

1.证明：两个连续奇数的积加上1一定是一个偶数的平方

2.求证：2

2)7()5(--+m m 一定是24的倍数

环节六:小结

§15.2.2 完全平方公式（2课时）

教学目标：完全平方公式的推导及其应用．完全平方公式的几何解释．视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．

教学重点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用教学过程：第一课时环节一:实践探究

1．课本第153页探究：计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；（m+2）2=_______；（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（m-2）2=_______； 2．分析结果,得到公式

(a+b)2

=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 即：

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．环节二:完全平方公式的直观几何意义: 第154页思考环节三:运用公式 1.直接运用

例：应用完全平方公式计算：（1）（4m+n ）2 （2）（y-12

）2

（3）（-2a-b ）2 （4）（b-2a ）2 练习：P155 练习1，2 2.简便计算

例：运用完全平方公式计算：（1）1022 （2）992

练习：计算： 50.012 49.92

附加练习：

计算： 2

)4(y x - 2

)43(c ab b a - -x 5( ）2= 4

210y xy +-

)3)(3(b a b a --+ 2)1(x x +

2)1(x

x - 在下列多项式中，哪些是由完全平方公式得来的？

442+-x x 2161a + 12-x 22y xy x ++ 2

139y xy x +

环节四:小结

完全平方公式的结构特征．

§15.3 整式的除法(2课时) 总体说明:

1.同底数幂相除,底数不变,指数相减. 即：a m ÷a n =a m-n ．（0≠a ,m ，n 都是正整数，并且m >n ）

2.两单项式相除,将系数及同底数幂分别相除,作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

§15.3.1 同底数幂的除法（1课时）

教学目标：同底数幂的除法的运算法则及其原理和应用，发展有条理的思考及表达能力。培养探索讨论、归纳总结的方法．

教学重点：准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算．教学过程：

环节一:创设情境，感知新知

课本159页问题：一种数码照片的文件大小是28K ，一个存储量为26M （1M=210K ）?的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？环节二:实践探究

1．计算：(1)（）·28=216（2）（）·53=55（3）（）·105=107（4）（）·a 3=a 6 2．再计算：（1）216÷28=（）（2）55÷53=（）（3）107÷105=（）（4）a 6÷a 3=（）

3．分析归纳：得到公式：同底数幂相除，?底数不变，指数相减．即：a m ÷a n =a m-n ．（0≠a ）注意:指数n m ,之间是否有大小关系？(m ，n 都是正整数，并且m >n ）环节三:巩固练习

例：（1）x 8÷x 2 （2）a 4÷a （3）（ab ）5÷（ab ）2 练习：P160 练习1，2，3

环节四:深入探究指数为0的情况课本第160页探究：

总结得:a 0=1（a ≠0）即：任何不等于0的数的0次幂都等于1．推广：同底数幂相除：a m ÷a n =a m-n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ≥n ）．环节五:巩固训练

1．计算：3

)()(c c -÷- 23

)()

(y x y x m +÷++ 3210)(x x x ÷-÷

2．若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件？ 3．若4910,4

710==

，则y x -210等于？ 4．若0

)52(-+y x 无意义，且1023=+y x ，求y x ,的值

环节六:小结：

利用除法的意义及乘、除互逆的运算，揭示了同底数幂的除法的运算规律，并能运用运算法则解决简单的计算问题

§15.3.2 整式的除法（2课时）

教学目标：单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法则及其应用和它们的运算算理，发展有条理的思考及表达能力，提倡多样化的算法，培养学生的创新精神与能力．教学重点：单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法则及其应用教学过程：第一课时

环节一:创设情境，感知新知

1.课本161页问题：木星的质量约是1．90×1024吨．地球的质量约是5.08×1021吨．?你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？

2.仿照上述的计算方法，计算下列各式： 8a 3÷2a 5x 3y ÷3xy 12a 3b 2x 3÷3ab 2．环节二:归纳分析特点

（1）单项式相除是在同底数幂的除法基础上进行的.（2）单项式除以单项式可以分为系数相除；同底数幂相除，只在被除式里含有的字母三部分运算．

总结单项式相除法则: 单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除数式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式. 环节三:巩固练习

例：（1）28x 4y 2÷7x 3y （2）-5a 5b 3c ÷15a 4b （3）（2x 2y ）3·（-7xy 2）÷14x 4y 3 （4）5（2a+b ）4÷（2a+b ）2 练习：P162 练习1，2 附加练习：

1．计算：5

166y x z y x ÷ 235

3)21()5.0(b a b a -

÷- 2335)3()4

(21a b a b a -?-÷ )15(523xy y x -÷ 3

34)36(y x z y x ÷ 2.化简求值：求][

{

})

2(42

2333

xy y x y x y x y x ÷÷÷÷的值，其中3,2=-=y x

环节四:小结：

1．单项式的除法法则

2．应用单项式除法法则应注意：

①系数先相除，把所得的结果作为商的系数，运算过程中注意单项式的系数饱含它前面的符号；

②把同底数幂相除，所得结果作为商的因式，由于目前只研究整除的情况，所以被除式中某一字母的指数不小于除式中同一字母的指数；

③被除式单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏；

④要注意运算顺序，有乘方要先做乘方，有括号先算括号里的，同级运算从左到右的顺序进行．

第二课时：

环节一:巩固复习单项式除以单项式法则环节二:实践探究课本第162页探究

计算下列各式,说说你是怎样计算的.

(1)(am+bm)÷m；(2)(a 2+ab)÷a；(3)(4x 2y+2xy 2

)÷2xy．环节三:引入新课

以(am+bm)÷m 为例对照乘法分配律分析：

bm am m

bm am 1)()(?

+=÷+ -------除法转化成乘法

= --------乘法分配律

归纳总结法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．本质：把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式环节四:1.巩固认识

课本163页例：(1)(12a 3-6a 2+3a)÷3a； (2)(21x 4y 3-35x 3y 2+7x 2y 2)÷(-7x 2y )； (3)[(x+y )2-y(2x+y)-8x]÷2x 2.巩固练习：P163 练习1，2 补充:(1) 243

223292

1)3(2)3(y x y xy x x xy ÷??

?-- (2)

[]x y x y x y x 6)(4)2)(2(2

÷-+-+

(3) [

]

x x x y y y x 28)4()2(2

÷-+-+

(4)化简求值：已知20082=-y x ，求[]x y x y x y x y x 8)25)(2()23)(23(÷-+--+的值

环节五:小结

1．单项式的除法法则

2．应用单项式除法法则应注意：

①系数先相除，把所得的结果作为商的系数，运算过程中注意单项式的系数饱含它前面的符号；

②把同底数幂相除，所得结果作为商的因式，由于目前只研究整除的情况，所以被除式中某一字母的指数不小于除式中同一字母的指数；

③被除式单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏；

④要注意运算顺序，有乘方要先做乘方，有括号先算括号里的，同级运算从左到右的顺序进行． ⑤多项式除以单项式法则

§15.4 因式分解(3课时) 1．理解公因式的概念.

2．了解因式分解的意义,并且能够理解因式分解与多项式乘法的区别与联系.

3．掌握提公因式的概念和公式的结构特点，并且会运用提公因式法和公式法进行分解因式. 4. 掌握运用整式乘法来检验因式分解的正确性. 5. 因式分解的公式：

平方差公式：a 2-b 2

=（a+b ）(a-b)

完全平方和公式：a 2+2ab+b 2=（a+b ）2

完全平方差公式：a 2+2ab+b 2=（a+b ）

注意: (1)在以上公式中字母可以表示任何数，包括单项式或多项式.

(2)应用公式来分解因式关键是要弄清楚公式的形式和特点，即从它们的项数、系数和符号等方面掌握它们的特征.

(3)运用公式法进行因式分解有一定的局限性，只有符合公式特点的多项式才能用公式法来分解因式.

§15.4.1 提公因式法（2课时）

教学目标：因式公解的概念，和整式乘法的关系，公因式的相关概念，用提公因式法分解因式，学会逆向思维，渗透化归的思想方法

教学重点：1. 因式公解 2. 公因式 3. 提公因式法分解因式教学过程：第一课时

环节一:提出问题，感知新知

1．问题：把下列多项式写成整式的乘积的形式

（1）x 2+x=_________ （2）x 2-1=_________ （3）am+bm+cm=_ _ 2．得到结果,分析特点：根据整式乘法和逆向思维原理，

（1）x 2+x=x （x+1）（2）x 2-1=（x+1）（x-1）（3）am+bm+cm=m （a+b+c ）分析特点：等号的左边：都是多项式等号的右边：几个整式的乘积形式

总结概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.

注意联系与整式乘法的关系：是整式乘法的相反方向的变形注意：因式分解不是运算，只是恒等变形

环节二:1.概念强化训练：下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)x 2

-3x+1=x(x-3)+1 ；

(2)(m ＋n)(a ＋b)＋(m ＋n)(x ＋y)＝(m ＋n)(a ＋b ＋x ＋y)； (3)2m(m-n)=2m 2

-2mn ；(4)4x 2

-4x+1=(2x-1)2

；

(5)3a 2

+6a=3a （a+2）；(6)x x x x x 3)2)(2(342

++-=+-

(7))1

1(1x

x x +

=+；(8)18a 3bc=3a 2b ·6ac 。 2.介绍分解范围：在不同的范围内，分解的结果是不一样的

例如：44-x ，在有理数范围里是：)2)(2(2

2-+x x

在实数范围里是： )2)(2)(2(2

+x x x

环节三:讲授新课

1.例题(铺垫)： x 2+x am+bm+cm

（1）中各项都有一个公共的因式x ，（2）中各项都有一个公共因式m 我们把每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式. 2．课本第166页例1,2 3．认识公因式

例：多项式 3

28714n m n m n m -+的公因式是？环节四:1巩固练习：把下列各式分解公因式：

①c ab ab b a 3222834+- ②532)32(21)32(14)32(7y x y x y x -+--- ③xz xy x -+-

④yz x z xy z y x 223323153510+-- 环节五:小结

第二课时

环节一:回顾旧知识

1.因式分解

2.公因式环节二:强化训练例1：因式分解：

①2a （b+c ）-3（b+c ） ②3x 3-6xy+x ③-4a 3+16a 2-18a ④6（x-2）+x （2-x ）练习：P167 练习1，2 例2：简便计算：

622110-74125.21-76135.1074175.31???+? 巩固练习：5

4013-132.04.24136.2551????+?? 课本第167页练习3

附加练习

①ax x a ax +-2

23 ②3

52015y x y x y x +-- ③xy xy y x -+-2

④)2()2(52

x a x -+- ⑤)()()(2

y x y x y x ---++

⑥)23)(5()7)(32(a b y x y x b a --++- ⑦)3()3()3(-+---x c x b x a ⑧72.46241.23?-? 14.37.014.35

14.31.2?+?-? 求证：若n 为正整数，则n n 33

-+能被24整除

环节三:小结提取公因式的方法

§15.4.2 公式法

教学目标：

1. 能较熟练地运用平方差公式分解因式．

2．初步会用提公因式法与公式法分解因式．?并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．3．知道因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解．

4.培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法．

教学重点：应用平方差公式分解因式．

教学难点：灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．

教学过程:

环节一:提出问题，创设情境

思考下列问题:

问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？

问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？

问题3：你能将多项式x2-4多项式与多项式y2-25分解因式吗?这两个你多项式有什么共同特点？环节二:导入新课

把整式的平方差公式（a+b）（a-b）= a2-b2反过来得到a2-b2=（a+b）（a-b）

a2-b2=（a+b）（a-b）的项、指数、符号有什么特点？

让学生分析、讨论、总结，最后得出下列结论:

两个数的平方差,等于这两个数的和与两个数的差的平方.

环节三:复习巩固

填空：（1）4a2=（）2；（2）4

b2=（）2；（3）0.16a4=（）2；

（4）1.21a2b2=（）2；（5）21

x4=（）2；（6）5

x4y2=（）2．

环节四:讲授新课

课本167页例分解因式:

（1）4x2-9 （2）（x+p）2-（x+q）2

课本168页例分解因式:

（1）x4-y4（2）a3b-ab

小结:

（1）多项式分解因式的结果要化简.

（2）在化简过程中要正确应用去括号法则，并注意合并同类项．环节五:巩固训练

把下列各式分解因式:

（1）36（x+y）2-49（x-y）2 （2）（x-1）+b2（1-x）（3）（x2+x+1）2-1 （4）

()

x y

()

x y

．

练习: 本P168练习1、2．

环节六:小结

1．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式．2．如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式．

式都不能分解为止．

第二课时

教学目标：1. 能较熟悉地运用完全平方公式分解因式

2.用提公因式、完全平方公式分解因式，?并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．

3.灵活应用提公因式法、公式法分解因式．

4.综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培

养学生归纳总结的能力．

教学重点：用完全平方公式分解因式．

教学难点：灵活应用公式分解因式．

教学过程

环节一: 提出问题，创设情境

问题1：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，?分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？

问题2：课本169页思考

你能将多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2分解因式吗?这两个多项式有什么特点?

将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式

a2+2ab+b2=（a+b）2 a2-2ab+b2=（a-b）2

导出法则:

两个数的平方和加上（或减去）这两数的积的2倍，?等于这两个数的和（或差）的平方．

环节二:导入新课

巩固概念, 熟悉公式结构特征

下列各式是不是完全平方式？

（1）a2-4a+4（2）x2+4x+4y2（3）4a2+2ab+1

b2（4）a2-ab+b2（5）x2-6x-9（6）a2+a+0.25

结果：（1）a2-4a+4=a2-2×2·a+22=（a-2）2

（3）4a2+2ab+1

b2=（2a）2+2×2a·

b+（

b）2=（2a+

b）2

（6）a2+a+0.25=a2+2·a·0.5+0.52=（a+0.5）2

（2）、（4）、（5）都不是．

方法总结：分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差）的平方．从而达到因式分解的目的．

环节三: 讲授新课

课本169页例题

例分解因式：

（1）16x2+24x+9 （2）-x2+4xy-4y2

课本170页例题

例分解因式：

（1）3ax2+6axy+3ay2（2）（a+b）2-12（a+b）+36

环节四:巩固训练

把下列多项式分解因式：

练习:课本P198练习1、2．环节五．课时小结

本章综合练习一.选择题：

1.下列各式中,计算正确的是( )

(A)x 5 + x 5 =x 10 (B)(a-b)3·(b-a)2 =-(a-b)5

2. 若m 、n 、p 均为正整数，则()

=?p

m x x 2（）

(A)np mp x x ?2 (B)mnp x 2 (C)np x mp +2 (D)p n m x )(+ 3.下列各式由左到右的变形中,不属于因式分解的是( )

(A)x(x-2)+1=(x-1)2 (B)a 2b+ab 3=ab(a+b 2

)

(C)x 2+y 2=(x+y)(x+y) (D)a 2b 2

-1=(ab+1)(ab-1)

4.若k 为常数,要使4x 2

+kx+1成为完全平方式,那么k 的值是( ) (A)4 (B)8 (C)±4 (D) ±8

5. 已知1a + a = 4，则1a

2 + a 2

的值为（）

(A)16 (B)14 (C) ±14 (D) 2

6. 若a 、b 和c 都是常数，而且 x 2 + ax + b 能化成（x + c ）2

的形式，那么b 的值是（）.

(A)a 22 (B)2a 2 (C)a 24 (D) 4a 2

二.填空题

7.请把下列多项式分解因式:①2x 4y 3+6xy 5= ②x 2-4x+4= ③6x 3y 2÷2xy 2

8.简便计算：()8120092-= .

9.如果5x n-1y m+2与2x 3y 4-n 相乘的结果是2x 5y 7

，那么m= ；n= .

10.已知长方形面积是5a 2-5b 2

，如果长方形的一边长是a+b ，那么宽是 .

11. 如果a+b ＝9, ab ＝14,那么3a 2+3b 2

= . 12. 请把下列计算不正确的编号填写在横线上: .

(1)（x+5）（x-5）= x 2-10；(2)（x 2-1）÷（x+1） = x-1；(3)(m-n)2 = m 2-2mn-n 2

；

(4)(a+b)2 = a 2+2ab+b 2；（5）（-9m 3n 3+3mn 2）÷（-3mn 2）=3m 2

n-1 三. 解答题： 11. 计算：

①（-3x 2+5xy-4y 2）（-2xy ） ②(12a 3-6a 2+3a)÷3a ③（-x 2y 2）÷（-xy 2）（-3xy 3

）

④(21x 4y 3-35x 3y 2+7x 2y 2)÷(-7x 2y ) ⑤[(2x+y )2-2(2x+y)-y 2

]÷2x ⑥（x-y ）（x+2y-1）

12.分解因式

①- 14 xy 2+xy-x ②3xy 2-27x ③xy 3-2x 2y 2+x 3y ④16(m-n)+(n-m)3 ⑤x 2

-4+（x+2）（x+4）

13. 先化简，再求值：[（x-y ）2

+（x+y ）（x-y ）]÷x ，其中x=5，y=2.

14. 如果△ABC的边长分别为a、b和c，且a2+b2+c2=ab+bc+ac.试证明: △ABC是等边三角形

人教版八年级上册数学知识点汇总

人教版八年级上册数学知识点汇总第十一章全等三角形 1．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等。 2．全等三角形的判定：三边相等(SSS)、两边和它们的夹角相等（SAS）、两角和它们的夹边（ASA）、两角和其中一角的对边对应相等（AAS）、斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。 3．角平分线的性质：角平分线平分这个角，角平分线上的点到角两边的距离相等 4．角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。 5．证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 6．第十二章轴对称 1．如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。 2．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3．角平分线上的点到角两边距离相等。 4．线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。

5．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 6．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 7．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 8．点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）点（x,y）关于原点轴对称的点的坐标为（-x,-y） 9．等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。 10．等腰三角形的判定：等角对等边。 11．等边三角形的三个内角相等，等于60°， 12．等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形有两个角是60°的三角形是等边三角形。 13．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 14．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半第十三章实数 ※算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作。0的算术平方根为0；从定

八年级上册数学教案人教版(全册)

八年级上册数学教案人教版(全册) 第十一章全等三角形 11.1 全等三角形教学容本节课主要介绍全等三角形的概念和性质．教学目标 1．知识与技能领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念． 2．过程与方法经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角． 3．情感、态度与价值观培养观察、操作、分析能力，体会全等三角形的应用价值．重、难点与关键 1．重点：会确定全等三角形的对应元素． 2．难点：掌握找对应边、对应角的方法． 3．关键：找对应边、对应角有下面两种方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，?两条对应边所夹的角是对应角．教具准备四大小一样的纸片、直尺、剪刀．教学方法采用“直观──感悟”的教学方法，让学生自己举出形状、大小相同的实例，加深认识．教学过程一、动手操作，导入课题

1．先在其中一纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 2．重新在一纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论，得出结论．【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形．学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两纸，注意整个过程要细心．【互动交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形，要求学生手拿一个三角形，做如下运动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形会全等吗？【学生活动】动手操作，实践感知，得出结论：两个三角形全等．【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形，同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边．【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母，并任意放置，与同桌交流：（1）何时能完全重在一起？（2）此时它们的顶点、边、角有何特点？【交流讨论】通过同桌交流，实验得出下面结论： 1．任意放置时，并不一定完全重合，?只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合．2．这时它们的三个顶点、三条边和三个角分别重合了． 3．完全重合说明三条边对应相等，三个角对应相等，?对应顶点在相对应的位置．【教师活动】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规． 1．概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，?重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 2．证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，?如果本图11．1

人教版八年级上册数学各单元知识点归纳总结

第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念： 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边. 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性. 7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面， 13.公式与性质： ⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180° ⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. n-·180° ⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2) ⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°. n-条对角 ⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)

线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2 n n -条对角线. 第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念： 1.基本定义： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 2.基本性质： ⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性. ⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3.全等三角形的判定定理： ⑴边边边（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 4.角平分线： ⑴画法： ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. ⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 5.证明的基本方法： ⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）