第三章 微分中值定理与导数的应用习题解答

第三章 微分中值定理与导数的应用答案

§3.1 微分中值定理

1． 填空题

（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值

定理结论成立的ξ是ππ

-4． （２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．

2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）． A ． 必要条件 B ．充分条件 C ． 充要条件 D ． 既非充分也非必要条件

（２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）．

A . x

e x

f =)( B. ||)(x x f = C. 2

1)(x x f -= D.

?????

=≠=0

,00 ,1sin )(x x x

x x f

（３）若)(x f 在),(b a 内可导，且2

1

x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）．

A ． ),()()()()(2

1

1

2

b a f x x x f x f ∈'-=-ξξ

B ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12

,x x 之间 C ． 2

11221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ D ． 2

11212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ

3．证明恒等式：)(2

cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π． 证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则011

11)(2

2

=+-

+='x

x

x f ，

所以)(x f 为一常数．

设c x f =)(，又因为(1)2

f π=， 故 )

(2

c o t a r c t a n ∞<<-∞=

+x x arc x π

．

4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(3

2

1

x f x f x f ==，其中1

2

a x x << 3

x b <<，证明:在),(3

1x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．

证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(2

1x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(2

11x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[2

1ξξ上

符合罗尔定理的条件，故有),(3

1x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．

5． 证明方程06213

2=+++x x x 有且仅有一个实根．

证明：设

621)(3

2x x x x f +

++=， 则03

1)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得

0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,2

1

+∞-∞∈x x ，且2

1

x x <，使0)()(2

1

==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(2

1

x x ∈η使0)(='ηf ，

即02112=++ηη，这与02

1

12

>++ηη矛盾．故方程06213

2=+++x x x 只有一个实根．

6． 设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<>

7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使

()2[(1)(0)].f f f ξξ'=-

证明： 只需令2

)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明.

8．证明下列不等式

（１）当π<

x

cos sin >． 证明： 设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'

()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即

0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<

因此， 当π<

x

cos sin >． （２）当

>>b a 时，b

b

a b a a b a -<

<-ln ． 证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉

格朗日中值定理得条件，有

'

()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<<

因为'

1()f x x

=，所以1

ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以1

11

a b

ξ<<，从而 b

b

a b a a b a -<<-ln ．

§3.1 洛毕达法则

1． 填空题

（１） =→

x

x

x 3cos 5cos lim 2

π

35- （２）=++∞→x

x x arctan )

1

1ln(lim

0 （３）)tan 11(lim 20x

x x x -→=3

1 （４）0lim(sin )x

x x +

→=1

２．选择题

（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ）

A ． ==∞

→∞

→n

n

n

n n e n ln lim

lim 11

lim

=∞→n

n e

B ． =-+→x x x x x sin sin lim 0 ∞=-+→x

x

x cos 1cos 1lim 0

C ． x x x x x x x x x cos 1

cos

1sin 2lim sin 1sin

lim

020-=→→不存在

D ．

x x e x 0lim →=11lim 0=→x x e

（２） 在以下各式中，极限存在，但不能

用洛必达法则计算的是（ C ）

A ． x x x sin lim 2

0→ B ． x

x x

tan 0)1

(lim +

→ C ．

x

x x x sin lim +∞→ D ．

x

n

x e x +∞→lim

3． 求下列极限

（１）n

n

m m a

x a

x a

x --→lim ． 解： n

n

m

m a x a x a x --→lim =

n m n m a x a n

m nx mx ---→=11lim ．

（２）

2

02

22lim x x x x -+-→． 解：

2

222lim

x

x

x

x -+-→=x

x x

x 22

ln 22ln 2

lim 0

-→-=

2

)2(ln 2)2(ln 2lim 2

20x x x -→+=2

)2(ln ．

（３）3

tan sin lim x x x x -→ ．

解：30tan sin lim x x x x -→＝

3

2030)

21(lim )1(cos tan lim x x x x x x x x -?=-→→＝2

1-． （４）

2

0)(arcsin 1sin lim

x x e x x --→．

解：2

0)(arcsin 1

sin lim

x x e x x --→＝

2

01sin lim x x e x x --→＝

2

1

2sin lim 2cos lim 00=+=-→→x e x x e x x x x ．

（５）x

x x x x

x ln 1lim

1+--→． 解：

)

ln 1()(x x x x x +='，

x

x x x x

x ln 1lim

1+--→＝x

x x x

x 11)ln 1(1lim 1

+

-+-→＝2

21

11)ln 1(lim

x

x

x x x x

x x --+-→

2

])ln 1([lim 1221

=++=++→x x x x x x ． （６） )1

1

1(lim 0

--→x

x e x ． 解：2121lim )1(1lim )111(lim 2

2

000==---=--→→→x x

e x x e e x x x x

x x x

（７）

x x x

tan 0)1

(lim +→ ．

解：1

)

1(lim 202

000sin lim

csc 1lim cot ln lim

ln tan lim tan 0=====+→+→+→+

→+

----→x x x

x x

x

x

x x

x x x x x e

e

e

e

x

．

（８）)31ln()21ln(lim x

x

x +++∞

→． 解： )31ln()21ln(lim x

x

x +++∞

→=2ln 2

3ln(12)12lim ln(12)3lim 3lim

1

x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+++==

=

x

x

x 212lim

2ln 3++∞→=2ln 3．

（９） n n n

∞

→l i m ．

解： 因为1

lim

1

lim

ln 1

lim

===∞→∞→∞

→x

x

x

x

x x x e

e

x ，所以n

n n ∞

→lim =1．

§3.3 泰勒公式

１．按1-x 的幂展开多项式43)(2

4

++=x x x f ． 解： 10)1(,64)(3

='+='f x x x f ，

同理得24)1(,24)1(,18)1()

4(=='''=''f f f ，且0)()

5(=x f ． 由泰勒公式得：

43)(24++=x x x f =4

32)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+x x x x ．

2． 求函数x

e x x

f 2

)(=的带有佩亚诺型余项的n

阶麦克劳林公式．

解：因为)(!

!2!1

12n

n

x x o n x x x e +++++= ， 所以

x

e

x x f 2

)(==

2

222[1()]1!2!

(2)!

n n x x x x o x n --+++

++-=

)

()!

2(!2!1432

n n

x o n x x x x +-++++ ．

3． 求一个二次多项式)(x p ，使得)()(22

x x p x

ο+=． 解：设x x f 2)(=，则2ln 2)(x x f ='，2

)2(ln 2)(x x f =''． 2

)2(ln )0(,2ln )0(,1)0(=''='=f f f ， 故 )(!2)2(ln !12ln 122

22

x x x x ο+++=，

则

2

22

)2(ln 2ln 1)(x

x x p ++=为所求．

4．利用泰勒公式求极限)]

11ln([lim 2

x

x x x +-∞

→．

解：因为

)

)1((3)1(2)1(1)11ln(33

2x

o x x x x ++-=+，

所以 )11ln(2x x x +-=)])1

((3)1(2)1(1[33

22x o x x x x x ++--=)

1(3121x o x +-，

故 2

1

)]1(3121[lim )]11ln([lim 2=+-=+-∞→∞→x o x x x x x x ．

5． 设)(x f 有三阶导数,且0)1(,0)(lim 2

==→f x x f x ,证明在

)

1,0(内存在一点ξ,使0)(='''ξf ． 证明： 因为 0)(lim 2

=→x x f x ，所以0)0(,0)0(,0)0(=''='=f f f ．

由麦克劳林公式得：

3

32!

3)(!3)(!2)0()0()0()(x f x f x f x f f x f ξξ'''='''+''+

'+= （ξ介于0与x 之间），因此 !

3)()1(ξf f '''=，由于

)1(=f ，故0)(='''ξf ．

§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性 1． 填空题

（１） 函数)ln(42

2

x x y -=的单调增加区间是),21()0,21(+∞- ，单调减少区间)2

1

,0()21,( --∞．

（２）若函数)(x f 二阶导数存在，且

0)0(,0)(=>''f x f ，则x x f x F )

()(=在+∞<

（３）函数12

+=ax y 在),0(∞+内单调增加，则a 0>．

（４）若点（1，3)为曲线2

3

bx ax y +=的拐点，

则=a 2

3-，=b 29

，曲线的凹区间为)1,(-∞，凸区间为),1(∞．

2． 单项选择题

（１）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数.

A . x

y -=2 ),(∞+-∞ B . x

y e = )0,(-∞ C . x y ln = ),0(∞+ D . x y sin = ),0(π

（２）设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,2

1(内（ B ）．

A . )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的 B. )(x f y = 单调减少，曲线)(x f y =为凹的 C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的 Ｄ．)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的

（３）)(x f 在),(+∞-∞内可导, 且2

1

,x x ?,当 2

1

x x >时, )()(2

1

x f x f >,则( D )

A. 任意0)(,>'x f x

B. 任意0)(,≤-'x f x

C. )(x f -单调增

D. )(x f --单调增

（４）设函数)(x f 在]1,0[上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ）

A. )0()1()0()1(f f f f ->'>'

B. )0()0()1()1(f f f f '>->'

C. )0()1()0()1(f f f f '>'>-

D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 2． 求下列函数的单调区间 （１）1--=x e y x

．

解：1-='x

e y ，当0>x 时，0>'y ,所以函数在区间)

,0[+∞为单调增加；

当0

（２）

(2y x =-．

解：)1(3

103

1-='-

x x y ， 当1>x ，或0'y ,所以函数在区间),1[]0,(+∞-∞ 为单调增加； 当01x <<时，0<'y ，所以函数在区间]1,0[为单调减少．

（３）)1ln(2

x x y ++=

解：

111112

2

2

>+=

++++=

'x

x

x x x y ，故函数在),(+∞-∞单调

增加．

3． 证明下列不等式

（１）证明： 对任意实数a 和b , 成立不等式|

|1|

|||1||||1||b b a a b a b a +++≤+++． 证明：令x

x

x f +=1)(，则0

)1(1)(2

>+='x x f ，

)

(x f 在) , 0 [∞+内

单调增加.

于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即

||1|

|||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++

（２）当1>x 时,

1

)1(2ln +->

x x x ．

证明：设)1(2ln )1()(--+=x x x x f ，

11ln )('-+

=x

x x f ，由于

当1x >时，2

11

()0f x x x

''=->, 因此)(x f '在),1[+∞单调递增, 当 1

x >时, 0)1()(='>'f x f , 故)(x f 在),1[+∞单调递增, 当 1>x 时, 有0)1()(=>f x f .故当1>x 时,0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f , 因此1)1(2ln +->x x x ．

（３）当 0>x 时，6sin 3

x x x ->．

证明：设

6

sin )(3

x x x x f +

-=,

2

1cos )(2

=+-='x x x f ，当0>x ，

()sin 0

f x x x ''=->，

所以)(x f '在),0[+∞单调递增, 当 0>x 时, 0)0()(='>'f x f , 故)(x f 在),0[+∞单调递增, 从而当 0>x 时, 有

0)0()(=>f x f . 因此当 0>x 时，6

sin 3

x

x x ->． 4． 讨论方程k x x =-sin 2π(其中k 为常数)在)2

,0(π

内有几个实根．

解：设()sin ,2x x x k π?=-- 则()x ?在]2

,0[π

连续, 且k

k -=-=)2

(,)0(π

??，

由()1cos 02

x x π?'=-=，得2

a r c c o s x π=为)2,0(π

内的唯一驻点． ()

x ?在2[0,arccos ]π

上单调减少，在2[arccos ,]2

π

π上单调增加．

故k

---

=2

4

2

arccos )2

(arccos 2πππ?为极小值，因此)

(x ?在]2,0[π

的最大值是k -,最小值是k

---

2

4

2

arccos 2ππ．

（１） 当,0≥k 或24

2

arccos 2--

<ππk 时,方程在)2

,0(π内无实根；

（２） 当0

2

4

2arccos 2<<--k ππ

时,有两个实根；

（３） 当24

2

arccos 2--=ππk 时，有唯一实根．

5． 试确定曲线d cx bx ax y +++=2

3

中的a 、b 、c 、d ，使得2-=x 处曲线有水平切线，)10,1(-为拐点，且点)44,2(-在曲线上．

解： c bx ax y ++='232

,b ax y 26+=''，所以

2323(2)2(2)062010(2)(2)(2)44

a b c a b a b c d a b c d ?-+-+=?

+=?

?

+++=-?

?-+-+-+=?

解得： 16,24,3,1=-=-==d c b a ．

6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间 （１）12

-+=x x x y

解：

2

2

2)1(1

1-+-='x x y ,

3

2

3)1(62-+=''x x x y ,

令0=''y ,得0=x ，当1x =±时y ''不存在．

当01<<-x 或1>x 时, 0>''y ,当1-

故曲线12

-+=x x x y 在)1,0()1,( --∞上是凸的, 在区间

和),1()0,1(+∞- 上是凹的， 曲线的拐点为)0,0(．

（２）3

2

)52(x x y -=拐点及凹或凸的区间

解：

y '= ，y ''=． 当0=x 时，y y ''',不存在；当2

1-=x 时，0=''y ． 故曲线在)21,(--∞上是凸的, 在),2

1(+∞-上是凹的，)23,21(3

--是曲线的拐点,

7．利用凹凸性证明: 当π<

π

x x >2sin

证明：令πx x x f -=2sin )(, 则π

1

2cos 21)(-='x x f , 2

sin

41)(x

x f -=''．

当π<

)(<''x f , 故函数π

x

x x f -=2sin )(的图形在),0(π上是凸的, 从而曲线)(x f y =在线段AB （其中

)(,()),0(,0(ππf B f A ）的上方，又0)()0(==πf f , 因此0)(>x f ,即πx

x >2sin ．

§3.5 函数的极值与最大值最小值

1． 填空题

（１）函数x

x y 2=取极小值的点是1ln 2x =-．

（２） 函数3

12

32)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为3

22)21(=f ，最小值为(0)1f =- ．

2．选择题

（１） 设)(x f 在),(+∞-∞内有二阶导数，0)(0

='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则)(0

x f 必是)(x f 的最大值？（ C ）

A ． 0x x =是)(x f 的唯一驻点

B ． 0

x

x =是)(x f 的极大值点

C ． )(x f ''在),(+∞-∞内恒为负

D ． )

(x f ''不为零

（２） 已知)(x f 对任意)(x f y =满足

x

e x

f x x f x --='+''1)]([3)(2，若00

()0 (0)f x x '=≠，则（ B ） A. )(0x f 为)(x f 的极大值 B. )(0

x f 为)(x f 的极小值 C. ))(,00x f x （为拐点 D. )(0

x f 不是极值点, ))(,0

0x f x （不是拐点

（３）若)(x f 在0

x 至少二阶可导, 且1)

()()(lim 2

-=--→x x x f x f x x ,则函数)(x f 在0

x 处( Ａ )

A ． 取得极大值

B ． 取得极小值

C ． 无极值

D ． 不一定有极值

3． 求下列函数的极值 （１） ()3

/22

3x x x f -=． 解：由13

()10f x x -

'=-=，得1=x ． 4''

3

1

(),(1)03f x x f -

''=>，所以函数在1=x 点取得极小值．

（２）x

x x f 1)(=．

解：定义域为),0(+∞，11ln 2

1, (1ln )x x x

y e y x x x '==-，

令0y '=得驻点x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，当(,)x e ∈+∞时，0y '<．

因此e

e e y 1)(=为极大值．

4． 求1412322

3

+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值．

解：(3)23, (4)132y y -==．

由2

66120y x x '=+-=，得1=x , 2-=x ．

而34)2(,7)1(=-=y y , 所以最大值为132，最小值为7．

5． 在半径为R 的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积V 最大．

解：设圆锥体的高为h , 底半径为r ,故圆锥体的体积为h r V 2

3

1π=， 由于2

22

)

(R r R h =+-，因此)2( 3

1)(2

h Rh h h V -=π )

20(R h <<，

由0)34( 31)(2

=-='h Rh h V π，得3

4R

h =

，此时R r 322=． 由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在)

2,0(R 的内部取得. 现在0)(='h V 在)2,0(R 内只有一个根,故当34R h =, R r 322=时, 内接锥体体积的最大．

6. 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km , A

点到火车站B 的距离为100km . 欲修一条从工厂到铁路的公路CD , 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？

解: 设AD x =, B 与C 间的运费为y , 则 )100(340052

x k x k y -++= （1000≤≤x ）， 其中k 是某一正数．

由 0)34005(2

=-+='x x k y , 得15=x .

由于k

y x 400|

0==,

k

y x 380|15==, 2

100511500|

+

==x y , 其中以

k

y x 380|15==为最小, 因此当AD =15=x km 时, 总运费为

最省．

7． 宽为b 的运河垂直地流向宽为a 的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少?

解： 问题转化为求过点C 的线段AB 的最大值. 设木料的长度为l , y CB x AC ==,，木料与河岸的夹角为t ，则l y x =+，且

t

b

y t a x sin ,cos =

=, t

b

t a l sin cos +=

)

2

,0(π

∈t ．

则

t

t

b t t a l 22

sin cos cos sin -=

'，

由0='l 得3

tan a

b t =

, 此时2

33

23

2)

(b a

l +=，

故木料最长为2

3323

2)

(b a l +=．

§3.6 函数图形的描绘

１．求2

3

)

1(+=x x y 的渐近线. 解：由

-∞=+-→2

3

1)1(lim x x x ，所以1x =为曲线)(x f y =的铅

直渐近线．

因为 2)1(lim )(lim ,1)

1(lim lim 2

3

2

2

-=-+=-=+=∞→∞→∞

→∞

→x x x x y x x x

y x x x x

所以2-=x y 为曲线)(x f y =的斜渐近线．

2．作函数2

3

)

1(22

--=x x y 的图形。 解： 函数的定义域为()(),11,-∞-+∞．

()()()

()()

2

3

4

2132, 211

x x x y y x x -+-'''==--． 令0='y ，得1 ,2-==x x ；令0=''y ，得2=x ．列表讨论如

下：

83-

3,2

由于

()()21122lim lim 23=--=∞→∞→x x x x

x f x x ，

()()11222lim 21lim 22=---=?????

?

-∞→∞→x x x x x f x x ，

所以，12

1+=x y 是曲线的斜渐近线．又因为()

-∞

=--→2

31

122lim

x x x ，所以1=x 是曲线的铅垂渐近线．

当0=x 时1-=y ；当0=y 时3

2=x ．

综合上述讨论，作出函数的图形如下