2014年辽宁理科数学试题及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
理科数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项 是符合题目要求的.
1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥,则集合()U C A
B =( )
A .{|0}x x ≥
B .{|1}x x ≤
C .{|01}x x ≤≤
D .{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=,则z =( ) A .23i + B .23i - C .32i + D .32i - 3.已知13
2
a -=,2
1211
log ,log 33
b c ==,则( ) A .a b c >> B .a c b >> C .c a b >> D .c b a >>
4.已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( ) A .若//,//,m n αα则//m n B .若m α⊥,n α?,则m n ⊥ C .若m α⊥,m n ⊥,则//n α D .若//m α,m n ⊥,则n α⊥
5.设,,a b c 是非零向量,学科 网已知命题P :若0a b ?=,0b c ?=,则0a c ?=;命题q :若
//,//a b b c ,则//a c ,则下列命题中真命题是( )
A .p q ∨
B .p q ∧
C .()()p q ?∧?
D .()p q ∨?
6.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的做法种数为( ) A .144 B .120 C .72 D .24
7.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .82π- B .8π- C .82π-
D .84
π
-
8.设等差数列{}n a 的公差为d ,若数列1{2}n a a
为递减数列,则( ) A .0d < B .0d > C .10a d < D .10a d > 9.将函数3sin(2)3
y x π
=+的图象向右平移
2
π
个单位长度,所得图象对应的函数( ) A .在区间7[
,
]1212ππ
上单调递减
B .在区间7[,]1212
ππ
上单调递增 C .在区间[,]63
ππ
-上单调递减 D .在区间[,]63
ππ
-
上单调递增 10.已知点(2,3)A -在抛物线C :22y px =的准线上,学 科网过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为( ) A .
12 B .23 C .34 D .43
11.当[2,1]x ∈-时,不等式3
2
430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .[5,3]-- B .9
[6,]8
-- C .[6,2]-- D .[4,3]-- 12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足: ①(0)(1)0f f ==;
②对所有,[0,1]x y ∈,且x y ≠,有1
|()()|||2
f x f y x y -<
-. 若对所有,[0,1]x y ∈,|()()|f x f y k -<,则k 的最小值为( ) A .
12 B .14 C .12π D .18
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.执行右侧的程序框图,若输入9x =,则输出y = .
14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形ABCD 中,则质点落在阴影区域的概率是 .
15.已知椭圆C :22
194
x y +=,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN += .
16.对于0c >,当非零实数a ,b 满足22
4240a ab b c -+-=,且使|2|a b +最大时,345a b c
-
+的
最小值为 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
在ABC ?中,内角A ,B ,C 的对边a ,b ,c ,且a c >,已知2BA BC ?=,1
cos 3
B =,3b =,求:
(1)a 和c 的值; (2)cos()B C -的值. 18. (本小题满分12分)
一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示:
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率;
(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X 的分布列,期望()E X 及方差()D X .
19. (本小题满分12分)
如图,ABC ?和BCD ?所在平面互相垂直,且2AB BC BD ===,0
120ABC DBC ∠=∠=,E 、
F 分别为AC 、DC 的中点. (1)求证:EF BC ⊥;
(2)求二面角E BF C --的正弦值.
20. (本小题满分12分)
圆224x y +=的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为
P (如图),双曲线22
122:1x y C a b
-=过点P (1)求1C 的方程;
(2)椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点,直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ,B 两点,若以线段AB 为直径的圆心过点P ,求l 的方程.
21. (本小题满分12分)
已知函数8
()(cos )(2)(sin 1)3
f x x x x x π=-+-+,2()3()cos 4(1sin )ln(3)x
g x x x x x π
=--+-.
证明:(1)存在唯一0(0,)2
x π
∈,使0()0f x =;
(2)存在唯一1(
,)2
x π
π∈,使1()0g x =,且对(1)中的01x x π+<.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.
22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,EP 交圆于E 、C 两点,PD 切圆于D ,G 为CE 上一点且PG PD =,连接DG 并延长交圆于点A ,作弦AB 垂直EP ,垂足为F. (1)求证:AB 为圆的直径; (2)若AC=BD ,求证:AB=ED.
23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程;
(2)设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极
坐标系,求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.
24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数()2|1|1f x x x =-+-,2()1681g x x x =-+,记()1f x ≤的解集为M ,()4g x ≤的解集为N. (1)求M ; (2)当x M N ∈时,证明:221()[()]4
x f x x f x +≤
.