直线与圆及圆锥曲线

星海学校2014年秋季 校区

3L 个性化一对一 名师培优精讲

学 科 年 级 学生姓名

授课教师 上课时间

课 次 数学

高二

卢老师

第 讲

【教学目标】

复习直线方程 圆 圆锥曲线 【教学重点】

直线方程与圆 圆锥曲线综合题型 讨论斜率存在问题 【教学难点】

数形结合 直线与圆 圆锥曲线的

1：一个口袋中有7个红球3个白球，从袋中任取一球，看过颜色后放回袋中，然后再取一球，假设

每次取球时袋各个球被取到的可能性相同。求 （1） 第一、二次都取到红球的概率？

（2） 第一次取到红球，第二次取到白球的概率？ （3） 第二次取到红球的概率？ 2：设一质点落在区域{(,)|01,01,1}G x y x y x y =<<<<+<内任一点的可能性相等，求（1）质点落在直线23x =

的左边的概率？（2）质点落在直线4

5

y =的上方的概率？ 3：为了防止意外，在矿内同时设有两种报警系统A 与B ，每种系统单独使用 时，其有效的概率系统A 为了0.92，系统B 为0.93，在A 失灵的条件下，B 有效的概率为0.85，

求：（1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率？（2）B 失灵的条件下，A 有效的概率？

一、直线的基本量

1．两点间距离公式：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-=

特别地：x //AB 轴，则=AB ；y //AB 轴，则=AB .

2．直线l ：y kx b =+与圆锥曲线C ：(,)0f x y =相交的弦AB 长公式

消去y 得02

=++c bx ax （务必注意0?

>），设A ),(),,(2211y x B y x 则：

2222212112(1)()(1)[()4]AB k x x k x x x x =+-=++-

3．直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角[0,)απ∈；当2

π

α≠

时，直线的斜率tan k α=.

教学标题填写

（2）常见问题：倾斜角范围与斜率范围的互化——右图

4．直线在x 轴和y 轴上的截距：（1）截距非距离；（2）“截距相等”的含义. 5、直线的五种方程

（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 11

2121

y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).

（4）截距式

1(,x y

a b x y a b

+=≠≠分别为轴轴上的截距,且a 0,b 0) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).

二、两条直线的位置关系：

（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+

①121212//,l l k k b b ?=≠； ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,

①1212211221//00l l A B A B AC A C ?-=-≠且；②1212120l l A A B B ⊥?+=； 三、距离

（1）点P （x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离：2

200B A C By Ax d +++=；

（2）两条平行线Ax+By+C 1=0与 Ax+By+C 2=0的距离是2

221B A C C d +-=；

四、 圆的三种方程

（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.

（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).

（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ

=+??=+?. * 点与圆的位置关系：点00(,)P x y 与圆2

22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种

若2200()()d a x b y =-+-，则d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r

直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:

0相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 弦长=222d r - 其中2

2

B

A C Bb Aa d +++=

.

六、圆与圆的位置关系：（d 表示圆心距，r R ,表示两圆半径，且r R >） ①?+>r R d 相离；②?+=r R d 外切；③?+<<-r R d r R 相交； ④?-=r R d 内切；⑤?-<

⑴过圆x 2+y 2=r 2上的点M(x 0,y 0)的切线方程为：x 0x+y 0y=r 2

；

⑵以A(x 1，y 2)、B(x 2,y 2)为直径的圆的方程：(x －x 1)(x －x 2)+(y －y 1)(y －y 2)=0。 221111(3)C :x y D x E y F 0++++=经过圆和圆222222C :x y D x E y F 0++++=的两 交点的直线方程为：()()()121212D D x E E y F F 0-+-+-=

八、直线与圆锥曲线问题解法：

⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。 注意以下问题：

①联立的关于“x ”还是关于“y ”的一元二次方程？ ②直线斜率不存在时考虑了吗？③判别式验证了吗？ ⑵设而不求（代点相减法）：--------处理弦中点问题

步骤如下：①设点A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)；②作差得 =--=

2

12

1x x y y k

AB

；③解决问题。

九．求轨迹的常用方法：

（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）； ⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。

1：解：设A 、B 分别表示第一、二次取红球，则有

（1）767

()()(|)10915P AB P A P B A ==?=

（2）737

()()(|)10930

P AB P A P B A ==?=

（3）7

()()(|)()(|)10

P B P A P B A P A P B A =+=

5：解：由几何概率可得：（1）118218()192A G S P A S -

===（2）11

50()1252

B G S P B S ===

8：解：（1）()()()

(|)0.851()()

P AB P B P AB P B A P A P A -=

==-

()()0.85(1(P A B P B P A =-- ()()()()0.988P A B P A P B P AB +=+-= （2）()()()0.058

(|)0.8291()0.07()

P AB P A P AB P A B P B P B -=

===-

9：解：（1）()()()0.80.90.72P AB P A P B ==?= （2）()()()0.80.10.08P AB P A P B ==?= （3）()0.18P AB =

10：解：设12,A A 分别表示取到第一、二箱的产品，12,B B 分别表示第一、二次取到一等品，（1）

12()()0.5P A P A == 11

112122

()()(|)()(|)

5

P B P A P B A P A P B A =+= （2）

12112121222111()()(|)()(|)

(|)()()

2750

0.525284

P B B P A P B B A P A P B B A P B B P B P B +=

=

==

直线方程

一选择题

1. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为（ ）

A.3

B.-2

C. 2

D. 不存在 2．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）

A ．072=+-y x

B ．012=-+y x

C ．250x y --=

D ．052=-+y x

3. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）

x y O x y O x y O x

y

O

A B C D 4．若直线x +a y+2=0和2x +3y+1=0互相垂直，则a =（ ）

A ．32-

B ．3

2 C ．2

3

-

D ．

2

3 5．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ） A ．

2

3

B ．

32 C ．32- D ． 23

-

6、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K 1、K 2、K 3则（ ）

A 、K 1﹤K 2﹤K 3

B 、K 2﹤K 1﹤K 3

C 、K 3﹤K 2﹤K 1

D 、K 1﹤K 3﹤K 2

7、直线2x+3y-5=0关于直线y=x 对称的直线方程为（ ）

A 、3x+2y-5=0

B 、2x-3y-5=0

C 、3x+2y+5=0

D 、3x-2y-5=0

8、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）

A.3x-2y-6=0

B.2x+3y+7=0

C. 3x-2y-12=0

D. 2x+3y+8=0 9、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（ ） A.a=2,b=5; B.a=2,b=5-; C.a=2-,b=5; D.a=2-,b=5-.

10．平行直线x －y ＋1 = 0，x －y －1 = 0间的距离是 （ ）

A ．

2

2

B ．2

C ．2

D ．22 11、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（ ）

A 4x+3y-13=0

B 4x-3y-19=0

C 3x-4y-16=0

D 3x+4y-8=0

二填空题（共20分，每题5分）

12. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 __；

13两直线2x+3y －k=0和x －ky+12=0的交点在y 轴上，则k 的值是

14、两平行直线0962043=-+=-+y x y x 与的距离是 。

15空间两点M1（-1,0,3）,M2(0,4,-1)间的距离是

三计算题（共71分） 16、（15分）已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点。（1）求AB 边所在的直线方程；（2）求中线AM 的长（3）求AB 边的高所在直线方程。 17、（12分）求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程。

L 1 L 2

x o

L 3

18.（12分） 直线062=++y m x 与直线023)2(=++-m my x m 没有公共点，求实数m 的值。

19．（16分）求经过两条直线04:1=-+y x l 和02:2=+-y x l 的交点，且分别与直线012=--y x

（1）平行，（2）垂直的直线方程。 20、（16分）过点（２，３）的直线Ｌ被两平行直线Ｌ１：２ｘ－５ｙ＋９＝０与Ｌ２：２ｘ－５ｙ－７＝０所截线段ＡＢ的中点恰在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，求直线Ｌ的方程

圆与方程练习题

一、选择题

１. 圆22

(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( )

A.

22

(2)5x y -+= B. 22(2)5x y +-= C.

22

(2)(2)5x y +++= D.

22

(2)5x y ++= 2. 若)1,2(-P 为圆

25)1(2

2=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x

3. 圆

012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A. 2 B. 21+ C.

22

1+

D. 221+

4. 将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆

22

240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（ ）

A. 37-或

B. 2-或8

C. 0或10

D. 1或11

5. 在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为

1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ） A. 1条 B.

2条 C. 3条 D. 4条

6. 圆

0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A. 023=-+y x B. 043=-+y x C. 043=+-y x D. 023=+-y x 二、填空题

1. 若经过点(1,0P -的直线与圆

03242

2=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 . .

2. 由动点P 向圆22

1x y +=引两条切线,P A P B ，切点分别为0,,60A B A P B ∠=，则动点P 的轨迹方

为 .

3. 圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,A B -

-,则圆C 的方程

为 .

４. 已知圆

()432

2=+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ?的值为________________. 5. 已知P 是直线0843=++y x 上的动点，,P A P B 是圆

01222

2=+--+y x y x 的切线，,A B 是切点，C 是圆心，那么四边形P A C B 面积的最小值是________________. 三、解答题 1. 点()

,P a b 在直线01=++y x 上，求

2222

2+--+b a b a 的最小值.

2. 求以(1,2),(5,6A B --为直径两端点的圆的方程.

3. 求过点()

1,2A 和

()1,10

B 且与直线012=--y x 相切的圆的方程.

4. 已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线

x y =截得的弦长为72，求圆C 的方程.

5. 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．

1-5 BACAC 6-10 DADBB 11 A 12.y=2x 或x+y-3=0 13.±6 14、20

10

15.33 16、解：（1）由两点式写方程得 1

21

515+-+=---x y ，即 6x-y+11=0

或 直线AB 的斜率为 61

6

)1(251=--=-----=

k ，直线AB 的方程为 )1(65+=-x y ， 即 6x-y+11=0

（2）设M 的坐标为（00,y x ），则由中点坐标公式得

12

31,124200=+-==+-=

y x 故M （1，1），52)51()11(2

2=-++=AM (3)因为直线AB 的斜率为k AB =

51

632

+=--+2，设AB 边的高所在直线的斜率为k ，则有1

(6)16

AB k k k k ?=?-=-∴=

所以AB 边高所在直线方程为1

3(4)61406

y x x y -=

--+=即。 17．解：设直线方程为

1x y a b +=则有题意知有1

342

ab ab =∴= 又有①314(a b b b -===-则有或舍去）此时4a =直线方程为x+4y-4=0 ②341440b a b a x y -===+-=则有或-1（舍去）此时直线方程为 18．方法（1）解：由题意知

260

(2)320

x m y m x my m m ?++=?

-++=??∴23232即有（2m -m +3m)y=4m-12因为两直线没有交点，所以方程没有实根，所以2m -m +3m ＝0（2m-m +3)=0m=0或m=-1或m=3

当m=3时两直线重合，不合题意，所以m=0或m=-1

方法（2）由已知，题设中两直线平行，当

22223223031

16132316

m m m m m m m m m m

m m m m m --≠≠==-≠≠±=-时，＝由＝得或由得所以

当m=0时两直线方程分别为x+6=0,-2x=0,即x=-6,x=0,两直线也没有公共点， 综合以上知，当m=-1或m=0时两直线没有公共点。 19解：由??

?=+-=-+0

20

4y x y x ，得???==31y x ；∴1l 与2l 的交点为（1，3）。

（1） 设与直线012=--y x 平行的直线为02=+-c y x ，则032=+-c ，∴c ＝1。 ∴所求直线方程为012=+-y x 。

方法2：∵所求直线的斜率2=k ，且经过点（1，3），∴求直线的方程为)1(23-=-x y ，即012=+-y x 。 （2） 设与直线012=--y x 垂直的直线为02=++c y x ，则0321=+?+c ，∴c ＝－7。 ∴所求直线方程为072=-+y x 。 方法2：∵所求直线的斜率21-

=k ，且经过点（1，3），∴求直线的方程为)1(2

13--=-x y ，即072=-+y x 。 20、解：设线段ＡＢ的中点P 的坐标（a ，b ），由P 到L 1，、L 2的距离相等，得

??=++-2

252952b a ??2

252752+--b a

经整理得，0152=+-b a ，又点P 在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，所以014=--b a

解方程组???=--=+-0140152b a b a 得?

??-=-=13

b a 即点P 的坐标（-3，-1），又直线L 过点（２，３）

所以直线Ｌ的方程为

)

3(2)

3()1(3)1(----=----x y ，即0754=+-y x

圆与方程练习题答案

一、选择题

1. A (,)x y 关于原点(0,0)P 得(,)x y --，则得22

(2)()5x y -++-=。

2. A 设圆心为(1,0)C ，则,1,1,12CP AB AB CP k k y x ⊥=-=+=-。

3. B 圆心为

max (1,1),1,21C r d ==+

4. A 直线20x y λ-+=沿x 轴向左平移1个单位得220x y λ-++=

圆22

240x y x y ++-=的圆心为

2(1,2),5,5,3,7

5

C r d λλλ-+-==

==-=或。

5. B 两圆相交，外公切线有两条

6. D

22

24x y -+=（）的在点)3,1(P 处的切线方程为(12)(2)34x y --+= 二、填空题

1. 1 点(1,0)P -在圆03242

2=+-++y x y x 上，即切线为10x y -+= 2. 22

4x y += 2

OP =

3.

22

(2)(3)5x y -++= 圆心既在线段AB 的垂直平分线即3y =-，又在 270x y --=上，即圆心为(2,3)-，

5r = 4. 5 设切线为OT ，则

2

5

O P O Q O T ?==

5. 22 当CP 垂直于已知直线时，四边形P A C B 的面积最小 三、解答题 1. 解：

22

(1)(1)a b -+-的最小值为点(1,1)到直线

01=++y x 的距离 而

33222d =

=，22min 32(222)2a b a b +--+=

.

2. 解：(1)(5)(2)(6)

x x

y y +-+-+

= 得

22

44170x y x y +-+-= 3. 解：圆心显然在线段AB 的垂直平分线6y =上，设圆心为(,6)a ，半径为

r ，则 222()(6)x a y r -+-=，得222(1)(106)a r -+-=，而

135a r -=

22

(13)(1)16,3,25,

5a a a r --+===

22(3)(6)20x y ∴-+-=.

4. 解：设圆心为(3,),t t 半径为3r t =，令

322

t t d t

-=

=

而2

2

2

2

2

(7),927,1r d t t t =--==±

22(3)(1)9x y ∴-+-=，或22(3)(1)9x y +++=

5. 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与

圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．

解法一：（待定系数法）

设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-．

∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为222)(r y a x =+-．

又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴?????=+-=+-2

22

24)3(16)1(r

a r

a 解之得：1-=a ，202

=r ．所以所求圆的方程为20)1(2

2=++y x ．

解法二：（直接求出圆心坐标和半径）

因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13

12

4-=--=

AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．

又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．

故所求圆的方程为20)1(2

2

=++y x ．

又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．

∴点P 在圆外．

（1）椭圆

① 椭圆的定义

设F1，F2是定点（称焦点），P 为动点，则满足|PF1|+|PF2|=2a (其中a 为定值，且2a ＞|F1F2|)的动点P 的轨迹称为椭圆,符号表示：|PF1|+|PF2|=2a （2a ＞| F1F2|)。

例1：椭圆22192

x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF = ；12F PF ∠的大小为 。

变式1：已知12F 、F 是椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的两个焦点，p 为椭圆C 上的一点，且→→⊥21PF PF 。

若12PF F ?的面积为9，则b = 。

例2：若点P 到点F (4,0)的距离比它到定直线x +5=0的距离小1，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．y 2=16-x B ．y 2=32-x C ．y 2=16x D ．y 2=32x

变式2：动圆与定圆A ：(x +2)2+y 2=1外切，且与直线 ∶x =1相切，则动圆圆心P 的轨迹是（ ）

A ．直线

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

变式3：抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ ） A ．y x 82=

B ．y x 42=

C ．y x 42-=

D ． y x 82-=

变式4：在抛物线y 2=2x 上有一点P ，若 P 到焦点F 与到点A （3，2）的距离之和最小，则点P 的坐标是 。

课后作业

1．已知椭圆162x +9

2

y =1, F 1、F 2分别为它的左右焦点，CD 为过F 1的弦，则△F 2CD 的周长是（ ）

A ．10

B ．12

C ．16

D ．不能确定

2．设P 为双曲线2

2

112

y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ） A ．63

B ．12

C ．123

D ．24

3．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线2

4y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）

A ．2

B ．3

C ．

11

5

D ．

37

16

答案： 例题

例1、2，120°解：∵2

2

9,3a b ==，∴22927c a b =-=-=，∴1227F F =，

又1124,26PF PF PF a =+==，∴22PF =，

又由余弦定理，得()

2

22

122427

1

cos 224

2

F PF +-∠=

=-??，

∴12120F PF ?

∠=，故应填2，120°。

变式1、3解：依题意，有， a PF PF 221=+

1821=?PF PF 可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，

22

2

214c PF PF =+

故有b ＝3。

例2、C 变式2、D 变式3、D 变式4、（2,2）

课后作业 1．C

2．B

3．解：直线2:1l x =-为抛物线24y x =的准线，由抛物线的定义知，P 到2l 的距离等于P 到抛物线的焦点

()0,1F 的距离，

故本题化为在抛物线24y x =上找一个点P 使得P 到点和()0,1F 直线2l 的距离之和最小，最小值为()0,1F 到直线1:4360l x y -+=的距离，即25

604min =+-=

d ，故选择A 。

（2）双曲线

① 双曲线的定义

平面内与两个定点F1、F2（称为焦点）的距离的差的绝对值等于常数2a

(0＜2a ＜|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,符号表示：||PF1|－|PF2||=2a (0＜2a ＜|F1F2|)。

例题

例3：如果方程222x ky +=表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）

A ．(0,)+∞

B ．(0,2)

C ．(1,)+∞

D ．(0,1)

变式5：双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，那么k 的值是（ ）

A ．1

B ．－1

C ．

653 D ．－653

变式6：曲线142

2=+k

y x 的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是（ ） A ．(－∞, 0) B ．(－3, 0) C ．(－12, 0) D ．(－60, －12)

例4：设1F 和2F 为双曲线22

221x y a b

-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个

顶点,则双曲线的离心率为（ ） A ．

32 B ．2 C ．5

2

D ．3 变式7：过椭圆22

221x y a b

+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若

1260F PF ∠= ，则椭圆的离心率为（ ）

A ．

2

2 B ．33

C ．

2

1

D ．

3

1

变式8：设12F F ，分别是双曲线22221x y a b

-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=

且

123AF AF =，则双曲线的离心率为（ ）

A ．

52

B ．

102

C ．

152

D ．5

变式9：双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲

线离心率的取值范围为（ ）

A ．(1,3)

B ．(]1,3

C ．(3,+∞)

D ．[)3,+∞

例5：设双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A ．x y 2±=

B ．x y 2±=

C ．x y 2

2

±

= D ．x y 21±=

变式10：已知双曲线

)0(122

2

2>=-b b y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·

2PF ＝（ ）

A ．－12

B ．－2

C ．0

D ． 4

变式11：双曲线24x -212

y =1的焦点到渐近线的距离为（ ）

A ．23

B ．2

C ．3

D ．1

答案：

例题

例3、C 变式5、B 变式6、C

例4、B 解：由3

tan

6

23

c b π

=

=

有2222344()c b c a ==-,则2c e a ==,故选B 。 变式7、B ，解：因为???

? ??±-a

b c P 2

,，再由?=∠6021PF F 有a a b 232=，从而可得33

==a c e ，故选B 。 变式8、B 变式9、B

例5、C 解：由已知得到2,3,122=-===b c a c b ，因为双曲线的焦点在x 轴上，故渐近线方程

为x x a b y 2

2±=±

= 变式10、C 解：由渐近线方程为x y =知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是222=-y x ，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且)1,3(P 或)1,3(-P .不妨去)1,3(P ，则)1

,32(1---=PF ， )1,32(2--=PF .

∴1PF ·

2PF ＝01)32)(32()1,32)(1,32(=+-+-=----- 变式11、解：双曲线24x -2

12

y =1的焦点(4,0)到渐近线3y x =的距离为340232

d ?-=

=,选A

（3）抛物线

抛物线焦点弦的性质

设AB 是过抛物线)0(22>=p px y 焦点F 的弦，若11(,)A x y ，22(,)B x y 则

1.2124

p x x =，2

12y y p =-；

2.弦长丨AB 丨=12x x p ++=22p

sin α

(α为弦AB 的倾斜角)；

3.

112FA FB p

+=； 4.以弦AB 为直径的圆与准线相切；

5.A ，O 与B 在准线上的射影B ’三点共线，B ，O 与A 在准线上的射影A ’三点共线。

例题

例6：斜率为1的直线经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，则线段AB 的长是 。

变式12：抛物线y 2=2x 上的两点A 、B 到焦点F 的距离之和是5，则线段AB 的中点M 的横坐标是 变式13：设过抛物线的焦点F 的弦为PQ ，则以PQ 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．以上答案均有可能 变式14：过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45 的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =________________

课后作业

1．若双曲线()22

2213

x y a o a -=>的离心率为2，则a 等于（ ）

A ．2

B ．3

C ．3

2

D ．1

2．双曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30 的直线交双

曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）

A ．6

B ．3

C ．2

D ．

3

3

3．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 。

4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ） A ．22

1412

x y -

= B ．22

1124

x y -

= C ．221106x y -

= D ．22

1610

x y -= 5．抛物线28y x =-的焦点坐标是（ ）

A ．（2，0）

B ．（2-，0）

C ．（4，0）

D ．（4-，0）

6．设12F F ，分别是双曲线22

19

y x +=的左、右焦点。若点P 在双曲线上，且021=?→→PF PF ，则12PF PF += （ ）

A ．10

B ．210

C ．5

D ．25

7．已知椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB

交y 轴于点P 。若2AP PB =

，则椭圆的离心率是（ ）

A ．

32 B ．2

2

C ．13

D ．12

8．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，33

3()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ）

A ．123FP FP FP +=

B ．222

123FP FP FP += C ．2132FP FP FP =+

D ．2

213

FP FP FP =?

当堂测试 1．（本小题满分12分）

设椭圆)0(12

:2

22>=+

a y a x C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 是椭圆C 上的一点，且0212=?F F AF ，坐标原点O 到直线1AF 的距离为||3

1

1OF ． （1）求椭圆C 的方程；

（2）设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 的直线l 交x 轴于点)0,1(-P ，较y 轴于点M ，若QP MQ 2=，求直线l 的方程．

2:：甲、乙两人同时独立向一目标射击，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.9，求（1）两人都

中靶的概率？（2）甲中乙不中的概率？（3）甲不中乙中的概率？

3：有两箱同类的零件，第一箱装50只，其中有10只一等品；第二箱装30只，其中有18只一等品，

今从中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次取一只，作不放回抽样，试求：（1）第一次取到的零件是一等品的概率？

（2）在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率？

答案：

例题

例6、8

变式12、2 变式13、B

变式14、2，解：由题意可知过焦点的直线方程为2

p y x =-

， 联立有222

23042

y px

p x px p y x ?=??-+

=?=-

??， 又2

2

2

(11)(3)4824

p AB p p =+-?=?=。

课后作业

1．解：由22223

123x y a a a

+-===c 可知虚轴b=3，而离心率e=a ，解得a =1或a =3，参照选项知而

应选D 。

2．B 3．3

4．A

5．解：由28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2

p

-=-，故选B 。 6．B

7．D ，对于椭圆，因为2AP PB = ，则1

2,2,2

OA OF a c e =∴=∴=

8．C

1.（本小题满分12分）设椭圆C: ()222210x y a b a b

+=>>过点（0，4），离心率为3

5，

（Ⅰ）求C 的方程；

（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为

4

5

的直线被C 所截线段的中点坐标. 解：（Ⅰ）将（0，4）代入C 的方程得2161b = ∴b=4又35c e a == 得222

9

25

a b a -=即2169125a -=， ∴5a = ∴C 的方程为

22

12516

x y += （ Ⅱ）过点()3,0且斜率为

45的直线方程为()4

35

y x =-， 设直线与Ｃ的交点为Ａ()11,x y ，Ｂ()22,x y ，将直线方程()4

35

y x =

-代入Ｃ的方程， 得

()2

2312525

x x -+=，即238

0x x --=，

∴

AB

的中点坐标

123

22

x x x +=

=，

()1212266255y y y x x +=

=+-=-，即中点为36,25??

- ???

。 2．P 为椭圆19

252

2=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若?=∠6021PF F （1）求△21PF F 的面积； （2）求P 点的坐标．（14分）

9[解析]：∵a ＝5，b ＝3∴c ＝4 （1）设11||t PF =，22||t PF =，则1021=+t t ①

2212221860cos 2=??-+t t t t ②，由①2－②得1221=t t

332

3

122160sin 212121=??=??=

∴?t t S PF F （2）设P ),(y x ，由||4||22

12

1

y y c S PF F ?=??=?得 433||=y 4

33||=∴y 4

33±=?y ，将4

33±=y 代入椭圆方程

解得4

135±=x ，)4

33,4

135(P ∴或)4

33,4

135(-P 或)4

33,4135(-P 或)

4

33,4135

(--P 3．（本小题满分12分）

设椭圆)0(12

:2

22>=+

a y a x C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 是椭圆C 上的一点，且0212=?F F AF ，坐标原点O 到直线1AF 的距离为||3

1

1OF ． （1）求椭圆C 的方程；

（2）设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 的直线l 交x 轴于点)0,1(-P ，较y 轴于点M ，若QP MQ 2=，求直线l 的方程．

【解】（1）由题设知)0,2(,)0,2(2

221---a F a F

由于0212=?F F AF ，则有212F F AF ⊥，所以点A 的坐标为)2,2(2

a

a ±

-，

故1AF 所在直线方程为)1

2(

2a

a a x

y +-±=， ………………………………3分

所以坐标原点O 到直线1AF 的距离为)2(12

22>--a a a ，

又2||2

1-=a OF ，所以23

1

1222

2-=--a a a ，解得)2(2>=a a ，

所求椭圆的方程为12

42

2=+y x ．……………………………………………5分 （2）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(+=x k y ，则有),0(k M ， 设),(11y x Q ，由于QP MQ 2=，

∴),1(2),(1111y x k y x ---=-，解得3

,3211k

y x =-

= …………………8分 又Q 在椭圆C 上，得

12

)3(4)32(2

2=+-k

， 解得4±=k ， …………………………………………………………………………10分

故直线l 的方程为)1(+=x y 4或)1(4+-=x y ，

即04=+-y x 4或04=++y x 4． ……………………………………………12分