特征方程法求数列的通项公式(1)

特征方程法求数列的通项公式

求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径. 1.已知数列{}n a 满足1n n n a a b a c a d

+?+=

?+......① 其中*0,,c ad bc n N ≠≠∈.

定义1:方程ax b x cx d

+=

+为①的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为,αβ.

定理1:若1,a αβ≠且αβ≠,则

11n n n n a a a c a a c a αααβ

β

β

++---=?---.

证明: 2

()0,ax b a d b x cx d a x b cx d

c

c

αβαβ+-=?+--=?+=

=-+

(),d a c b c

αβαβ∴=-+=- 11()()()()()()()()

n n n n n

n n n n n n n a a b

a c a d a a

b

c a

d a c a b d a a b

a a a

b

c a

d a c a b d c a d

α

ααααβ

ββββ

+++--++-+-+-∴

=

==

+-+-+-+--+ ()[()

]()()

()[()]()()

n n n n a c a c a c c a c a a c a c a c a c c a c a a c ααβαβααααβαβαβββββ-+-------=

=

-+------- n n a a c a c a ααβ

β

--=

?-- 证毕

定理2: 若1a αβ=≠且0a d +≠,则

1121n n c a a d

a α

α

+=

+

-+-.

证明: 2

2,d a c b c αα=-=- 111()()

()n n n n n n n n ca d

ca d aa b a aa b ca d a c a b d

ca d

α

αααα

+++∴

===+-+-+-+--+

2

2

222()(2)

()()

()

2

n n n n n n ca a c

ca a c ca a c a d a c a c a c a c a a αααααααααα+-+-+-=

=

=

+--+----

2242(2)2()()()()()()

()()

n n n n n n ca a c ca a c d c a a d a d a a d a a d a αααααα+-+-+-++=

=

=

+-+-+-

21n c a d

a α

=++- 证毕

例（09·江西·理·22）各项均为正数的数列{}n a ,12,a a a b ==,且对满足m n p q +=+的正数,,,m n p q 都有

(1)(1)

(1)(1)

p q

m n

m n p q a a a a a a a a ++=

++++.

(1)当14,2

5

a b =

=

时,求通项n a ;(2)略. 解:由

(1)(1)

(1)(1)

p q

m n

m n p q a a a a a a a a ++=

++++得

121

121(1)(1)

(1)(1)

n

n n n a a a a a a a a --++=

++++

将14,25

a b =

=

代入上式化简得11212

n n n a a a --+=

+

考虑特征方程212

x x x +=+得特征根1x =±

所以

11111121

1

121

1211

31

1

2

n n n n n n n n a a a a a a a a ------+--+-=

=?

+++++ 所以数列11n n a a ??-??

+??

是以1111

13a a -=-+为首项,公比为13的等比数列 故

1

11

1

1

()

()1

33

3n n

n n a a --=-

?=-+ 即31

31

n

n n

a -=+ 例 已知数列{}n a 满足*

11

12,2,n n a a n N a -==-

∈,求通项n a .

解: 考虑特征方程12x x

=-

得特征根1x = 1111

1

111

11111

1

1

(2)1

1n n n n n n a a a a a a -----====+----

--

所以数列11n a ????-??

是以

11

11a =-为首项,公差为1的等差数列 故

11

n n a =- 即1n n a n

+=

例 已知数列{}n a 满足11122,(2)21

n n n a a a n a --+==

≥+，求数列{}n a 的通项n a

解：其特征方程为221

x x x +=

+，化简得2

220x -=，解得121,1x x ==-，令

11111

1

n n n n a a c a a ++--=?

++

由12,a =得245

a =

，可得13

c =-

，

∴数列11n n a a ??-??

+??

是以1111

13a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1

111133n n n a a --??∴=?- ?+??，3(1)3(1)

n n n n

n

a --∴=

+-

例已知数列{}n a 满足*

11212,()46

n n n a a a n N a +-==

∈+，求数列{}n a 的通项n a

解：其特征方程为2146x x x -=

+，即24410x x ++=，解得1212

x x ==-

，令

111112

2

n n c a a +=

++

+

由12,a =得2314

a =

，求得1c =，

∴数列112n a ?

????

???+??是以

112152a =+为首项，以1为公差的等差数列，123

(1)11552

n n n a ∴=+-?=-+

， 135106

n n

a n -∴=

-

2.已知数列{}n a 满足2112n n n a c a c a ++=+② 其中12,c c 为常数,且*

20,c n N ≠∈.

定义2:方程2

12x c x c =+为②的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为12,λλ.

定理3:若12λλ≠,则1122n n

n a b b λλ=+,其中12,b b 常数,且满足11122

22

21122

a b b a b b λλλλ=+??=+?. 定理4: 若12λλλ==,则12()n

n a b b n λ=+,其中12,b b 常数,且满足1122

212

()(2)a b b a b b λλ=+??=+?. 设)(11-+-=-n n n n ta a s ta a ，则11)(-+-+=n n n sta a t s a ,

令?

??-==+q st p

t s （*）

（1） 若方程组（*）有两组不同的解),(),,(2211t s t s , 则)(11111-+-=-n n n n a t a s a t a , )(12221-+-=-n n n n a t a s a t a ,

由等比数列性质可得1

1

11211)(-+-=-n n n s a t a a t a , 1

212221)(1-+-=-n n n s a t a a t a ,

,21t t ≠ 由上两式消去1+n a 可得

()()

()

n

n

n s t t s a t a s t t s a t a a 21221221

121112..---

--=

.

（2） 若方程组（*）有两组相等的解???==2

12

1t t s s ，易证此时11t s =，则

()()1121

1

2112

111111)(a t a s a t a s a t a s a t a n n n n n n n -==-=-=-----+ ，

2

1

1

121

1

1

1s a t a s a s a n

n n n -=

-

∴

++,即??

?

??

?n n s a 1是等差数列， 由等差数列性质可知()2

1

1

121

11

.

1s a t a n s a s a n

n --+=，

所以n

n s n s a t a s a t a s a a 1

21112211

1211.???

?????-+???? ??

--=．

例已知数列{}n a 满足*

12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a

解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n

n a c c =?+?，

由1122122243a c c a c c =+=??=+=?，得121

12

c c =???=

??， 112n n a -∴=+ 例已知数列{}n a 满足*

12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a

解：其特征方程为2

441x x =-，解得121

2x x ==，令()1212n

n a c nc ??=+ ???

，

由1122121()121(2)2

4

a c c a c c ?

=+?=????=+?=??，得1246c c =-??=?， 1

322n n n a --∴= 例:已知数列{}n a 满足12212,8,44n n n a a a a a ++===-,求通项n a .

解: 考虑特征方程2

44x x =-得特征根2λ=

则12()2n

n a b b n =+

其中1211222()2024(2)81

n

n b b b a n b b b +==????=?

?+==??

常见递推数列通项的求解方法

高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。

类型一：1()n n a a f n +=+（()f n 可以求和）

????→

解决方法

累加法

（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+. （2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 方法如下： 由 )(1n f a a n n =-+得：

2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，

)2(21-=---n f a a n n ，

)2(23f a a =-

)1(12f a a =-

所以各式相加得 )1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=-

即：∑

-=+

=1

1

1)(n k n k f a a .

为了书写方便，也可用横式来写：

2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，

∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---

=1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- .

例、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。

解析：121(2)n n a a n n --=-≥ ∴2132431135

21

n

n a a a a a a a a n --=??-=??-=???-=-??

上述1n -个等式相加可得：

2

11n a a n -=- 2

n a n ∴=

评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。

例 . （2003天津文） 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,

证明2

13-=

n

n a

证明：由已知得：故,31

1--=-n n n a a

112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---

=.2

13133

3

2

1

-=

++++--n

n n ∴2

13-=

n

n a .

例.已知数列{}n a 的首项为1，且

*

12()n n a a n n N

+=+∈写出数列

{}n a 的通项公式.

答案：12

+-n n

例.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()

1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.

答案：n

a n 12-

=

评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项

n a .

①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;

③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。

类型一专项练习题：

1、已知11a =，1n n a a n -=+（2≥n ），求n a 。 (12

n n n a +=

）

2、已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。 (31)

2

n n n a +=

3、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。21n a n =+

4、已知}{n a 中，n n n a a a 2,311+==+，求n a 。 21n n a =+

5、已知112

a =

,1

12n n n a a +??=+ ???

*

()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 1

3122n n a -??=- ?

??

6、 已知数列{}n a 满足11,a =()1

13

2,n n n a a n --=+≥求通项公式n a ？（312

n

n a -=

）

7、若数列的递推公式为1*113,23()n n n a a a n N ++==-?∈，则求这个数列的通项公式1123n n a +=- 8、 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。31n n a n =+- 9、已知数列{}n a 满足2

11=

a ，n

n a a n n ++

=+2

11，求n a 。 312

n a n

=

-

10、数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．

（I ）求c 的值； c=2

（II ）求{}n a 的通项公式． 2

2n a n n =-+

类型二：1()n n a f n a +=? （()f n 可以求积）

????→

解决方法

累积法

（1）当f(n)为常数，即：

q a a n

n =+1（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，n a =1

1-?n q

a .

（2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法. 由

)(1n f a a n

n =+得 2≥n 时，

)1(1

-=-n f a a n n ，

∴11

22

11

a a a a a a a a n n n n n ??

??

=

--- =f(n)f(n-1)1)1(a f ?? .

例.设{}n a 是首项为1的正项数列，且()0112

21=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2， 3，…），则它的通项公式是n a =________.

解：已知等式可化为：[]0)1()(11=-++++n n n n na a n a a

0>n a (*

N n ∈)∴(n+1)01=-+n n na a , 即

1

1+=

+n n a a n

n

∴2≥n 时，

n

n a a n n 11-=

-

∴11

22

11

a a a a a a a a n n n n n ??

??=

--- =

121121??--?- n n n n =n

1

. 本题是关于n a 和1+n a 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到n a 与1+n a 的更为明显的关系式，从而求出n a .

例.已知1,111->-+=+a n na a n n ,求数列{a n }的通项公式. 解：因为,11-+=+n na a n n 所以,11n na a n n +=++ 故),1(11+=++n n a n a 又因为11->a ,即011>+a ， 所以由上式可知01>+n a ,所以

n a a n n =+++1

11,故由累乘法得

)1(1

1

111

1

11

111223211+?++?++?

?++?++=

+---a a a a a a a a a a n n n n n =)1()!1()1(12)2()1(11+?-=+????-?-a n a n n 所以=n a )1()!1(1+?-a n -1.

评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式,11-+=+n na a n n 转化为

),1(11+=++n n a n a 若令1+=n n a b ,则问题进一步转化为n n nb b =+1形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.

例在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项公式。 解析：123211

2321

n n n n n n n a a a a a

a a a a a a a -----=

?

??? 123211143n

n n n n n --=

?

???+- 21

n =+

又1a 也满足上式；21n a n ∴=+ *

()n N ∈

类型二专项练习题： 1、 已知11a =，111

n n n a a n --=

+(2n ≥)，求n a 。 2

2

n a n n =+

2、已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n

a 11

+=+，求n a 。 23n a n

= 3、已知}{n a 中，12

n n n a a n +=

+，且12a =，求数列}{n a 的通项公式.()

41n a n n =

?+

4、已知31=a ，n n a n n a 2

3131+-=

+ )1(≥n ，求n a 。 631

n a n =

-

5、已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. n a n =

6、已知数列{}n a 满足11,a =12n n n a a +=，求通项公式n a ？ （2

2

2

n n

n a -=）

7、已知数列}a {n 满足3a a 5)1n (2a 1n n 1n =?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。2

1

2

3!2

5

n n

n n a n --=???

8、已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1

!2

n a n ??

=???

12n n =≥

9、设{a n }是首项为1的正项数列, 且(n + 1)a 21+n - na 2

n +a n +1·a n = 0 (n = 1, 2, 3, …)，求它的通项公式.

1n a n

=

10、数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，n S ＝*)(2N n a n n ∈，求数列}{n a 的通项公式.

2

2n a n n

=

+

类型三：)(1n f a a n n =++

（1）若d a a n n =++1（d 为常数），则数列{n a }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;

（2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过构造转化为)(1n f a a n n =-+型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得)1()(11--=--+n f n f a a n n ，，分奇偶项来分求通项. 例. 数列{n a }满足01=a ,n a a n n 21=++,求数列{a n }的通项公式. 解法2： n

a a n n 21=++

∴2≥n 时，)1(21-=+-n a a n n ，

两式相减得：211=--+n n a a .

∴,,,,531 a a a 构成以1a ,为首项，以2为公差的等差数列; ,,,,642 a a a 构成以2a ,为首项，以2为公差的等差数列

∴22)1(112-=-+=-k d k a a k k d k a a k 2)1(22=-+=.

∴?

??-=.,,

,1为偶数为奇数n n n n a n

评注：结果要还原成n 的表达式.

例.（2005江西卷）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足 S n －S n －2=3,2

3,1),3()

21(211

-

==≥-

-S S n n 且求数列{a n }的通项公式.

解：方法一：因为),3()2

1

(31112≥-?=++=-----n a a a a S S n n n n n n n 所以

以下同例1，略

答案 ???

????

?+-?-=--.

,)21(34,,)2

1(3411为偶数为奇数n n a n n n

类型四)(1n f a a n n =?+型

（1）若p a a n n =?+1(p 为常数)，则数列{n a }为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;

（2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得)1(1-=?-n f a a n n ，两式相除后，分奇偶项来分求通项. 例1. 已知数列满足}{n a )(,)21

(,3*

11N n a a a n

n n ∈=?=+,求此数列的通项公式.

注：同上例类似，略.

类型五：1(n n

a Aa B +=+≠其中A,B 为常数A 0,1）????

→解决方法

待定常数法 可将其转化为1()n n a t A a t ++=+，其中1

B t A =-，则数列{}n a t +为公比等于A 的等比数列，然后求n a 即可。

（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;

（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下：设)(1λλ+=++n n a c a ,

得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得

d c =-λ)1(,所以)0(,1

≠-=

c c

d λ

所以有：)1

(1

1-+

=-+

-c d a c c d a n n

因此数列?

??

?

??

-+

1c d

a n 构成以11-+

c d a 为首项，以c 为公比的等比数列， 所以 1

1)1

(1

-?-+=-+

n n c c d a c d a

即：1

)1

(1

1--

?-+

=-c d

c

c d a a n n .

规律：将递推关系d ca a n n +=+1化为)1

(1

1-+

=-++c d a c c d a n n ,构造成公比为c 的等比数列}1

{-+

c d a n 从而求得

通项公式)1

(111

1-+

+-=

-+c d a c

c

d a n n

有时我们从递推关系d ca a n n +=+1中把n 换成n-1有d ca a n n +=-1,两式相减有)(11-+-=-n n n n a a c a a 从而化为公比为c 的等比数列}{1n n a a -+,进而求得通项公式. )(121a a c a a n n n -=-+,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.

例 在数列{}n a 中， 11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式。 解析：设()13n n a t a t -+=+，则132n n a a t -=+

1t ∴=，于是()1131n n a a -+=+

{}1n a ∴+是以112a +=为首项，以3为公比的等比数列。

1

23

1n n a -∴=?-

例．已知数列}{n a 中，,2

12

1,211+

==+n n a a a 求通项n a .

分析：两边直接加上1-c d ,构造新的等比数列。

解：由,2

1211+

=

+n n a a 得)1(2

111-=

-+n n a a ,

所以数列}1{-n a 构成以111=-a 为首项，以2

1为公比的等比数列

所以1

)

21

(1-=-n n a ,即 1)

2

1

(1

+=-n n a .

方法二：迭代法

由 递推式,1d ca a n n +=+

直接迭代得)1()(22

21++=++=+=---c d a c d d ca c d ca a n n n n

= =+++-)1(233c c d a c n =)1(2

211--+++++n n c

c c

d a c =1

)1

(1

--

-+

-c d c

c d a n .

类型五专项练习题：

1、 在数列{}n a 中， 11a =，123n n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式。(32)n n a =-

2、若数列的递推公式为*111,22()n n a a a n +==-∈ ，则求这个数列的通项公式122n n a -=-

3、已知数列{a n }中，a 1=1，a n =

2

1a 1-n + 1(2)n ≥求通项a n ． 122n n a -=-

4、在数列{}n a (不是常数数列)中,1122

n n a a +=

+且113

a =

,求数列{}n a 的通项公式. 11142

3

n

n a -=-

?

5、在数列{a n }中，,13,111-?==+n n a a a 求n a . 1

132

n n a -+=

6、已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式. 21n n a =-

7、设二次方程n a x 2- 1.＋n a x+1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3． (1)试用n a 表示a 1n +； 11123

n n a a +=+

（2）求证：数列23n a ?

?

-

????

是等比数列； （3）当176a =时，求数列{}n a 的通项公式 2

132n

n a ??

=+ ???

8、在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若132

a =，22a =，并且113210(2)n n n S S S n +--++=≥，试判断{}1()n a n *-∈N 是

不是等比数列？ 是

类型六：)(1n f pa a n n +=+

(1)若b kn n f +=)((其中k,b 是常数，且0≠k ) 方法：相减法

例1. 在数列}{n a 中，,23,111n a a a n n +==+求通项n a . 解： ，,231n a a n n +=+ ①

∴2≥n 时，)1(231-+=-n a a n n ，

两式相减得

2)(311+-=--+n n n n a a a a .令n n n a a b -=+1,则231+=-n n b b

利用知23

51

+?=-n n b 即 13

51

1-?=--+n n n a a ②

再由累加法可得2

13

2

51

--?=

-n a n n .

亦可联立 ① ②解出2

13

251

--?=-n a n n .

例2. 在数列{}n a 中，362,2

311-=-=

-n a a a n n ,求通项n a .

解：原递推式可化为y n x a y xn a n n ++-+=++-)1()(21 比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为12-=n n b b 所以{}n b 是一个等比数列，首项2

99611=

+-=n a b ,公比为

2

1.

1)21(29-=

∴n n b 即：n

n n a )2

1(996?=+- 故96)2

1

(9-+?=n a n

n .

(2)若n q n f =)((其中q 是常数，且n ≠0,1)

①若p=1时，即：n

n n q a a +=+1，累加即可.

②若1≠p 时，即：n

n n q a p a +?=+1，

求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以1+n p .

即： n

n

n n n q

p p

q

a p

a )(

11

1?+

=

++,令n

n n p

a b =

，则n

n n q

p p

b b )(

11?=

-+,

然后类型1，累加求通项. ii.两边同除以1

+n q

. 即：

q

q

a q

p q

a n

n n n 11

1+

?

=

++,

令n

n n q

a b =

,则可化为q

b q

p b n n 11+

?=

+.然后转化为类型5来解，

iii.待定系数法：

设)(11n

n n n p a p q

a ?+=?+++λλ.通过比较系数，求出λ，转化为等比数列求通项. 例1.（2003天津理）

设0a 为常数，且)(2311N n a a n n n ∈-=--． 证明对任意n ≥1，01

2)1(]2)

1(3[5

1a a n

n n n n

n ?-+?-+=

-；

证法1：两边同除以（-2）n ,得

n

n n n

n a a )2

3(3

1)

2()

2(1

1-

?+

-=

---

令n

n n a b )

2(-=

,则n

n n b b )2

3(3

11-

?=

--

∴112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=--- =

2)23()23()23(31121-+??

?

???-++-+--a n n =

)21(2

1)

2

3(1])

23(1[)2

3(3

101

2

a n --

-

----?

-

=0]1)

2

3[(5

1a n

+--

=

∴==-= n n

n b a )2(01

2)1(]2)

1(3[5

1a n

n n n n

?-+?-+-.

证法2：由)(2311N n a a n n n ∈-=--得

1

1

3

32

3

13

--?

-

=

n n n

n a a .

设n

n n a b 3

=，则b 3

13

21+

-

=-n n b . 即：)5

1(3

25

11-

-

=-

-n n b b ,

所以?

??

?

??

-

51n b 是以)51(32510

1a b -=-为首项，32-为公比的等比数列. 则10)32)(51(325

1---=

-n n a b =(n

n a )3

2()1)(5110---, 即：

5

1

)32()

1)(5

1(

3

1

0+--==-n n n n

n a b a , 故 01

2)1(]2)

1(3[5

1a a n

n

n

n n

n ?-+?-+=

-.

评注：本题的关键是两边同除以3n ，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为

求等比数列的通项问题. 证法3：用待定系数法

设)3(2311--?+-=?+n n n n a a λλ, 即:1

1352--?--=n n n a a λ,

比较系数得：15=-λ,所以 =λ5

1- 所以)3

5

1(235

11

1--?-

-=?-

n n n

n a a ,

所以数列?

?

??

??-53n

n

a 是公比为－2，首项为53

1-a 的等比数列.

).()

2)(5

321(5

3

1

0N n a a n n

n ∈--

-=-

∴- 即 01

2)1(]2)

1(3[5

1a a n

n n n n n ?-+?-+=

-.

例 设在数列{}n a 中， 11a =，()112122

n n a a n n -=+-≥求数列{}n a 的通项公式。

解析：设 n n b a An b =++

()1112

n n a A n B a A n B -∴++=

+-+????

展开后比较得2042

610

22

A

A A

B B ?+=?=-?????

=??+-=?? 这时()11462

n n n n b b a n -=

≥=-+n 2且b

{}n b ∴是以3为首项，以12

为公比的等比数列

1

132n n b -??

∴=? ?

??

即1

13462n n a n -???=-+ ?

??

，1

13462n n a n -??

∴=?+- ?

??

例 在数列{}n a 中， 12a =，()1

122

2n n n a a n +-=+≥求数列{}n a 的通项公式。

解析：()1

122

2n n n a a n +-=+≥

1

122

n n n a a +-∴-=，两边同除以2n 得

11

22

2

n n n

n a a ---

=2n n a ??

∴????

是以12a =1为首项，2为公差的等差数列。 ()112212

n n

a n n ∴

=+-?=- 即()2

21n n a n =-

例 在数列{}n a 中， 15a =，(

)*

12212,n

n n a a n n N

-=+-≥∈

求数列{}n

a 的通项公式。

解析：在1221n

n n a a -=+-中，先取掉2n ，得121n n a a -=-

令()12n n a a λλ-+=+，得1λ=-，即112(1)n n a a --=-； 然后再加上2n 得()()11212n

n n a a --=-+ ；

()()11212n

n n a a ----=

两边同除以2n ，得

11

111;2

2

n n n

n a a -----

=

∴12n n a -??

????

是以1122a -=为首项，1为公差的等差数列。

()12112

n n

a n n -∴

=+-=+， ()2

11n

n a n ∴=++

评注：若()f n 中含有常数，则先待定常数。然后加上n 的其它式子，再构造或待定。

例 已知数列}a {n 满足1a 425a 3a 1n n 1n =+?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 解析：在13524n n n a a +=+?+中取掉52n ?待定 令()13n n a t a t ++=+，则132n n a a t +=+

24t ∴=， 2t =；()1232,n n a a +∴+=+再加上52n ?得，

()123252n

n n a a +∴+=++?，整理得：

11

22352

2

2

2

n n n n

a a ++++-

=

，

令

22

n n n

a b +=，则1352

2n n b b +-=

令()13,2

n n b t b t ++=

+ 132

2

n n t b b +=+

；

5,

5;22t t ∴==

即()13552

n n b b ++=

+；∴数列{}5n b +是以11213552

2

a b ++=

+=

为首项，

32

为公比的等比数列。

1

133522n n b -??

∴+= ?

??

，即

1

213352

22n n n

a -+??+= ?

??

；整理得1133522n n

n a -=?-?-

类型5专项练习题：

1、设数列{}n a 的前n 项和()1

*

412

2

1,3

3

3

n n n S a n n N +=

-

+

≥∈，求数列{}n

a 的通项公式。 ()42

n n

n

a

=-

2、已知数列{}n a 中，11,2

a =

点()1,2n n n a a +-在直线y x =上，其中1,2,3.n =

（1） 令11,n n n b a a +=--求证：数列{}n b 是等比数列； （2） 求数列{}n a 的通项 ； 3

22n n a n ?

?

=

+- ??

?

3、已知12a =，1142n n n a a ++=+，求n a 。 42n n

n a =-

4、设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .1

431n n a n -=?--

5、已知数列}{n a 满足112,2(21)n n a a a n +==+-，求通项n a 1

5221n n a n -=?--

6、在数列{}a n 中，a a a n n n 1132

263=

-=--，，求通项公式a n 。92

n n

a =

7、已知数列{}n a 中，6

51=

a ,1

1)

2

1

(3

1+++=

n n n a a ，求n a 。223n

n a ??

=- ???

8、已知数列｛a n ｝，a 1=1, n ∈N +，a 1+n = 2a n ＋3 n ,求通项公式a n ．32n n n a =- 9、已知数列}a {n 满足3a 132a 3a 1n n 1n =+?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。51(2)362

n

n a n =-

?-

10、若数列的递推公式为1111,323()n n n a a a n ++==-?∈ ，则求这个数列的通项公式

73(

2)3

n

n a n =-

11、已知数列{}n a 满足1111,32n n n a a a ++==+,求n a . 11532n n n a -+=?-

12、 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ?+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。1(31)2n n a n -=-? 13、已知数列}a {n 满足6a 53a 2a 1n n 1n =?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。152n n n a -=+

14、 已知11a =，1

12n n n a a --=-+，求n a 。 213

n

n a +=

15、 已知{}n a 中，11a =，122(2)n

n n a a n -=+…，求n a . 122n n a n ??=-

???

16、已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+== ， ⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列；

⑵设数列),2,1(,2

==

n a c n

n n ，求证：数列{}n c 是等差数列；

⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。1223(1)2;n n n a n --=+-?31)22n

n s n =

-?+（ 类型七：()110n n n Aa Ba Ca +-++=??≠；其中A,B,C 为常数，且A B C 0

1、已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 31

321

2+=

++，求n a 。1

311143n n a -??

??=+--?? ?????

?? 2、 已知 a 1=1，a 2=53，2n a +=531n a +-2

3n a ,求数列｛n a ｝的通项公式n a .2333n

n a ??

=- ???

3、已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+== ， ⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列；

⑵设数列),2,1(,2

==

n a c n

n n ，求证：数列{}n c 是等差数列；

⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。1223(1)2;n n n a n --=+-?31)22n

n s n =-?+（

4、数列{}n a ：213520(1,)n n n a a a n n N ++-+=≥∈， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式1

2323()3n n a b a a b -??=-+- ?

??

类型八：1n n n c a a pa d

+?=

+（0c p d ??≠）

1、若数列的递推公式为11

113,

2()n n

a n a a +==

-∈ ，则求这个数列的通项公式。376n a n =

-

2、已知数列{n a }满足2,11≥=n a 时，n n n n a a a a 112--=-，求通项公式n a 。121n a n =-

3、已知数列｛a n ｝满足：1,1

3111=+?=

--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。132

n a n =

-

4、设数列}{n a 满足,21=a 1,3

n n n a a a +=+求.n a 1

223

1n n a -=

?-

5、已知数列{n a }满足a 1=1，6

331+=

+n n n a a a ，求n a 1

21

n n

a =

-

6、 在数列{}n a 中，1132,3

n n n a a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式. 621

n a n =

+

7、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =

2

2+n n

a a n ∈N +，求通项a n ．21

n a n =

+

类型九： ()

n n S f a =????→

解决方法

1

1(1)(2)n n

n s n a s s n -=?=?-≥?

例 已知数列{}n a 前n 项和2

2

14--

-=n n n a S .

()1求1+n a 与n a 的关系； （2）求通项公式n a .

解析：()1)11n =时，11142a s a ==--，得11a =； )22n ≥时，112

3

11442

2

n n n n n n n a s s a a ----=-=--

-++

；

得1112

2

n n n

a a +=

+

。

（2）在上式中两边同乘以12n +得11222n n n n a a ++-=；

{}

2n

n a ∴数列是以1

122a =为首项，2为公差的等差数列；

22222n

n a n n ∴=+-=；得1

2

n n n a -=

。

类型九专项练习题：

1、数列{a n }的前N 项和为S n ，a 1=1，a n +1=2S n *()n N ∈.求数列{a n }的通项a n 。13n n a -=

2、已知在正整数数列{}n a 中，前n 项和n S 满足2

1(2)8

n n S a =

+，求数列{}n a 的通项公式.

42n a n =-

3、已知数列{a n }的前n 项和为S n = 3n – 2, 求数列{a n }的通项公式. 1

1(1)23

(2)

n n n a n -=?=??≥?

4、设正整数{a n }的前n 项和S n =

2

)

1(4

1+n a ，求数列{a n }的通项公式. 13n n a -=

5、如果数列{a n }的前n 项的和S n =32

3-n a , 那么这个数列的通项公式是a n = 2·3

n

6、已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*

1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？

2

n

n a -=

类型十：周期型

例1、若数列{}n a 满足???

???

?

<≤-≤≤=+)

121(,12)2

10(,21

n n n n n a a a a a ，若761=a ，则20a 的值为___________。 解析：根据数列{}n a 的递推关系得它的前几项依次为：

6536536

7777777 ，，，，，，；我们看出这个数列是一个周期数列，三项为一个周期； 20257

a a ∴==

.

评注：有些题目，表面看起来无从下手，但你归纳出它的前几项后，就会发现规律，出现周期性，问题就迎刃而解。 类型八专项练习题：

1、已知数列}{n a 满足)(1

33

,0*

11N n a a a a n n n ∈+-

=

=+，则20a = （ B ）

A ．0

B ．3-

C ．3

D ．

2

3

2、在数列}{n a 中，.19981221,,5,1a a a a a a n n n 求-===++ -4

类型十一、利用数学归纳法求通项公式

例1 已知数列}a {n 满足9

8a )

3n 2()1n 2()1n (8a a 12

2

n 1n =

++++

=+，，求数列}a {n 的通项公式。2

2

(21)1(21)

n n a n +-=

+

解析：根据递推关系和189

a =

得，232448,,25

49

a a =

=

所以猜测2

2

(21)1(21)

n n a n +-=

+，下面用数学归纳法证明它；

)11n =时成立（已证明）

)2假设n k =(2)k ≥时，命题成立，即2

2

(21)1(21)

k k a k +-=

+，

则1n k =+时，122

8(1)(21)(23)

k k k a a k k ++=+

++=

()

()()

2

22

2

81(21)1(21)

2123k k k k k ++-+

+++

=

()()

432

22

166484448

2123k k k k k k ++++++()()()()

()()

2

2

22

2

2

21231231212323k k k k k k ??

??++-+-?

?

??

=

=

+++。

∴1n k =+时命题成立；

由)1)2可知命题对所有的*n N ∈均成立。

评注：归纳、猜想数学归纳法证明是我们必须掌握的一种方法。 类型九专项练习题：

1. 设数列{}n a 满足：12

1+-=+n n n na a a ，且21=a ，则n a 的一个通项公式为 1+=n a n ，

2、已知{}n a 是由非负整数组成的数列，满足01=a ，32=a ，)2)(2(211++=?--+n n n n a a a a （n=3，4，5…）。 （1）求3a ； 2

（2）证明22+=-n n a a （n=3，4，5…）；(数学归纳法证明) （3）求{}n a 的通项公式及前n 项的和。1

(1

(n n n a n n -?=?

+?为奇数）为偶数）；22

2(2

(2

n n n n s n n

n ?++??=?+???为奇数）

为偶数）

3、已知数列{}n a 中1a =35

，121

n n n a a a +=

+。

(1) 计算2a ，34,a a 。

3

33

111723

；； (2)

猜想通项公式n a ，并且数学归纳法证明。361

n a n =

-