(王和荣)高中数学一题多解和一题多变
高中数学一题多解和一题多变
例题： 已知tanα=43
,求sinα,cosα的值
分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题：
法一 根据同角三角函数关系式tanα= 43= αα
cos sin ，且sina2α + cos2α =1。
两式联立，得出：cos2α=2516,cosα= 54
或者cosα= -54 ；而sinα=53或者sinα=-53
。
分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些：
法二 tanα=43
：α在第一、三象限
在第一象限时：
cos2α = ααcos sin cos 2
2
2
5+=αtan 2
11+=25
16
cosα=54 sinα=αcos 2
1-=5
3 而在第三象限时：cosa=- 54
sina=- 53
分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙：
法三 tanα= 43= ααcos sin 4cos α= 3sin α
4cos α= 3sin α
= ±
3
4cos sin
2
2
2
2
++α
α
∴sinα=53，cosα= 54或sinα=-53，cosα=-54
分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之：
法四 当α为锐角时，由于tana=43
,在直角△ABC 中，设α=A,a=3x,b=4x，则勾股定
理，得，c=5x
sinA=AB BC = 53,cosA=AB
AC =54
∴sinα= 53，cosα=54 或sinα= -53，cosα= -54
分析 ：用初中三角函数定义解此题，更应该尝试用三角函数高中的定义解此题，因为适用范围更广：
法五 当α为锐角时，如下图所示，在单位圆中，设α=∠AOT ， 因为tanα= 43
，
则T 点坐标是T(1, 43
),由勾股定理得：OT=
??
? ??+432
1= 45
∵△OMP ∽△0AT ∴AT MP =OA OM =OT OP ，OM=54, MP =53
, p(54, 53),
∴sinα= 53
，cosα= 54 或sinα=-53，cosα= -54
分析： 圆和直线已经放入直角坐标系中，肯定可以尝试用解析几何法来解此题： 解法六，如上图，易求出直线OT 的方程和单位圆的方程
y=43
x ；x2+y2=1
两式联立，得出：???==545
3x y ， 或
???-=-=545
3x y .
T 点坐标是P(-54, -53
) P(54, 53 )
∴sinα= 53，cosα=54 或sinα= -53，cosα= -54
分析： 先考虑sinα、cosα两者之间的关系，容易想到用三角函数辅助角公式来帮助解决此问题：
解法七，tanα= 43= αα
cos sin
4sina-3cosa=0
由三角函数辅助角公式得，
5sin （a+φ）= 0,其中，sinφ=53 , cosφ=54
∴a+φ=kπ ，k ∈Z sina=sin （k π -φ）=sin φ α在第一、三象限
∴容易求出sin α=53 ，cos α= 54 或sin α=-53，cos α= -54
分析： 仅仅从角度变换考虑，看一看，用二倍角公式是否能解决此问题：
解法八，由二倍角公式，得，tanα=
2
2tan
2
12tan
α
α
-= 43
3tan22α +8tan 2α
-3=0 ∴tan 2α= -3,或tan 2α=31
sinα=2sin 2αcos 2α=
2
2cos sin 2
cos
2sin 22
2
α
αα
α+=2
212
tan
2tan
2
α
α
+
∴sinα= 53，cosα=54 或sinα= -53，cosα= -54
判别式
此外，我们还可以尝试从向量的角度思考这个问题，这里就不再赘述。下面展示本题的变式与推广：
类型二：一题多变 已知5
4
=
αsin 且α是第二象限角，求αtan 解：α是第二象限角，54=αsin 3
4
5312一一一一===αααtan ,sin cos ?
变1：54
=αsin ，求αtan
解：05
4
>=αsin ，所以α是第一或第二象限角
若是第一象限角，则34
53==ααtan ,cos
若是第二象限角，则3
4
54一一==ααtan ,cos
变2：已知)(sin 0>=m m α求αtan 解：由条件10≤ 当 10< 2 11m m αm α一一= =tan ,cos 若是第二象限角2 2 11m m αm α一一一一tan ,cos == 当1=m 时αtan 不存在 变3：已知)(sin 1≤=m m α，求αtan 解：当11一,=m 时，αtan 不存在 当0=m 时， 0=αtan 当α时第一、第四象限角时，2 1m m α一= tan 当α是第二、第三象限角时，2 1m m α一一=tan 练一小手： 变式1： 已知tanα=-3，求sin αcos α的值 变式2：已知tan α=m ，求sin α，cos α的值 变式3 ：已知sin α=m ，求cos α，tan α的值 由上例可以看出，一题多解和一题多变可以使学生更积极参与到课堂中来,从而激发学生对数学学习的兴趣和信心。一道数学题因思考的角度不同可得到多种不同的解法,这有助于拓宽解题思路,提高学生分析问题的能力；一道数学题通过联想、类比、推广，可以得到一系列新的题目,甚至得到更一般的结论,这有助于学生应变能力的提高和发散思维的形成,增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。一题多解和一题多变犹如一座金桥，,能把学生从已知的此岸渡到未知的彼岸。 例谈高中数学一题多解和一题多变的意义 杨水长 摘 要：高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化，融会贯通，而且可以开阔思路，培养学生的发散思维和创新思维能力，从而达到提高学生的学习兴趣，学好数学的效果。 关键词：一题多变 一题多解 创新思维 数学效果 很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很 多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以 使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥。 我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学 习兴趣和数学思维能力。根据高考数学“源于课本， 高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可 以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取 一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明： 例题： 已知tanα=4 3 ,求sinα,cosα的值 分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题： 法一 根据同角三角函数关系式tanα= 4 3= α αcos sin ， 且sina2α + cos2α =1。 两式联立，得出：cos2α=2516,cosα= 5 4 或者 cosα= -54 ；而sinα=53或者sinα=-53 。 分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些： 法二 tanα=4 3 ：α在第一、三象限 在第一象限时： cos2α = ααcos sin cos 2 2 2 5+=αtan 2 11+=2516 cosα=5 4 sinα=αcos 21-=5 3 而在第三象限时： cosa=- 5 4 sina=- 53 分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙： 法三 tanα= 43= αα cos sin ?4cos α= 3sin α ?4cos α= 3sin α= ± 3 4cos sin 2 2 2 2 ++α α ∴sinα=53，cosα= 54 或sinα=-53，cosα=-54 分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之： 法四 当α为锐角时，由于tana=4 3,在直角△ABC 中，设α=A,a=3x,b=4x ，则勾股定理，得，c=5x sinA=AB BC = 53 ,cosA=AB AC =5 4 2018高考题一题多解 1. （2018年天津高考真题理科和文科第13题） 已知R b a ∈,，且063=+-b a ，则b a 8 1 2+的最小值为 . 思路一：基本不等式ab b a 2≥+ 解析一：由于063=+-b a ，可得63-=-b a ， 由基本不等式可得，4 1222222222228123 6333= ?===?≥+=+ -----b a b a b a b a ， 当且仅当???=+-=-0 63223b a b a ，即???=-=13 b a 时等号成立。 故b a 812+ 的最小值为4 1 。 思路二：轮换对称法(地位等价法） 方法二：轮换对称性：因为b a 3,-的地位是样的，当取最值时，b a 3,-在相等的时候取到： 33-=-=b a ，得1,3=-=b a ，418128121 3 =+=+ -b a 所以最小值为4 1 思路三：换元+等价转化 方法三：令x a =2， y b =81 ，则x a 2log =，y b 2log 3=-， 则已知问题可以转化为：已知06log log 22=++y x ，则y x +的最小值为 . 已知06log log 22=++y x ，可得6 2-=xy ， 4 12223= ?=≥+-xy y x ， 当且仅当y x =，?????=+-=0 638 1 2b a b a ，即???=-=13 b a 时取得等号， 故b a 812+ 的最小值为4 1 。 2.【2018课标2卷理12】 已知1F ，2F 是椭圆22 221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点， 点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=?，则C 的离心率为（ ）． A ． 23 B ．12 C ．13 D ．1 4 例谈高中数学一题多解和一题多变的意义 摘 要：高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化，融会贯通，而且可以开阔思路，培养学生的发散思维和创新思维能力，从而达到提高学生的学习兴趣，学好数学的效果。 关键词：一题多变 一题多解 创新思维 数学效果 很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很 多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以 使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥。 我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学 习兴趣和数学思维能力。根据高考数学“源于课本， 高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可 以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取 一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明： 例题： 已知tanα=43 ,求sinα,cosα的值 分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题： 法一 根据同角三角函数关系式tanα= 43= α αcos sin ， 且sina2α + cos2α =1。 两式联立，得出：cos2α=2516,cosα= 5 4 或者 cosα= -54 ；而sinα=53或者sinα=-53 。 分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些： 法二 tanα=43 ：α在第一、三象限 在第一象限时： cos2α = αα cos sin cos 2 2 2 5+=αtan 2 11+= 2516 cosα=54 sinα=αcos 21-=5 3 而在第三象限时： cosa=- 5 4 sina=- 53 分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙： 法三 tanα= 43= αα cos sin ?4cos α= 3sin α ?4cos α= 3sin α= ± 3 4cos sin 2 2 2 2 ++α α ∴sinα=53，cosα= 54 或sinα=-53，cosα=-54 分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之： 法四 当α为锐角时，由于 tana=43 ,在直角△ ABC 中，设α=A,a=3x,b=4x ，则勾股定理，得，c=5x sinA=AB BC = 53 ,cosA=AB AC =54 ∴sinα= 53 ，cosα=54 高中数学一题多解和一题多变 根据高考数学“源于课本，高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明： 一题多解和一题多变（一） 类型一：一题多解 例题： 已知tan α=43 ,求sin α,cos α的值 分析：因为题中有sin α、cos α、tan α，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题： 法一 根据同角三角函数关系式tan α= 43= αα cos sin ，且sina2α + cos2α =1。 两式联立，得出：cos2α=2516,cos α= 54 或者cos α= -54 ；而s in α=53或者sin α=-53 。 分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些： 法二 tan α=43 ：α在第一、三象限 在第一象限时： cos2α = ααcos sin cos 2 2 2 5+=αtan 2 11+=25 16 cos α=54 sin α=αcos 2 1-=5 3 而在第三象限时： cosa=- 54 sina=- 53 分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙： 法三 tan α= 43= αα cos sin ?4cos α= 3sin α ?4cos α= 3sin α = ± 3 4cos sin 2 2 2 2 ++α α ∴sin α=53，cos α= 54 或sin α=-53，cos α=-54 分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sin α、cos α、tan α，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之： 法四 当α为锐角时，由于tana=43 ,在直角△ABC 中，设α=A,a=3x,b=4x ，则勾股定理，得， c=5x sinA=AB BC = 53 ,cosA=AB AC =54 ∴sin α= 53 ，cos α=54 或sin α= -53 ，cos α= -54 分析 ：用初中三角函数定义解此题，更应该尝试用三角函数高中的定义解此题，因为适用范围更广： 法五 当α为锐角时，如下图所示，在单位圆中，设α=∠AOT ， 因为tan α= 43 ，则T 点坐 标是T(1, 43 ),由勾股定理得：OT= ?? ? ??+432 1= 45 高中数学的7大解题方法 想要提高数学成绩，不是多做题就可以了。创世教育认为，保证做题量是学好数学的必要条件，在做题的同时要保证做题的质量，善于分析，对题型进行深入思考。我教过的学生很多，好学生和成绩不好的学生之间差别在于，好学生是很善于总结与归纳的。总结题型归纳方法是数学学习的更高境界，只有用数学的思想武装自己，灵活运用各种解题方法，才能更有效的学习数学。高中数学常用的无非就是七种解题方法与四大思想，熟练掌握，成绩想不提高都难。这里创世教育先讲一讲方法： 第一大解题方法：配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简．何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方．有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方．它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺项的二次曲线的平移变换等问题。 第二大解题方法：换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。问题变成了熟悉的求三角函数值域．为什么会此想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要.如变量x,y。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。 A B 组合问题的解决方案 一、对应思想解组合问题，即所研究的问题对应着某些元素的组合．解决此类问题要注意把握每一具体问题中“对应”的确切含义． 例1(1)圆上有10个点,两两连成弦,这些弦在圆内最多可形成_____个交点. (2)平面上有4条水平直线,5条竖直直线,能形成矩形______个. （3）马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以 把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？ （4）如图是由12个小正方形组成的43?矩形网格，一质点 沿网格线从点A 到点B 的不同路径之中 条 解析：(1)每一个交点对应着两条相交弦，而两条相交弦又对应着圆上4点，故交点数等于从圆上的10个点中取4点的方法数，为4 10C 个. (2) 每一个矩形对应着两条水平直线和两条竖直直线，所以形成的矩形数等于2524C C ?个.（3）把问题想象成在可以移动的10盏灯中关掉3盏灯后剩下7盏灯，在7盏灯产生的6个空位中选出3个位置安排移走的3盏灯（为熄灭的灯）所对应的方法数，为3 6C 种； （4）相邻两点算作一步，则从点A 到点B 的最短路径对应着7步，其中横向安排4步、纵向安排3步， 所以最短路径对应着7步中安排4步横向走的方法数,有4735C =． 附：1、（2004湖北文科）将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不． 一致的放入方法种数为（ ） A ．120 B ．240 C ．360 D ．720 解析：每一种符合要求的方法对应着10个位置选定7个对号安排和余下3个位置的完全不对号安排，10个位置选定7个的方法数为710C 种，3个位置的完全不对号安排有2种，故总数为7 102240C ?=种．故选（ B ）． 2、（2001全国，16）圆周上有2n 个等分点（n ＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 . 解析：每一种符合要求的方法对应着选定一条直径的两个端点和在余下的2n-2个点中选择1点，方法数为()()12221n C n n n ?-=-种． 二、至多至少组合问题:即分类后某元素个数满足至多多少个或至少多少个的要求的组合问题.可分类或用间接法,体会两者是可以相互转化的．此类问题一定要注意避免不完全分组会产生重复造成记数出错． 函数篇 【试题1】（2016全国新课标II 卷理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln (1)y x =+的切线，b = ． 【标准答案】1ln 2- 解法一：设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+和ln (1)y x =+切点分别是 11(,ln 2)x x +和22(,ln (1))x x +． 则切线分别为：111ln 1y x x x =?++，()2 2221ln 111x y x x x x = ++-++ ∴()12 2 12 21 11ln 1ln 11x x x x x x ?=?+?? ?+=+-?+? 解得112x = 21 2x =- ∴解得1ln 11ln 2b x =+=- 解法二：设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+和ln (1)y x =+切点分别是11(,)x y 和 22(,)x y ． ∵曲线ln 2y x =+通过向量()1,2平移得到曲线()ln 1y x =+ ∴2121(,)(1,2)x x y y --= ∴两曲线公切线的斜率2k =，即112x =，所以1 ln 11ln 22 b =+=- 【试题2】【2015新课标12题】设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是( ) A.32[,1)e - B 33,24e - （）C.33[,)24e D.3 [,1) 2e 解法一：由题意可知存在唯一的整数0x 使得000(21)x e x ax a -<-，设 ()(21),()x g x e x h x ax a =-=-由'()(21)x g x e x =+，可知()g x 在1(,)2 -∞-上单调递减， 在1 (,)2-+∞上单调递增，故 (0)(0) (1)(1)h g h g >-≤-?? ?得312a e ≤< 解法二：由题意()0f x <可得(21)(1)x e x a x -<- ①当1x =时，不成立； ②当1x >时，(21)1x e x a x ->-，令(21) ()1 x e x g x x -=-，则22 (23)'()(1)x e x x g x x -=-， 当3(1,)2x ∈时，()g x 单调递减，当3(,)2 x ∈+∞时，()g x 单调递增 所以32 min 3()()42 g x g e ==，即3 24a e >，与题目中的1a <矛盾，舍去。 ③当1x <时，(21)1x e x a x -<-，令(21) ()1 x e x g x x -=- 同理可得：当(,0)x ∈-∞时，()g x 单调递增，当(0,1)x ∈时，()g x 单调递减 所以max ()(0)1g x g ==，即1a <，满足题意。 又因为存在唯一的整数0x ，则3(1)2a g e ≥-= 此时3 [ ,1)2a e ∈ 综上所述，a 的取值范围是3[ ,1)2e 解法三：根据选项，可以采取特殊值代入验证，从而甄别出正确答案。 当0a =时，()(21)x f x e x =-，'()(21)x f x e x =+，可知()f x 在1(,)2 -∞-递减，在1(,)2 -+∞递增，又(0)10f =-<，1(1)30f e --=-<，不符合题意，故0a =不成立，排除答案A 、B. 当34 a =时，33()(21)4 4 x f x e x x =--+，3'()(21)4 x f x e x =+-，因为3'()(21)4 x f x e x =+-为增函数，且31'(0)104 4 f =-=>，13'(1)04 f e --=--<，所以存在(1,0)t ∈-，使得'()0f t =，则()f x 在(,)t -∞递减，在(,)t +∞递增，又3 (0)104 f =-+<，13(1)302 f e --=-+>， [资料]例谈高中数学一题多解和一题多变的意义例谈高中数学一题多解和一题多变的意义 杨水长 摘要:高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化～融会贯通～而且可以开阔思路～培养学生的发散思维和创新思维能力～从而达到提高学生的学习兴趣～学好数学的效果。关键词:一题多变一题多解创新思维数学效果 很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不4好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬5cosα= 着头皮学.如何才能学好数学,俗话说“熟能生巧”，很 多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以32使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得1,,cos5sinα== 数学越来越枯燥。而在第三象限时: 我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学4习兴趣和数学思维能力。根据高考数学“源于课本， 高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可5cosa=- 以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取3一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生 数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说5sina=- 明: 分析:利用比例的性质和同角三角函数关系式，3解此题更妙: ,3sin4例题: 已知tanα= ,求sinα,cosα的值 4cos,分析:因为题中有 sinα、cosα、tanα，考虑他们法三tanα= = 之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式sin,,cos和方程解此题: 43,3sin?= sin,,cos4cos,法一根据同角三角函数关系式tanα= = ，43且sina2α + cos2α =1。 ?= = ? 16422,,，sincos525两式联立，得出:cos2α=,cosα= 或者22，43334 34555cosα= - ;而sinα=或者sinα=- 。 55分析:上面解方程组较难且繁 琐，充分利用用同?sinα=，cosα= 角三角函数关系式“1”的代换，不解方程 组，直接34求解就简洁些: 55或sinα=-，cosα=-3 分析: 上面从代数法角度解此题，如果单独考4法 二tanα=:α在第一、三象限虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。初 中时，在第一象限时: 三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以 cos2α = 尝试几何法来解之: 2,13cos1622245，,1，,法四当α为锐角时，由于tana=,在直角?sincos25tan== ABC中，设α=A,a=3x,b=4x，则勾股定理，得， c=5x ACBC344x,,5ABAB5sinA= = ,cosA= = 5 ,334y,555,?sinα= ，cosα= ，或 两式联立，得出:344x,,55,或sinα= -，cosα= - 5 分析 :用初中三角函数定义 解此题，更应该尝,3试用三角函数高中的定义解此题，因为适用范围更y,,5,广: . 法五当α为锐角时，如下图所示，在单位圆中，443335555T点坐标是P(-, -) P(, ) 4设α=?AOT，因为tanα= ，则T点坐标是T(1, 342 553,,?sinα= ，cosα= 1，35,,344,,44 ),由勾股定理得:OT== 55 或sinα= -，cosα= - OMOPMP 分析: 先考虑sinα、cosα两者之间的关系，容ATOAOT??OMP??0AT?== ，易 想到用三角函数辅助角公式来帮助解决此问题: 4433,3sin 5555OM=, MP =, p(, ),4cos, 解法七tanα= = 4sina-3cosa=0 一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用 数学，是一门自然学科。对于所有的高中生来说，要学好这门学科，却不是一件容易的事。大多数高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、没有兴趣。但由于高考“指挥棒”的作用，又不得不学。“怎样才能学好数学？”成了学子们问得最多的问题。而怎样回答这个问题便成了教师们的难题。很多人便单纯的认为要学好数学就是要多做题，见的题多了，做的题多了，自然就熟练了，成绩就提高了！于是，“题海战术”便受到很多教育工作者的青睐。熟话说，“熟能生巧”，当然，多做体肯定对学生数学成绩的提高有一定的好处。但长期这样，只会使数学越来越枯燥，让学生越来越厌烦，于是出现厌学、抄作业等现象。 众所周知，数学题是做不完的。我认为要使学生学好数学，还是要从提高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣上下工夫。要利用书本上有限的例题和习题来提高学生的学习兴趣和能力。在数学教学过程中，通过利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学。这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径。另外，能力提高的过程中，学生的成就感自然增强，并且在不断的变化和解决问题的不同途径中，兴趣油然而生。 对于传统的数学教学来说，教学过程的重点不外乎为：讲解定义推导公式，例题演练，练习，及习题的安排。下面就一题多解与一题多变在教学中的运用谈谈我个人的几点看法。 一、在公式的推导中运用一题多解 数学的公式在数学的解题中的作用是非常巨大的。并且，要学好数学，就必须熟练的运用公式。但很多学生对公式的记忆大多采取死记硬背的方法，对公式的推导往往不够重视。其实，公式的推导过程就是一种解题的方法，或是一种解题技巧。我们如果在公式的推导过程中运用一题多解的话，就会让学生在学习知识的产生过程中同时掌握解题的规律和方法，也便于公式的理解记忆。例如：在学习等差数列通项公式a n =a 1+(n-1)d 时， 方法一： 21a a d =+ 3212a a d a d =+=+ 4313a a d a d =+=+………………… 由此得到 方法二： 有等差数列定义知： 1n n a a d --= 所以有 12n n a a d ---= 23n n a a d ---= …………… 32a a d -= 一题多解 一题多变（十二） 一 题 多 解，妙 不 可 言——求动点轨迹方程 2010年江南十校联考（理科）第20题求动点轨迹问题，参考答案仅提供一种方法。在实际教学过程中，带领学生通过探究讨论发现还有更多巧妙的方法，现总结如下。 问题：如图，过圆422=+y x 与x 轴的两个交点A ，B 作圆的切线AC ，BD ，再过圆上任意一点H 作圆的切线交AC ，BD 于C ，D ，设AD ，BC 的交点为R ，求动点R 的轨迹E 的方程 方法一（参考答案）： 设4),(2 02000 =+∴y x y x H 则:0 0000)02(x y k x x x y k CD OH -=∴≠±≠= 且 故切线CD 的方程:)(00 0x x x y y y -- =- 切线交AC 于)4 2, 2(0 0y x C +-， 交BD 于)24, 2(0 y x D - 所以AD 方程为)1()2(4240 +-= x y x y BC 方程为)2()2(4240 --+= x y x y 由（1）×（2）得：)3()4(1641622 2 2 ---=x y x y 42 020 =+y x 由 得2 204x y -=代入（3）式可得)4(4122 --=x y 14 2 2=+∴y x 当00=x 时，R （0，1）也满足方程142 2=+y x ，故R 的轨迹E 的方程是)0(14 22≠=+y y x 方法一比较通用，但在化简计算过程中比较繁琐，能否回避大量的计算呢？下面方法二明显优于方法一。 方法二：设切线CD 方程为b kx y +=，即0=+-b y kx ，)1(41 2222+=?+= =∴k b k b r )2,2() 2,2(k b D k b C +--∴，所以AD 方程为)1()2(4 2++= x k b y BC 方程为 )2() 2(4 2---=x k b y ，由（1）×（2）得：)3() 4(16 42 2022 ---=x k b y )1(42 2 +=k b ，代入可得)4(4122 --=x y 即 )0(14 22 ≠=+y y x 上述两法均用交轨法求出R 的轨迹方程，区别仅在于运算量。有无更巧的方法呢？本题中根据 点H 落在坐标轴上时，可以猜想出方程可能是)0(14 22 ≠=+y y x ，而在椭圆性质中，椭圆上任意一点到椭圆长轴上两端点连线的斜率之积为定值，以此为突破口，借助圆的切线性质可以求之。 方法三：设),2() ,2(21y D y C - 不妨设0,021>>y y ，由圆的切线性质可知： 2121y y CD y DH y CH +=∴== 过C 作CE ⊥BD 交BD 于E ，故12DE , 4 CE y y -== ， 由勾股定理知：4)(4)(212122221=?-+=+y y y y y y 而4116442112-=-=-= =y y y y k k k k BC AD RB RA ，令),(y x R 4 1 22-=-+=x y x y k k RB RA 化简可得：)0(14 22 ≠=+y y x 方法三运用平几与解几相结合，回避了求直线方程，简化了计算，真的很巧，但有没有更妙的方法呢？大家都知道椭圆是由圆压缩而成的，此处的椭圆是如何压缩的呢？请看方法四，读者一定会感到此法最妙！ 方法四：连接HR 交x 轴于F ，BD HR HD CH RB CR DH BD CH AC RB CR BD AC BD AC //,//?=? ?? ??? ===? 故HF ⊥x 轴。 RH RF BD RH BD RF BD RH CD CH AB AF BD RF =?=?===∴ 故R 为HF 的中点，设),(y x R ，42) ,(2 0200000 =+?? ?==∴y x y y x x y x H 多题一解，培养能力 在学习中, 一题多解和多题一解都是学习数学的重要策略.一题多解,利于培养学生的发散思维和求异思维,而多题一解,有利于培养学生的归纳能力和求同思维.下面看看这几个题目是否有着共同的解题思想. 例1在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c 且cos A=5 4． 分析：本题主要考查三角函数知识与解三角形的联系，首先利用倍角的余弦公式、降幂公式、同角三角函数的关系式求出三角形的其他未知量．然后利用面积公式求得a. 例2.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 且cosA= 3 1 (1)求sin 22C B ＋cos 2(B+C)的值. (2)若a=3，求△ABC 面积的最大值． 分析：本题可以仿照例1的方法解决． 例3.在△ABC中，角A,B,C 的对边分别为a，b，c，△ABC的外接圆半径R=3， 且满足 B C A B C sin sin sin 2 cos cos- =. （1)求角B和边b的大小； (2)求△ABC的面积的最大值． 分析：本题完全可以用例2的解题方法解决． 例4求sin 2200+cos2 800十3sin 200cos 800的值 分析：首先使用降幂公式，然后利用和差化积与积化和差公式进行恒等变形，化简求 值，这是我们处理此题的常规解法，考虑到题目的结构形式符合余弦定理的形式，因而我们 也可以利用构造法，构造三角形，利用正、余弦定理解答． 解：构造△ABC,使得A=200,B=100,C=1500,设△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理， 可得 a=2R sin 200,b=2R sin 100,c=2R sin 1500=R ∵c2=a2+b2-2abcosC, ∴R2＝4R2sin2 200十4R2sin2 100-8R2 sin 200 sin 100·cos 1500. 整理理得sin 2200+cos2 800十3sin 200cos 800= 4 1 . 例5.设正数x.、y、z满足方程组 分析：观察方程组中每一个方程的结构，发现它们与余弦定理的结构相似，故采用例 4的构造法解题，构造三角形． 解：原方程组即 y B O x C A (全国III 卷）2018年高考数学一题多解（含17年高考试题） 1、【2017年高考数学全国三卷理11】11．已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a = A ．12 - B ． 1 3 C ． 1 2 D ．1 【答案】C 函数()f x 的零点满足() 211 2e e x x x x a --+-=-+， 设()1 1 e e x x g x --+=+，则()() 211 1 1 1 1 1e 1 e e e e e x x x x x x g x ---+----'=-=- = ， 当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =. 设()2 2h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-， 若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点； 若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点， 即21a -?=-，解得1 2 a =.故选C. 解法三：对称性 )(2)(112+--++-=x x e e a x x x f 可得 ( ) 1 1 2 1)2(1222) ()2(2)2()2(+--+----++-=++---=-x x x x e e a x x e e a x x x f )()2(x f x f =-，即1=x 为方程的对称轴. )(x f 有唯一零点，)(x f 的零点为1=x ， 即01=）（f ，解得1 2 a = .故选C. 【考点】函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想 【思路分析】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用. 2、【2017年高考数学全国三卷理12】12．在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+ ，则λμ+的最大值为 A ．3 B ． C D ．2 【答案】A 【解析】 方法一：特殊值法 5 521,2+ ==y x 225 5212>+=+= +y x μλ,故选A 方法二：解析法 如图所示，建立平面直角坐标系. 设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y , 高中数学多题一解 一箭双雕 谌祖辉 人教版高中数学新教材第二册（上）第八章有这样三道习题： （1）（P133B 组第3题）过抛物线)0p (px 2y 2>=的焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，自A 、B 两点向准线作垂线，垂足分别为C 、D ，求证：∠CFD ＝90°。 （2）（P199习题第7题）过抛物线px 2y 2=的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为21y ,y ，求证：.p y y 221-= （3）（P123习题第6题）过抛物线焦点的一条直线与它交于A 、B 两点，经过点A 和抛物线顶点的直线交于准线于点M ，求证：直线BM 平行于抛物线的对称轴。 这三道习题都与过焦点的直线有关，因此它们必有必然的联系。现就说明如下： （1）证明：如图1，准线与x 轴相交于点E ， 由抛物线的定义，可知AF ＝AC ，BF ＝BD ， ∴∠ACF ＝∠AFC ， ∠BDF ＝∠BFD ， ∵∠CFE ＝∠ACF ，∠DFE ＝∠BDF （两直线平行，内错角相等） ∴∠CFE ＝∠AFC ，∠DFE ＝∠BFD ∴∠CFE ＋∠DFE ＝∠AFC ＋∠BFD 又∵∠AFC ＋∠CFE ＋∠DEF ＋∠BFD ＝180° ∴∠CFD ＝∠CFE ＋∠DFE ＝90° （2）证明：如图1，设A 、B 两交点的纵坐标分别为,y ,y 21 则21y |DE |,y |CE |,p |EF |-=== ∵∠CFD ＝90°，EF ⊥CD ∴212y y |DE ||CD ||EF |-==（射影定理） 即221p y y -= （3）证明：不妨设抛物线为,px 2y 2=则问题转为证BM 平行于x 轴，也即须证B 、M 两点的纵坐标相同。如图2 浅谈一道数学例题的“一题多解” 通山一中 万小勇 在人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书高一数学上册130页中例4的学习时，笔者认为可以引导学生深入分析挖掘，用好等差数列前n 项和公式及其性质，得到其他的解法，从而起到“一题多解”的目的。 例4：已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是1220，由此可以确定其前n 项和的公式吗？ 分析一：将已知条件代入等差数列前n 项和的公式后，可得到关于a 1与d 的关系，然后确定a 1与d ，从而得到所求前n 项和公式. 解法一：由题意知 S 10=30， S 20=1220 将它们代入公式 S n =n a 1+d n n 2 )1(-得到 10a 1+45d=310 解这个关于a 1与d 的方程组，得到a 1=4, d=6 20a 1+190d=1220 所以S n =4n+n n n n +=?-2362 )1( 分析二：∵{a n }为等差数列，∴S n = 2)(1n a a n + 将条件代入可求得d 与a 1. 解法二： 310)(2 10101=+a a ① 1220)(2 20201=+a a ② ②－①×2 得a 20－a 10=600 由10 201020--=a a d 得d=6 又由S n =n a 1+d n n 2 )1(-得 S 10=10a 1+45×6=310 ∴a 1=4 ∴S n =4n+ n n n n +=?-2332 )1( 分析三：因为{a n }为等差数列，所以可设S n =An 2+Bn ，求出A ，B 即可. 解法三：设S n =An 2 +Bn ，将它们代入可得 100A+10B=310 得到 A=3，B=1 400A+20B=1220 高中数学到底有多少道习题 ━兼论数学解题长度 众所周知，问题与解是数学的心脏。解题是数学教学的显著特征。无需讳言，在应试教育的大背景下，高中数学的解题教学尤其重要。本文以苏教版高中数学教学体系为例，给出高效构建高中数学习题体系的策略，初步提出解题长度的概念，抛砖引玉，旨在优化高中数学的有效教学，让学生真正从浩如烟海的“题海”中解脱出来。 一、粗犷的高中数学习题体系的建构策略 解决数学问题需要具备哪些条件? 通常认为,首先是必须具有一定的数学基础知识，其次是要具有一定的数学思想方法。概念、法则、性质、公式、公理、定理等数学知识是数学的内容，可以用文字和符号来记录和描述，但随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。在数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是一种意识形态，用以对数学问题的认识、处理和解决，只能够领会和运用，并且不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也对你还会起作用。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。由此可见，在高中数学中 “知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化。高中数学教学的根本目的是提高学生的数学素质，而数学素质的核心就是对数学思想方法的认识和运用，其综合体现就是所谓的“能力”。 按照高中数学课程标准和教学要求，同类的学生所要解决的问题都是相同的、有限的，但是随着教学日复一日地进行，学生往往或多或少地能够解答一些习题。如果学生在解答一个习题时没有出现任何错误，从理论上说，这个习题就不需要重做了。这样一来，一个学期要做的习题不是越来越多，而是越来越少。因此,从理论上说，数学教学过程可以用如下集合的减法公式来表示： B(t)＝U-R(t)={})(,t R x U x x ?∈。这里U 是指确定的高中数学习题全集（最佳时，它是唯一的），其容量是一个相对稳定的“常数”；R(t)是指学生已经得到完全正确解答的习题集（即U 的子集），其容量是一个随时间(t)的推移而不断增加的“变数”；B(t)则是划去那些已经得到完全解答的习题所剩下的习题构成的习题集（即在U 中R(t)的补集），其容量是随时间(t)推移而不断减小的“变数”,也是后续教学的焦点。 高中数学习题全集是决定整个教学成绩的关键因素，它的质量直接决定高中数学教学的最后质量。怎样科学地确定高中数学的习题全集？教科书是几代人集体智慧的结晶，具有很强的权威性、指导性、规范性，也是解题能力的生长点，其中的例题和习题应当是高中数学习题全集的核心部分，学生必须要能够彻底地解答这些题目。在教学实践中，不少教师感到仅有教科书里的习题是不够的，有必要对其加以扩展。在当前各种教辅材料铺天盖地之际，那些来自于教科书之外的习题不能不经研究、选择、有计划就进入习题全集。当前,学生数学课业负担过重和数学教师负担过重(包括批改作业的体力负担与实绩竞争的心理负担)日益剧烈,其成因:一是师生受“作业做得越多越好”经验的误导;二是教师自身缺乏自信心和判断力;三是教研管理不到位。 怎样选择教科书之外的习题进入高中数学习题全集呢？首先，要认真研究高中数学课程标准和教学要求，并将教科书中的习题按照基本题、中档题和难题区别开来，确认在教学中学生必须真正解决的那些习题；其次，选择与教科书相匹配的教 1、解不等式523<<3-x 解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解 （1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-< 法二用公式q q a a s n n 一一11=，q q a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+ 则q a q a q a a a a 85296322=+?=+8522a a a =+?，所以 852a a a ,,成等差数列｀ 证法三：（用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=） 3333213654361s q q a a a s a a a s s )()(+=+++=+++= )()()(633333963633912121q q s q s s s s s q q s s ++=++?=+++= 解得2 13一=q （下略）例谈高中数学一题多解和一题多变的意义
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