高中数学-函数定义域、值域求法总结
函数定义域、值域求法总结
一.求函数的定义域需要从这几个方面入手:
(1)分母不为零
(2)偶次根式的被开方数非负。
(3)对数中的真数部分大于0。
(4)指数、对数的底数大于0,且不等于1
(5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠
二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合)
(3)函数单调性法 (4)配方法
(5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法)
(7)分离常数法 (8)判别式法
(9)复合函数法 (10)不等式法
(11)平方法等等
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
定义域的求法
1、直接定义域问题
例1 求下列函数的定义域: ①21)(-=
x x f ;②23)(+=x x f ;③x x x f -++=211)(
解:①∵x-2=0,即x=2时,分式
21-x 无意义, 而2≠x 时,分式2
1-x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-3
2时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3
2-≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3
2-≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式
x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }
另解:要使函数有意义,必须: ??
?≠-≥+0201x x ????≠-≥21x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2--=x x f ②2
143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x
1
11
11
++④x x x x f -+=0)1()( ⑤3
731
32+++-=
x x y 解:①要使函数有意义,必须:142≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--=x x f 的定义域为: [3,3-] ②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥??
??≠-+≥--131********x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--
∴定义域为:{ x|4133≥-≤<-- ③要使函数有意义,必须: 011110110≠++≠+≠?????????x x x ?2110-≠-≠≠?????x x x ∴函数的定义域为:}2 1,1,0|{--≠∈x R x x 且 ④要使函数有意义,必须: ? ??≠-≠+001x x x ???<-≠?01x x ∴定义域为:{}011|<<-- ⑤要使函数有意义,必须: ???≠+≥+-073032x x ?? ???-≠∈?37x R x 即 x<37- 或 x>37-∴定义域为:}3 7|{-≠x x 2 定义域的逆向问题 例3 若函数a ax ax y 12+-=的定义域是R ,求实数a 的取值范围 (定义域的逆向问题) 解:∵定义域是R,∴恒成立,012≥+ -a ax ax ∴?????≤≤?-=?>2001402a a a a a 等价于 练习: 322log +-=mx x y 定义域是一切实数,则m 的取值范围; 3 复合函数定义域的求法 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1,1],求函数)41(+ =x f y )4 1(-?x f 的定义域 解:要使函数有意义,必须: 43434543434514111411≤≤-??????≤≤-≤≤-??????≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-?x f 的定义域为:??????≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x -1)的定义域。 分析:法则f 要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在2x -1上必也要求2x -1在 [-1,1]内取值,即-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域;或者从位置上思考f(2x -1)中2x -1与f(x)中的x 位置相同,范围也应一样,∴-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域。 (注意:f(x)中的x 与f(2x -1)中的x 不是同一个x ,即它们意义不同。) 解:∵f(x)的定义域为[-1,1], ∴-1≤2x -1≤1,解之0≤x ≤1, ∴f(2x -1)的定义域为[0,1]。 例6已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x 2)的定义域。 答案:-1≤x2≤1? x2≤1?-1≤x ≤1 练习:设)(x f 的定义域是[-3,2],求函数)2(-x f 的定义域 解:要使函数有意义,必须:223≤-≤ -x 得: 221+≤≤-x ∵x ≥0 ∴220+≤≤x 2460+≤≤x ∴ 函数)2(-x f 的定域义为:{} 2460|+≤≤x x 例7 已知f(2x -1)的定义域为[0,1],求f(x)的定义域 因为2x -1是R 上的单调递增函数,因此由2x -1, x ∈[0,1]求得的值域[-1,1]是f(x)的定义域。 练习: 1 已知f(3x -1)的定义域为[-1,2),求f(2x+1)的定义域。[2,2 5-) (提示:定义域是自变量x 的取值范围) 2 已知f(x 2)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域 3 若()y f x =的定义域是[]0,2,则函数()()121f x f x ++-的定义域是( ) A.[]1,1-B??????- 21,21C.??????1,21D.10,2?????? 4 已知函数()11x f x x += -的定义域为A,函数()y f f x =????的定义域为B,则( ) A.A B B =B.B A ∈C.A B B =D.A B = 求值域问题 利用常见函数的值域来求(直接法) 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ,值域为R ; 反比例函数)0(≠=k x k y 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ,