高中数学平面向量讲义

专题六 平面向量

一. 基本知识

【1】 向量的基本概念与基本运算 （1）向量的基本概念：

①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0

与任意向量平行

③单位向量：模为1个单位长度的向量

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量

（2）向量的加法：设,AB a BC b ==，则a

+b =AB BC +=AC

①a a a

=+=+00；②向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR +++

++=，但这时必须“首尾相连”．

（3）向量的减法：

① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a

的相反向量

②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b

的差，

③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b

有共同起点）

（4）实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa

，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）a a

?=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a

的方向相同；当0<λ时，λ

a 的方向与a

的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的

（5）两个向量共线定理：向量b 与非零向量a

共线?有且只有一个实数λ，使得b =a λ

（6）平面向量的基本定理：如果21,e e

是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

【2】平面向量的坐标表示

（1） 平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作a =(x,y)。 （2） 平面向量的坐标运算：

①若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± ②若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- ③若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)

④若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ?-= ⑤若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ?=?+? ⑥若a b ⊥，则02121=?+?y y x x 【3】平面向量的数量积 （1）两个向量的数量积：

已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积）

规定00a ?=

（2）向量的投影：︱b ︱cos θ=||

a b

a ?∈R ，称为向量

b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影

（3）数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积

（4）向量的模与平方的关系：22

||a a a a ?==

（5）乘法公式成立：

(

)()

2

2

22

a b a b a b a b +?-=-=-；()

2

222a b

a a

b b ±=±?+2

2

2a a b b =±?+

（6）平面向量数量积的运算律： ①交换律成立：a b b a ?=?

②对实数的结合律成立：()()

()()a b a b a b

R λλλλ?=?=?∈

③分配律成立：()a b c a c b c ±?=?±?()c a b =?±

特别注意：（1）结合律不成立：()()

a b c a b c ??≠??；

（2）消去律不成立a b a c

?=?不能得到b

c =?

（3）a b ?=0不能得到a =0或b =0

（7）两个向量的数量积的坐标运算：

已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y +

（8）向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （

01800≤≤θ）叫做向量

a

与

b

的夹角

cos θ=cos ,a b a b a b

?<>=

?

=

当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00

，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800

，同时0与

其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

（9）垂直：如果a 与b 的夹角为900

则称a 与b 垂直，记作a ⊥b

（10）两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ?a ·b

＝O ?2121=+y y x x 平面向量

数量积的性质 二. 例题分析

【模块一】向量的基本运算

【例1】给出下列六个命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若a b =，则a b =③在平行四边形ABCD 中一定有AB DC =； ④若,m n n p ==，则m p =； ⑤若a //b ，b //c ,则a //c

⑥任一向量与它的相反下列不相等.⑦已知向量0a ≠，且0a b ?=，则0b =

⑧a b =的充要条件是a b =且a //b ；⑨若a 与b 方向相同，且a b >，则a b >； ⑩由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； 其中正确的命题的序号是

【例2】已知向量,a b 夹角为45?

，且1,210a a b =-=；求b 的值.

【变式1】若2a =，3b =，3a b ?=-求a b +的值.

【变式2】设向量a ，b 满足|a|=|b |=1及|3a-2b|=3，求|3a+b |的值

【例3】已知向量a 、b 的夹角为60，||3a =，||2b =，若(35)()a b ma b +⊥-，求m 的值.

【例4】若向量()1,2a =，()1,1b =-求2a b +与a b -的夹角.

【变式】设,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ,且c b c a //,⊥,则

_______=

（ ）

A B C ．D ．10

【例5】已知两个非零向量,a b 满足a b a b +=-，则下列结论一定正确的是 （ ） A a // b B a b ⊥ C a b = D a b a b +=-

【变式1】设a ,b 是两个非零向量. （ ）

A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥b

B ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |

C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λb

D ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |

【变式2】若平面向量,a b 满足:23a b -≤;则a b 的最小值是_____

【例6】设0,

2πα??

∈ ???，()cos ,sin a αα=，13,2

b ??=- ? ??? （1） 证明()()

a b a b +⊥-；

（2） 当22a b a b +=-时求角α的值.

【例7】设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,使

||||

a b

a b =

成立的充分条件是（ ） A ．a b =- B ．//a b C ．2a b =

D ．//a b 且||||a b =

【模块二】向量与平面几何

【例1】在△ABC 中， 90A ∠=1,2AB AC ==,设P 、Q 满足AP AB λ= ，

()1AQ AC λ=- ，R λ∈ 2BQ CP ?=，则λ= （ ）

A 13

B 23

C 4

3

D 2

【变式1】已知△ABC 为等边三角形， 2AB =设P 、Q 满足AP AB λ= ，()1AQ AC λ=- ，

R λ∈ 32

BQ CP ?=，则λ= （ ）

A 1

2

【例2】在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB BC = 1则___BC =. （ ）

A B

C ．

D

【变式1】若向量()2,3BA =,()4,7CA =,则BC = （ ）

A ．()2,4--

B ．()2,4

C ．()6,10

D ．()6,10--

【例3】若等边ABC ?的边长为32，平面内一点M 满足→

→→

+=CA CB CM 3

261,则

=?→

→MB MA ________.

【例4】ABC ?中,AB 边上的高为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==?===,则

AD =

（ ）

A ．1133

a b - B ．

2233

a b - C ．

33

55

a b - D ．

44

55

a b -

【例5】在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时针旋转

34

π

后,得向量OQ ，则点Q 的坐标是

（ ）

A ．(72,2)--

B ．(72,2)-

C ．(46,2)--

D ．(46,2)-

【例6】在?ABC 中,M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则AB AC ?=______________.

【例7】在平行四边形ABCD 中,∠A=3π

, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、

CD 上的点,且满足

|

|||CD CN BC BM =

,则AN AM ?的取值范围是_________ . ,

【例8】如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ==，

，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF =,则AE BF 的值是____.

【例9】已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ?的值为

________;DE DC ?的最大值为________.

【例10】已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰

DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为___________

【例11】如图，在ABC 中，AD AB ⊥,3BC BD =,1AD =,则AC AD 3 .

【例12】 (15)在四边形ABCD 中，AB =DC =（1，1），

113BA BC BD BA

BC

BD

+

=

，

则四边形ABCD 的面积是

【例13】在ABC 中，若()()2,3,6,4AB AC ==-，则ABC 面积为

【例14】（2012年河北二模）在ABC 中，AB 边上的中线CD=6，点P 为CD 上（与C,D ）不重合的一个动点，则()

.PA PB PC +的最小值是 A 2 B 0 C -9 D -18