太阳能小屋的设计数学建模竞赛B题

太阳能小屋的设计

摘要

本文讨论在经济效益最优情况下太阳能电池的铺设设计。经济效益为发电收益与发电成本的差值，当发电量越大，发电成本越小时，经济收益越可观。

问题一中，本文先选出各个墙面经济效益最好的几种电池板，使用效益最好的电池板结合光伏电池组件的分组及逆变器选择的要求进行调整，得出最优铺设方案。但北面墙各种电池均呈亏损状况，因此在北面不进行铺设。经过计算得：小屋在35年内的总发电量为：560453.969 kWh，总经济效益为：75955.765元，回收年限为：23.80年。

问题二中，由于太阳能电池板的倾斜角与方位角会影响到其接受总辐射量的大小，进而影响到其盈利状况。本文使用Matlab编程求出电池板的最佳倾斜角与最佳方位角分别为：34.56°与22.63°。重新计算出各个墙面将接受到的总辐射量，利用问题一中的方法对各面墙重新铺设，优化之后的小屋在35年内的总发电量为：609242.125 kWh，总经济效益为：98886.199元，回收年限为：21.80年。

问题三中，自行设计的小屋朝向调整为最佳方位角，并将小屋的受光面积作为目标函数，小屋的建筑条件最为约束条件使用Lingo软件进行优化得到小屋的各建筑条件。之后使用问题一中的方法对小屋进行铺设，求得小屋在35年内的总发电量为：968749.058 ，总经济效益为：152901.657，回收年限为：22.14年。

[关键词]：Matlab软件光伏电池线性约束优化Lingo软件

一、问题的重述

在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。

在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时，同一型号的电池板可串联，而不同型号的电池板不可串联。在不同表面上，即使是相同型号的电池也不能进行串、并联连接。应注意分组连接方式及逆变器的选配。

问题一：请根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋（见附件2）的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。

问题二：电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题1。

问题三：根据附件7给出的小屋建筑要求，请为大同市重新设计一个小屋，要求画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。

二、问题的分析

对于问题一，考虑贴附安装方式选定光伏电池组件，对小屋的部分外表面进行铺设的问题，首先合理的铺设取决于选择最理想的光伏电池，也就是说利用该种电池铺设使得该表面全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，因此为了权衡这两个影响选择铺设电池的因素，我们利用经济效益作为综合指标来确定光伏电池选择的优先排序，然后再进行每个墙面的优化铺设从而选择出经济效益良好的墙面，来完成太阳能小屋的光伏电池铺设，最后再进行太阳能小屋相关效益的计算。

对于问题二，在架空方式下安装光伏电池，电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，因此在该方式下铺设小屋使其达到最优化我们首要考虑的就是使电池板的朝向（也就是电池板的方位角）和倾角均达到最优的角度来使铺设的小屋达到经济效益最大化，然后再对小屋进行最优化的铺设从而来计算架空方式下太阳能小屋相关效益的计算。

对于问题三，在满足小屋建筑要求的基础上，使铺设的光伏电池阵列的经济效益尽可能大的约束设计太阳能小屋，根据建立的数学模型求得小屋各个建筑指标的数值来设计新的太阳能小屋，然后再对铺设光伏电池的墙面进行电池的优先选择排序从而进行每个墙面的最优化铺来满足小屋35年内经济效益最大化的条件，进而再计算新的太阳能小屋相关效益的计算。

三、问题的假设

1、光伏电池的发电量只受太阳辐射强度的影响，不受温度湿度等自然条件的影响。

2、本文所使用的一年的数据具有普遍性，可以代表35年间太阳辐射的总情况。

3、铺设电池板时不考虑电池板间存在缝隙。

4、设计小屋的不考虑墙面的厚度因素。

四、符号说明

i H ：任意倾斜面一年中某天第i 时刻辐射总量。

a ：太阳光线和倾斜面夹角。

b ：斜面倾角。

r ：地表平均反射率。 r q ：阳光的入射角。

ω：时角。 δ：赤尾角。

n g ：斜面方位角。

Z ：为某种光伏电池在寿命期内单位面积在各个墙面的发电总量。 W ：某种光伏电池在各个墙面寿命期内单位面积的经济效益。 Y ：某个墙面35年内的经济效益。

1z ：为室内使用空间最低净空高度距地面高度

2z ：建筑屋顶最高点距地面高度

x ：为小屋的较短边 y ：为小屋的较长边

1w ：南墙的开窗面积

2w ：东西两墙开窗的总面积

3w ：北墙的开窗总面积。

五、模型的建立和求解

5.1问题一模型的建立与求解 5.1.1光伏电池选择的优先排序

对于考虑贴附安装方式选定光伏电池组件，对小屋的部分外表面进行铺设的问题，首先合理的铺设取决于选择最理想的光伏电池，也就是说利用该种电池铺设使得该表面全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，因此为了权衡这两个影响选择铺设电池的因素，我们利用经济效益作为综合指标来确定光伏电池选择的优先排序，下面我们就来解决选择最优光伏电池的问题：（1）任意倾斜面一年中某天第i 时刻辐射总量i H

对于屋顶倾斜面第i 时刻的总辐射量在题目的附件中并没有明确的给出，但在附件4中我们可以知道水平总辐射强度h

H ，水平面散射辐射强度d

，法向直射辐射强度

H ，根据相关文献[1]，得到任意倾斜面的总辐射量的计算公式：

1cos 1cos sin [()()]22

i b d h H H a H H b b

r +-=++

其中a 为太阳光线和倾斜面夹角；b 为斜面倾角；r 为地表平均反射率，这里

[2]

0.2

r =；对于sin a ，它与阳光的入射角r

是互余的关系，因此sin a

=cos r

q ，我们查阅相

关文献

[3]

得到关于cos r q 的公式：

cos sin sin cos sin cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos cos r n n n θδφβδφβγδφ

βωδβγωδβφγω=-+++

其中r q 为阳光的入射角；b 为斜面倾角； ω为时角；δ为当时的太阳赤纬；φ为当地的纬度(大同的纬度为o 1.40)；n g 为斜面方位角；

根据附件6可得：

时角ω的计算公式如下：

15(12)(s t w =-度）

其中s t 为太阳时（单位：小时）；

赤纬角δ的计算公式如下：

2(284+n)

23.45sin )()

365

p d =（度

其中n 为日期序号，例如，1月1日为1=n ，3月22日为81=n 。用matlab 软件编程，计算得到南面屋顶倾斜面和北面屋顶倾斜面一年中某天第i 时

刻辐射总量i

H 。

（2）每种光伏电池每年单位面积在各个墙面的发电总量

首先我们根据各种电池不同的电池表面太阳光辐照阈值：单晶硅电池辐照强度低于200W/㎡时，电池转换效率＜转换效率的5%；单晶硅和多晶硅电池启动发电的表面总辐射量≥80W/m 2；薄膜电池表面总辐射量≥30W/m 2；薄膜电池表面辐射量200W/㎡较1000W/㎡性能提高1%；然后根据附件4中各个方向单位面积的辐射强度数据，用以下模型来求三类电池每年单位面积在某个墙面的发电总量：

对于A 类电池：

095%ai a i a i

E H H ηη??

=??? ()

()

08080200200i i

i H H

H ≤<≤<≥

8760

a ai i E E ==

对于B 类电池：

()

008080i bi b i

i H E H H η?≤

≥??

8760

b bi i E E ==

对于C 类电池：

0101%ci c i c i

E H H ηη??

=??? ()()()

03030200200i i i H H H ≤<≤<≥

其中,,a b c E E E 分别表示A 、B 、C 三类电池子品类中某种电池在某个墙面的发电总量（单位：

kWh/2

），i H 表示在一年中某天的i 时刻在该墙面上的总辐射量(单位：

W/2m )

，,,a b c h h h 分别表示A 、B 、C 三类电池子品类中某种电池的转换效率（单位：%）。

下面我们由该模型计算可得24种电池每年在每个墙面上单位面积的发电总量，见附录1。

（3）每种光伏电池在寿命期内（35年）单位面积在各个墙面的发电总量

由（2）部分我们得到了每种光伏电池每年单位面积在各个墙面的发电总量，根据附件3中有关年限和效率之间的关系：所有光伏组件在0～10年效率按100%，10～25年按照90%折算，25年后按80%折算；我们可以得到：

1015*90%10*80%Z E E E =++

其中E 为某种光伏电池每年单位面积在各个墙面的发电总量（单位：

kWh/2m ），

Z 为某种光伏电池在寿命期内单位面积在各个墙面的发电总量（单位：kWh/2

m ）

，也就相当于31.5Z E =，也就是光伏电池保持100%的工作效率可以工作31.5年，因

此Z 即为所求，因此我们计算出了24种电池寿命期内在每个墙面上单位面积的发电总量，详细结果见附录1。

（4）每种光伏电池单位面积的成本

首先我们应该考虑每种电池每块的价格，然后再根据电池的面积来计算单位面积里的电池成本，在附件3中我们可以得到每种光伏电池价格的计算变量以及电池本身的面积，下面我们就给出了光伏电池单位面积的成本的数学模型：

14.9*/12.5*/4.8*/Ai Ai Ai Bi Bi Bi Ci

Ci Ci C W S C W S C W S

=??

=??=? 其中,,Ai Bi Ci C C C 分别表示A 、B 、C 三类电池子品类中某种电池单位面积的成本（单位：元/2m ），,,Ai Bi Ci W W W 分别表示A 、B 、C 三类电池的组件功率（单位：W ），

,,Ai Bi Ci S S S 分别代表三类电池的面积（单位：2m ）由此模型我们计算得出的结果见表

1（单位：元）：

电池种类

单位面积的成本电池种类单位面积的成本

A1 2509.321 B7 1873.501 A2 2498.2 C1 335.6643 A3 2334.252 C2 296.4127 A4 2458.835 C3 304.724 A5

2232.517 C4

280.5195

A6 2267.597 C5 311.6883 B1 2025.808 C6 174.4662 B2 2063.562 C7 173.4417 B3 1785.539 C8 175.8846 B4 1844.02 C9 176.3625 B5 1803.796 C10 198.3539 B6 1900.428 C11 204.911

在该部分我们将建立光伏电池在寿命期内单位面积的经济效益模型并求得其结果，根据结果便可以得到每个墙面光伏电池选择的优先排序，从而进行小屋各个墙面的最优铺设。

首先根据题意，题目要求电池的铺设应满足使铺设表面全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，根据之前（2）部分可看到每种光伏电池每年单位面积在各个墙面的发电总量的数学模型，根据之前（3）部分可知单位发电量的费用即为每种光伏电池单位面积的成本，其数学模型也已经建立，那么就有：

()()

8760

11,2......3651,2 (24i)

i j MaxE E i MinC C

j =?

==??

?==?

∑

其中j C 表示第j 种电池单位面积的成本（单位：元/2m ）；

为了最优化权衡这两者决定电池铺设的因素，我们将引入经济收益作为权衡这两者

的综合指标。因此我们将建立每种光伏电池在各个墙面在寿命期内（35年）单位面积的经济效益，其中在（3）部分已经得到了每种光伏电池在寿命期内单位面积在各个墙面的发电总量，依据题意当前民用电价按0.5元/kWh 计算，则可计算出35年内总共的经济收益，而太阳能设备的成本，我们将利用（4）中每种光伏电池单位面积的成本的模型，由于逆变器的成本在此难以计入模型中，因而忽略不计，我们得到以下模型：

0.5W Z C =-

其中W 为某种光伏电池在各个墙面寿命期内单位面积的经济效益（单位：元），Z

为某种光伏电池在寿命期内单位面积在各个墙面的发电总量（单位：kWh/2

），C 为某种光伏电池单位面积的成本，由此模型我们得到了24种光伏电池在各个墙面寿命期内（35年）单位面积的经济效益，见表2（单位：元/2m ）：

东面墙面南面墙面西面墙面北面墙面南面屋顶

北面屋顶

排

序型

号收益型号收益型号收益型号收益型号收益型号

收益 1 C1 303.3 C1

815

627.2 C7 -34.4 A3 2182.7 C1 654.6 2 C5 279.8 C5 754.9 C5 580.5 C6 -35.4 B3 2087.2 C5 605.2 3 C3 274 B3 750.7 C3 568.2 C8 -35.7 B5 2069.0 C3 592.4 4 C2 267.6 C3 738.8 C2 553.5

-36.2 B2 1908.6 C2 577.7 5 C4 251.7 B5 732.4 C4

522.3 C10

-40.2 B1 1902.7 C4 544.5 6 C11 184.3 C2 719.2 C11 382.1 C11 -41.4 B6 1783.3 B3 398.8 7 C10

178.1

C4 679.2 C10 369.4

-56.8

1759.3 C11

398.3

8 C8 157.7 A3 613.4 C8 327.2 C2 -58.2 B4 1742.8 C10 385.1

9 C7 157.4 B1 546.9 C9 326.8 C3 -61.5 A1 1558.4 B5 380.6

10 C9 157.2 B2 537.7 C7 325.6 C5 -63.1 A4 1526.7 C8 341.2

11 C6 156.4 B6 512 C6 324.5 C1 -65.8 A2 1521.2 C9 340.7

12 B3 -470.7 B7 505.6 B3 215.7 B3 -1453.3 A5 1385.9 C7 339.4

13 B5 -489 B4 504.9 B5 197.4 B5 -1471.6 A6 1382.2 C6 338.3

14 B4 -626.3 C11 496.8 B4 9.4 B4 -1536.3 C1 1380.1 B1 190

15 B7 -640.2 C10 480.4 B1 4.2 B7 -1561.9 C5 1280.1 A3 189.5

16 B6 -649.8 C8 425.6 B7 3.8 B6 -1584.4 C3 1252.7 B4 179.1

17 B1 -692.1 C9 425.1 B6 3.1 B1 -1688.8 C2 1218.0 B6 177.3

18 B2 -715 C7 423.1 A3 -7.2 B2 -1722.8 C4 1151.8 B2 176.9

19 A3 -813.2 C6 422.1 B2 -11 A5 -1931.2 C11 842.4 B7 175.5

20 A5 -1014 A1 145.2 A5 -368.4 A3 -1958.2 C10 814.6 A5 -210.8

21 A6 -1038.5 A4 142.1 A6 -387.3 A6 -1963.7 C8 721.8 A6 -228.4

22 A4 -1116.7 A5 128.8 A4 -405.6 A4 -2127 C9 721.3 A4 -232

23 A1 -1139.5 A2 124.8 A1 -413.8 A2 -2163.5 C7 716.9 A1 -236.6

24 A2 -1144.7 A6 114.2 A2 -427.5 A1 -2170.6 C6 715.8 A2 -252.5

面墙面的阳光辐射总量太少而造成的，这也正符合人们的日常常识，因此在北面墙面上我们没有必要铺设光伏电池；对于东面、南面、西面墙面以及北面的屋顶，他们均有良好的经济收益，在电池优先选择的排序上，C类经济实惠的薄膜电池恰恰成为了它们的首选；对于南面屋顶，它有非常可观的经济收益，这也正是由于南面屋顶的阳光辐射的总量很大，依据表中数据效率最高的A3成为了它最理想的电池。

5.1.2 各个方向墙面光伏电池的最优化铺设

对不同的墙面进行最优化的铺设，具有决定性的因素就是对每个墙面选择最理想的电池来铺设，下面我们就来叙述一下铺设墙面时选择电池的规则：根据5.1.1中的表2：24种光伏电池寿命期内单位面积经济效益的优先排序，首先选择优先顺序位列第一的光伏电池进行铺设；铺设完后会发现铺设墙面上会因电池的面积限制而空出来一些该种电池无法继续铺设的地方，这时我们依据选择电池的经济效益尽量好并且面积尽量吻合的原则，来对下一种电池进行选择，即在表2中按优先顺序依次选择直到面积可以达到要求；这样我们就实现了对不同的墙面进行最优化铺设目的。

铺设完成后，根据铺设的具体情况我们就可以选择合适的逆变器，然后再进行电池组件之间的连接：依据附件1光伏电池组件在排布阵列安装时应根据可能选用逆变器的额定工作电压（V）范围和功率容量（W）等参数进行分组设计，因此我们根据光伏阵列的最大功率不能超过逆变器的交流输出的额定功率且逆变器的直流输入电压范围要合适来确定合适的逆变器；然后我们根据已选的逆变器的工作电压来设计光伏分组阵列的连接（串、并联），即光伏分组阵列的端电压应满足逆变器直流输入电压范围并考虑并联的光伏组件端电压相差不应超过10%。

下面我们就对每个方向的墙面按上述方法的思想进行操作处理，在此我们以东面墙面的最优化铺设举例详细说明：

对于东面墙面的优化铺设，根据经济效益最大化的指标，我们优先选择C1种电池进行铺设，由于东面墙面面积和形状的限制，最多可以铺设13块C1电池，然后依据电池的经济效益尽量好并且面积尽量吻合的原则来筛选第二种铺设电池，通过比较发现

最理想的第二种电池是C10并且可以铺设10块C10，虽然墙面上仍然有剩余的面积没有被排满，但是没有面积更合适的电池可选择，所以这样的排列就已经是最优化的铺设了。然后我们进行逆变器的选择：最优化的光伏阵列的最大功率为1320W，所以可以优选出两个交流输出的额定功率为1.6KW的逆变器SN4和SN12，但SN4的直流输入电压范围为42~64V，C1电池本身的开路电压就达到了138V，所以SN4的电压范围不合适，因此选择逆变器SN12。

然后根据逆变器SN12的直流输入电压范围180~300V，光伏分组阵列的端电压应满足逆变器直流输入电压范围，则可以允许2个C1电池进行串联（串联后的端电压为276V）或10个C10电池进行串联（串联后的端电压为267V）两种方式串联的端电压相差3%（小于10%）因此可以并联；最后剩余1块C1电池，所以只能舍弃这块C1电池，但我们发现在舍弃一块C1的同时，可以再加入一块C10电池，11个C10电池串联后的端电压为293.7V，和2个C1电池串联的端电压相差6.4%（小于10%）两者可以并联。所以最后东面墙面的铺设是用12块C1电池和11块C10电池进行最优化铺设的，选取SN12的逆变器，以2个C1电池串联、11个C10电池串联的方式来设计光伏分组阵列的连接。

各个方向的墙面光伏电池的排布阵列以及光伏分组阵列的连接方式见图1-1~图5-2

图1-1：东面墙面的光伏阵列

图1-2：东面墙面的光伏分组阵列的连接

东面墙面的光伏阵列利用了12块C1电池和11块C10电池，选择了逆变器SN12；

东面墙面的光伏分组阵列的连接为：每2块C1电池串联为一组、11块C10电池串联为一组，然后每组进行并联，最后连接逆变器SN12。

图2-1：南面墙面的光伏阵列

图2-2：南面墙面的光伏分组阵列的连接

南面墙面的光伏阵列利用了2块C1电池和40块C10电池，选择了逆变器SN11；南面墙面的光伏分组阵列的连接为：2个C1串联为一组、每10个C10电池串联为一组，然后每组进行并联，最后连接逆变器SN11。

图3-1：西面墙面的光伏阵列

图3-2：西面墙面的光伏分组阵列的连接

西面墙面的光伏阵列利用了14个C1电池和11个C10电池，选择了逆变器SN12；西面墙面的光伏分组阵列的连接为：每2个C1电池串联为一组、11个C10电池串联为一组，然后每组进行并联，最后连接逆变器SN12。

图4-1：北面屋顶的光伏阵列

图4-2：北面屋顶的光伏分组阵列的连接

北面屋顶的光伏阵列利用了8个C1电池，选择了逆变器SN12；北面屋顶的光伏分组阵列的连接为：2个C1电池串联为一组，然后每组进行并联，最后连接逆变器SN12。

图5-1：南面屋顶的光伏阵列

图5-2：南面屋顶的光伏分组阵列的连接

南面屋顶的光伏阵列利用了43个A3电池，选择了逆变器SN15和SN14；南面屋顶的光伏分组阵列的连接为：14个A3电池串联为一组，串联两组，该两组进行并联，然后接逆变器SN15；剩下的15个A3电池串联为一组，然后接逆变器SN14。

5.1.3 墙面的优化选择

想要在贴附安装方式下铺设出最优化的太阳能小屋，依据题意铺设的小屋应满足全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小的条件，就要对5.1.2中已设计好铺设方式的墙面中进行优化选择，从而使小屋达到最优化的效果。这里，我们以每个方向墙面35年内的经济效益作为衡量的指标来选择小屋铺设光伏电池的墙面，下面我们就来建立每个方向的墙面35年内的经济效益的数学模型：首先我们来求每个墙面的发电总量，根据在5.1.1中求得的24种电池寿命期内在每个墙面上单位面积的发电总量（详细数据见附录1）再结合每个墙面的优化铺设得到每种铺设电池在该墙面的面积可得到每面墙面的发电总量，依据题意当前民用电价按0.5

元/kWh 计算，就可求得该面墙面总的收益；墙面成本则包括电池的成本（见5.1.1表1）和逆变器的成本（见附件5），两者作差即为该墙面35年内的经济效益，得到数学模型：

(*)**0.5*n n n

i i i i j i i j Y Z S K C S P ====--∑∑∑

其中Y 为某个墙面35年内的经济效益（单位：元），i Z 为铺设该墙面第i 种电池寿命期内（35年）单位面积的发电总量（单位：kWh/2

），i S 为铺设该墙面第i 种电

池所用的面积（单位：2

m ），K 为电池组所连接的逆变器的效率（单位：%），i

C 为铺

设该墙面第i 种电池单位面积的成本（单位：元/2m ），j P 为铺设该墙面第j 种逆变器的价格。

由以上模型我们得到了各个方向墙面35年内的经济效益，以此作为指标来选择墙面，为了更直观的看出被选择的墙面满足全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小的条件，我们也计算了该两方面的数值来供参考，见表3：

经济效益总发电量单位发电量的费用东面墙面 -1855.971498 24335.37979 0.546266 南面墙面 2739.887402 22348.6966 0.347403 西面墙面 5570.853571 42179.68845 0.337926 南面屋顶 67645.02445 495925.5839 0.333598 北面屋顶 -3698.657848 14981.57905 0.71688

设太阳能小屋时该两个墙面则没有必要铺设光伏电池了；其他墙面则均得到了良好的经济效益，其中南面屋顶的经济效益是最好的，并且均都满足全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小的条件。

综上所述，在贴附安装方式下铺设太阳能小屋时，我们选择南面墙面、西面墙面、南面屋顶三个方向的墙面进行光伏电池的铺设。 5.1.4太阳能小屋相关效益的计算

（1）太阳能小屋在光伏电池35年寿命期内的发电总量

由于铺设太阳能小屋时，我们只铺设东面墙面、西面墙面、南面屋顶三个方向的墙面，所以小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量也就相当于这三面墙35年内的发电总量之和，而在 5.1.3表3中已给出各个方向墙面的发电总量，南面墙面为22348.6966

kWh ，西面墙面为42179.68845 kWh ，南面屋顶为495925.5839 kWh ，

所以小屋35年内的发电总量为560453.969

kWh 。

（2）太阳能小屋在光伏电池35年寿命期内的经济效益

由于铺设太阳能小屋时，我们只铺设东面墙面、西面墙面、南面屋顶三个方向的墙面，所以小屋光伏电池35年寿命期内的经济效益也就相当于这三面墙35年内经济效益的总量之和，而在5.1.3表3中已给出各个方向墙面的经济效益，南面墙面为2739.887402元

，西面墙面为5570.853571元，南面屋顶为67645.02445元，所以小屋35年内的

经济效益为75955.76543

元。

（3）太阳能小屋投资的回收年限

根据题意所有光伏组件在0～10年效率按100%，10～25年按照90%折算，25年后按80%折算。所以我们就分0~10年、10~25年、25~35年这三个阶段来看小屋经济收益的情况，再来和其成本来进行比较，最后确定太阳能小屋投资的回收年限。首先我们由5.1.1中得到的结论：35年的发电总量相当于光伏组件以100%的工作效率工作31.5年，再根据5.1.3表3的数据可以计算得到该三个墙面0~10年阶段中每年的发电总量，三者之和即为太阳能小屋0~10年阶段中每年的发电总量，进而求得其他两个阶段的每年发电总量，由此来确定三个阶段逐年的纯经济收益，并与小屋的成本进行比较，相应结果见表4：

每年发电量每年纯收益每阶段纯收益

（累计）

成本

0-10年 17792.18949 8896.09475 83623.29061 187457.6 10-25年 16012.97054 8006.48527 196514.7329 25-35年 14233.75159 7116.87579 263413.3654

段，所以在0-10年阶段以后还需的投资回收年限n=（187457.6-83623.29061）/8006.48527=13.80年，所以太阳能小屋投资的回收年限N=n+10=23.8年。 5.2问题二模型的建立与求解

5.2.1电池板的最优倾斜角和最优方位角

在架空方式下安装光伏电池，电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，因此在该方式下铺设小屋使其达到最优化我们首要考虑的就是使电池板的朝向（也就是电池板的方位角）和倾角均达到最优的角度。下面我们就来解决这个问题：

电池板的最优倾角是指调整电池板的倾斜角（即电池板与水平面之间的夹角）使其受到的辐射总量最大，因此我们将建立电池板的倾角与电池板所受辐射总量之间的模型，从而通过模型找到辐射总量的最大值，进而确定电池板的最佳倾角，所建模型如下：

8760

()()i i S f H θθ===∑

其中q 表示电池板的倾斜角，S 表示电池板在q 倾角下一年中单位面积所受到的辐射总量，i H 表示电池板在q 倾斜角下一年中某天中i 时刻单位面积所受到的辐射总量。根据5.1.1中倾斜角和方位角的公式：

cos sin sin cos sin cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos cos r n n n q d f b d f b g d f

b w d b g w d b f g w =-+++

其中r q 为阳光的入射角；b 为斜面倾角； ω为时角；δ为当时的太阳赤纬；φ为当地的纬度(大同的纬度为o 1.40)；n g 为斜面方位角；这里我们把方位角固定为0

；

随着倾角q 从0~90之间逐渐变化我们将找到S 的一个峰值，峰值所对应的电池板的倾角，即为最佳倾斜角。针对建立的模型进行的函数运算我们将应用Matlab 软件来处理（处理的源程序见附录2）并得到了辐射总量随电池倾斜角大小变化而变化的图像即该函数变化的曲线图，见图6：

00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6

X: 0.6029

Y: 1.669e+006

图6：电池板单位面积所受到的辐射总量随电池板倾斜角变化的图像从图1中我们不难看出，当电池的倾斜角为34.56

，单位面积所受到的辐射总量

达到峰值，所以q =34.56，

就是我们要找的最优倾斜角。电池板的最优方位角是指调整电池板的方位角（即电池板的垂直面与正南方向的夹角，向东偏设定为负角度，向西偏设定为正角度）因此我们将建立电池板的方位角与电池板所受辐射总量之间的模型，从而通过模型找到辐射总量的最大值，进而确定电池板的最佳方位角，所建模型如下：

8760

()()i i G f H θθ===∑

其中q 表示电池板的方位角，G 表示电池板在q 方位角下一年中单位面积所受到的辐射总量，i H 表示电池板在q 方位角下一年中某天中i 时刻单位面积所受到的辐射总量。根据5.1.1中倾角和方位角的公式：

cos sin sin cos sin cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos cos r n n n θδφβδφβγδφ

βωδβγωδβφγω

=-+++

其中r q 为阳光的入射角；b 为斜面倾角； ω为时角；δ为当时的太阳赤纬；φ为

当地的纬度(大同的纬度为o 1.40)；n g 为斜面方位角；这里我们把倾斜角记为最佳倾角即34.56

；

随着方位角q 从0~90之间逐渐变化我们将G 找到的一个峰值，峰值所对应的电池板的方位角，即为最佳方位角。针对建立的模型进行的函数运算我们将应用Matlab 软件来处理（处理的源程序见附录2）并得到了辐射总量随电池方位角大小变化而变化的图像即该函数变化的曲线图，见图7：

0.80.9

11.11.21.31.41.51.61.71.8X: 0.3947

Y: 1.712e+006

图7：电池板单位面积所受到的辐射总量随电池板方位角变化的图像从图1中我们不难看出，当电池的方位角角为22.63

，单位面积所受到的辐射总

量达到峰值，所以q =22.63，

就是我们要找的最优方位角。 5.2.2架空方式下太阳能小屋光伏电池的最优铺设

在架空的铺设反方式下，与问题一同理，我们选择南面墙面、西面墙面和南面屋顶来对小屋进行光伏电池的铺设。我们由5.2.1得到了电池板的最优倾斜角34.56和最优方位角22.63，如果按照该种形式进行架空铺设则墙面接受的辐射总量将由一定幅度的提升，因此由问题一所列出的电池的优先选择排序就不一定符合问题二的需要了，所以，我们利用增大了的辐射总量对南面屋顶再次做电池的优先选择排序（由于实际情况的限制，就没有必要做南面墙面和西面墙面的架空处理了），详细的过程操作同问题一，然后我们得到新的南面屋顶的优先选择的排序中，A3电池依旧位于第一的位置，所以，南面屋顶的最优铺设与问题一相同，见图5-1和图5-2。 5.2.3架空方式下太阳能小屋相关效益的计算

（1）太阳能小屋在光伏电池35年寿命期内的发电总量

kWh ，西面墙面为42179.68845 kWh ，南面屋顶为495925.5839 kWh ，

所以小屋35年内的发电总量为560453.969

kWh 。

（2）太阳能小屋在光伏电池35年寿命期内的经济效益

，西面墙面为5570.853571元，南面屋顶为67645.02445元，所以小屋35年内的

经济效益为75955.76543

元。

（3）太阳能小屋投资的回收年限

每年发电量每年纯收益每阶段纯收益

（累计）

成本

0-10年 17792.18949 8896.09475 83623.29061 187457.6 10-25年 16012.97054 8006.48527 196514.7329 25-35年 14233.75159 7116.87579 263413.3654

以在0-10年阶段以后还需的投资回收年限n=（187457.6-83623.29061）/8006.48527=13.80年，所以太阳能小屋投资的回收年限N=n+10=23.8年。 5.3问题三模型的建立和求解 5.3.1太阳能小屋的设计

在满足小屋建筑要求的基础上，使铺设的光伏电池阵列的经济效益尽可能大的约束设计太阳能小屋。首先，我们需要保证的就是使太阳能小屋铺设电池的墙面受到的总辐射量尽可能大，由问题二得到电池板铺设的最优方位角为22.63

，这时我们就使小屋

的朝向就是该方位角即南偏西22.63，

因此在小屋铺设光伏电池的时候就免去了考虑电池板方位角的问题；为了使小屋所受辐射总量尽可能大，就应该使总辐射量比较大的那个墙面的面积尽量大，下面我们就来解决这个问题：

首先通过问题一计算总辐射量的模型，我们得到了小屋南面墙面、西面墙面和南面

屋顶35年单位面积的总辐射量，分别为1206846、733739、1707053（单位：W/

2m ），

因此我们以三者总辐射量之比（12：7：17）作为各自墙面的权重，用该权重来平衡各自墙面的面积，这里我们是通过各个墙面的权重乘以各自墙面未知的面积变量并求得三者乘积之和，使其和尽可能大从而达到使总辐射量比较大的那个墙面的面积尽量大的条件，下面我们根据附件7中小屋的建筑要求，来建立小屋各个建筑指标（长、宽、高等）的数学模型：

目标函数：221211212**17**(()) 3.5*()*MaxY z y y x z z z z x =++-++

2112311

2123

2215.42.8*74153.()/(*)0.2/(*)0.5/(()*)0.35/(*)0.3

()/tan(0.5712)

z z x y y x s t w w w x y w z y w z z x w z y z z x ì

>??

?í

++>??

2z 建筑屋顶最高点距地面高度，

x 为小屋的较短边，y 为小屋的较长边，1w 南墙的开窗面积，2w 东西两墙开窗的总面积，3w 北墙的开窗总面积。

用Lingo 软件编程得到的处理结果为：1

z =2.8，2

z =5.4，x =4.046，

y =15，1

w =0.716，2

w =0.316，3

w =11.104；

根据得到的处理结果我们给出了设计出的小屋的三维图像，见图8：

图8：小屋的三维图像

5.3.2各个方向墙面光伏电池的最优化铺设

在新设计的小屋各个墙面进行最优化铺设，首先要针对每个墙面选择出最优的电池，以便符合该种电池铺设使得该表面全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小的条件，这里我们还是以经济效益作为选择电池的综合指标，与问题一相同的处理模型，我们得到了南面墙面、西面墙面和南面屋顶的电池优先选择的排序，具体数据见表6：

南面墙面

西面墙面南面屋顶排序

型号

经济效益

型号

经济效益

型号

经济效益

1 B3 1189.3564 C1 473.4476123 A3 2627.115472

2 B5 1171.0994 C5 438.3221684 B

3 2465.896764

3 A3 1130.4763 C3 429.1075339 B5 2447.639715

4 C1 994.49184 C2 417.7819629 B2 2296.953709

5 B1 991.90543 C4 394.3743875 B1 2286.818993

6 B2 987.66109 C11 288.5473245 B6 2143.490856

7 B6 929.25975 C10 278.9254586 B7 2114.548096

8 C5 921.91919 C8 247.079732 B4 2093.479849

9 B7 917.09256 C9 246.6017847 A1 1958.562891

10 B4 911.2022 C7 246.0556527 A4 1918.843007

11 C3 902.27257 C6 245.0312354 A2 1916.621934

12 C2 877.70226 B3 5.55603691 A5 1741.883689

13 C4 829.53719 B5 -12.70101192 A6 1741.294869

14 A1 610.78726 B4 -185.1836536 C1 1544.896015

15 C11 606.72287 B7 -193.3685185 C5 1433.219406

16 A4 598.279 B6 -196.7581461 C3 1402.543198

17 C10 586.66902 B1 -208.9333966 C2 1363.538278

18 A2 584.85314 B2 -226.5121561 C4 1289.628605

19 A5 542.97164 A3 -252.6848848 C11 943.1253224

20 A6 531.97837 A5 -565.0365968 C10 912.0418827

21 C8 519.80163 A6 -585.6454197 C8 808.1465873

22 C9 519.32368 A4 -622.1573077 C9 807.66864

23 C7 516.54212 A1 -634.7974308 C7 802.5235994

24 C6 515.51771 A2 -645.9383839 C6 801.4991821

电池；对于南面屋顶A3是最优的的电池，因此利用5.1.2中相同的规则，我们对该三个墙面进行了优化铺设，见图9-1~图11-1：

图9-1：南面屋顶的光伏阵列

图9-2：南面屋顶光伏分组阵列的连接

南面屋顶光伏阵列利用了63块A3电池，选择了逆变器SN17；南面屋顶的光伏分组阵列的连接为：9个A3串联为一组，然后每组进行并联，最后连接逆变器SN17。

图10-1：南面墙面的光伏阵列

图10-2：南面墙面光伏分组阵列的连接

南面墙面光伏阵列利用了18块B3电池和6块C2电池，选择了逆变器SN15；南面墙面的光伏分组阵列的连接为：6个B3串联为一组、3个C2串联为一组，然后每组进行并联，最后连接逆变器SN15。