专题38 图形折叠中的直角三角形问题(解析版)

专题38 图形折叠中的直角三角形问题

【精典讲解】

1、如图例3-1，在Rt △ABC 中，△ACB =90°，△B =30°，BC =3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE △BC 交AB 边于点E ，将△B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为

图例3-1

图例3-2

图例3-3

【解析】从题目所给的“当△AEF 为直角三角形时”条件出发，以直角顶点所在位置进行分类讨论. 通过观察及分析可知△BED =△DEF =60°，所以△AEF =180－120°=60°. 即点E 不可能为直角顶点.

分两种情况考虑： △当△EAF =90°时，如图例3-2所示. △△B =30°，BC =3

△30AC tan BC =??=

2AB AC = △△EAF =90°

△△AFC =60°，△CAF =30°

在Rt △ACF 中，有：cos AF AC CAF =÷∠÷

，24BF AF == 由折叠性质可得：△B =△DFE =30°，1

BD DF BF === △当△AFE =90°时，如图例3-3所示.

由折叠性质得：△B =△DFE =30°，1

BD DF BF === △△AFC =60°，△F AC =30°

△tan 1CF FAC AC =∠?=

= 所以，BF =2，1

BD DF BF ==

= 综上所述，BD 的长为2或1.

【点睛】本题难度适中，要求学生具备分类讨论思想及数形结合解决问题的能力，另外还需要熟练运用勾股定理及相似三角形知识. 通过此题，可总结出：△遇到直角三角形存在性问题时，分类讨论的出发点在于直角顶点的位置；△解决直角三角形存在性问题的方法是数形结合，先作出符合题意的图形，再用勾股定理或相似三角形、三角函数性质解题.

2、如图例4-1，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把△B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处．当△CEB ′为直角三角形时，BE 的长为．

图例4-1 图例4-2

图例4-3

【解析】此题以“当△CEB ′为直角三角形时”为突破口，分析可能是直角顶点的点，得出存在两种情况，即点B ′及点E 分别为直角顶点.分两种情况考虑：

△当△CEB ′=90°时，如图例4-2所示.

由折叠性质得：AB =AB ′，四边形ABE B ′是矩形. 所以四边形ABE B ′是正方形. 此时，BE =AB =3.

△当△CB ′E =90°时，如图例4-3所示.

由折叠性质知，△AB ′C =90°，所以△AB ′C+△CB ′E =180°. △点A 、B ′、C 共线

在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC =5 由折叠得：AB = AB ′=3 所以B ′C =2

设BE =x ，则B ′E =x ，EC =4－x

在Rt △ABC 中，由勾股定理得：EC 2=B ′E 2+B ′C 2 即：（4-x ）2=x 2+22 解得：x =1.5.

综上所述，BE 的值为3或1.5.

【点睛】本题解题关键在准确对问题进行分类讨论且作出相应图形，要求学生掌握三点共线的理由，折叠的性质及勾股定理的应用.

3、如图例5-1，在Rt ABC ?中，90A ∠=?，AB AC =，1BC =+，点M ，N 分别是边BC ，AB 上

的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MB C ?为直角三角形，则

BM 的长为．

图例5-1

图例5-2

图例5-3

【解析】通过观察及分析可知，C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论. △当△CM B ′=90°时，如图例5-2所示.

由折叠知：△BMN =△B ′MB =45°，又因为△B =45°，所以△BNM =90°，△MNB ′=90° 即△BNM +△MN B ′=180°，所以B 、N 、B ′三点共线，此时B ′与点A 重合.

所以，12BM BC =

= △当△CB ′M =90°时，如图例5-3所示.

由折叠知△B =△B ′=45°，因为△C =45°，可得△B ′MC =45°，所以△B ′MC 是等腰直角三角形

设BM = B ′M =x ，B ′C =x ，则MC =

因为BC +1

所以x x +1 解得：x =1，即BM =1.

综上所述，BM 或1. 【点睛】根据题意判断出C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的三边关系求解. 4、如图例6-1，在△MAN =90°，点C 在边AM 上，AC =4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A’BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称. D 、E 分别为AC 、BC 的中点，连接DE 并延长交A’B 所在直线于点F ，连接A’E . 当△A’EF 为直角三角形时，AB 的长为

图例6-1

图例6-2

图例6-3

【解析】分两种情况讨论.

△当△A’FE=90°时，如图例6-2所示.△D、E分别为AC、BC的中点

△DE是三角形ABC的中位线

即DE△BA

△△A’BA=90°

△四边形AB A’C为矩形

由折叠得AC=A’C

△四边形AB A’C为正方形

即AB=AC=4.

△当△A’EF=90°时，如图例6-3所示.△△A’EF=△CDE=90°

△A’E△CD

△△DCE=△CEA’

由折叠知：△DCE=△A’CE

△△CEA’=△A’CE

△A’C=A’E=4

又△E是BC中点

即A’E是Rt△A’BC的中线

△BC=2A’E=8

在Rt△A’BC中，由勾股定理得，A’B=

由折叠性质得：AB= A’B=.

综上所述，AB的长为4或.

【点睛】利用中位线性质（三角形的中位线平行于第三边）及正方形判定，用勾股定理求解.

【针对训练】

1、矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把△B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( )

A．3B．3

C．2或3D．3或

【解析】

【分析】

当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

△当点B′落在矩形内部时，如图1所示．

连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得△AB′E=△B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到△EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即△B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．

△当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形．

【详解】

当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

△当点B′落在矩形内部时，如图1所示．

连结AC，

在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，

，

△△B沿AE折叠，使点B落在点B′处，

△△AB′E=△B=90°，

当△CEB′为直角三角形时，只能得到△EB′C=90°，

△点A、B′、C共线，即△B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，△EB=EB′，AB=AB′=3，

△CB′=5-3=2，

设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，

在Rt△CEB′中，

△EB′2+CB′2=CE2，

△x2+22=（4-x）2，解得x=3

，

△BE=3

；

△当点B′落在AD边上时，如图2所示．

此时ABEB′为正方形，△BE=AB=3．

综上所述，BE的长为3

或3．

故选D．

【点睛】

本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．

2、如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、

DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则AD

的值为

A．11

B．

C．

D．

【解析】

【分析】

根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由△EOF=△BOP、△B=△E、OP=OF可得出△OEF△△OBP（AAS），

根据全等三角形的性质可得出OE =OB 、EF =BP ，设EF =x ，则BP =x 、DF =4﹣x 、BF =PC =3﹣x ，进而可得出AF =1+x ．在Rt△DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，即可得出答案．【详解】

根据折叠，可知：△DCP △△DEP ，△DC =DE =4，CP =EP ．

在△OEF 和△OBP 中，△90EOF BOP B E OP OF ∠∠∠∠=??

==???=?

，△△OEF △△OBP （AAS ），△OE =OB ，EF =BP ．

设EF =x ，则BP =x ，DF =DE ﹣EF =4﹣x ．

又△BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC ﹣BP =3﹣x ，△AF =AB ﹣BF =1+x ．

在Rt△DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，即（1+x ）2+32=（4﹣x ）2，解得：x =0.6，△DF =4﹣x =3.4，△15

AD DF =．故选C ．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF =1+x ，求出AF 的长度是解题的关键．

3、如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 是BC 上一点，

Q 是CD 上一动点，将△CEQ 沿直线EQ 折叠后，点C 落在点P 处，连接PA ．点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动，当PA 的长度最小时，CQ 的长为（）

A．3B．3C．3

D．3

【解析】

试题解析：如图所示：

在Rt△ABE中，AE=．△BC=3，BE=，

△EC=3-．

由翻折的性质可知：PE=CE=3-．

△AP+PE≥AE，

△AP≥AE-PE．

△当点A、P、E一条直线上时，AP有最小值．

△AP=AE-PE=2-（3-）=3-3．

故选A．

考点：翻折变换（折叠问题）．

4、如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把矩形沿AE 折叠，使点

B 落在点B '处．当CEB '?为直角三角形时，BE 的长为____________．

【解析】【分析】

当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： △当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．

连结AC ，先利用勾股定理计算出AC=10，根据折叠的性质得△AB′E=△B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到△EB′C=90°，所以点A 、B′、C 共线，即△B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=6，可计算出CB′=4，设BE=x ，则EB′=x ，CE=8-x ，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x ．

△当点B′落在AD 边上时，如答图2所示．此时四边形ABEB′为正方形．【详解】

由题意知，需分两种情况讨论：

△当90CB E ?'∠=时，如图1，由折叠得，90AB E B ?'∠=∠=，AB AB '=，

△180AB C ?'∠=，

△,,A B C '三点共线．在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =， △5AC =． △AB AB 3'==， △2B C AC AB ''=-=．

设BE x =，则4CE BC BE x =-=-，B E x '=，

在Rt B CE '?中，222B E B C CE ''+=，即2222(4)x x +=-，解得32

x =

． △当90B EC ?'∠=时，如图2，由折叠可知ABE AB E '??≌，

△BE B E '=，90B AB E ?'∠=∠=， △四边形ABEB '是正方形， △3BE AB ==．

综上所述，当CEB '?为直角三角形时，BE 的长为

或3．

故答案是：

或3. 【点睛】

考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．

5、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝，E 是AB 边上一点，AE ＝2，F 是直线CD 上一动点，将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点A ′，当点E ，A ′，C 三点在一条直线上时，DF 的长为_____．

【解析】

【分析】

利用勾股定理求出CE，再证明CF=CE即可解决问题．（注意有两种情形）【详解】

解：如图，由翻折可知，△FEA＝△FEA′，

△CD△AB，

△△CFE＝△AEF，

△△CFE＝△CEF，

△CE＝CF，

在Rt△BCE中，EC==，

△CF＝CE＝，

△AB＝CD＝6，

△DF＝CD﹣CF＝6﹣，

当点F在DC的延长线上时，易知EF△EF′，CF＝CF′＝，

△DF＝CD+CF′＝

故答案为6﹣或．

【点睛】

本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，本题的突破点是证明△CFE的等腰三角形，属于中考常考题型．

6、如图，在菱形ABCD中，△DAB=45°，AB=4，点P为线段AB上一动点，过点P作PE△AB交直线AD 于点E，将△A沿PE折叠，点A落在F处，连接DF，CF，当△CDF为直角三角形时，线段AP的长为__________．

【解析】

【分析】

分两种情形讨论：△如图1，当DF△AB时，△CDF是直角三角形；△如图2，当CF△AB时，△DCF是直角三角形，分别求出即可．

【详解】

分两种情况讨论：△如图1，当DF△AB时，△CDF是直角三角形．

△在菱形ABCD 中，AB =4，△CD =AD =AB =4．

在Rt△ADF 中，△AD =4，△DAB =45，DF =AF ，△AP 1

=AF =

△如图2，当CF △AB 时，△DCF 是直角三角形．

在Rt△CBF 中，

△△CFB =90°，△CBF =△A =45°，BC =4，△BF =CF ，△AF ，△AP 1

=AF =2．

综上所述：线段AP 或2．

或2．【点睛】

本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键，正确画出图象，注意分类讨论的思想，属于中考常考题型．