空间几何体外接球与内切球问题解决方法

数学复习：空间几何体的外接球与内切球

数学复习：空间几何体的外接球与内切球 一、有关定义 1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球. 2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球. 3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 二、外接球的有关知识与方法 1．性质： 性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等； 性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）； 性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心； 性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）. 初图1 初图2 2．结论： 结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心； 结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆； 结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处； 结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球； 结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上； 结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球. 3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）； 三、内切球的有关知识与方法 1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）. 2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）. 3．正多面体的内切球和外接球的球心重合. 4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 5．基本方法： （1）构造三角形利用相似比和勾股定理； （2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）. 四、与台体相关的，此略.

数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题.

高中数学课题研究 几何体与球切、接的问题 纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见. 首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 1 球与柱体的切接 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==；二 是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则GO R a ==；三是球为正方体的 外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则12 A O R a '==.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.

解决几何体的外接球与内切球

解决几何体的外接球与内切球，就这6个题型！ 一、外接球的问题 简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键． （一）由球的定义确定球心 在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心． 由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论． 结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点． 结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点． 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点． 结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到． 结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心． （二）构造正方体或长方体确定球心

长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法． 途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体． 途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体． 途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体． 途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体． （三）由性质确定球心 利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．

二、内切球问题 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。

微专题[球与几何体的内切与外接

球与几何体的外接与内切 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。 一、公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 98，底面周长为３，则这个球的体积为 .答： 43 V π∴=球 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 三、补形法:补成长方体，正方体 例3 ，则其外接球的表面积是 . 答： 249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分 别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是 长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接 球的半径为R ，则有2R = 变式1：如图所示，已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥BC ，DA=AB=BC=2，则球O 的体积等于 . 2 3 变式2：三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ B ）A ．26a π B ．29a π C ．212a π D ．224a π 变式3：棱长为2的正四面体的外接球的表面积为 . π3 内切球的表面积 .3 π 变式4：四面体BCD A -中6==CD AB ,5====BC AD BD AC , 求其外接球的表面积. π43 变式5：边长为2的正三角形ABC ?,沿高AD 翻折使B 和C 距离1，求四面体ABCD 的外接球的表面积。3 13π A O D B 图4

搞定空间几何体的外接球与内切球(教师版)(推荐文档)

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球 当讲到付雨楼老师于2018年1月14日总第539期微文章，我如获至宝.为有了教学的实施，我以付老师的文章主基石、框架，增加了我个人的理解及例题，形成此文，仍用文原名，与各位同行分享.不当之处，敬请大家批评指正. 一、有关定义 1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球. 2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球. 3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 二、外接球的有关知识与方法 1．性质： 性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等； 性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）； 性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心； 性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）. 初图1 初图2 2．结论： 结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心； 结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆； 结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处； 结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球； 结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上； 结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球. 3．终极利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）； 三、内切球的有关知识与方法 1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）. 2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）. 3．正多面体的内切球和外接球的球心重合. 4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 5．基本方法：

几何体的外接球与内切球问题归纳

几何体的外接球与内切球问题归纳 2020.9.10 课前测验： 1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为． 2..正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60°角，则正三棱锥的外接球的体积为（） A．4πB．16πC．D． 3.一个四面体所有棱长都为4，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（） A．24πB．C．D．12π 4.已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，且两两垂直，△ABC是边长为2的正三角形，则球O的体积为（） A．8πB．4πC．πD．π 5.在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′＝，AB＝2，则该正三棱柱外接球的表面积是（）A．7πB．C．D．8π 例1、在三棱锥P﹣ABC中，P A＝PB＝PC＝2，且P A，PB，PC两两互相垂直，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（） A．4πB．8πC．16πD．2π 变式训练：已知三棱锥S﹣ABC，△ABC是直角三角形，其斜边，SC⊥平面ABC，SC＝6，则三棱锥的外接球的表面积为（） A．144πB．72πC．100πD．64π 例2、已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC ＝，则球O的体积为（） A．B．C．D． 变式训练：已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，∠BAC＝120°，SA＝AB ＝AC＝2，则球O的表面积为（） A．4πB．C．20πD．36π 例3、已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的体积是（）A．16πB．C．64πD．

立体几何之内切球与外接球求法(经典习题)

圆梦教育中心 立体几何之内切球与外接球 一、球与棱柱的组合体问题 1. （2007天津理?12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱 的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ． 答案 14π 2.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A . 1∶3 B . 1∶3 C . 1∶33 D . 1∶9 答案 C 3.已知正方体外接球的体积是 π3 32 ，那么正方体的棱长等于（ ） A.22 B. 332 C.324 D.3 3 4 4.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为23 3，则它的外接球的表面积为（ ） A ．π3 8 B ．2π C ．4π D ．π3 4 答案C 5.（2007全国Ⅱ理?15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2. 答案 2+ 6.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 8 ，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 答案 3 4π 7．（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD,四边形 ABCD 是边长为正方 形 .若则△OAB 的面积为______________. 二、锥体的内切球与外接球 8.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考） 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案 9.（2006辽宁）如图，半径为2的半球 内有一内接正六棱锥 P A B C D E F -，则此正六棱锥的侧面积是________． 答案 F

简单几何体的外接球与内切球问题

简单几何体的外接球与内切球问题 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。 一、 直棱柱的外接球 1、 长方体的外接球： 长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对

角线长l 即2 2 22c b a R ++= 2、 正方体的外接球： 正方体的棱长为a ，则正方体的体对角线为a 3，其外接球的直径R 2为a 3。 3、 其它直棱柱的外接球： 方法：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。 例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 例2、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 二、 棱锥的外接球 1、 正棱锥的外接球 方法：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是球半径，列出关于半径的方程。 例3、正四棱锥 S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积

空间几何体的内切球和外接球问题

空间几何体的内切球与外接球问题 1.[2016·全国卷Ⅱ] 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) A.12π B 、32 3π C.8π D.4π [解析]A 因为正方体的体积为8,所以正方体的体对角线长为23,所以正方体的外接球的 半径为3,所以球的表面积为4π·(3)2 ＝12π、 2.[2016·全国卷Ⅲ] 在封闭的直三棱柱ABC - A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ,AB ＝6,BC ＝8,AA 1＝3,则V 的最大值就是( ) A.4π B 、9π2 C.6π D 、32π 3 [解析]B 当球与三侧面相切时,设球的半径为r 1,∵AB ⊥BC ,AB ＝6,BC ＝8,∴8－r 1＋6－r 1＝10,解得r 1＝2,不合题意;当球与直三棱柱的上、下底面相切时,设球的半径为r 2,则2r 2＝3, 即r 2＝32、∴球的最大半径为32,故V 的最大值为43π×? ????323＝92π、 3、[2016·郑州模拟] 在平行四边形ABCD 中,∠CBA＝120°,AD ＝4,对角线BD ＝23,将其沿 对角线BD 折起,使平面ABD⊥平面BCD,若四面体ABCD 的顶点在同一球面上,则该球的体积为________. 答案: 205 3 π;解析:因为∠CBA ＝120°,所以∠DAB ＝60°,在三角形ABD 中,由余弦定理得(23)2 ＝42 ＋AB 2 －2×4·AB ·cos 60°,解得AB ＝2,所以AB ⊥BD 、折起后平面ABD ⊥平面BCD ,即有AB ⊥平面BCD ,如图所示,可知A ,B ,C ,D 可瞧作一个长方体中的四个顶点,长方体的 体对角线AC 就就是四面体ABCD 外接球的直径,易知AC ＝22＋42 ＝25, 所以球的体积为205 3 π、 4、[2016·山西右玉一中模拟] 球O 的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C 四点共面,△ABC 就是边长为2的正三角形,平面SAB⊥平面ABC,则棱锥S -ABC 的体积的最大值为( ) A 、 3 3 B 、 3 C .2 3 D .4 选A;[解析] (1)由于平面SAB ⊥平面ABC ,所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上,根据球的对称性可知,当S 在“最高点”,即H 为AB 的中点时,SH 最大,此时棱锥S -ABC 的体积最大. 因为△ABC 就是边长为2的正三角形,所以球的半径r ＝OC ＝23CH ＝23×32×2＝23 3 、 在Rt △SHO 中,OH ＝12OC ＝3 3, 所以SH ＝ ? ????2332－? ?? ??332 ＝1, 故所求体积的最大值为13×34×22 ×1＝33 、

空间几何体的外接球内切球问题

空间几何体的外接球、内切球问题 自己总结供参考 红岩 外接球问题 一.棱锥的外接球 三棱锥都有外接球；底面有外接圆的任意棱锥都有外接球。 1.确定棱锥外接球球心的通法 先找到棱锥底面的外接圆的圆心D ，过D 作底面的垂线ＤＰ交一侧棱的中垂面于O ，点O 即为外接球的球心。 练习： 1.三棱锥S-ABC 的各顶点都在同一球面上，若SB ⊥平面ABC ,SB=6，AB=AC=2120BAC ∠=?，则此球的表面积等于 。 2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为 。 3.四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，32=AC ， 6=BD ，则该球的表面积为 （ ） A ． π14 B.π15 C.π16 D.π18 2.补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一结论求解。 练习： 1.三棱锥O ABC - 中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a = ==，则三棱锥 O ABC -外接球的表面积为（ ） A ． 26a π B ．29a π C ．212a π D ．224a π

2.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB == ， BC =O 表面积等于 （A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π 3. ,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( ) A.3π B.4π D.6π 4. 3.公共边所对的两个角为直角确定球心法 练习 1.在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角 B A C D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.125 3π 2.空间四边形ABCD 中，1,AB BC AD DC ====ABCD 的外接球的表面积为 4.利用轴截面截球为大圆确定球半径 正四、六、八棱锥的外接球的一个轴截面为大圆，该圆的半径等于外接球的半径. 练习： 1.正四棱锥S ABCD - S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 . 2.正六棱锥EF S ABCD -的底面边长为1 S A B C D 、、、、、E 、F 都在同一球面上，则此球的表面积为 . 3. 表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 _ C _ A _ O _ D _ B

高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型

空间几何体的外接球与内切球经典类型 类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 图1-1 图1-2 图1-3 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2 2 2 2 )2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．π16 B ．π 20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 （3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则 正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 . 解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1， 取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ， 则H 是底面正三角形ABC 的中心， ∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥， ΘBC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ， ∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3）-2， ΘMN AM ⊥，MN SB //， (3)题-1(引理） A C

∴SB AM ⊥，ΘSB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥，ΘSA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥， 故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直， ∴36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642 =R ， ∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36. （4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠? AB AC SA BAC 则该四面体的外接 球的表面积为（ ） π11.A π7.B π310. C π3 40 .D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 （6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形 和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为 类型二、对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==， y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组， (6) 题图 图2-1

空间几何体的内切球和外接球问题

空间几何体的内切球与外接球问题 1．[2016·全国卷Ⅱ] 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．12π π C ．8π D ．4π [解析]A 因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为23，所以正方体的外 接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2 ＝12π. 2．[2016·全国卷Ⅲ] 在封闭的直三棱柱ABC - A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A ．4π C ．6π [解析]B 当球与三侧面相切时，设球的半径为r 1，∵AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，∴8－r 1 ＋6－r 1＝10，解得r 1＝2，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为 r 2，则2r 2＝3，即r 2＝32.∴球的最大半径为32，故V 的最大值为43π×? ????323＝92π. 3.[2016·郑州模拟] 在平行四边形ABCD 中，∠CBA＝120°，AD ＝4，对角线BD ＝23， 将其沿对角线BD 折起，使平面ABD⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一球面上，则该球的体积为________． 答案：2053π；解析：因为∠CBA ＝120°，所以∠DAB ＝60°，在三角形ABD 中，由余 弦定理得(23)2 ＝42 ＋AB 2 －2×4·AB ·cos 60°，解得AB ＝2，所以AB ⊥BD .折起后平面ABD ⊥平面BCD ，即有AB ⊥平面BCD ，如图所示，可知A ，B ，C ，D 可看作一个长方体中的四 个顶点，长方体的体对角线AC 就是四面体ABCD 外接球的直径，易知AC ＝22＋42 ＝25， 所以球的体积为205 3 π. 4.[2016·山西右玉一中模拟] 球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC ，则棱锥S-ABC 的体积的最大值为( ) C ．2 3 D ．4 选A ；[解析] (1)由于平面SAB ⊥平面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上，根据球的对称性可知，当S 在“最高点”，即H 为AB 的中点时，SH 最大，此时棱锥S -ABC 的体积最大． 因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以球的半径r ＝OC ＝23CH ＝23×32×2＝23 3 . 在Rt △SHO 中，OH ＝12OC ＝3 3， 所以SH ＝ ? ????2332－? ?? ??332 ＝1，

空间几何体的外接球与内切球(一)

3 3 空间几何体的外接球与内切球（一） 第一讲 柱体背景的模型 类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 侧 1-1 侧 1-2 侧 1-3 侧 1-4 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R )2 = a 2 + b 2 + c 2 ，即2R = ，求出 R 例 1 （ 1） 已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4 ， 体积为 16 ， 则这个球的表面积是 （ C ） A ．16 B ． 20 C ． 24 D ． 32 解： V = a 2 h = 16 ， a = 2 ， 4R 2 = a 2 + a 2 + h 2 = 4 + 4 + 16 = 24 ， S = 24 ，选 C ； （2） 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 ， 则 其 外 接 球 的 表 面 积 是 9 解： 4R 2 = 3 + 3 + 3 = 9 ， S = 4R 2 = 9； （3） 在正三棱锥 S - ABC 中， M 、N 分别是棱 SC 、BC 的中点，且 AM ⊥ MN ,若侧棱 SA = 2 ,则 正三棱锥 S - ABC 外接球的表面积是 . 36 S 解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1， 取 AB , BC 的中点 D , E ，连接 AE , CD ， AE , CD 交于 H ，连接 SH ， 则 H 是底面正三角形 ABC 的中心， ∴ SH ⊥ 平面 ABC ，∴ SH ⊥ AB ， A C D H E B AC = BC ， AD = BD ，∴ CD ⊥ AB ，∴ AB ⊥ 平面 SCD ， ∴ AB ⊥ SC ，同理： BC ⊥ SA ， AC ⊥ SB ，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3）-2， AM ⊥ MN ， SB // MN ， ∴ AM ⊥ SB ， AC ⊥ SB ，∴ SB ⊥ 平面 SAC ， ∴ SB ⊥ SA ， SB ⊥ SC ， SB ⊥ SA ， BC ⊥ SA ， A ∴ SA ⊥ 平面 SBC ，∴ SA ⊥ SC ， 故三棱锥 S - ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直， (3)侧-1(侧侧侧 S M C N B (3)侧-2侧侧侧侧侧 P c B b a C A P c C b A a B P c C b A a B P c A a b C B a 2 + b 2 + c 2

几何体的外接球与内切球

几何体的外接球与内切球 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、体积分割是求内切球半径的通用做法。 一、外接球 （一）多面体几何性质法 1、 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 2、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3， 则此球的表面积为 。 （二）补形法 1、，则其外接球的表面积是 . 2、设,,,P A B C 是球O 面上的四点,且,,PA PB PC 两两互相垂直,若PA PB PC a ===, 则球心O 到截面ABC 的距离是 . 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径. 设其外接球的半径为R ，则有2R = 3、三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥 O ABC -外接球的表面积为（ ） A ．2 6a π B ．2 9a π C ．2 12a π D ．2 24a π 4、三棱锥ABC P -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ?是正三角形 ⊥PA 平面 62,==AB PA ABC 则该球的体积为（ ） A. π316 B. π332 C. π48 D. π364 答案及解析： 10.B

简单几何体的外接球与内切球问题

简单几何体的外接球与内切球问题 定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接 球。 定义2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多 面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。 一、直棱柱的外接球 1、长方体的外接球： 长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c，则体对角线长为I a2 b2 c2，几何体的外接球直径2R为体对

,1_2 Z2 2 a b c 角线长1即R 2 2、正方体的外接球： 正方体的棱长为a，则正方体的体对角线为.3a，其外接球的直径2R为-3a。 3、其它直棱柱的外接球： 方法：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。 例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3,则这个球的体积为. 8 例2、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是 A. 16 B. 20 C. 24 D. 32 二、棱锥的外接球 1、正棱锥的外接球 方法：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是球半径，列出关于半径的方程。

例3、正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一球面上，贝卩此球的体积 为. 例5、若正四面体的棱长为4,则正四面体的外接球的表面积为__________________ 。 例6、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥 的体积是：（） （A）凶3（B）返（C）也（D）乜 4 3 412 2、补体方法的应用 （1）、正四面体（2）、三条侧棱两两垂直的三棱锥 （3）、四个面均为直角三角形的三棱锥 例7、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6cm2、4cm2和3cm2，那么它的外接球的体积是 _______________ 例9、在三棱锥 A BCD 中，AB 平面BCD,CD BC ,AB 3, BC 4，CD 5 则三棱锥A BCD外接球的表面积______________ 。 例10、如图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）

空间几何体的外接球与内切球问题精讲

空间几何体的外接球与内切球问题精讲 类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 图2 图3 图4 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2 2 2 2 )2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 解：（1）162 ==h a V ，2=a ，24164442 2 2 2 =++=++=h a a R ，π24=S ，选C ； （2 ）933342 =++=R ，ππ942 ==R S （3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。π36 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下： 如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥， BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ， ∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //， ∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥， 故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直， ∴36)32()32()32()2(2222 =++=R ，即3642=R ， ∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36 (3)题-1 A (3)题-2 A

高中数学几何体的外接球与内切球

. 几何体的外接球与内切球 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、体积分割是求内切球半径的通用做法。 一、外接球 （一）多面体几何性质法 1、 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 2、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3， 则此球的表面积为 。 （二）补形法 1、 ，则其外接球的表面积是 . 2、设,,,P A B C 是球O 面上的四点,且,,PA PB PC 两两互相垂直,若PA PB PC a ===, 则球心O 到截面ABC 的距离是 . 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R = 3、三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥 O ABC -外接球的表面积为（ ） A ．2 6a π B ．2 9a π C ．212a π D ．2 24a π 4、三棱锥ABC P -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ?是正三角形 ⊥PA 平面 62,==AB PA ABC 则该球的体积为（ ） A. π316 B. π332 C. π48 D. π364

几何体的外接球与内切球总结(含解析)

【课前测试】 1、已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为． 解析：设正方体的棱长为a， ∵这个正方体的表面积为18，∴6a2＝18，则a2＝3，即a＝， ∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径， 即a＝2R，即R＝，则球的体积V＝π?（）3＝；故答案为：． 答案： 2、已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，且两两垂直，△ABC 是边长为2的正三角形，则球O的体积为（） A．8πB．4πC．πD．π 解析：把三棱锥P﹣ABC放入正方体中，如图所示： ∵△ABC是边长为2的正三角形，∴此正方体的棱长为， ∵正方体的外接球即是三棱锥P﹣ABC的外接球，∴球O的半径R＝＝，∴球O的体积为：π，故选：C． 答案：C 1

2 几何体的外接球与内切球 【知识梳理】 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 【课堂讲解】 类型一 墙角模型(三条线两两垂直，不找球心的位置即可求出球的半径) 方法：找三条两两相互垂直的线段，直接用公式2R =√a 2+b 2+c 2，即可求出R . 例1、在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝2，且P A ，PB ，PC 两两互相垂直，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为（ ） A ．4 π B ．8 π C ．16 π D ． 2 π 解析：以P A 、PB 、PC 为过同一顶点的三条棱，作正方体如图， 则正方体的外接球同时也是三棱锥P ﹣ABC 外接球． ∵正方体的对角线长为2 ，∴球直径为2 ，半径R ＝ ， 因此，三棱锥P ﹣ABC 外接球的体积为：πR 3＝π×（ ）3＝4 π故选：A ． 答案：A

人教版高中数学必修二考点练习：几何体的外接球和内切球

几何体的外接球和内切球 一、外接球 1. 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3则此球的表面积__________． 2. 棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______． 3. 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面积为________． 4. 已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________ 5. 表面积为43 3 的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( ) A.23π B.13π C.23π D.223 π 6. 三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC 且P A ＝2，△ABC 是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( ) A.4π3 B ．4π C ．8π D ．20π 7. 若三棱锥S -ABC 的所有的顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA ＝AB ＝2，AC ＝4，∠BAC ＝π 3 ，则球O 的表面积为________． 8. 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的体积是( )

A.43π B.83π C ．2π D ．4π 9. 已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为22，则该球的表面积为________． 10. 已知A ，B ，C 是球O 的球面上三点，AB ＝2，AC ＝23，∠ABC ＝60°，且三棱锥O -ABC 的体积为463 ，则球O 的表面积为________． 11. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A ．π B.3π4 C.π2 D.π4 12. 已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为________． 13. 四面体A -BCD 中，若AB ＝CD ＝2，AC ＝BD ＝3，AD ＝BC ＝2，则四面体A -BCD 的外接球的体积是________． 14. 正四棱锥S ABCD 2S 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上，则该球的体积为_______．