《光子晶体滤波器》word版

光子晶体滤波器理论基础

2.1 光子晶体概述

2.1.1光子晶体概念

光子晶体也叫光子带隙材料（PBG ）,它的概念是在1987年分别由S ．John 和E ．Yablonovitch 等人提出来的。经过几十年的发展，光子晶体已成为人们非常关注的领域。所谓光子晶体，是一种介电常量呈空间周期性分布的人工介质结构，它具有光子禁带，频率和能量处于禁带内的光子无法进入光子晶体内部，在光子晶体内部完全被禁止存在[12-14]。在固体物理研究发现，晶体中的周期性排列的原子所产生的周期性电势场中的电子有一个特殊的约束作用。在这样的空间周期性电势场中的电子运动是由如下的薛定谔方程决定的：

（2.1）

其中）（r V →是电子的势能函数，它有空间周期性。我们求解以上方程(2.1) 可以发现，电子能量Ｅ只能取某些特殊值，在某些能量区间内方程无解―― 即电子能量不能落在在这样的能量区间，通常称之为能量禁带。研究发现， 电子在这种周期性结构中的德布罗意波长与晶体的晶格常数有大致相同数 量级。

　＝０，－ E 2m + 2??? ??ψ?????????? ????? ???→→t V r r

从电磁场理论知道，在介电系数呈空间周期性分布的介质中，电 磁场所服从的规律是如下所示的Maxell 方程：

其中，0ε为平均相对介电常数，??? ??→r ε为相对介电常数的调制部分，他 随空间位置作周期性变化，Ｃ为真空中的光速，ω为电磁波的频率，

()t r E , 是电磁波的电矢量，可以看到方程式 1.1)和(1.2)具有一定的相似性。事实上，通过对方程式(2)的求解可以发现，该方程式只有在某些特定的频率ω处才有解，而在某些频率ω取值区方程无解。这也就是说，在介电常数呈周期性分布的介质结构中的电磁波的某些频率是被禁止的，通常

图2.1光子禁带示意图

称这些被禁止的频率区间为＂光子频率禁带＂(Photonic Band Gap )，如图2.1所示，而将具有＂光子频率禁带＂的材料称作为光子晶体。

而我们正是利用光子晶体的“光子频率禁带”这一特点来制作滤波器，使其满足我们需要的波段要求，具有较大的实际意义。

＝０，－＋Ｃ＋??? ??→????????????? ????? ???→t r E r εεω0222（1.2）

2.1.2光子能带理论

由电子的能带理论知道，当把电子的运动近似地看成单个电子在一个等效的周期性势场中运动时，电子的波函数Ψ满足薛定谔方程，即

2

2()2e h V r E m ψψ??-?+=??????

（2-3） ()()n V r V r R =+ （2-4） 其中h 为普朗克常数，e E 为电子能量，式（1-2）表示位能)(r V 具有周期性，其周期为晶格矢量n R 。

另一方面，一束频率为ω的光在不均匀的无损耗介质中传播时，它的电矢量E 所满足的麦克斯韦方程可写成

2

2

21022()()E E r E E c c ωωεε-?+???-= （2-5）

其中0ε是常数，为介质的平均介电常数； 1()r ε是扰动介电常数，c 为真空中的光速。而当光子是在一个介电常数作周期性变化的介质中传播时，令'n

R 为变化的周期，则 '11()()n r r R εε=+ （2-6）

比较式（1-1）和式（1-3），可以看出它们的形式有某种相似之处，从而建立如下的类比关系

2

12()()r V r c ωε-- （2-7） 即介电常数的变化相当于位能的变化。 0ε相当于电子的能量本征值。

从光子及电子运动方程的可类比性得出：在一个折射率周期变化的结构中，光子的运动将类似于在周期性势能变化下电子的运动。因此，折射率周期变化的结构应具有光子的能带结构及相应的光子能隙。所谓能带、能隙是指光子的频率ω与波矢k的某种关系，如图1-1所示。

由此可见，光子的k-ω曲线是线性的，而电子的k-ω曲线是抛物线型的。这里可用描述电子能带结构的布里渊区来描述光子的能带结构。布里渊区是在波矢空间中的一些特定区域，在每个布里渊区内部，频率随波矢连续变化，属于一个布里渊区的能级构成一个能带。在布里渊区的边界上频率作为波矢的函数发生突变，即出现能隙。这样对于存在光子能隙的介质来说，不是所有频率的光都能在其中传播的，相应于光子能隙区域的那些频率的光将不能通过介质，而是被全部反射出去[15]。这些被禁止的频率区间通常被称为“光子带隙”（Photonic Band Gap）。通常称具有光子带隙（PBG）的空间结构材料为光子晶体，这一概念最先是在1987年分别由S.John和E.Yablonovitch等人提出来的。

进一步研究可以发现，随着光在晶体中的传播方向的改变，光子带隙的位置也会改变，可能在某一个方向被禁止的光线在其他的方向却能传播，这种光子带隙被称为不完全光子带隙。在考虑到作为玻色子的光子和费米子的电子的不同以后，发现对于二维的密堆积排列和三维面心立方结构，

通过改变晶格常量和对称性，可以使所有方向上的能隙重合，也就是说可以存在完全光子带隙。后来的研究表明，要得到完全光子带隙，晶体的电容率对比值还要大于 2.0。事实上影响光子带隙产生的因素还有很多。由于在光子晶体中频率落在光子带隙内的电磁波不能传播，因此它具有许多特殊的物理现象，例如：抑制自发辐射、能量转移、光子压缩态、光双稳和光开关等。此外，光子晶体的应用价值很大程度上还在于缺陷态的存在。类似普通晶体中的掺杂或缺陷会在电子禁带中造成允许能级，同样的在一定程度上破坏了光子晶体的对称性（加入或取出一部分物质），可以在光子带隙中产生很窄的允许频带，也就是说可以做出对某一特定波长透明的窗口，频率与之吻合的光波被局域在该窗口，一旦偏离，强度会迅速衰减

。

2.1.3光子晶体的结构

一维光子晶体把在一维一个方向上具有光子频率禁带的材料称为一维光子晶体。图2-3(a)给出的是一种简单一维的光子晶体结构，它是有两种介质交替叠层而成的，其中的黑色部分为一种介质，黑色与黑色之间为另一种介质所填充。这种结构在垂直于介质片的方向上介电常数是空间位置的周期性函数，而在平行于介质片平面的方向上介电常数不随空间位置而变化。这种结构的光子晶体在光纤和半导体激光器中己得到了应用。所谓的布拉格光纤和半导体激光器的分布反馈式谐振腔实际上就是一维光子晶体。

二维光子晶体把在二维空间各方向上具有光子频率禁带特性的材料称为二维光子晶体。图2-3（b)给出的是一种典型的二维光子晶体结构，它是由许多介质杆平行而均匀地排列而成的。这种结构在垂直于介质柱的方向上介电常数是空间位置的周期性函数，而在平行于介质柱的方向上介电常数不随空间位置而变化。长波长二维光子晶体多通过上下两个带孔的薄片将细小的介质杆或金属杆固定住，薄片孔的排列决定该光子晶体的结构。而短波长二维光子晶体多采用在半导体基片上打孔的方法来制造，这时图2-3(b)中的圆柱介质变成了空气柱或真空圆柱，而其中圆柱体之间的空间则变成了半导体材料。

三维光子晶体三维光子晶体是指在三维空间各方向上都具有光子频率禁带特性的材料。图2-3(c)是一种典型的三维光子晶体结构。美国贝尔通讯研究所的 E.Yablonovitch创造出了世界上第一个具有完全光子频率禁带的三维光子晶体，它是一种由许多面心立方体构成的空间周期性结构，也称为钻石结构[16]。

2.1.4 光子晶体的理论研究方法

在设计和分析光子晶体时，人们最关心的是它的透射系数随入射波长的变化，这就涉及到分析光子晶体的带隙结构，最早使用的方法是标量波法，虽然它能推算出能带结构，但它不能很好地解释实验现象：面心立方结构的光子晶体具有光子带隙。随后，人们意识到光波是矢量波，它应该满足麦克斯韦方程。因此出现了矢量波法。随着研究的深入，运用的方法也越来越多，它们的核心都是解麦克斯韦方程。下面介绍几种最常用的计算方法。

（1）频域法

平面波展开法这是在光子晶体能带研究中用得比较早和用得最多的一种方法。主要是将电磁场以平面波的形式展开，何启明等人在预言光子禁带的存在的文章中便是用的这种方法。电磁场在倒格矢空间以平面波叠加的形式展开，可以将麦克斯韦方程组化成一个本征方程，求解本征值便得到传播的光子的本征频率。但是，这种方法有明显的缺点：计算量与平面波的波数有很大关系，几乎正比于所用波数的立方，因此会受到较严格的约束，对某些情况显得无能为力。如当光子晶体结构复杂或处理有缺陷的体系时，需要大量平面波，可能因为计算能力的限制而不能计算或者

难以准确计算。如果介电常数不是恒值而是随频率变化，就没有一个确定的本征方程形式，而且有可能在展开中出现发散，导致根本无法求解。

转移矩阵方法 由磁场在实空间格点位置展开，将麦克斯韦方程组化成转移矩阵形式，同样变成本征值求解问题。转移矩阵表示一层（面）格点的场强与紧邻的另一层（面）格点场强的关系，它假设在构成的空间中在同一个格点层（面）上有相同的态和相同的频率，这样可以利用麦克斯韦方程组将场从一个位置外推到整个晶体空间。这种方法对介电常数随频率变化的金属系统特别有效，由于转移矩阵小，矩阵元少，计算量较前者大大降低，只与实空间格点数的平方成正比，精确度也非常高，而且还可以计算反射系数及透射系数。

（2）时域法

时域法是解麦克斯韦方程的时域形式

D H J t ???=

+? （2-8）B E t

???=? （2-9） FDTD （finite-difference time-domain ）时域有限差分法

1966年由Yee 首先提出，其基本做法是：将问题空间沿3个坐标轴分成很多网格单元（Δx ，Δy ，Δz ），用中心有限差分式来表示函数对空间和时间的偏导数，然后带入麦克斯韦方程，再利用布里渊区边界的周期条件，求出结果。在执行FDTD 算法时，随着时间的增长，保证算法的稳定性是一个重要问题，应选择

min min min min(,,)2x y z t c

????= （2-10） 但是，有限差分法没有考虑晶格格点的形状，如果遇到具有特殊格点形状的光子晶体，就很难得到精确解。

此外，在研究有缺陷的光子晶体时，还可用超元胞法和格林函数法，在此就不一一列举了[17]。

上述的理论计算方法只是在给定光子晶体的结构组成后才能定量定性地得出准确的结论。虽然我们知道有几个参数（如介电常数比、填充比、晶格结构等）对光子禁带有影响，但到底是什么物理机制在光子禁带的形成中起了决定作用，尚无明确的结论。例如，如果要得到一定频率范围的光子禁带，我们应该采用何种光子晶体结构尚不能准确把握。由于这方面的研究仅有十几年历史，还有大量的工作需要去做。

2.1.5 光子晶体制备的实验方法

目前实验和实际应用的光子晶体都是人工制备的。自然界中也有极少光子晶体材料存在，例如蛋白石。光子晶体的晶格尺寸与光波波长相当，因此波长越长的光子晶体越易制造。微波波段的光子晶体晶格常量在毫米量级，用机械加工的办法即可实现。把直径为毫米量级的介质柱相互平行地排成阵列，或者在介质基底上打孔形成相互平行的空气柱，当微波在平行于圆柱轴线的平面上传播时，就会形成光子带隙。最早的二维和三维光子晶体就是这样制作的。

第一个具有完全光子带隙的光子晶体结构是 E.Yablonovitch研究小组于1991年设计出来的。他们在特殊制备的面心立方晶体结构中，从一定方向观察到了不完全的光子带隙的存在。随后，他们用活性离子束依次从3个相差120°的方向在介质基底材料上打出近似椭圆圆柱形的空间空洞，消除了空间对称性引起的能级简并，最终得到了真正具有完全光子带隙的三维光子晶体（如图2-4和图2-5所示）。Yablonovitch得到的光子带隙的位置处在微波波段，能隙中心频率为1.45GHz。

如果采用激光刻蚀、粒子束刻蚀、反应粒子束刻蚀等先进的半导体加工技术，可以比较容易的得到远红外波段的二维光子晶体，甚至可以将频率提高到红外和可见光波段。但是，由于加工工艺水平的局限，即使是红外波段的三维光子晶体，制备上也有很大的困难，较为可能的是，在半导体基片上通过镀膜、光刻、腐蚀这几个过程反复循环形成方形电介质柱周期堆积，有可能构成工作在光学波段的光子晶体。

机械加工困难使人们把目光投向其他的方面。这时，具有自组织特性的胶体晶体引起了人们的注意。早在60年代，人们就发现，悬浮在水中的分散聚苯乙烯乳胶球由于吸附了离子带有负电荷，相互排斥而自发排列成