(易错题精选)初中数学三角形难题汇编及答案解析(1)

（易错题精选）初中数学三角形难题汇编及答案解析(1)

一、选择题

1．如图，在ABC ?中，AB 的垂直平分线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 于E ，20DAE ∠=o ，则BAC ∠的度数为( )

A ．70o

B ．80o

C ．90o

D ．100o

【答案】D

【解析】

【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB,EA=EC,在由等边对等角，根据三角形内角和定理求解.

【详解】

如图所示：

∵DM 是线段AB 的垂直平分线，

∴DA=DB,B DAB ∠=∠ ,

同理可得：C EAC ∠=∠ ,

∵ 20DAE ∠=o ，180B DAB C EAC DAE ?∠+∠+∠+∠+∠=，

∴80DAB EAC ?∠+∠=

∴100BAC ?∠=

故选：D

【点睛】

本题考查了线段的垂直平分线和三角形的内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

2．AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 长是（ ）

A ．4

B ．3

C ．6

D ．2

【答案】B

【解析】

【分析】 首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果．

【详解】

解：AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，

∠EAD=∠FAD

DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ，

∴DF=DE ，

又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，DE=2，AB=4，

11742222

AC ∴=??+?? ∴AC=3.

故答案为：B

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键.

3．△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，最小边BC ＝4cm ，则最长边AB 的长为( )cm A ．6

B ．8

C 5

D ．5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数，然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可.

【详解】

设∠A ＝x ，

则∠B ＝2x ，∠C ＝3x ，

由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C ＝x+2x+3x ＝180°，

解得x ＝30°，

即∠A ＝30°，∠C ＝3×30°＝90°，

此三角形为直角三角形，

故AB ＝2BC ＝2×4＝8cm ，

故选B ．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键.

4．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，D 、E 分别是AB 、AC 上一点，且AD ＝AE ，连接DE 并延长交BC 的延长线于点F ，若DF ＝BD ，则∠A 的度数为（ ）

A ．30

B ．36

C ．45

D ．72

【答案】B

【解析】

【分析】 由CA=CB ，可以设∠A=∠B=x ．想办法构建方程即可解决问题；

【详解】

解：∵CA=CB ，

∴∠A=∠B ，设∠A=∠B=x ．

∵DF=DB ，

∴∠B=∠F=x ，

∵AD=AE ，

∴∠ADE=∠AED=∠B+∠F=2x ，

∴x+2x+2x=180°，

∴x=36°，

故选B ．

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

5．如图，ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AD BD ⊥，30ABD ∠=?，若23AD =．则OC 的长为（ ）

A ．3

B ．43

C ．21

D ．6

【答案】C

【解析】

【分析】 先根据勾股定理解Rt ABD △求得6BD =，再根据平行四边形的性质求得3OD =，然后根据勾股定理解Rt AOD △、平行四边形的性质即可求得21OC OA ==

． 【详解】

解：∵AD BD ⊥

∴90ADB ∠=?

∵在Rt ABD △中，30ABD ∠=?，23AD =

∴243AB AD ==

∴226BD AB AD =-=

∵四边形ABCD 是平行四边形

∴132

OB OD BD ===，12OA OC AC == ∴在Rt AOD △中，23AD =，3OD =

∴2221OA AD OD =+=

∴21OC OA ==

． 故选：C

【点睛】

本题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．

6．如图，在?ABCD 中，E 为边AD 上的一点，将△DEC 沿CE 折叠至△D ′EC 处，若∠B ＝48°，∠ECD ＝25°，则∠D ′EA 的度数为（ ）

A ．33°

B ．34°

C ．35°

D ．36°

【答案】B

【解析】

【分析】 由平行四边形的性质可得∠D ＝∠B ，由折叠的性质可得∠D '＝∠D ，根据三角形的内角和定理可得∠DEC ，即为∠D 'EC ，而∠AEC 易求，进而可得∠D 'EA 的度数．

【详解】

解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D ＝∠B ＝48°，

由折叠的性质得：∠D '＝∠D ＝48°，∠D 'EC ＝∠DEC ＝180°﹣∠D ﹣∠ECD ＝107°， ∴∠AEC =180°﹣∠DEC =180°﹣107°＝73°，

∴∠D 'EA ＝∠D 'EC ﹣∠AEC ＝107°﹣73°=34°.

故选：B ．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．

7．等腰三角形两边长分别是 5cm 和 11cm ，则这个三角形的周长为（ ）

A ．16cm

B ．21cm 或 27cm

C ．21cm

D ．27cm

【答案】D

【解析】

【分析】

分两种情况讨论：当5是腰时或当11是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可．

【详解】

解：当5是腰时，则5+5<11，不能组成三角形，应舍去；

当11是腰时，5+11＞11，能组成三角形，则三角形的周长是5+11×2=27cm ．

故选D ．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质, 三角形三边关系，掌握等腰三角形的性质, 三角形三边关系是解题的关键．

8．如图，点O 是ABC ?的内心，M 、N 是AC 上的点，且CM CB =，AN AB =，若100ABC ∠=?，则MON ∠=（ ）

A ．60?

B ．70?

C ．80?

D ．100?

【答案】C

【解析】

【分析】 根据题意，连接OA ，OB ，OC ，进而求得BOC MOC ???，AOB AON ???，即∠CBO =∠CMO ，∠OBA =∠ONA ，根据三角形内角和定理即可得到∠MON 的度数.

【详解】

如图，连接OA ，OB ，OC ，

∵点O 是ABC ?的内心，

∴BCO MCO ∠=∠，

∵CM =CB ，OC =OC ，

∴()BOC MOC SAS ???，

∴CBO CMO ∠=∠，

同理可得：AOB AON ???，

∴ABO ANO ∠=∠，

∵100CBA CBO ABO ∠=∠+∠=?，

∴100CMO ANO ∠+∠=?，

∴180()80MON CMO ANO ∠=?-∠+∠=?，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了三角形全等的性质及判定，三角形的内角和定理及角度的转换，熟练掌握相关辅助线的画法及三角形全等的判定是解决本题的关键.

9．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB ＝∠DEC ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，斜边AB ＝4，CD ＝5．把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1（如图2），此时AB 与CD 1交于点O ，则线段AD 1的长度为（ ）

A 13

B 5

C ．22

D ．4

【答案】A

【解析】 试题分析：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．

若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．

∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．

在等腰Rt △ABC 中，AB=4，则AO=OC=2．

在Rt △AOD 1中，OD 1=CD 1-OC=3，

由勾股定理得：AD 113

故选A.

考点: 1.旋转；2.勾股定理.

10．将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分，其中ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等，中间小正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，且ABE △是以AB 为底的等腰三角形，则AEH △的面积为（ ）

A ．2

B ．169

C ．32

D ．2

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】 解：如图，连结EG 并向两端延长分别交AB 、CD 于点M 、N ，连结HF ，

∵四边形EFGH 为正方形，

∴EG FH =，

∵ABE △是以AB 为底的等腰三角形，

∴AE BE =，则点E 在AB 的垂直平分线上，

∵ABE △≌CDG V ，

∴CDG V 为等腰三角形，

∴CG DG =，则点G 在CD 的垂直平分线上，

∵四边形ABCD 为正方形，

∴AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线重合，

∴MN 即为AB 或CD 的垂直平分线，

则,EM AB GN CD ^^，EM GN =，

∵正方形ABCD 的边长为4，即4AB CD AD BC ====，

∴4MN =，

设EM GN x ==，则42EG FH x ==-，

∵正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等， 即2114(42)22

x x ?-，解得：121,4x x ==， ∵4x =不符合题意，故舍去，

∴1x =，则S 正方形EFGH 14122

==??=V ABE S ， ∵ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，

∴2====V V V V ABE BCF CDG DAH S S S S ，

∵正方形ABCD 的面积4416=?=，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等， ∴1(4=

V AEH S S 正方形ABCD ? S 正方形EFGH 134)(16242)42-=?--?=V ABE S ， 故选：C ．

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得ABE △的面积．

11．满足下列条件的两个三角形不一定全等的是( )

A ．有一边相等的两个等边三角形

B ．有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形

C ．周长相等的两个三角形

D ．斜边和一条直角边对应相等的两个等腰直角三角形

【答案】C

【解析】

A.根据全等三角形的判定，可知有一边相等的两个等边三角形全等，故选项A 不符合；

B.根据全等三角形的判定，可知有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等，故选项B 不符合；

C.根据全等三角形的判定，可知周长相等的两个三角形不一定全等，故选项C 符合；

D.根据全等三角形的判定，可知斜边和直角边对应相等的两个等腰直角三角形全等，故选项B 不符合.

故本题应选C.

12．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC ∠=?，CA x ⊥轴，点C 在函数()0k y x x

=>的图象上，若1AB =，则k 的值为（ ）

A ．1

B ．22

C ．2

D ．2

【答案】A 【解析】

【分析】 根据题意可以求得 OA 和 AC 的长，从而可以求得点 C 的坐标，进而求得 k 的

值，本题得以解决．

【详解】

Q 等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC ∠=?，CA ⊥x 轴，1AB =，

45BAC BAO ?∴∠=∠=，

22

OA OB ∴==，2AC =， ∴点C 的坐标为2,22?? ? ??，

Q 点C 在函数()0k y x x

=>的图象上， 2212

k ∴=?=， 故选：A ．

【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键 是明确题意，利用数形结合的思想解答．

13．如图，在四边形ABCD 中，,90,5,10AD BC ABC AB BC ∠=?==P ，连接,AC BD ，以BD 为直径的圆交AC 于点E ．若3DE =，则AD 的长为（ ）

A ．55

B ．5

C ．35

D ．25【答案】D

【解析】

【分析】

先判断出△ABC与△DBE相似，求出BD，最后用勾股定理即可得出结论．【详解】

如图1，

在Rt△ABC中，AB=5，BC=10，

∴AC=55，

连接BE，

∵BD是圆的直径，

∴∠BED=90°=∠CBA，

∵∠BAC=∠EDB，

∴△ABC∽△DEB，

∴AB AC DE DB

＝，

∴5

3

55

DB ＝，

∴DB=35，

在Rt△ABD中，AD=2225

BD AB

-=，

故选：D．

【点睛】

此题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．

14．如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD 于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）

A．1 B．3

4

C．

2

3

D．

1

2

【答案】D 【解析】【分析】

由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F为GC中点，再由已知条件可得EF为△CBG的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF的长．

【详解】

∵AD是△ABC角平分线，CG⊥AD于F，

∴△AGC是等腰三角形，

∴AG=AC=3，GF=CF，

∵AB=4，AC=3，

∴BG=1，

∵AE是△ABC中线，

∴BE=CE，

∴EF为△CBG的中位线，

∴EF=1

2

BG=

1

2

，

故选：D．

【点睛】

此题考查等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理，解题关键在于掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

15．如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为a和b．若8

ab ，大正方形的边长为5，则小正方形的边长为()

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意可知：中间小正方形的边长为a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．

【详解】

解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，

∵每一个直角三角形的面积为：1

2

ab＝

1

2

×8＝4，

∴根据4×1

2

ab＋（a﹣b）2＝52＝25，

得4×4＋（a﹣b）2＝25，

∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，

∴a﹣b＝3（舍负），

故选：C．

【点睛】

本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．

16．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（）

A．三条边的比为2∶3∶4 B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2

C．三条边的比为1∶1∶2D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A

【答案】A

【解析】

【分析】

根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．

【详解】

A、三条边的比为2：3：4，22+32≠42，故不能判断一个三角形是直角三角形；

B、三条边满足关系a2=b2-c2，即a2+c2=b2，故能判断一个三角形是直角三角形；

C、三条边的比为1：1：2，12+12=（2）2，故能判断一个三角形是直角三角形；

D、三个角满足关系∠B+∠C=∠A，则∠A为90°，故能判断一个三角形是直角三角形．

故选：A．

【点睛】

此题考查勾股定理的逆定理的应用．解题关键在于掌握判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90°即可．

17．如图，已知A ,D,B,E在同一条直线上，且AD = BE, AC = DF,补充下列其中一个条件后，不一定能得到△ABC≌△DEF 的是（）

A．BC = EF B．AC//DF C．∠C = ∠F D．∠BAC = ∠EDF 【答案】C

【解析】

【分析】

根据全等三角形的判定方法逐项判断即可．

【详解】

∵BE ＝CF ，

∴BE ＋EC ＝EC ＋CF ，

即BC ＝EF ，且AC = DF ，

∴当BC = EF 时，满足SSS ，可以判定△ABC ≌△DEF ；

当AC//DF 时，∠A=∠EDF ，满足SAS ，可以判定△ABC ≌△DEF ；

当∠C = ∠F 时，为SSA ，不能判定△ABC ≌△DEF ；

当∠BAC = ∠EDF 时，满足SAS ，可以判定△ABC ≌△DEF ，

故选C.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ．

18．如图,在ABC ?中,90C ∠=?,2AC =,点D 在BC 上,5AD =,ADC 2B ∠=∠,则BC 的长为（ ）

A 51

B 51

C 31

D 31

【答案】B

【解析】

【分析】 根据ADC 2B ∠=∠，可得∠B=∠DAB ，即5BD AD ==

Rt △ADC 中根据勾股定理可得DC=1，则51.

【详解】

解：∵∠ADC 为三角形ABD 外角

∴∠ADC=∠B+∠DAB

∵ADC 2B ∠=∠

∴∠B=∠DAB ∴5BD AD ==在Rt △ADC 中，由勾股定理得：22DC 541AD AC =

-=-=

∴51

故选B

【点睛】 本题考查勾股定理的应用以及等角对等边，关键抓住ADC 2B ∠=∠这个特殊条件.

19．如图：AD AB ⊥，AE AC ⊥，AD AB =，AE AC =，连接BE 与DC 交于M ，

则：①DAC BAE ∠=∠；②DAC BAE ??≌；③DC BE ⊥；正确的有（ ）个

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】D

【解析】

【分析】 利用垂直的定义得到90DAB EAC ∠=∠=?，则ADC BAE ∠=∠，于是可对①进行判断；利用“SAS ”可证明DAC BAE ???，于是可对②进行判断；利用全等的性质得到ADC ABE ∠=∠，则根据三角形内角和和对顶角相等得到90DMB DAB ∠=∠=?，于是可对③进行判断．

【详解】

解：AD AB ⊥Q ，AE AC ⊥，

90DAB ∴∠=?，90EAC ∠=?，

DAB BAC EAC BAC ∴∠+=∠+∠，

即ADC BAE ∠=∠，所以①正确；

在DAC ?和BAE ?中，

DA AB DAC BAE AC AE =??∠=∠??=?

，

()DAC BAE SAS ∴???，所以②正确；

ADC ABE ∴∠=∠，

∵∠AFD=∠MFB ，

90DMB DAB ∴∠=∠=?，

DC BE ∴⊥，所以③正确．

故选：D ．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．

20．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（）

A．B．C．

D．

【答案】C

【解析】

【分析】

欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

【详解】

A、72+242=252，152+202≠242，(7+15)2+202≠252，故A不正确；

B、72+242=252，152+202≠242，故B不正确；

C、72+242=252，152+202=252，故C正确；

D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确，

故选C．

【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．