最新中等职业学校数学竞赛试题

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德州市中等职业学校数学竞赛试题 说

明：本竞赛试题包括第一卷、第二卷两部分，共27个小题，共计110分（含10分的附加题），所有答案务必写在第二卷的规定位置

（第Ⅰ卷）

一、选择题 （本大题共15个小题，每小题3分，共45分，把答案写在第Ⅱ卷上） 1 下列表达式正确的是 （ ）

A 0∈Φ

B {0}=Φ

C Φ?{0}

D Φ∈{0} 2 设全集I=｛a,b,c,d,e ｝, A={a,b,d}, B={b} , 则 (C U A)∪B= A {b} B {a,b} C {a,b,d} D {b,c,e} 3 将二次三项2x 2-4x+5式进行配方，正确的结果是 （ ） A 2(x-1)2+3 B (x-1)2+3 C 2(x-1)2+1 D (x-2)2+1 4 一元二次不等式x 2-x-2＜0的解集是（ ）

A {x x ＜2}

B {x 2-＜x ＜1}

C {x x ＞2或x ＜-1}

D {x -1＜x ＜2} 5 若a ∈(0,1)，则下列不等式中正确的是（ ）

A a 0.6＞a 0.5

B a 0.6＜a 0.5

C log a 0.8＞log a 0.7

D log a

10.8＜log a

10.7

6 y= log 2x 与 y= log 2

1x 的图像关于（ ）对称

A y 轴

B x 轴

C 原点

D 直线y=x 7 sin α＜0，tan α＞0 的充要条件是（ ）

A α是第一象限的角

B α是第二象限的角

C α是第三象限的角

D α是第四象限的角 8 三个正数a 、b 、c 成等比数列，则 lga 、lgb 、 lgc 是（ ）

A 等比数列

B 等差数列

C 即是等差数列又是等比数列

D 即是等差数列又是等比数列 9 cos1、sin1、tan1的大小关系是（ ）

A cos1＜sin1＜tan1

B sin1＜cos1＜tan1

C tan1＜sin1＜cos1

D cos1＜tan1＜sin1 10 若θ为第二象限的角，那么 （ ）

A sin 2

θ＞0 B con 2

θ＜0 C tan 2

θ＞0 D cot 2

θ＜0

11 下列命题正确的是 （ ）

A 若a ＞b ，则ac 2＞bc 2

B 若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd

C 若

2c a

＞2

c b ，则a ＞b D 若a ＞b ，则a 1＜b 1

12 已知偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，则f(-1)于f(-3)的大小关系是（ ） A f(-1)＜f(-3) B f(-1)＞f(-3) C f(-1)＝f(-3) D 无法比较 13 已知f(e x )=x ，则f(5)=（ ）

A e 5

B 5x

C ln5

D log 5e 14 已知函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，

则a 实数的取值范围是 ( )

A a ≤3

B a ≤-3

C a ≥-3

D a ≥3

15 已知a ＞0，若不等式4-x +3-x ＜a 在实数集R 上的解集不是空集，则a 的取

值范围是 （ ）

A a ＞0

B a ＞1

C a ≥1

D a ＞2

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德州市中等职业学校数学竞赛试题

（ 第Ⅱ卷）

二、填空题 （本大题共7个小题，每小题3分，共21分） 16 二次函数y=x 2+4x+3的图像的顶点坐标是 。 17 函数y=)2(l og 2

1x -的定义域是 。

18

2log sin 33

1

55)325(10lg )

027.0(-++--π= 。

19 在等差数列中,若a 2=5，a 8=10．则a 14的值为 。

20 函数f(x)=4x 2

-mx+5在区间[-2,+∞）上是增函数，在区间(-∞,-2)是减函数。 则f(1) = 。

21 首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是 。

22 已知集合A={x 1-x ＜2＝，B={x 1-x ＞1}，则A ∩B 等于 （用区间表示）

三、解答或证明（本大题共4个小题，共34分） 23．（本小题8分）

设方程x 2-px-3=0的解集是A ，方程x 2+2x+q=0的解集是Ｂ．且A ∩B={3} 求 ① q 、p 的值； ② A ∪B

24．（本小题8分）

某商店按批发价每件6元购进一批货，零售价为8元时可卖出100件，如果零售价 高于8元，则一件也卖不出去，如果零售价从8元每降低0.1元则可多卖10件。 ①写出可卖出的件数q 与零售价x (6＜x ≤8)之间的函数关系式. ②写出所获利润y 与零售价x (6＜x ≤8)之间的函数关系式. ③试求零售价定为多少时，所获利润最大？最大利润是多少？

学校 姓名 座号 密 封 线 密 封 线 内 不 得 答 题

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25．（本小题9分） 已知数列{a n }：b

a log 2

、b

a log 4

、b

a log 8

、¨¨¨、

()

b

n a log 2、¨¨¨

其中a 、b 都是大于零的常数，且a ≠1

① 求证：数列{a n }是等比数列 ② 若数列{a n }同时又是等差数列，求b

26．（本小题9分） 已知函数f(x)是定义在[2，+∞）上的减函数，求实数a 的范围，使不等式 f(a 2-2)-f(2-3a)＞0成立

27．附加题 （本小题10分，计入总分）

某房地产公司 推出的售房有两套方案：一种是分期付款的方案，要求买房户当年首付3万元，然后从第二年起连续10年每年定期付款8000元；另一种方案是一次性付清，优惠价是90000元。若一买房户有现金90000元，可用于购房，又考虑到另有一项投资年收益率为5％，他该用哪种方案购房更合算，请说明理由。（参考数据：1.059≈1.551,1.0510≈1.628）

密 封 线 密 封 线 内 不 得 答 题

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n

n a a 1+=

()()

b

n b n a a log log 122+=

]log log )1[(2b n b n a a -+=b

a

log

2(常数)

∴数列{a n }是等比数列

② ∵ 数列{a n }既是等比数列又是等差数列，∴{an}是非零常数列， ∴ b

a log 2

≠0 且

b

a l o g 2

=b

a log 4

=

2

log )2(b a ∴

b a log 2=1 ∴ log b a =0 ∴ b=1

25 解：根据题意知

a 2-2≥2 ① （1） 2-3a ≥2 ②

a 2-2＜2-3a ③

由①得a 2≥4 ∴a ≤-2 或 a ≥2 由②得 a ≤

3

4

由③得 a 2+3a-4＜0 ∴-4＜a ＜1

∴ 不等式（1）的解集为{a a ≤-2或a ≥2}∩{a a ≤3

4

}∩{a -4

附加题 解：如果分期付款，到第十一年付清后看其是否有结余，设首次付款后第n 年的

结余数为a n ，

∵a 1=(9－3)×(1＋0.5%)－0.8=6×1.05－0.8

a 2=(6×1.05－0.8)×1.05－0.8=6×1.052－0.8×(1＋1.05) ……

a 10=6×1.0510－0.8(1＋1.05＋…＋1.059)

=6×1.0510

－0.8×1

05.11

05.110--

=6×1.0510－16×(1.0510－1)

=16－10×1.0510≈16－16.28=－0.28(万元) 所以一次性付款合算