算法设计与分析考试重点归纳

算法设计考试重点整理

题型：

一选择题（10*2=20 分）

二简答题（4*5=20 分）

三应用题（3*10=30 分）

四算法题（3*10=30 分）

第一、二章

算法的定义：解某一特定问题的一组有穷规则的集合（对特定问题求解步骤的一种描述，是指令的有限序列）

算法的特征：1）有限性2）确定性3）输入4）输出5）能行性

算法分析的目的：

基本数据结构：

线性结构(元素之间是一对一的关系)

用顺序存储结构存储的线性表称为顺序表

用链式存储结构存储的线性表称为链表。

树形结构(元素之间是一对多的关系)

图(网)状结构(元素之间是多对多的关系)

栈：是一种只允许在表的一端进行插入或删除操作的线性表。允许进行插入、删除操作的一端称为栈顶，另一端称为栈底。当栈中没有数据元素时，称之为空栈。栈的插入操作称为进压栈，删除操作称为出栈。

队列：只允许在一端进行插入操作，在另一端进行删除操作的线性表。允许进行插入操作的一端称为队尾。允许进行删除操作的一端称为队头。当队列中没有数据元素时，称之为空队列。队列的插入操作称为进队或入队。队列的删除操作称为退队或出队。

树：树型结构是一种非线性结构，它用于描述数据元素之间的层次关系图

图：G＝(V，E)是一个二元组

其中：V是图G中数据元素（顶点）的非空有限集集合

E是图G中关系的有限集合

由表达式求渐进表达式：例：(n2+n)/4 n2/4（增长速率最快的那一项）

时间复杂度的计算：（P23）

性能的比较：O(1) < O(log2n) < O(n) < O(nlog2n) =O(nlogn)< O(n2) < O(n3) < O(n k) < O(2n)

第三章

算法思想、稳定性、时间复杂度、应用、排序的移动次数：

希尔排序（数据结构P265）：先将待排序列分割为若干个子序列分别进行直接插入排序；待整个序列基本有序时，再对全体记录进行一次直接插入排序。也称缩小增量的直接插入排序。

希尔排序的时间复杂度在O(nlog2n)和O(n2)之间，大致为O(n1.3)

合并排序（P59）：设初始序列含有n个记录，则可看成n个表长为1的有序表将这n个有序表两两合并，则可得n/2个表长为2的有序表再将这n/2个有序表两两合并，则可得n/4个长为4的有序表依次重复，直到对2个表长为n/2的有序表两两合并得1个表长为n的有序表为止。

堆排序、堆调整（P62）：

初始时把要排序的n个数的序列看作是一棵顺序存储的二叉树（一维数组存储二叉树），调整它们的存储序，使之成为一个堆，将堆顶元素输出，得到n 个元素中最小(或最大)的元素，这时堆的根节点的数最小（或者最大）。然后对前面(n-1)个元素重新调整使之成为堆，输出堆顶元素，得到n 个元素中次小(或次大)的元素。依此类推，直到只有两个节点的堆，并对它们作交换，最后得到有n个节点的有序序列。

基数排序（P71）：不进行记录关键字的比较，借助多关键字排序的思想对单逻辑关键字进行

第四章（考一个算法题，课后，不在书上）

算法思想：

基于归纳的递归算法解规模为n 的问题P(n),归纳法的思想如下：

1. 基础步：a1 是问题P(1) 的解

2. 归纳步：对所有的k (1 < k < n)，若a k是问题P(k) 的解，

则p(ak)是问题P(k+1) 的解，

其中p(a k)是对a k 的某种运算或处理

为求问题P(n) 的解a n，先求问题P(n – 1) 的解a n-1

再对a n-1进行p(a n-1)运算或处理，得到a n

为求问题P(n – 1) 的解a n-1，先求问题P(n – 2) 的解a n-2

再进行p(a n-2)运算或处理，得到a n-1

如此等等，不断地进行递归求解，直到P(1) 的解a1为止

当得到P(1) 的解之后，再回过头来，不断地把所得到的解进行p 运算或处理，直到得到P(n) 的解为止

分治法：对于一个规模为n的问题p(n)，可以把它分解为k个规模较小的子问题，这些子问题相互独立，且结构与原来问题的结构相同。在解这些子问题时，又对每一个问题进一步的分解，直到某个阀值n0 为止。递归地解决这些子问题，再把各个子问题的解合并起来，就得到原来问题的解。

分治法设计的3个步骤：

1）划分步：把输入的问题实例划分为k 个子问题。尽量使k 个子问题的规模大致相同。例如，k = 2，如最大最小问题

取其中的一部分，而丢弃另一部分，如二叉检索问题用

分治法处理的情况

2）治理步：由k 个递归调用组成

3）组合步：把k 个子问题的解组合起来

算法思想、应用：

快速排序（数据结构P269）：把序列就地划分为两个子序列，使第一个子序列的所有元素都小于第二个子序列的所有元素，不断地进行这样的划分，最后构成n 个子序列，每个子序列只有一个元素，这时，整个序列就是按递增顺序排序的序列了

不稳定

选择算法：（P125）

1）选择问题：用递归方法以O(n) 时间选取数组的中值元素、或任意的第k 小元素的算法2）选择问题的思想方法：在递归调用的每一步，放弃固定部分的元素，对其余元素进行递归，使问题的规模以几何级数递减

残缺棋盘问题（P131）：把棋盘划分为四个区域，每个区域是一个2k-1×2k-1个方格的子棋盘，其中

有一个是残缺子棋盘。用一个L 型三格板覆盖在其余三个非残缺子棋盘的交界处，把覆盖一个2k×2k 个方格的残缺棋盘，转化为覆盖4 个2k-1×2k-1 个方格的残缺子棋盘。对每一个子棋盘继续进行这样处理，直到要覆盖的子棋盘转化为2×2个方格的残缺子棋盘为止。这时只要用一个L 型三格板覆盖三个非残缺方格即可。

第五章（考一个算法题）

可行解：满足约束方程的向量

最优解：使目标函数达极值的向量

贪婪发的设计思：贪婪算法采用的是逐步构造最优解的方法。从某个初始状态出发，根据当前局部的而不是全局的最优决策(因此所构造的可行解不一定是问题的最优解)，以满足约束方程为条件、以使得目标函数的值增加最快或最慢为准则，选择一个能够最快地达到要求的输入元素(选择一旦做出，就不再更改)，以便尽快地构成问题的可行解。作出这个局部最优决策所依照的标准称为贪心准则。

贪婪发求解步骤：

首先根据问题确定约束条件和贪心准则，然后根据贪心准则获得当前每一步的最优解，最终得出解向量。

贪婪法求解的问题需满足2个性质：

1）贪心选择性质：指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择来达到

2）最优子结构性质：当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。

算法思想、应用：

狄斯奎诺：（P146）

贪心算法：Dijkstra 提出按路径长度递增的次序产生最短路径。

贪心准则：使当前已经加入的所有路径的长度之和最小。为了符合这一准则，其中每一条单独的路径都必须具有最小的长度。

最小生成树的应用：（P151）克鲁斯卡尔，普里姆

哈夫曼中的一个基本概念（P159）

第六章

最优性原理：无论过程的初始状态和初始决策是什么，其余决策都必须相对于初始决策所产生的状态，构成一个最优决策序列

多段图的概念、应用、求最短路径

有向连通赋权图G = ，顶点集合V 划分成k 个不相交的子集v i，1 ≤ i ≤ k，k ≥2，使得E 中的任一边(u, v)，必有u ∈v i，v ∈v i+m，m ≥1，称G 为多段图。

数塔问题的应用：如图所示的一个数塔，从顶部出发，在每一结点可以选择向左走或是向右走，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的数值和最大。

算法思想、应用：

0/1背包（P190）

第七章（考一个算法题，一个简答题）

回溯法的基本思想：在确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。换句话说，这个结点不再是一个活结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。

回溯法的求解步骤

1）对所给定的问题，定义问题的解空间

2）确定状态空间树的结构

3）用深度优先搜索方法搜索解空间，用约束方程和目标函数的界对状态空间树进行修剪，生成搜索树，取得问题的解。

状态空间树：问题解空间的树形式表示

活结点：所搜索到的结点不是叶结点，且满足约束条件和目标函数的界，其儿子结点还未全部搜索完毕

扩展结点：正在搜索其儿子结点的结点，它也是一个活结点；

死结点：不满足约束条件、目标函数、或其儿子结点已全部搜索完毕的结点、或者叶结点。算法思想、判定函数，如何判定（约束方程）

n后问题（P208）

图的着色问题（P212）

哈密尔顿回路问题（P216）

简答题考算法思想之类的。

应用题考排序、以上各种算法的应用（要求写求解步骤嗯，排序只求移动次数，不求比较次数）。

算法题预测题：

*1设计一个分支算法，求二叉树的高度。

int Height(BTree t){

int h1,h2;

if(t==NULL) return 0;

else{

h1=Height(t->lchild)+1;

h2=Height(t->rchild)+1;

return h1>h2?h1:h2;

}

}

*2 假定用面值为2角5分、1角、5分、1分的硬币，来支付n分钱。设计一个算法，使付出的枚数最少（n由键盘输入）

void solve(int p[],int x[],int n){

int i;

for(i=0;i<4;i++){

x[i]=n/p[i];

n=n%p[i];

}

}

*3 对于给定的邮箱网G，求网中指定的顶点v到其余各顶点的最短路径。P147

*4 n后问题（P210）

5 图的着色问题（P214）

6 哈密尔顿回路问题（P217）