第七章线性变换习题答案
第七章线性变换习题答案 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
第七章 线性变换
3．在[]P x 中，
()()f x f x '=，
()()f x xf x =，证明：
-
=
．
『解题提示』直接根据变换的定义验证即可． 证明 任取()[]f x P x ∈，则有
(
)()()()(())(())f x f x f x xf x f x '-
=
-
=
-
(())()()()xf x xf x f x f x ''=-==，
于是-
=．
4．设,
是线性变换，如果
-=
，证明：
1
,1k
k
k k k --
=>．
『解题提示』利用数学归纳法进行证明．
证明 当2k =时，由于
-=，可得
2
2
(
)(
)
2
-
=
-
+-
=，
因此结论成立．
假设当k s =时结论成立，即
1
s
s
s s
--=．那么，当1k s =+时，有
1
1
(
)()
(1)
s s s
s
s
s
s
s
s
s ++-
=-
+-=+
=+，
即对1k s =+结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切1>k 结论都成立． 『特别提醒』由
=可知，结论对1k =也成立．
5．证明：可逆映射是双射．
『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可． 证明 设是线性空间V 上的一个可逆变换．对于任意的,V ∈αβ，如果=
αβ，那
么，用
1
-作用左右两边，得到1
1
()()--==
=ααββ，因此是单射；另外，对于
任意的V ∈β，存在1
V -=∈αβ，使得1
(
)-==αββ，即是满射．于是是双
射．
『特别提醒』由此结论可知线性空间V 上的可逆映射是V 到自身的同构．
6．设12,,
,n εεε是线性空间V 的一组基，
是V 上的线性变换，证明
可逆当且仅当
12,,
,
n εεε线性无关．
证法1 若
是可逆的线性变换，设1122n n k k k ++
+=0εεε，即
1122()n n k k k ++
+=0εεε．
而根据上一题结论可知是单射，故必有1122n n k k k ++
+=0εεε，又由于12,,,n εεε是线
性无关的，因此120n k k k ==
==．从而12,,,
n εεε线性无关． 反之，若
12,,,
n εεε是线性无关的，那么12,
,
,
n εεε也是V 的一组基．于
是，根据教材中的定理1，存在唯一的线性变换
，使得
()
i i =εε，1,2,
,i n =．显然
()i i =εε，
()i i =
εε，1,2,,i n =．
再根据教材中的定理1知，
==．所以
是可逆的．
证法2 设
在基12,,
,n εεε下的矩阵为A ，即 121212(,,
,)(,
,
,
)(,,,)n n n ==εεεεεεεεεA ．
由教材中的定理2可知，
可逆的充要条件是矩阵A 可逆．
因此，如果
是可逆的，那么矩阵A 可逆，从而
12,,
,
n εεε也是V 的一组基，
即是线性无关的．反之，如果12,,
,
n εεε是线性无关，从而是V 的一组基，且A 是从
基12,,,n εεε到
12,,
,
n εεε的过渡矩阵，因此A 是可逆的．所以
是可逆的线性变
换．
『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造的逆变换；方法2借
助教材中的定理2，将线性变换
可逆转化成了矩阵A 可逆．
9．设三维线性空间V 上的线性变换
在基123,,εεε下的矩阵为
11
121321
222331
32
33a a a a a a a a a ?? ?= ? ???
A ． 1）求在基321,,εεε下的矩阵；
2）求在基123,,k εεε下的矩阵，其中k P ∈且0k ≠； 3）求
在基1223,,+εεεε下的矩阵．
『解题提示』可以利用定义直接写出线性变换的矩阵，也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的矩阵是相似的进行求解．
解 1）由于
3131232333333232131a a a a a a =++=++εεεεεεε， 2121222323323222121a a a a a a =++=++εεεεεεε，
1111212313313212111a a a a a a =++=++εεεεεεε．
故
在基321,,εεε下的矩阵为
333231123
222113
12
11a a a a a a a a a ?? ?= ? ???
B ． 2）由于
11112123131112123131a a a a a k a k
=++=++εεεεεεε，
2121222323121222323k ka ka ka ka a k ka =++=++εεεεεεε，
31312323331312323331a a a a a k a k
=++=++εεεεεεε．
故
在基123,,k εεε下的矩阵为
111213221
222331
32
3311
a ka a a a a k k a ka a ??
? ?= ? ???
B ．
3）由于从123,,εεε到1223,,+εεεε的过渡矩阵为
100110001?? ?= ? ???
X ，
故
在基1223,,+εεεε下的矩阵为
1
11
12
131112
12
13321
222321112212
2212
231331
32
33313232
33100100110110001001a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+????????
? ???
?
==-+--- ? ??? ? ? ??? ?+???????
?
B ． 『方法技巧』根据线性变换的矩阵的定义，直接给出了1）和2）所求的矩阵；3）借助了过渡矩阵，利用相似矩阵得到了所求矩阵．事实上，这三个题目都可以分别用两种方法求解．
10．设
是线性空间V 上的线性变换，如果
1
k -≠0ξ，但
k
=0ξ，求证：
1
,,,k -ξξξ（0k >）线性无关．
证明 由于k
=0ξ，故对于任意的非负整数i ，都有
(
)k i
i
k
+=
=0ξξ．当0
k >时，设
1
12k n
x x x -+++=0ξξξ，
用
1
k -作用于上式，得
1
1
k x -=0ξ，
但
1
k -≠0ξ，因此10x =．于是
1
2k n
x x -+
+=0ξξ，
再用
2
k -作用上式，同样得到20x =．依此下去，可得120k x x x ==
==．从而
1
,,,k -ξξξ线性无关．
16．证明：
??????? ?
?n λλλ
2
1与??????
?
?
?n i i
i λλλ
2
1 相似，其中n i i i ,,,21 是1,2,
,n 的一个排列．
『解题提示』利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的或直接相似的定义． 证法1 设V 是一个n 维线性空间，且12,,
,n εεε是V 的一组基．另外，记
1
2
n λλλ??
?
?= ?
??
?A ，1
2
n i i
i λλλ??
?
?= ? ? ??
?
B ． 于是，在基12,,
,n εεε下，矩阵A 对应V
的一个线性变换
，即
12
121212
(,,,)(,,
,)(,,
,)n n n n λλλ??
?
?== ? ??
?
εεεεεεεεεA ．
从而
i i i λ=εε，1,2,
,i n =．又因为12,,
,n i i i εεε也是V 的一组基，且
12
121212(,,,)(,,
,)(,,,)n n n n i i
i i i i i i i i i i λλλ?? ? ?
==
? ? ??
?
εεεεεεεεεB ．
故A 与B 相似．
证法２ 设
1
2
n λλλ??
?
?= ?
??
?A 与 1
2
n i i
i λλλ??
?
?= ? ? ??
?
B ． 对A 交换,i j 两行，再交换,i j 两列，相当于对A 左乘和右乘初等矩阵1(,)(,)i j i j -=P P 和
(,)i j P ，而
1(,)(,)i j i j -P AP
即为将A 中的i λ和j λ交换位置得到的对角矩阵．于是，总可以通过这样的一系列的对调变换，将A 的主对角线上的元素12,,,n λλλ变成12,,,n i i i λλλ，这也相当于存在一系列初等矩
阵12,,
,s Q Q Q ，使得
1
112112
s s ---=Q Q Q AQ Q Q B ，
令12s =Q Q Q Q ，则有1-=Q AQ B ，即A 与B 相似．
『方法技巧』证法１利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的这一性质；证法２利用了矩阵的相似变换，直接进行了证明．
17．如果A 可逆，证明AB 与BA 相似． 证明 由于A 可逆，故A
1
-存在．于是
11()()--==A AB A A A BA BA ，
因此，根据相似的定义可知AB 与BA 相似．
19．求复数域上线性变换空间V 的线性变换的特征值与特征向量．已知在一组基
下的矩阵为：
1）3452??= ???A ； 4）563101121-?? ?=- ? ?-??A ；5）001010100??
?
= ? ?
??
A ． 解 1）设
在给定基1ε,2ε下的矩阵为A ．由于
的特征多项式为
23
4
|514(7)(2)5
2
λλλλλλλ---=
=--=-+--E A ，
故
的特征值为17λ=，22λ=-．
当17λ=时，方程组1()λ-=0E A X ，即为
1212
440,
550.x x x x -=??
-+=?
解得它的基础解系为???
?
??11．从而
的属于特征值17λ=的全部特征向量为
112k k =+ξεε，
其中k 为任意非零常数．
当22λ=-时，方程组2()λ-=0E A X ，即为
1212
540,
540.x x x x --=??
--=? 解得它的基础解系为???
?
??-54，从而
的属于特征值22λ=-的全部特征响向量为
21245l l =-ξεε，
其中l 为任意非零常数．
4）设
在给定基123,,εεε下的矩阵为A ，由于
的特征多项式为
56
3
11(2)(111
21
λλλ
λλλλ---=-=---+--+E A ，
故
的特征值为12λ=
，21λ=
，31λ= 当12λ=时, 方程组1()λ-0E A X =，即为
1231231
233630,
20,230.
x x x x x x x x x --+=??
+-=??--+=? 求得其基础解系为210-??
?
? ???
，故
的属于特征值2的全部特征向量为
111122k k =-+ξεε
其中1k 为任意非零常数．
当21λ=时, 方程组2()0λ-E A X =，即为
123123123(4630,(10,2(20.
x x x x x x x x x ?-+-+=??
++-=??--++=?? 求得其基础解系为???
?
?
??--3213，故
的属于特征值1
22122233(2k k k =-+ξεεε
其中2k 为任意非零常数．
当31λ=3()0λ-E A X =，即为
123123123(4630,
(10,2(20.
x x x x x x x x x ?---+=??
+--=??--+=?? 求得其基础解系为???
?
?
??+-3213，故
的属于特征值1
33132333(2k k k =-+ξεεε
其中3k 为任意非零常数．
5）设
在给定基123,,εεε下的矩阵为A ，由于
的特征多项式为
201
1
0(1)(1)1
λ
λλλλλ
--=-=-+-E A ，
故
的特征值为11λ=（二重），21λ=-． 当11λ=时，方程组1()λ-0E A X =，即为
13130,
0.
x x x x -=??
-+=? 求得其基础解系为,
101???
?
? ??010?? ?
? ???
，故的属于特征值1的全部特征向量为
1112213k k k ++ξ=εεε
其中12,k k 为任意不全为零的常数．
当21λ=-时，方程组2()0λ-E A X =，即为
13213
0,20,0.x x x x x --=??
-=??--=? 求得其基础解系为101-?? ?
? ???
，故
的属于特征值1-的全部特征向量为
213l l +ξ=-εε，
其中l 为任意非零常数．
『方法技巧』求解一个线性变换的特征值即求其矩阵的特征多项式的根，再对每个根求得所对应的特征向量，但一定要注意表达成基向量的线性组合形式．
24．1）设21,λλ是线性变换的两个不同特征值，12,εε是分别属于21,λλ的特征向量，
证明：12+εε不是
的特征向量；
2）证明：如果线性空间V
的线性变换
以V 中每个非零向量作为它的特征向量，
那么
是数乘变换．
证明 1）反证法．假设12+εε是
属于特征值λ的特征向量，即
121212()()λλλ+=+=+εεεεεε．
而由题设可知
111222,λλ==εεεε，且12λλ≠，故
12121122()λλ+=
+=+εεεεεε．
比较两个等式，得到
1122()()λλλλ-+-=0εε．
再根据12,εε是属于不同特征值的特征向量，从而是线性无关性，因此021=-=-λλλλ，即
12λλ=．这与12λλ≠矛盾．所以12+εε不是
的特征向量．
2）设12,,
,n εεε是V 的一组基，则它们也是
的n 个线性无关的特征向量，不妨设它
们分别属于特征值12,,
,n λλλ，即
i i i λ=εε，1,2,
,i n =．
根据1）即知12n λλλλ==
==．否则，若12λλ≠，那么12+≠0εε，且不是
的特征向
量，这与V 中每个非零向量都是它的特征向量矛盾．所以，对于任意的V ∈α，都有
λ=αα，即是数乘变换．
25．设V 是复数域上的n 维线性空间，,
是V 上的线性变换，且=．证明：
1）如果0λ是的一个特征值，那么0V λ是
的不变子空间；
2）
,
至少有一个公共的特征向量．
证明 1）设0V λ∈α，则0λ=αα，于是，由题设知
00()(
)(
)()()λλ===
=
=αααααα，
因此0V λ∈α．根据不变子空间的定义即知，0V λ是
的不变子空间．
2）由1）可知0V λ是
的不变子空间，若记
|V λ=
，则
是复数域上线性空间0λV 的
一个线性变换，它必有特征值0μ及非零向量0V λ∈β，使得
0μ=
=βββ，
即β是的特征向量，从而β是
和
的公共特征向量．因此，,
存在公共的特征向
量．
第7章 线性变换
第7章 线性变换 §1 线性变换的定义 线性空间V 到自身的映射，通常叫做V 的一个变换，现在讨论的线性变换是线性空间的最简单也是最重要的一种变换。 一、线性变换的定义 定义7.1 设V 为线性空间，若对于V 中的任一向量α，按照一定的对应规则T ，总有V 中的一个确定的向量β与之对应，则这个对应规则T 称为线性空间V 中的一个变换，记为 βα=)(T 或 )(,V T ∈=αβα， β称为α的象，α称为β的原象。象的全体所构成的集合称为象集，记作T （V ），即 T （V ）={}V T ∈=ααβ|)(。 由此定义可见，变换类似于微积分中的函数，不过微积分中的函数是两个实数集合间的对应，而这里的变换则是线性空间中的向量与向量之间的对应。 定义7.2 线性空间V 中的变换T ，若满足条件 （1） 对任意V ∈βα,有 （2） )()()(βαβαT T T +=+； （3） 对任意V ∈α及数域P 中任意数k 有 )()(ααkT k T =，
则称变换T 为V 中的线性变换。 例7.1 线性空间V 中的恒等变换或称单位变换E ，即 E )()(V ∈=αα α 以及零变换?，即 ?)(0 )(V ∈=αα 都是线性变换. 例7.2 设V 是数域P 上的线性空间，k 是P 中的某个数，定义V 的变换如下： V k ∈→ααα,. 这是一个线性变换，称为由数k 决定的数乘变换，可用K 表示.显然当1=k 时， 便得恒等变换，当0=k 时，便得零变换. 例7.3 在线性空间][x P 或者n x P ][中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D 代表，即 D （)(x f ）=)(x f '. 例7.4 定义在闭区间[]b a ,上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以),(b a C 代表.在这个空间中变换 ?（)(x f ）=?x a dt t f )( 是一线性变换.
线性变换练习题
线性变换习题 一、填空题 1. 设σ是3 P 的线性变换，(,,)(2,4,3)a b c b c a b a σ=+-，,,a b c P ?∈，1(1,0,0),ε= 2(0,1,0),ε=3(0,0,1)ε=是3P 的一组基，则σ在基123,,εεε下的矩阵为 _______________，又3123,P αεεε=-+∈则()σα=_________。 2. 设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换σ：()A σξξ=， n P ξ∈，则()1dim (0)σ-＝ ，()dim ()n P σ＝ 。 3. 设P 上三维列向量空间V 的线性变换σ在基123,,ααα下的矩阵是11220 1121-?? ? ? ?-?? ，则σ在基213,,ααα下的矩阵是 。 4. 如果矩阵A 的特征值等于1，则行列式||A E -= 。 5. 设A =???? ? ??? ??21 1 12 1112 ，()X AX σ=是P 3上的线性变换，那么σ的零度= 。 6. 若n n A P ?∈，且2 A E =，则A 的特征值为 。 7. 在[]n P x 中，线性变换D (()f x )'()f x =，则D 在基211,,, ,n x x x -下的矩阵 为 。 8. 在22 P ?中，线性变换10:20A A σ??→ ???在基121001,,0000E E ???? == ? ????? 300,10E ??= ??? 40001E ?? = ???下的矩阵是 。 9. 设321502114A ?? ? = ? ??? 的三个特征值为1λ，2λ，3λ，则1λ+2λ+3λ= ， 1λ2λ3λ= 。 10. 数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为 维线性空间，
第六章_线性变换_68180769
第六章 线性变换 映射：,X Y ≠?≠?，如果有一个法则σ，它使得X 中每个元素α，在Y 中有唯一确定的元素β与之对应，则称σ为X 到Y 的一个映射，记作:X Y σ→，()σαβ=，β称为α在σ下的象，α称为β在σ下的原象。 注：()(),X στασατα=??∈=对。 变换：一个集合到自身的映射。 线性变换的定义与性质 定义 设V 是数域F 上的线性空间，σ是V 的一个变换，如果满足条件： （1）()()()βσασβασV,α,β+=+∈?； （2）()()k F,αV,k αk σασ?∈?∈=， 则称σ是V 上的线性变换或线性算子。 (1), (2)等价于条件：,,,k l F V αβ?∈∈ ()()()σk αl βk σαl σβ+=+。 例：设σ：n n R R →，定义为()c αασ=，c 为常数。-----数乘 变换或位似变换。 c =0-----零变换，记为o 。 c =1-----恒等变换，记为ε。 例：设σ是把平面上的向量绕坐标原点逆时针旋转θ角的变换 设()()(),,,T T x y x y ασα''==，则
cos sin sin cos x x y y x y θθ θθ'=-??'=+? 记cos sin sin cos A θθθ θ-?? =??? ? ，则()A σαα=是一个线性变换。 例：判断下列变换是否是线性变换 (1) ()()12323,,1,,T T a a a a a σ=; (2) ()()12323,,0,,T T a a a a a σ=; (3) ()()12312231,,2,,T T a a a a a a a a σ=-+; (4) ()()212312 3,,,,3T T a a a a a a σ=. 线性变换的基本性质 （1）()θθσ=； （2）()()ασασ-=-； （3）线性变换保持向量的线性组合关系不变，即若s s αk αk αk β+++=Λ2211，则1122s s βk αk αk ασσσσ=+++L ； 若θ=+++s s αk αk αk Λ2211，则θσσσ=+++s s αk αk αk Λ2211。 （4）线性变换将线性相关的向量组映成线性相关的向量组。 线性变换的运算 ()V L ----线性空间V 上所有线性变换的集合。
第七章线性变换总结篇(高等代数)
第 7章 线性变换 7.1知识点归纳与要点解析 一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义 数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。 注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。 2.线性变换的判别 设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么： σ为V 的线性变换?()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+?∈?∈ 3.线性变换的性质 设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα?∈。 性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,, ,ααα线性相关，那么()()()12s ,, ,σασασα也线性相关。 性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,, ,ααα线性无关，那么()()()12s ,, ,σασασα 也线性无关。 注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组， 如果： 11111221221122221122s s s s m m m ms s c c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=++ + 记：
()()112111222 2121212,,,,, ,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ?? ? ? = ? ??? 于是，若()dim V n =，12,, ,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,, ,m βββ是 V 中任意一组向量，如果： ()()()11111221221122221122n n n n m m m mn n b b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=++ + 记： ()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ= 那么： ()()1121 112222121212,,,,, ,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα?? ? ? = ? ??? 设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ?? ? ? = ? ??? ，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是 12,, ,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()() 12 ,r i i i σβσβσβ就是 ()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的 秩等于秩()B 。 4. 线性变换举例 （1）设V 是数域P 上的任一线性空间。 零变换： ()00,V αα=?∈； 恒等变换：(),V εααα=?∈。 幂零线性变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换，如果存在正整数m ，使 得σ =m 0，就称σ为幂零变换。
DLT 直接线性变换解法程序
DLT 直接线性变换解法程序介绍 一、程序综合介绍：DLT结算程序 程序功能介绍：应用6个已知点计算左右片l 系数；然后应用已经求得的l系数求解物方空间坐标系坐标 程序名：SuYGDLT 程序界面： 程序界面有四个按钮，分别为读取文件，左片l系数计算，右片系数计算，物放坐标解算程序界面有四个编辑框，分别用来输出文件信息，左片l系数、右片l系数、以及无妨坐标结果 截图如下 程序使用介绍： 必须先点击导入文件按钮，导入文件方可进行正确的计算，如果未导入文件就点击左片平差或右片平差或无妨坐标解算就会弹出如下对话框：
读取数据后点击其它按钮进行其它计算。 程序文件格式： 数据文件分为两部分，KnownPoint，UNKnownPoint，分别代表已知点信息和待求点信息当文件读取程序读到“KnownPoint”时开始读取已知点信息，已知点信息格式如下 GCP1,1214.0000,1032.0000,1046.5180,1071.6652,9.201742,-9.672384,-2.726064 分别代表点名、左片相片X坐标、左片相片y坐标、右片相片x坐标、右片相片y坐标物方坐标X、Y、Z; 当文件读取到“END KnownPoint”时结束已知坐标的读取 待求点信息类似：文件格式截图如下： 程序运行结果与评估： 本程序区1-10号点作为已知点计算l近似值11-20号点作为未知点解求其物方三维坐标；
程序运行结果与所给参考值相似，应该可以证明其运算是正确的，运行结果截图如下： 二、程序编程思想及相关代码 程序编程思想及相关函数： 本程序设计DLTCalculation类作为l系数结算主程序，其成员变量及成员函数与作用介绍如下： CSuLMatrix LL;//左片L系数矩阵 CSuLMatrix RL;//右片L系数矩阵 int m_iKnownPointCount;//已知点个数 CControlPoint *m_pKnownPoint;//已知点 int m_iUnKnownPointCount;//未知点个数 CControlPoint *m_pUnKnownPoint;//未知点 public: CString LoadData(const CString& strFileName);//读取文件函数 int ifLoda;//判断是否导入数据 CString Datainfor;//文件信息存储 CString *SplitString(CString str,char split, int& iSubStrs); //分割函数 void LFormApproL(CSuLMatrix &LL);//计算左片L系数近似值 void RFormApproL(CSuLMatrix &RL);//计算右片L系数近似值 void FormLErrorEquations(CSuLMatrix LL,CMatrix &LM,CMatrix &LW);//组成左片系数矩阵和常数项矩阵 void LAdjust();//左片平差主函数 void FormRErrorEquations(CSuLMatrix RL,CMatrix &RM,CMatrix &RW);//组成右片系数矩阵和常数项矩阵 void RAdjust();//右片平差主函数 void Output(const CString& strFileName);//输出结果主程序
线性变换习题课
七、线性变换习题课 1．复习线性变换的概念 例1 将C看成R上的线性空间，变换是线性的，看成C上的线性空间则不是。 证明：R上：有== 又 故A是R上线性空间C的线性变换。 C上：取及，有，而，故A不是C上线性空间C的线性变换。 由上例，变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。 2．利用运算的意义，运算律推证线性变换的等式，利用线性变换与n阶方阵代数同构解决有关问题。 例2设A,B是线性变换，如果证明： ，（k>0） 证明: 由已知,对k=1结论成立,故考虑用数学归纳法. 对k用归纳法.当k=1时结论成立. K=2时,由已知 =AB=(BA+E)A+A-BA2 =BA2+A+A-BA2=2A 结论成立. 设当k时结论成立,即,也即. 当k+1时, =ABA k+AkA k-1-BA k+1=(BA+E)A k+kA k-BA k+1 =BA k+1+A k+kA k-BA k+1=(k+1)A k 所以结论对k+1也成立,从而对一切k1成立. 例3设V是数域P上n维线性空间,证明:V的与全体线性变换交换的线性变换是数乘变换. 证明: 需要表达出线性变换,联系到某基下的矩阵. 设令A,B在某基下的矩阵分别为A,B. 因为,所以由得AB=BA.由的任意 性,也是任意的,从而存在某个k使得A=kE为数量阵(P.204,,于是为数量变换. 有了变换乘积,进一步可考虑可逆变换. 3. 系统小结可逆线性变换的的等价条件,并举例说明一些基本论证方法. A可逆10存在使=E.
A是双射. A在基下的矩阵A可逆—有限维 例4 设是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性无关. 证明:证法一: “”,,若=0,有B()=0,即=0,=0,即线性无关. “”线性无关, 因dimV=n,故使得 =A() 令使=() 易见,且,即 又任给设= 有()== 故,从A可逆. 证法二:利用双射 “” A是双射,则0==A() 得0=(0对应0) 故,线性无关. “”由dimV=n,V的任一向量可由唯一表示,即V中任一向量有唯一(要证明)原像(显然).故A是双射. 证法三:利用矩阵 A可逆A在下的矩阵A可逆 ()A也是一组基=n 线性无关 例5设,W1,W2是V的子空间,且,则可逆. 证明:由,有V,可设W1的一组基为, W2的一组
高等代数第6章习题解
第六章习题解答 习题6.1 1、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？ （1）,()x x y V f y y αα+????=∈= ? ?????；（2）,()x x y V f y y αα-????=∈= ? ????? ； （3）2,()x y V f y x y αα+????=∈= ? ?+???? ； （4）0,()x V f y αααα??=∈=+ ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 （5）0,()x V f y ααα??=∈= ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 解：（1）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （2）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （3）不是。因为 而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++??????+=+= ? ? ?+++++?????? 所以()()()f f f αβαβ+≠+ （4）不是。因为0()f k k ααα=+，而000()()kf k k k k ααααααα=+=+≠+ 所以()()f k kf αα≠ （5）不是。因为0()f αβα+=，而00002()()f f αβαααα+=+=≠ 2、设n n V P ?=是数域F 上全体n 阶方阵构成的集合，有§4.5，V 是F 上2 n 维线性空间， 设A V ∈是固定元，对任意M V ∈，定义 ()f M MA AM =+ 证明，f 是V 的一个线性变换。 证明：,,M N V k F ?∈∈，则 所以 f 是V 的一个线性变换。 3、设3 V R =，(,,)x y z V α=∈，定义
Matlab+实现直接线性变换
直接线性变换Matlab实现的程序源代码 function re=DLT(A,B) %imco为像方坐标，输入单位是像素 imco=A; %此处为控制点像方坐标，格式为2×n，单位：像素 %obco为物方坐标，输入单位是毫米 obco=B; %此处为控制点物方坐标，格式为n×3单位：毫米 imco_be=[];B=[];M=[]; for i=1:size(imco,2) imco_be=[imco_be;imco(:,i)]; end for i=1:size(imco,2) A1=[obco(i,:),1,0,0,0,0]; A2=[0,0,0,0,obco(i,:),1]; M=[M;A1;A2]; B1=obco(i,:).*imco_be(2*i-1); B2=obco(i,:).*imco_be(2*i); B=[B;B1;B2]; end M=[M,B]; N=M(1:11,:); L=N\(-imco_be(1:11,:)); X0=-((L(1)*L(9)+L(2)*L(10)+L(3)*L(11))/(L(9)*L(9)+L(10)*L(10)+L(11)*L(11))); Y0=-((L(5)*L(9)+L(6)*L(10)+L(7)*L(11))/(L(9)*L(9)+L(10)*L(10)+L(11)*L(11))); L=[L;0];M3=[];W=[]; for i=1:size(imco,2) xyz=obco(i,:); A=xyz(1)*L(9)+xyz(2)*L(10)+xyz(3)*L(11)+1; r2=(imco_be(2*i-1)-X0)*(imco_be(2*i-1)-X0)+(imco_be(2*i)-Y0)*(imco_be(2*i)-Y 0); M1=[A*(imco_be(2*i-1)-X0)*r2;A*(imco_be(2*i)-Y0)*r2]; M2=-[M(2*i-1:2*i,:),M1]/A; M3=[M3;M2]; W=[W;-[imco_be(2*i-1);imco_be(2*i)]/A]; end WP=M3'*W; NBBN=inv(M3'*M3); LP=-NBBN*WP; v=M3*LP+W; imco_be=imco_be+v; X0=-(LP(1)*LP(9)+LP(2)*LP(10)+LP(3)*LP(11))/(LP(9)*LP(9)+LP(10)*LP(10)+LP (11)*LP(11)); Y0=-(LP(5)*LP(9)+LP(6)*LP(10)+LP(7)*LP(11))/(LP(9)*LP(9)+LP(10)*LP(10)+LP (11)*LP(11)); 1
第七章 线性变换.
第七章线性变换 计划课时：24学时.( P 307—334) §7.1 线性变换的定义及性质（2学时） 教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质 教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质 本节内容可分为下面的两个问题讲授. 一. 线性变换的定义（P307） 注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。 二. 线性变换的性质 定理7.1.1（P309） 定理7.1.2 （P309） 推论7.1.3 （P310） 注意：1.定理7.1.2给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。 2.两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。 作业：习题七P330 1，2，3. §7.2 线性变换的运算（4学时） 教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件 教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件 本节内容分为下面四个问题讲授： 一. 加法运算 定义1 （P310） 注意：σ＋τ是V的线性变换. 二. 数乘运算 定义2（P311） 显然kσ也是V的一个线性变换. 定理7.2.1 L(V)对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间. 三. 乘法运算 (1). 乘法运算 定义3 （P311-312） 注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可
能是零变换. (2). 线性变换σ 的方幂 四. 可逆线性变换 定义4 （P 313） 线性变换可逆的充要条件 例2 （P 314） 线性变换的多项式的概念 (阅读内容). 作业：P 330 习题七 4，5. §7.3 线性变换的矩阵（6学时） 教学目的及要求：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握ξ 与σ (ξ)关于同一个基的坐标 之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L (V )与M n (F )的同构理 论。 教学重点、难点： 1. 线性变换关于一个基的矩阵的定义。 2. L (V )与M n (F )的同构理论，线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系。 本节内容分为下面四个问题讲授： 一. 线性变换σ关于基的矩阵 定义 （P 316） 。 注意：取定n 维向量空间V 的一个基之后，对于V 的每一个线性变换，有唯一确定的n 阶矩阵与它对应. 例1 （P 316） 注意：一个线性变换在不同基下的矩阵通常是不同的. 例2 （P 317） 例3 （P 317） 二. ξ与σ (ξ)关于同一个基的坐标之间的关系. 定理7.3.1 例4 （P 318） 三. L (V )与M n (F )的同构 定理7.3.2 （P 320） 定理7.3.3 （P 320） 注意：1. 定理7.3.2 （P 320）的证明是本章的难点，在证明之前应复习证明所用到的知识点。 2.由于L (V ) 同构于)(F M n ，所以就把研究一个很复杂的向量空间L (V )的问题转化成研究一个很直观具体的向量空间)(F M n 的问题。同构是高等代数课程的一个基本概念。 3. 定理7.3.3不仅给出了在有限维向量空间判定一个线性变换可逆的方法，而且给出了求
第七章线性变换习题答案
第七章线性变换3．在P[x]中，Af(x)f(x)，Bf(x)xf(x)，证明： ABBA=E． 『解题提示』直接根据变换的定义验证即可． 证明任取f(x)P[x]，则有 =(A BBA)f(x)ABf(x)BAf(x)A(xf(x))B(f(x)) (xf(x))xf(x)f(x)Ef(x)， 于是ABBA=E． 4．设A,B是线性变换，如果ABBA=E，证明： kkk k1,k1ABBAA． 『解题提示』利用数学归纳法进行证明． 证明当k2时，由于ABBA=E，可得 22()()2 ABBAAABBAA B BAAA， 因此结论成立． 假设当ks时结论成立，即ssss1 ABBAA．那么，当ks1时，有 s1s1(s s)()ssss(s1)s ABBAAABBAA B BAAAAA， 即对ks1结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切k1结论都成立． 『特别提醒』由 AE可知，结论对k1也成立． 5．证明：可逆映射是双射． 『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可． 1证明设A是线性空间V上的一个可逆变换．对于任意的,V，如果AA，那么，用 A 作用左右两边，得到A AAA，因此A是单射；另外，对于任意的V，存在1()1() 1()1() 1V A，使得 1 AA(A)，即A是满射．于是A是双射．
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『特别提醒』由此结论可知线性空间V上的可逆映射A是V到自身的同构． 6．设1,2,,n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换，证明A可逆当且仅当 A1,A2,,A n线性无关． 证法1若A是可逆的线性变换，设k AkAkA0 ，即 1122nn A(kkk nn)0． 1122 而根据上一题结论可知A是单射，故必有k kk0，又由于 1,2,,n是线性无关的， 1122nn 因此k 1k2k n0．从而A1,A2,,A n线性无关． 反之，若A 1,A2,,A n是线性无关的，那么A AA也是V的一组基．于是，根据 1,2,,n 教材中的定理1，存在唯一的线性变换B，使得B(A i)i，i1,2,,n．显然 BA(i)i，A B(A i)A i，i1,2,,n． 再根据教材中的定理1知，ABBAE．所以A是可逆的． 证法2设A在基 1,2,,n下的矩阵为A，即 A(,,,n)(A,A,,A n)(,,,n)A． 121212 由教材中的定理2可知，A可逆的充要条件是矩阵A可逆． 因此，如果A是可逆的，那么矩阵A可逆，从而A 1,A2,,A n也是V的一组基，即是线性无 关的．反之，如果A AA是线性无关，从而是V的一组基，且A是从基 1,2,,n到1,2,,n A1,A2,,A n的过渡矩阵，因此A是可逆的．所以A是可逆的线性变换． 『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造A的逆变换；方法2借助教材中的定理2，将线性变换A可逆转化成了矩阵A可逆． 9．设三维线性空间V上的线性变换A在基1,2,3下的矩阵为 aaa 111213 A aaa． 212223 aaa 313233 1）求A在基3,2,1下的矩阵；
线性变换例题 (3)
【例9.15】已知系统具有如下形式 u y y y y 66116')2()3(=+++ 试求此系统对角形式的状态方程。 解 令 y x =1，'2y x =，) 2(3y x = 即 21x x =& 32x x =& u x x x x 661163213+---=& 写成矩阵—向量形式 u x x x x x x ?? ?? ??????+????????????????????---=????? ?????6006116100010321321&&& (9.76) []?? ?? ? ?????=321001x x x y 可以看出A 阵为友矩阵，且A 的特征值为 321321-=-=-=λλλ，， 即 321λλλ≠≠ 。 这时我们选转换矩阵P 形式为 ??????? ???? ?????=---11211 2 22 2 121 111 n n n n n n P λλλλλλλλλΛ M ΛM M ΛΛΛ n 为相同的阶数，这里n =3。 本题中 ???? ??????---=921321111 P 令x=Pz 将上式代入(9.42)式，得： Bu APz z P +=& CPz y Bu P APz P z =+=--11& 系统可写为
????????????????????---??????????---??????????---=??????????32132194132111161161000105.05.111435.05.23z z z z z z &&&u ???????????????? ????---+6005.05.111435.05.23 u z z z z z z ???? ??????-+????????????????????---=????? ?????363300020001321321&&& 输出方程为 [][]?? ?? ? ?????=????????????????????---=321321111921321111001z z z z z z y
基于直接线性变换算法的普通数码相机检校的应用研究
基于直接线性变换算法的普通数码相机检校的应用研究 孔 建 黄建魏 沈 周 (西南交通大学 四川成都 610031 中铁十局 山东济南 520000) 摘要：本文采用直接线性变换（DLT ）算法，完成了普通数码相机检校的应用研究。通过编程实验，解算普通数码相机在不同焦距情况下内方位元素（00,x y ,f ）以及畸变参数（径向畸变系数1k ，2k 、偏心畸变系数1p ，2p ），同时对直接线性变换方法中l 初值的问题给出解决方案。提出了解决控制点布设在一个近似平面上解算l 系数初始值的方法，并且依据实验数据分析了在不同焦距下，相机内方位元素和光学畸变参数的变化情况。 关键字：直接线性变换；相机检校；径向畸变；偏心畸变 Abstract In this paper, to complete a common application of digital camera calibration by using the direct linear transformation algorithm. This paper have solved different elements of interior orientation （00,x y ,f ）and distortion parameters （Radinal Distortion 1k ， 2k ,Decentering Distortion 1p ，2p ）of ordinary digital camera focal length by the programming experiments and meanwhile, put forward the solutions of the initial value problem in the direct linear transformation method. Proposed a solution in an approximate control points for solving plane initial value coefficient method, and analyzed the changes of the camera orientation elements and optical distortion parameters in the base of experimental data at different focal lengths. 1 概述 在数字摄影测量中，数字影像的获取，通常采用的是专业的摄影设备。这些专业设备的价格昂贵，对非专业部门是无法应用的。随着数码相机技术的发展与进步，普通数码相机在数字摄影测量领域中得到了广泛的应用，尤其是在近景数字摄影测量、无人机低空摄影测量的应用中，表现出了巨大的优势。普通数码相机不仅价格便宜，且操作方便，是专业摄影机不能比拟的。随着数码相机技术的
第七章线性变换总结篇
第 7章 线性变换 7、1知识点归纳与要点解析 一.线性变换的概念与判别 1、线性变换的定义 数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换,如果对V 中任意的元素,αβ与数域P 中的任意数k ,都有:()()()σαβσασβ+=+,()()k k σασα=。 注:V 的线性变换就就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。 2、线性变换的判别 设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换,那么: σ为V 的线性变换?()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+?∈?∈ 3、线性变换的性质 设V 就是数域P 上的线性空间,σ为V 的线性变换,12s ,,,,V αααα?∈L 。 性质1、 ()()00,σσαα==-; 性质2、 若12s ,,,αααL 线性相关,那么()()()12s ,,,σασασαL 也线性相关。 性质3、 设线性变换σ为单射,如果12s ,,,αααL 线性无关,那么()()()12s ,,,σασασαL 也线性无关。 注:设V 就是数域P 上的线性空间,12,,,m βββL ,12,,,s γγγL 就是V 中的两个向量组, 如果: 11111221221122221122s s s s m m m ms s c c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++L L L L L L 记: ()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ?? ? ? = ? ??? L L L L M M M L 于就是,若()dim V n =,12,,,n αααL 就是V 的一组基,σ就是V 的线性变换, 12,,,m βββL 就是V 中任意一组向量,如果:
第七章 线性变换练习题参考答案
第七章 线性变换练习题参考答案 一、填空题 1．设123,,εεε是线性空间 V 的一组基，V 的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是33112233(),,ij A a x x x V αεεε?==++∈则 σ在基321,,εεε下的矩阵B ＝1,T AT -而可逆矩阵T ＝001010100?? ? ? ??? 满足1,B T AT -=σα在基123,,εεε下的坐标为123x A x x ?? ? ? ??? . 2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换:(),n A P σσξξξ=∈,则1(0)σ-＝{}|0,n A P ξξξ=∈，()1dim (0)σ-＝n r -，()dim ()n P σ＝r . 3．复矩阵()ij n n A a ?=的全体特征值的和等于1n ii i a =∑ ，而全体特征值的积等于 ||A . 4．设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为__数乘__变换 . 5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为2n 维线性空间，它与n n P ?同构. 6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为12(),(),,()n f f f λλλ . 7．设???? ??=2231A ，则向量??? ? ??11是A 的属于特征值 4 的特征向量． 8．若????? ? ?--=100001011A 与1010101k B k ?? ?=-- ? ???相似，则k = -1/2 ． 9．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A 3 ．
35 直接线性变化的基本原理和解算方法.
立体摄影测量的基本原理 421 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 3.5 直接线性变化的基本原理和解算方法
4 2 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 一、直接线性变化的关系式 111333222333s s s i i i ()()()0()()()()()()0()()(),,,,s a b c i f s s s s s s s s s s s s a X X b Y Y c Z Z x f a X X b Y Y c Z Z a X X b Y Y c Z Z y f a X X b Y Y c Z Z X Y Z X Y Z -+-+-?+=? -+-+-? ? -+-+-? +=?-+-+-? 中心构像方程： 其中：为物点的空间坐标 为光心的空间坐标 ，，（＝1，2，3）旋转矩阵 所测x y 像片的主距 ，像点在摄影坐标系的坐标
4 2 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 直接线性变化法 ?直接线性变换（DLT —Direct Linear Transformation ）算法是直接建立像点坐标与物点空间坐标关系式的一种算法。 ?该算法在机算中，不需要内、外方位元素。而直接通过像点解算物点。
4 2 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 二、线性误差的修正 1、线性误差： ?底片均匀变形、不均匀变形 ?畸变差 ?x ，y 坐标轴不垂直 2、线性修正?系数 假设主点坐标为（0，0）
第七章 线性变换
MATLAB软件应用第七章线性变换 例1：求矩阵 122 212 221 A ?? ?? =?? ?? ?? 的特征值与特征向量，并将其对角化. 解1：建立m文件v1.m如下： clc A= [1 2 2;2 1 2; 2 2 1]; E=eye(3); syms x f=det(x*E-A) %矩阵A的特征多项式 solve(f) %矩阵A的特征多项式的根，即A的特征值 %所以A的特征值为x1=5,x2=x3=-1. %（1）当x1=5时，求解（x1*E—A）X=0，得基础解系syms y y=5; B=y*E-A; b1=sym(null(B)) %b1为（x1*E—A）X=0基础解系 %（2）当x2=-1时，求解（x2*E—A）X=0，得基础解系y=-1; B=y*E-A; b2=sym(null(B)) %b2为（x2*E—A）X=0基础解系 T=[b1,b2] %所有特征向量在基下的坐标所组成的矩阵 D=T^-1*A*T %将矩阵A对角化，得对角矩阵D 运行结果如下： f = x^3-3*x^2-9*x-5 ans = 5 -1 -1 b1 = sqrt(1/3) sqrt(1/3) sqrt(1/3) b2 = [ sqrt(2/3), 0] [ -sqrt(1/6), -sqrt(1/2)] [ -sqrt(1/6), sqrt(1/2)] T =
[ sqrt(1/3), sqrt(2/3), 0] [ sqrt(1/3), -sqrt(1/6), -sqrt(1/2)] [ sqrt(1/3), -sqrt(1/6), sqrt(1/2)] D = [ 5, 0, 0] [ 0, -1, 0] [ 0, 0, -1] 解2：建立m文件v2.m如下： clc A= [1 2 2;2 1 2; 2 2 1]; d=eig(A) %求全部特征值所组成的向量 [V,D]=eig(A) %求特征值及特征向量所组成的矩阵inv(V)*A*V %A可对角化，且对角矩阵为D 运行结果如下： d = -1 -1 5 V = 247/398 1145/2158 780/1351 279/1870 -1343/1673 780/1351 -1040/1351 1013/3722 780/1351 D = -1 0 0 0 -1 0 0 0 5 ans = -1 * * * -1 * * * 5 例2：求矩阵 110 430 102 A -?? ?? =-?? ?? ?? 的特征值与特征向量，并判别A 是否可以对角化. 解：建立m文件v3.m如下：clc a=[-1 1 0;-4 3 0;1 0 2]; [V,D]=eig(a)
第七章 线性变换 习题答案
第七章 线性变换 3．在[]P x 中，()()f x f x '=A ，()()f x xf x =B ，证明： -=A B BA =E ． 『解题提示』直接根据变换的定义验证即可． 证明 任取()[]f x P x ∈，则有 ()()()()(())(())f x f x f x xf x f x '-=-=-=A B BA A B BA A B (())()()()xf x xf x f x f x ''=-==E ， 于是-=A B BA =E ． 4．设,A B 是线性变换，如果-=A B BA =E ，证明： 1 ,1k k k k k --=>A B BA A ． 『解题提示』利用数学归纳法进行证明． 证明 当2k =时，由于-=A B BA =E ，可得 22()()2-=-+-=A B BA A A B BA A B BA A A ， 因此结论成立． 假设当k s =时结论成立，即1 s s s s --=A B BA A ．那么，当1k s =+时，有 1 1 ()()(1)s s s s s s s s s s ++-=-+-=+=+A B BA A A B BA A B BA A A A A ， 即对1k s =+结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切1>k 结论都成立． 『特别提醒』由0 =A E 可知，结论对1k =也成立． 5．证明：可逆映射是双射． 『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可． 证明 设A 是线性空间V 上的一个可逆变换．对于任意的,V ∈αβ，如果=αβA A ，那么，用1 -A 作用左右两边，得到1 1 ()()--===ααββA A A A ，因此A 是单射；另外，对于任意的V ∈β，存在 1V -=∈αβA ，使得1()-==αββA A A ，即A 是满射．于是A 是双射． 『特别提醒』由此结论可知线性空间V 上的可逆映射A 是V 到自身的同构．
第七章线性变换.
第七章线性变换 计划课时：24 学时.（P 307—334） §7.1 线性变换的定义及性质（ 2 学时） 教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质 教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质 本节内容可分为下面的两个问题讲授. 一. 线性变换的定义（P307） 注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。 二. 线性变换的性质 定理7.1.1 （P309） 定理7.1.2 （P309） 推论7.1.3 （P310） 注意： 1.定理7.1.2 给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。 2. 两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。 作业：习题七P330 1 ，2， 3. §7.2 线性变换的运算（ 4 学时） 教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件 本节内容分为下面四个问题讲授： 一. 加法运算 定义 1 （P310） 注意：+ 是V的线性变换. 二. 数乘运算 定义 2 （P311） 显然k 也是V的一个线性变换. 定理7.2.1 L（V）对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间. 三. 乘法运算 （1）. 乘法运算 定义 3 （P311-312）
注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可能是零变换. (2). 线性变换的方幂 四. 可逆线性变换定义 4 ( P313) 线性变换可逆的充要条件例 2 ( P314) 线性变换的多项式的概念( 阅读 内容). 作业：P330 习题七4， 5. §7.3 线性变换的矩阵( 6 学时) 教学目的及要求：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握与( ) 关于同一个基的坐标之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L(V)与M(F)的同构理 论。 教学重点、难点： 1. 线性变换关于一个基的矩阵的定义。 2. L(V)与M(F)的同构理论，线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系。 本节内容分为下面四个问题讲授： 一.线性变换关于基的矩阵 定义 ( P316) 。 注意：取定n维向量空间V的一个基之后，对于V的每一个线性变换，有唯一确定的n阶矩阵与 它对应. 例 1 ( P316 ) 注意：一个线性变换在不同基下的矩阵通常是不同的. 例 2 ( P317) 例 3 ( P317) 二.与( )关于同一个基的坐标之间的关系. 定理7.3.1 例 4 ( P318 ) 三? L(V)与M(F)的同构 定理7.3.2 (P320) 定理7.3.3 (P320) 注意：1.定理732 ( P320)的证明是本章的难点，在证明之前应复习证明所用到的知识点。 2. 由于L(V) 同构于M n ( F ) ，所以就把研究一个很复杂的向量空间L(V) 的问题转化成研究一个很直观具体的向量空间M n(F) 的问题。同构是高等代数课程的一个基本概念。 3. 定理7.3.3 不仅给出了在有限维向量空间判定一个线性变换可逆的方法，而且给出了求 逆变换的方法。 四. 同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系定理7.3.4 （P321）. 作业：P331 习题七6，9，12，17.