高中数学不等式知识归纳及常考题型

高中数学复习----不等式

一、不等式的性质及均值不等式

1．实数的三岐性：设R b a ∈,，

那么0>-?>b a b a ；0=-?=b a b a ；0<-?

2．不等式的性质：

(1)对称性:a b b a , (2)传递性:c a c b b a >?>>,;

(3)加法原理:c b c a b a ±>±?>;

(4)乘法原理c

b c a bc ac c b a c b c a bc ac c b a <>>?>>,0,;,0,; (5)可加性:d b c a d

c b a +>+????>>,(减法可以转化为加法来进行)

d b c a d c d c b a ->-?->-??

??<>; (6)可乘性:bd ac d c b a >?>>>>0,0;(除法可转化为乘法来进行)

(7)乘方原理:)1,(0>∈>?>>n N n b a b a n n ;

(8)开方原理:)1,(0>∈>?>>n N n b a b a n n ;

(9)三角不等式b a b a b a +≤±≤-,(其中左等号成立的充要条件是0≤ab ;右等号成立的

充要条件是0≥ab ;

3.均值不等式 (1)ab b a ≥+2

2

2(R b a ∈,当且仅当b a =时”=”成立) (2)ab b a ≥+2

(0,0>>b a 当且仅当b a =时’=”成立) (应用于求最值要注意三个条件:一正,二定,三相等缺一不可.

(3)均值不等式的拓展:

)0,0(2

211222>>+≤+≤≤+b a b a b a ab b

a

4.典型例题

例1.已知0,0<<>>d c b a ,求证:

0<

例2.若01<<-a 比较21a +与

11+a 的大小;

例3.设12log 2)(,13log )(+=+=x x x g x x f ,其中0>x 且1≠x ,试比较)(x f 和)(x g 的大小.

例4.设1,0,0=+>>y x y x 求

y

x 11+的最小值.

例5.设1,0,=+>b a b a ,求1212+++b a 的最大值.

例6.已知1,0,0=+>>b a b a 求证: 9)11)(11(≥++b

a ；

5.巩固训练

A 组

1.下列推理正确的是( )

(A)b a bc ac >?> (B)b a b a >?>22 (C)b a b

a 11 (D)

b a b a

c b a ,,满足a b c <<且0

(A)ac ab > (B)0)(<-a b c (C)22ab cb < (D)0)(>-c a ac

3.若x c x b x a e x 31ln ,ln 2,ln ),1,(===∈-则( )

(A)c b a << (B)b a c << (C)c a b << (D)a c b <<

4.已知1>x ,则1

4422-++x x 的最小值为( ) (A)2 (B)6 (C)8 (D)9

5.设R b a ∈,,已知命题;:b a p =命题22:222

b a b a q +≤??

? ??+,则p 是q 成立的( ) (A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充分必要条件(D)不充分也不必要条件

6.若55ln ,33ln ,22ln ===c b a ,则c b a ,,三个数按从小到大排列为 ;

7.若0,0>>y x ,且191=+y

x ,则y x +的最小值为 ; 8.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,运费为4万元/次.一年的总存储费用为x 4万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则=x 吨.

B 组

1.已知,10<<

log ,,log 1的大小关系是 ;

2已知点),(y x 在直线12=+y x 上,则y x 42+的最小值是 ;

3.如果2>+a

b b a ,则0>ab 且 ; 4.已知不等式9)1)((≥++y

a x y x 对任意正实数y x ,恒成立,则正实数a 的最小值为 ;

5.设数列{}n a 中,n n n f a 2)(==若21n n ≠,比较)2(21n n f +与2

)()(21n f n f +的大小；

二.不等式的证明及含绝对值的不等式

1不等式的证明是不等式的难点之一,证明的主要方法有:比较法,分析法和综合法.

(1)比较法:是证明不等式的最基本的方法,可分为作差比较法,作商比较法

(2)分析法:指从证明的不等式出发,”执果索因”,从结论出发找命题成立的充分条件,直到找到明显成立的不等式或已经证明的不等式为止,这种方法叫分析法.

(3)综合法:从一个正确的不等式出发,根据不等式的性质及均值不等式对该不等式变形,直到得出所求证的不等式为止,即”执因索果”

注:除了以上方法外还有反证法,放缩法,数学归纳法,换元法,函数法与数形结合法等

2.含绝对值的不等式

(1)实数的绝对值的定义?????<-=>=)

0()0(0

)0(a a a a a a ; (2)对R b a ∈,有)0(,≠==b b

a b a b a ab (3)对+∈∈R a R x ,有a x a a x a x <<-?

a x a x a x a x -<>?>?>或22

(4)含绝对值的不等式的定理的推广

*)(2121N n a a a a a a n

n ∈+++≤+++

3.典型例题 例1.已知+∈R b a ,,且1=+b a ,求证:222)(by ax by ax +≥+;

例2.已知实数n m b a ,,,其中m 与n 为正数,求证:n

m b a n b m a ++≥+2

22)(;