反证法在几何问题中的应用

反证法是一种非常重要的数学方法，它在几何的应用极为广泛，在平面几何、立体几何、解析几何都有应用，本文选择几个有代表性的应用，举例加以介绍。

一、证明几何量之间的关系

例1：已知：四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，)(2

1CD AB EF +=。求证：CD AB //。

证明：假设AB 不平行于CD 。如图，连结AC ，取AC 的中点G ，连结EG 、FG 。 ∵E 、F 、G 分别是AD 、BC 、AC 的中点，

∴CD GE //，CD GE 21=；AB GF //，AB GF 2

1=。 ∵AB 不平行于CD ，

∴GE 和GF 不共线，GE 、GF 、EF 组成一个三角形。

∴EF GF GE >+ ① 但EF CD AB GF GE =+=+)(2

1 ② ①与②矛盾。 ∴CD AB //

例2：直线PO 与平面α相交于O ，过点O 在平面α内引直线OA 、OB 、OC ，POC POB POA ∠=∠=∠。

求证：α⊥PO 。

证明：假设PO 不垂直平面α。

作α⊥PH 并与平面α相交于H ，此时H 、O 不重合，连结OH 。

由P 作OA PE ⊥于E ，OB PF ⊥于F ，根据三垂线定理可知，OA HE ⊥，OB HF ⊥。

∵POB POA ∠=∠，PO 是公共边，

∴POF Rt POE Rt ???

∴OF OE = 又OH OH = ∴OEH Rt OFH Rt ??? ∴EOH FOH ∠=∠ 因此，OH 是AOB ∠的平分线。同理可证，OH 是AOC ∠的平分线。

但是，OB 和OC 是两条不重合的直线，OH 不可能同时是AOB ∠和AOC ∠的平分线，产生矛盾。

∴α⊥PO 。

例3：已知A 、B 、C 、D 是空间的四个点，AB 、CD 是异面直线。

B C D E F G a O P A B C E F H

求证：AC 和BD 是异面直线。

证明：假设AC 和BD 不是异面直线，那么AC 和BD 在同一平面内。

因此，A 、C 、B 、D 四点在同一平面内，这样，AB 、CD 就分别有两个点在这个平面内，则AB 、CD 在这个平面内，即AB 和CD 不是异面直线。这与已知条件产生矛盾。

所以，AC 和BD 是异面直线

上面所举的例子，用直接证法证明都比较困难，尤其是证两条直线是异面直线，常采用反证法。

二、证明“唯一性”问题

在几何中需要证明符合某种条件的点、线、面只有一个时，称为“唯一性”问题。

例3：过平面α上的点A 的直线α⊥a ，求证：a 是唯一的。

证明：假设a 不是唯一的，则过A 至少还有一条直线b ，α⊥b

∵a 、b 是相交直线，

∴a 、b 可以确定一个平面β。

设α和β相交于过点A 的直线c 。

∵α⊥a ，α⊥b ，

∴c a ⊥，c b ⊥。

这样在平面β内，过点A 就有两条直线垂直于c ，这与定理产生矛盾。

所以，a 是唯一的。

例4：试证明：在平面上所有通过点)0,2(的直线中，至少通过两个有理点（有理点指坐标x 、y 均为有理数的点）的直线有一条且只有一条。

证明：先证存在性。

因为直线0=y ，显然通过点)0,2(，且直线0=y 至少通过两个有理点，例如它通过)0,0(和)0,1(。这说明满足条件的直线有一条。

再证唯一性。

假设除了直线0=y 外还存在一条直线b kx y +=（0≠k 或0≠b ）通过点)0,2(，且该直线通过有理点A ),(11y x 与B ),(22y x ，其中1x 、1y 、2x 、2y 均为有理数。

因为直线b kx y +=通过点)0,2(，所以k b 2-=，于是)2(-=x k y ，且0≠k 。又直线通过A ),(11y x 与B ),(22y x 两点，所以)2(11-=x k y ， ①

)2(-=x k y ②

①－②，得)(2121x x k y y -=-。 ③

因为A 、B 是两个不同的点，且0≠k ，所以21x x ≠，21y y ≠，由③，得2

121x x y y k --=，且k 是不等于零的有理数。由①，得k y x 112-

=。此式的左边是无理数，右边是有理数，出现了矛盾。所以，平面上通过点)0,2(的直线中，至少通过两个有理点的直线只有一条。

综上所述，满足上述条件的直线有一条且只有一条。

关于唯一性的问题，在几何中有，在代数、三角等学科中也有。这类题目用直接证法证明相当困难，因此一般情况下都采用间接证法。即用反证法或同一法证明，用反证法证明有时比同一法更方便。

三、证明不可能问题

几何中有一类问题，要证明某个图形不可能有某种性质或证明具有某种性质的图形不存在。它们的结论命题都是以否定形式出现的，若用直接证法证明有一定的困难。而它的否定命题则是某个图形具有某种性质或具有某种性质的图形存在，因此，这类问题非常适宜用反证法。

例5：求证：抛物线没有渐近线。

证明：设抛物线的方程是px y 22=(0≠p )。

假设抛物有渐近线，渐近线的方程是b ax y +=，易知a 、b 都不为0。因为渐近线与抛物线相切于无穷远点，于是方程组

???+==b

ax y px y 22 )2()1( 的两组解的倒数都是0。

将（2）代入（1），得

0)(2222=+-+b x p ab x a （3）

设1x 、2x 是（3）的两个根，由韦达定理，可知

221)(2a p ab x x --=+，22

21a

b x x =?

则0)(2112212121=--=+=+b

p ab x x x x x x ，（4） 011122

2121===?b

a x x x x ，（5）由（4）、（5），可推得0=p ，

这于假设0≠p 矛盾。

所以，抛物线没有渐近线。

关于不可能问题是几何中最常见也是非常重要的一种类型。由于它的结论是以否定形式出现，采用直接证法有困难，所以这类问题一般都使用反证法加以证明。

四、证明“至少存在”或“不多于”问题

在几何中存在一类很特殊的问题，就是证明具有某种性质的图形至少有一个或不多于几个。由于这类问题能找到直接论证的理论根据很少，用直接证法有一定困难。如果采用反证法，添加了否定结论这个新的假设，就可以推出更多的结论，容易使命题获证。

例6：已知：四边形ABCD 中，对角线AC=BD=1。求证：四边形中至少有一条边不小于2

2。证明：假设四边形的边都小于

22，由于四边形中至少有一个角不是钝角（这一结论也可用反证法证明），不妨设090≤∠A ，

根据余弦定理，得A AB AD AB AD BD cos 22

22??-+=，

∴222AB AD BD +≤，即1)2

2()22(2222=+<+≤AB AD BD 。这与已知四边形BD=1矛盾。所以，四边形中至少有一条边不小于2

2。

中考数学十大解题思路之反证法

中考数学十大解题思路之反证法一、选择题 1否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（） A.有一个解 B.有两个解 C .至少有三个解D .至少有两个解［答案］C ［解析］在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+ 1个”,所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解” 故应选C. 2?否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为（） A. a、b、c都是奇数 B . a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 C. a、b、c都是偶数 D . a、b、c中至少有两个偶数［答案］B ［解析］a, b, c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数.因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”.故应选B. 3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是（） A.假设三内角都不大于60° B .假设三内角都大于60 ° C.假设三内角至多有一个大于60° D .假设三内角至多有两个大于60° ［答案］B ［解析］“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”.故应选B. 4.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2+ bx+ c = 0（a工0）有有理根，那么a, b, c中至少有一个是偶数” 下列假设正确的是（) 时， A.假设a, b, c都是偶数 B .假设a、b, c都不是偶数

C.假设a, b, c至多有一个偶数 D .假设a, b, c至多有两个偶数［答案］B 9.用反证法证明命题在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45 °”时，应先假设（)

高考立体几何大题20题汇总情况

高考立体几何大题20 题汇总情况 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

(2012江西省）（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5， BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG. （1）求证：平面DEG ⊥平面CFG ；（2)求多面体C DEFG 的体积。 2012，山东(19) (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中，,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。（Ⅰ）证明：（i） 11;EF A D //ii （）111;BA B C EF ⊥平面（Ⅱ）求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C

（2010四川）18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M 是棱'AA 的中点，点O 是对角线'BD 的中点，（Ⅰ）求证：OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线；（Ⅱ）求二面角''M BC B --的大小； 2010辽宁文（19）（本小题满分12分）如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ （Ⅰ）证明：平面11A B C ⊥平面11A BC ；（Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//AB 平面1B CD ，求11:A D DC 的值。

反证法证明题简单

反证法证明题简单 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

反证法证明题例1.已知A ∠，B ∠，C ∠为ABC ?内角. 求证：A ∠，B ∠，C ∠中至少有一个不小于60o . 证明：假设ABC ?的三个内角A ∠，B ∠，C ∠都小于60o ，即A ∠<60o ，B ∠<60o ，C ∠<60o ，所以O 180A B C ∠+∠+∠<，与三角形内角和等于180o 矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立. 例2.已知0a ≠，证明x 的方程ax b =有且只有一个根. 证明：由于0a ≠，因此方程ax b =至少有一个根b x a = . 假设方程ax b =至少存在两个根，不妨设两根分别为12,x x 且12x x ≠，则12,ax b ax b ==，所以12ax ax =，所以12()0a x x -=. 因为12x x ≠，所以120x x -≠，所以0a =，与已知0a ≠矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立. 例3.已知332,a b +=求证2a b +≤. 证明：假设2a b +>，则有2a b >-，所以33(2)a b >-即3238126a b b b >-+-，

所以323281266(1)2a b b b b >-+-=-+. 因为26(1)22b -+≥ 所以332a b +>，与已知332a b +=矛盾. 所以假设不成立，所求证结论成立. 例4.设{}n a 是公比为的等比数列，n S 为它的前n 项和. 求证：{}n S 不是等比数列. 证明：假设是{}n S 等比数列，则2213S S S =?，即222111(1)(1)a q a a q q +=?++. 因为等比数列10a ≠，所以22(1)1q q q +=++即0q =，与等比数列0q ≠矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立. 例5.是无理数. 是有理数，则存在互为质数的整数m ，n m n =. 所以m =即222m n =，所以2m 为偶数，所以m 为偶数. 所以设*2()m k k N =∈，从而有2242k n =即222n k =. 所以2n 也为偶数，所以n 为偶数. 与m ，n 互为质数矛盾. 是无理数成立. 例6.已知直线,a b 和平面，如果,a b αα??，且//a b ，求证//a α。

生活中的数学故事：生活中的几何图形

【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了生活中的数学故事：生活中的几何图形，希望能给大家带来帮助! 曾经以为生活是一根线段，简捷而单调，两个端点就是家和学校。每天清晨，在紧张的自行车铃声中，背着书包，跨进学校的大门，开始了一天的学习旅程;傍晚，伴随着回家的萨克斯乐声，我收拾起零乱的文具，背着越发沉重的书包回家。随着年龄的增大，我逐渐知道了：生活其实是个多边形，复杂而又丰富。果园里，灿烂的桃花，娇艳的杏花，雪白的梨花下，不时传来银铃般的欢笑声，我们的身影与花相映，人比花娇，花比人艳。恩，生活是个三角形! 书城里，我努力搜寻着自己的目标，那一部部长方形的大块头都是我的挚爱。啊，生活还是个四边形! 田野里，和朋友们一起嬉戏，捉蝴蝶，听虫鸣，赏花开这时，我忽然感到：生活是五角形、六边形在这么多形状中，我最喜欢圆形。圆，所有图形中最美的图形，最富有创造性，最富有人情味，最富有诗意的图形。我追求完美。什么事都要求尽善尽美，就像圆一样。所有学科我都要争做第一，语、数、外，理所当然，甚至就连女孩子们最怕的体育我也要一争高下。我富于想象、创造。每一道数学思考题我都想别出心裁，都想得出与老师不一样的解决方法，就像圆一样，一个圆心，无数的半径。因为只有不停地想象，不断地创新，我们的未来才更宽广! 我广交朋友。手拉手的小伙伴，我有一大堆。陕西、昆明，都有我的朋友，每到属于我们的节日，我们都会给对方一份真挚的祝福，即使远在天涯海角。海内存知己，天涯若比邻，就像圆心与圆上的点一样，心心相印。但愿人长久，千里共婵娟，人们祈盼团圆，追求团圆;人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全。人不可能事事圆满，就像圆心是固定的，而半径是无穷的，是要我们自己去努力拓展的。让我们用无限的半径去画出属于我们自己的圆吧!朋友，相信你一定能成功!

解析法证明平面几何经典问题--举例

五、用解析法证明平面几何问题----极度精彩！充分展现数学之美感！何妨一试？例1、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引两条直线分别交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）（例1图）（例2图）例2、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、 BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．【部分题目解答】例1、(难度相当于高考压轴题) ；，、点的方程为：直线的方程为：设直线方程为：轴建立坐标系，设圆的为为原点，轴，为如图，以)(),(,AD ,,)-(2211222y x C y x B nx y mx y AB r a y x Y AO A x MN ===+ 、；则，、，C B )()(4433y x E y x D , 1 - ;12-2-)1,{)-(22 2212212222222+=+=+=++=+=m r a x x m am x x r a amx x m y r a y x mx y 由韦达定理知：得：（消去,1- ;1222 243243+=+=+n r a x x n an x x 同理得： ),-(---23 23 22x x x x y y y y CD = 方程为：直线 ,--Q 3 23 223Q y y y x y x x = 点横坐标：由此得 , --P 1 41441P y y y x y x x = 点横坐标：同理得 ,------1 41441323223P Q y y y x y x y y y x y x x x AQ AP ===；即证：，只需证明：故，要证明 N B

反证法在数学解题中的应用

反证法在数学解题中的应用我们在解决数学问题时，一般是从正面入手，这就是所谓的正向思维，但往往也会遇到从正面入手困难，或出现一些逻辑上的困境的情形，这时就要从辩证思维的观点出发，运用逆向思维克服思维定势的消极面，从习惯思路的反方向去分析问题，运用反证法解决问题。一、反证法的逻辑基础证明命题“A B”时如果用这种方法：假设A∧B为真，在A且B的条件下，合乎逻辑地推出一个矛盾的结果(不论是与A矛盾还是与其他已知正确的结论矛盾或自相矛盾)，从而B成立(即A B成立)，这种方法就是反证法。二、反证法的解题步骤第一步审题，弄清命题的前提和结论；第二步否定原命题，由假设条件及原命题构成推理的基础；第三步由假设出发，根据公理、定义、定理、公式及命题的条件，正确逻辑推理，导出逻辑矛盾；第四步肯定原命题的正确性。三、什么情况下考虑应用反证法 1待证命题的结论是唯一存在性命题例1设方程x=p sin x+a有实根(0＜p＜1，a是实数)，求证实根唯一。证明：假设方程存在两个不同实根x1，x2，则有 x1=p sin x1+a，x2=p sin x2+a x1－x2=p sin x1－sin x2=2p cos x1+x22sin x1－x22 由于cos x1+x22│≤1，从而有│x1－x2│≤2p│sin x1－x22│又sin x1－x22≤x1－x22，故x1－x2≤p x1－x2，但x1≠x2，于是p≥1，与0＜p＜1矛盾。所以方程若有实根，则根唯一。 2采取直接证法，无适宜的定理作为根据，甚至无法证明。例2已知A、B、C、D是空间的四点，ABGN CD是导向直线，求证AC和BD、AD和BC也都是异面直线。分析：证AC和BD是异面直线，即证明AC和BD不在同一平面内，考虑反证法。证明：假定AC和BD不是异面直线，那么AC和BD在同一平面内，因此A、B、C、D不是异面直线，这与已知条件矛盾。所以AC和BD是异面直线。 3待证命理的结论是以“至少存在”的形式出现的，“至少存在”的反面是“必定不存在”，所以只要证明“必定不存在”不成立即可。例3设p1p2=2(q1+q2)求证方程x2+p1x+q1=ox2+p2x+q2=0中至少有一个方程有实根。证明：假设两方程都无实根，则 p12－4q1＜0，p22－4q2＜0，两式相加，有p21+p22＜4(q1+q2)(1) 而p1p2=2(q1+q2)代入(1)得p21+p22＜2p1p2，这与p21+p22≥2p1p2矛盾。故假设不成立，原命题正确。 4待正命题含有涉及各种“无限形式”的结论，由于中学没有直接证明“无限”的手段。而结论的反面却是“有限”，故常常借助于反证法。例4证明实数lg3是无理数。证明：假设lg3是有理数。则它可以表示成lg3=mn(m，n是互质的正整数，由对数的定义，得10=3″)。但10是偶数，而3″是奇数，矛盾。因此实数lg3是无理数。

高考中常见的立体几何题型和解题方法

高考中常见的立体几何题型和解题方法黔江中学高三数学教师：付超高考立体几何试题一般共有2——3道(选择、填空题1——2道, 解答题1道), 共计总分18——23分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的逻辑推理型问题, 而解答题着重考查立几中的计算型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的方向发展.从历年的考题变化看, 以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 一、知识整合 1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力． 2．判定两个平面平行的方法：（1）根据定义——证明两平面没有公共点；（2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；（3）证明两平面同垂直于一条直线。 3．两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。 4．空间角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决．空间角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角θ∈(0，2π]，直线与平面所成的角θ∈0,2π?????? ，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈[0，π]．对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三

反证法在数学中的应用

论文反证法在数学中的应用开封县八里湾镇第一初级中学杨继敏

反证法在数学中的应用摘要反证法是数学教学中所涉及的基本论证方法,它为一些从正面入手,无法使已知条件和结论找出联系的问题，提供了一条解题途径，它通过给出合理的反设,来增加演绎推理的前提，从而使那种只依靠所给前提而变的山穷水尽的局面,有了柳暗花明又一村的境地,使学生看到增加演绎推理前提的方便功效。在过去的数学学习中,许多人拘泥于传统的推理方法，常常使问题复杂化,尽管最后能达到目的，但往往费时费力,因为数学的研究往往体现一种思维转换，我们可以用一种“换位”思想来处理我们日常遇到的数学问题。【关键词: 逆向思维;假设；归谬;数学逻辑推理；矛盾；结论。】１．引言反证法是数学中一种重要的解题方法，对数学解题有着重要作用。其基本思想是通过求证对立面的不成立从而推出正面的正确。因为这种方法推理严密，说服性强，所以除了在数学中应用反证法,在实际生活中的应用也比较广泛。在不同的数学情境下,反证法的前提假设不同。因此，在数学中应用反证法,一定要具体问题提出相应具体正确的假设。这就需要熟练掌握反证法的反设词，除此,还应熟记反证法的证题步骤——假设，归谬，结论。有关这个课题的研究,以及涉及到各种文章说明其步骤，适用范围，并附以大量例题。但对反证法在数学中的应用,文字讲解与反证法适宜的数学题型的归纳总结还欠缺。本文就基于这方面的考虑,根据反证法在数学中适宜的命题应用进行了详细的文字讲解及归纳总结。 2. 反证法初探２.1 反证法的含义及逻辑依据含义:所谓反证法就是从反面证明命题的正确性，即欲证明“p则q”,则从反面推导出“若p非q”不能成立,从而证明“若p则ｑ”成立。它从否定结论出发,经过正确的严格推理,得到与已知（假设)或已成立的数学命题相矛盾的结果,从而验证产生矛盾的原因，推出原命题的结论不容否定的正确结论。

研究性学习：数学几何在日常生活中的运用

数学几何在日常生活中的运用研究小组成员：庄桂锋陈燕青蔡佳旋黄楚丽黄燕铃郭莹莹林敏珊李秀贤黄晓生黄健明董炜濠郑杰森研究小组组长：庄桂锋指导老师：林丽芳一、研究的背景：在这个科技高速发展的时代中，高楼大厦林立，各种各样的交通工具如汽车等穿梭在街头，这些中都不乏几何图形的应用，几何图形已经成了生活的“常客”，到处都有它的影子，社区和机关大院门口的“推拉式自动伸缩门”；运动场跑道直道与弯道的平滑连接；底部不能靠近的建筑物高度的计算；隧道双向作业起点的确定；折扇的设计以及黄金分割等，则是平面几何中直线图形的性质及解Rt三角形有关知识的应用。因此我们的研究性课题是数学几何图形在生活中的运用，希望通过这次小研究，提高我们的数学能力，能够在生活中自觉地运用数学知识。在我们现实生活中，涉及到很多复杂的数学问题，再复杂的问题也是由简单的知识点演变而来的，透过现象看本质，只要我们勤于思考，善于发现总结，那么会有很多意想不到的收获。二、研究的内容：例1. 如图所示，要把水渠中的水引到水池C，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图来，并说明原因。 1）题意分析：联系实际，开沟时为使沟最短，应根据“垂线段最短”解题． 2）解题思路：过点C作CD⊥AB于D，CD 为开沟的位置．解答过程：过点C作CD⊥AB于D，所以在点D处沿CD开沟，才能使沟最短，原因是从直线外一点到这条直线上所有各点的连线中，垂线段最短。解题后的思考：在解决实际问题时，应先将实际问题转化为“数学模型”，“如何开沟，使沟最短”，实质上是如何过C点向AB引线段，使线段最短，这就是最常见的垂线的性质的应用。例2. 有一条输电线路横穿AB两村而过，A村和B村商量，准备在这条电路上合资安装一台变压器．现在的问题是：这台变压器在这条电路的哪个点上安装，才可使得A村跟B 村尽可能地节约成本（两村到变压器之间的路线最短）？

解析法在几何中的应用 -

解析法在几何中的应用姓名：周瑞勇学号：201001071465 专业：物理学指导教师：何巍巍

解析法在几何的应用周瑞勇大庆师范学院物理与电气信息工程学院摘要：通过分析几何问题中的各要素之间的关系，用最简练的语言或形式化的符号来表达他们的关系，得出解决问题所需的表达式，然后设计程序求解问题的方法称为解析法。关键词：几何问题，表达关系，表达式，求解问题一前言几何学的历史深远悠久，欧几里得总结前人的成果，所著的《几何原本》。一直是几何学的坚固基石，至今我国中学教学的几何课本仍未脱离他的衣钵。长期的教学实践证明，采用欧式体系学习几何是培养学生逻辑思维能力的行之有效的方法。但是，事物都有两重性。实践同样证明，过多强调它的作为也是不适当的。初等几何的构思之难，使人们为此不知耗费了多少精力，往往为寻求一条神奇、奥秘的辅助线而冥思苦索。开辟新的途径，已是势在必行。近些年来，用解析法、向量法、复数法、三角法证明几何问题，受到越来越多的数学工作者的重视。由于平面几何的内容，只研究直线和园的问题，所以我们完全可以用解析法来研究几何问题。解析法不仅具有几何的直观性，而且也还有证明方法的一般性。综合几何叙述较简，但构思困难，而解析法思路清晰，过程简捷，可以作为证明几何问题中一种辅助方法，两者课去唱补短，想得益彰。二解析法概述几何数学主要是从几何图形这个侧面去研究客观事物的，其基本元素是点，代数学则主要是从数量关系这个侧面来研究客观事物，其基本元素是数。笛卡尔综合了前人的成果，创立了坐标概念，把代数学和几何学结合起来，于是产生了以研究点的位置和一对有序实数的关系、方程和曲线以及有研究连续运动而产生

2021版新高考数学：高考中的立体几何问题含答案

(1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面①，且平面ABC ⊥平面BCGE ②； (2)求图2中的二面角B -CG -A 的大小③. [信息提取] 看到①想到四边形ACGD 共面的条件，想到折叠前后图形中的平行关系；看到②想到面面垂直的判定定理；看到③想到利用坐标法求两平面法向量的夹角余弦值，想到建立空间直角坐标系． [规范解答] (1)由已知得AD ∥BE ，CG ∥BE ，所以AD ∥CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．·························2分由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，且BE ∩BC ＝B ，故AB ⊥平面BCGE . ·····················································3分又因为AB ?平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE . ··········································4分 (2)作EH ⊥BC ，垂足为H . 因为EH ?平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC . ···················································5分由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC ＝60°，可求得BH ＝1，EH ＝ 3.················································································6分以H 为坐标原点，HC →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H -xyz ，则A (－1，1，0)，C (1，0，0)，G (2，0，3)， CG →＝(1，0，3)，AC →＝(2，－1，0). ······························8分设平面ACGD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ?????CG →·n ＝0，AC →· n ＝0，即???x ＋3z ＝0，2x －y ＝0.·······································9分所以可取n ＝(3，6，－3).··········································10分又平面BCGE 的法向量可取为m ＝(0，1，0)，所以cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝32.····································11分因此，二面角B -CG -A 的大小为30°. ····························12分 [易错防范]

反证法证明题(简单)(可编辑修改word版)

反证法证明题例1. 已知∠A ，∠B ，∠C 为?ABC 内角. 求证：∠A ，∠B ，∠C 中至少有一个不小于60o. 证明：假设?ABC 的三个内角∠A ，∠B ，∠C 都小于60o，即∠A <60o，∠B <60o，∠C <60o，所以∠A +∠B +∠C < 180O，与三角形内角和等于180o矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立. 例2. 已知a ≠ 0 ，证明x 的方程ax =b 有且只有一个根. 证明：由于a ≠ 0 ，因此方程ax =b 至少有一个根x =b . a 假设方程ax = b 至少存在两个根，不妨设两根分别为x1 , x2 且x1 ≠x2 ，则ax1=b, ax2=b ，所以ax1=ax2，所以a(x1-x2 ) = 0 . 因为x1 ≠x2 ，所以x1 -x2 ≠ 0 ，所以a = 0 ，与已知a ≠ 0 矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立. 例3. 已知a3+b3= 2, 求证a +b ≤ 2 . 证明：假设a +b > 2 ，则有a > 2 -b ，所以a3> (2 -b)3即a3> 8 -12b + 6b2-b3，所以a3> 8 -12b + 6b2-b3= 6(b -1)2+ 2 . 因为6(b -1)2+ 2 ≥ 2 所以a3+b3> 2 ，与已知a3+b3= 2 矛盾. 所以假设不成立，所求证结论成立. 例4. 设{a n}是公比为的等比数列，S n为它的前n 项和. 求证：{S n}不是等比数列. 证明：假设是{S }等比数列，则S 2=S ?S ， n 2 1 3

2 2 2 2 1 1 1 即 a 2 (1+ q )2 = a ? a (1+ q + q 2 ) . 因为等比数列 a 1 ≠ 0 ，所以(1+ q )2 = 1+ q + q 2 即 q = 0 ，与等比数列 q ≠ 0 矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立. 例 5. 证明是无理数. m 证明：假设是有理数，则存在互为质数的整数 m ，n 使得 = . n 所以 m = 2n 即 m 2 = 2n 2 ，所以 m 2 为偶数，所以m 为偶数. 所以设 m = 2k (k ∈ N *) ，从而有4k 2 = 2n 2 即 n 2 = 2k 2 . 所以n 2 也为偶数，所以 n 为偶数. 与 m ，n 互为质数矛盾. 所以假设不成立，所求证是无理数成立. 例 6. 已知直线 a , b 和平面，如果 a ? , b ?，且 a / /b ，求证a / /。证明：因为 a / /b , 所以经过直线 a , b 确定一个平面。因为 a ? ，而 a ? ，所以与是两个不同的平面．因为b ?，且b ? ，所以 = b . 下面用反证法证明直线 a 与平面没有公共点．假设直线 a 与平面有公共点 P ，则 P ∈ = b ，即点 P 是直线 a 与 b 的公共点，这与 a / /b 矛盾．所以 a / /. 例 7．已知 0 < a , b , c < 2，求证：(2 - a )c ， (2 - b )a ，(2 - c )b 不可能同时大于 1 证明：假设(2 - a )c ， (2 - b )a ，(2 - c )b 都大于 1，即 (2 - a )c>1, (2 - b )a>1, (2 - c )b>1，

“反证法”在物理解题中的应用

“反证法”在物理解题中的应用府谷县前石畔九年制学校贾占雄在物理解题时，当从正面难以解决时可以转向反面思考，当用直接方法难以奏效时可以采用间接方法，这种正面突破有困难而转向反面寻求解法的策略，称为正难则反，或者称为逆向思维原则。反证法就是正难则反解题原则的一种形式。所谓反证法，是指通过证明论题结论的反面不正确来得出论题的正确结论的一种证明方法。反证法的证题步骤有三：反设——归谬———存真第一步：反设。即先提出与欲证结论相反（或相斥）的假设。第二步：归谬。在反设成立的前提条件下推出矛盾。这个矛盾可以是与已知条件、客观事实的矛盾，可以是与物理概念定义、物理规律的矛盾，可以是与命题题设矛盾，或与所做假设矛盾，甚至可以是从两个不同角度进行推理得出的结论自相矛盾。第三步，存真。反证法的逻辑依据是形式逻辑的“排中律”与“矛盾律”。排中律可以简洁地表述为：两个相互矛盾的思想不能同假，必有一真。矛盾律可以表述为：一个思想及其否定不能同真，必有一假。这样，欲证结论的正面与反面不可能同真，也不可能同假，二者必居其一。例如：物体在空中下落的现象极为普遍，那么物体下落的快慢与哪些因素有关呢？古代的学者认为：物体下落的快慢是由它们所受的重力决定的，物体越重，下落的越快。公元前4世纪希腊哲学家亚里士多德最早阐述了这种观点。由于这种观点与人们日常所见十分吻合，在其后两千多年的时间里，人们一直信奉他的学说。最早向亚里士多德学说挑战的是伟大的物理学家伽利略。如何证明亚里士多德的学说是错误的呢?伽利略以著名的比萨斜塔实验给予正面冲击，同时也以反证法奇妙的向亚里士多德发起迂回冲击。假设亚里士多德的学说是正确的，物体越重，下落的越快，重物体要比轻物体下落的快。那么，把一个轻物体与一个重物体系在一起下

2017年高考立体几何大题

2017年高考立体几何大题（文科） 1、（2017新课标Ⅰ文数）（12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=o ,且四棱锥P-ABCD 的体积为 83 ，求该四棱锥的侧面积.

如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,1,90.2 AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=? （1）证明：直线BC ∥平面PAD ; （2）若△PCD 的面积为P ABCD -的体积.

如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；（Ⅲ）当PA∥平面BD E时，求三棱锥E–BCD的体积．

由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD. A O∥平面B1CD1; （Ⅰ）证明： 1 （Ⅱ）设M是OD的中点,证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.

如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．

反证法证明题

反证法证明题例1. 已知A ∠，B ∠，C ∠为ABC ?内角. 求证：A ∠，B ∠，C ∠中至少有一个不小于60o . 证明：假设ABC ?的三个内角A ∠，B ∠，C ∠都小于60o ，即A ∠<60o ，B ∠<60o ，C ∠<60o ，所以O 180A B C ∠+∠+∠<，与三角形内角和等于180o 矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立. 例2. 已知0a ≠，证明x 的方程ax b =有且只有一个根. 证明：由于0a ≠，因此方程ax b =至少有一个根b x a =. 假设方程ax b =至少存在两个根，不妨设两根分别为12,x x 且12x x ≠，则12,ax b ax b ==，所以12ax ax =，所以12()0a x x -=. 因为12x x ≠，所以120x x -≠，所以0a =，与已知0a ≠矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立. 例3. 已知3 3 2,a b +=求证2a b +≤. 证明：假设2a b +>，则有2a b >-，所以3 3 (2)a b >-即323 8126a b b b >-+-，所以3 2 3 2 81266(1)2a b b b b >-+-=-+. 因为2 6(1)22b -+≥ 所以332a b +>，与已知33 2a b +=矛盾. 所以假设不成立，所求证结论成立. 例4. 设{}n a 是公比为的等比数列，n S 为它的前n 项和. 求证：{}n S 不是等比数列. 证明：假设是{}n S 等比数列，则2 213S S S =?，

即222 111(1)(1)a q a a q q +=?++. 因为等比数列10a ≠，所以2 2 (1)1q q q +=++即0q =，与等比数列0q ≠矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立. 例5. 证明2是无理数. 证明：假设2是有理数，则存在互为质数的整数m ，n 使得2m n =. 所以2m n = 即222m n =，所以2 m 为偶数，所以m 为偶数. 所以设* 2()m k k N =∈，从而有2 2 42k n =即2 2 2n k =. 所以2 n 也为偶数，所以n 为偶数. 与m ，n 互为质数矛盾. 所以假设不成立，所求证2是无理数成立. 例6. 已知直线,a b 和平面，如果,a b αα??，且//a b ，求证//a α。证明：因为//a b , 所以经过直线a , b 确定一个平面β。因为a α?，而a β?，所以 α与β是两个不同的平面．因为b α?，且b β?，所以b αβ=I . 下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈=I ，即点P 是直线 a 与b 的公共点，这与//a b 矛盾．所以 //a α. 例7．已知0 < a , b , c < 2，求证：(2 a )c ， (2 b )a ，(2 c )b 不可能同时大于1 证明：假设(2 a )c ， (2 b )a ，(2 c )b 都大于1，

几何模型在现实生活中的应用

天津师范大学本科生毕业论文（设计）题目：几何模型在现实生活中的应用学号： 02505075 姓名：刘静专业：数学与应用数学年级： 2002级学院：数学科学学院完成日期： 2006年5月指导教师：张智广

几何模型在现实生活中的应用摘要：几何模型是数学建模的重要工具，合理使用它将使原本复杂的问题变得简单易解，有简化问题的作用．一般来说，几何模型是针对具体实物建立起来的，即可在现实生活中找到原型，其目的是为了解决实际问题．它的应用范围非常广泛，在许多领域发挥着重要作用．本文从物体运动、运输、汽车设计优化等问题入手，分析如何建立其几何模型，探求解决途径，并研究所建模型的应用领域，即还可利用此模型解决的类似问题有哪些．关键词：数学建模，数学模型，几何模型，简化

The Application of Geometrical Model in Our Daily Life Abstract:Geometrical model is a very important tool in mathematical modeling. Rational of it will simplify the original complex problems. Generally, geometrical models are constructed according to the concrete materials, namely, people can find their original models in real life. As geometrical model aims at solving the programmatic problems, it has been widely used. It plays a very important role in various fields. This paper mainly analyses the methods of constructing geometrical model from the perspectives of transportation, the moving of the object, and the optimal design of cars, and then explores the way of solving the problem. This paper also researches the applying fields of all the constructing models and the solving of some certain problems with these models. Key words:Mathematical modeling, Mathematical model, Geometrical model, Simplify

第56讲解析法证几何题教学内容

第56讲解析法证几何题

第56讲解析法证几何题解析法是利用代数方法解决几何问题的一种常用方法．其一般的顺序是：建立坐标系，设出各点坐标及各线的方程，然后根据求解或求证要求进行代数推算．它的优点是具有一般性与程序性，几何所有的平面几何问题都可以用解析法获解，但对于有些题目演算太繁．此外，如果建立坐标系或设点坐标时处理不当，也可能增加计算量．建系设点坐标的一般原则是使各点坐标出现尽量多的0，但也不可死搬教条，对于一些“地位平等”的点、线，建系设点坐标时，要保持其原有的“对称性”． A类例题收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

斜边AB及直角边BC为边向三角形两侧作正方形ABDE、CBFG．求证：DC⊥FA．分析只要证k CD·k AF＝－1，故只要求点D的坐标．证明以C为原点，CB为x轴正方向建立直角坐标系．设A(0，a)，B(b，0)，D(x，y)．则直线AB的方程为ax＋by－ab＝0．故直线BD的方程为bx－ay－(b·b－a·0)＝0，即bx－ay－b2＝0． ED方程设为ax＋by＋C＝0．由AB、ED距离等于|AB|，得 |C＋ab| ＝a2＋b2， a2＋b2 解得C＝±(a2＋b2)－ab．如图，应舍去负号．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

所以直线ED方程为ax＋by＋a2＋b2－ab＝0．解得x＝b－a，y＝－b．(只要作DH⊥x轴，由△DBH≌△BAC就可得到这个结果)．即D(b－a，－b)．因为k AF＝b－a b，k CD＝－b b－a，而k AF·k CD＝－1．所以 DC⊥FA．例2．自ΔABC的顶点A引BC的垂线，垂足为D，在AD上任取一点H，直线BH交AC于E，CH交AB于F．试证：AD平分ED与DF所成的角．证明建立直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，H(0，h)，于是 BH：x b＋ y h＝1 AC：x c＋ y a＝1 x

中考数学解题方法及提分突破训练：反证法专题(含解析)

解题方法及提分突破训练：反证法专题对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。一真题链接 1.用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。已知：如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 交于点P ，且AB 、CD 不是直径.求证：弦AB 、CD 不被P 平分 . 2.平面内有四个点，没有三点共线，证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 3. 平面内有四个点，没有三点共线证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形二名词释义反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。例如：已知：a 是整数，2能整除2 a 。试证：2能整除a ① 探究：问题实际上是在讨论a 是奇数，还是偶数。已知中：说明2 a 是偶数，则 () 22a m m N =∈，此时)a m N =∈ ② 反思：条件已用完，结论还不能明确得证，可能结论自身有问题。 ③ 若结论有问题，则“2不能整除a ”应该成立，此时会发生怎样的情况，进行推理引出反证法。总结：在上题由“2不能整除a ”这个假设下，推理出了矛盾，肯定了原题的结论，从而说明了这种思想可以作为一种证明问题的方法，再通过问题2继续认识。三典型例题反证法的证题步骤： ① 假设。假设结论的反面成立，重点完成对假设的等价转化 ② 归结矛盾。矛盾来源：与已知，定理，公理，已证，已作，矛盾。 ③ 否定假设，肯定结论。例1.是无理数是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，设 ,0,q p p = ≠且,p q q =。所以，2 2 2p q =。---------① 故2 q 是偶数，q 也必然为偶数。不妨设2q k =，代入①式，则有22 24p k =，