matlab与多元统计分析
Matlab 与多元统计分析
胡云峰 师学院
第三章习题
3.1对某地区的6名2周岁男婴的身高、胸围、上半臂进行测量。得样本数据如表3.1所示。
假设男婴的测量数据X （a ）（a=1，…，6）来自正态总体N 3(μ,∑) 的随机样本。根据以往的资料，该地区城市2周岁男婴的这三项的均值向量μ0=（90,58,16）’，试检验该地区农村男婴与城市男婴是否有相同的均值向量。
1．预备知识 ∑未知时均值向量的检验： H 0：μ=μ0 H 1：μ≠μ0
H 0成立时
122)(0,)(1)(1,)
()'((1)))()'()(,1)(1)1(,)
(1)P P X N n S W n n X n S X n X S X T p n n p T F P n p n p
μμμμμ---∑--∑??∴----=-----+∴--:::: 当
2
(,)(1)
n p T F p n p p n α-≥--或者22T T α≥拒绝0H
当
2
(,)(1)
n p T F p n p p n α-<--或者22T T α<接受0H
这里2
(1)
(, )p n T F p n p n p
αα-=
--
2．根据预备知识用matlab 实现本例题 算样本协方差和均值
程序x=[78 60.6 16.5;76 58.1 12.5;92 63.2 14.5;81 59.0 14.0;81 60.8 15.5;84 59.5 14.0]; [n,p]=size(x); i=1:1:n;
xjunzhi=(1/n)*sum(x(i,:)); y=rand(p,n); for j=1:1:n
y(:,j)= x(j,:)'-xjunzhi'; y=y; end
A=zeros(p,p); for k=1:1:n;
A=A+(y(:,k)*y(:,k)'); end
xjunzhi=xjunzhi' S=((n-1)^(-1))*A 输出结果xjunzhi =
82.0000 60.2000 14.5000 S =
31.6000 8.0400 0.5000 8.0400 3.1720 1.3100 0.5000 1.3100 1.900 然后u=[90;58;16];
t2=n*(xjunzhi-u)'*(S^(-1))*(xjunzhi-u) f=((n-p)/(p*(n-1)))*t2 输出结果t2 = 420.4447 f =
84.0889
所以2
1
()'()T n X S X μμ-=--=420.4447
2
(1)
n p F T p n -=
-=84.0889
查表得F 3,3(0.05)=9.28<84.0889 F 3,3(0.01)=29.5<84.0889 因此在a=0.05或 a=0.01时拒绝0H 假设
3.2 相应于表3.1再给出该地区9名2周岁女婴的三项指标的测量数据如表3.2所示。假
设女婴的测量数据Y (a)(a=1,…，9)来自正态总体N 3(μ,∑)的随机样本。试检验2周岁男婴与女婴的均值是有无显著差异
表3.2 某地区农村2周岁女婴体格测量数据
解
1. 预备知识
有共同未知协方差阵∑时
012:H μμ= 112:H μμ≠
在0H 成立的情况下且两样本独立
1112)(0,)(2)(1)(1)(2,)(2))((2)))))()'()(,2)21(P X Y P
X Y N n m S n S m S W n m n m n m S n m T P n m n m
n m p p n ---?-∑?
?
?+-=-+-+-∑?'??∴+--+--??
??'??
=--?????=--+-++--+∴X Y X Y X Y S X Y X Y S X Y :::2(,1)
2)
T F P n m p m +--+-:
给定检验水平α，查F 分布表，使{}p F F αα>=，可确定出临界值αF ，再用样本值计算出F ，若F F α>，则否定0H ，否则接受0H 。
2．根据预备知识用matlab 实现本例题 由上一题知道 xjunzhi = 82.0000 60.2000 14.5000 Sx =
31.6000 8.0400 0.5000 8.0400 3.1720 1.3100 0.5000 1.3100 1.900 类似程序
xjunzhi=[82;60.2;14.5];
Sx=[31.6 8.04 0.5;8.04 3.1720 1.3100;0.5 1.31 1.9]; n=6;
y=[80.0 58.4 14.0;75.0 59.2 15;78 60.3 15;75.0 57.4 13.0;79 59.5 14.0;78 58.1 14.5;75 58.0 12.5;64 55.5 11.0;80 59.2 12.5]; [m,p]=size(y); i=1:1:m;
yjunzhi=(1/m)*sum(y(i,:)); z=rand(p,m); for j=1:1:m
z(:,j)= y(j,:)'-yjunzhi'; z=z; end
B=zeros(p,p);
for k=1:1:m;
B=B+(z(:,k)*z(:,k)');
end
Sy=((m-1)^(-1))*B;
yjunzhi=yjunzhi'
S=(1/(n+m-2))*((n-1)*Sx+(m-1)*Sy)
得到结果yjunzhi =
76.0000
58.4000
13.5000
S =
27.2308 6.5615 2.8462
6.5615 2.4323 1.4000
2.8462 1.4000 1.8462
然后
t=((n*m)/(n+m))*((xjunzhi-yjunzhi)')*(S^(-1))*(xjunzhi-yjunzhi)
F=((n+m-p-1)/(p*(n+m-2)))*t
输出结果t =5.3117
F =1.4982
查表得F0.05(3，11)=3.59>1.4982 F0.01(3，11)=6.22>1.4982
H假设
因此在a=0.05或a=0.01时接受
第四章习题
4.1 下表列举某年级任取12名学生的5门主课的期末考试成绩，试绘制学生序号为1、2、11、12的轮廓图、雷达图。
解
1999493100100
29988969997
117672436778
128575503437
1 利用matlab画轮廓图
程序x=1:5;
y1=[99 94 93 100 100];
y2=[99 88 96 99 97];
y3=[76 72 43 67 78];
y4=[85 75 50 34 37];
plot(x,y1,'k-o','linewidth',1);
hold on;
plot(x,y2,'r--*','linewidth',2);
hold on;
plot(x,y3,'b-.p','linewidth',2);
hold on
plot(x,y4,'k--o','linewidth',2);
xlabel('学科');ylabel('分数');
legend('1','2','11','12');
set(gca,'xtick',[1 2 3 4 5])
set(gca,'xticklabel',{'政治','语文','外语','数学','物理'})
输出结果
学科
分数
2 利用matlab 画雷达图
此图用matlab 画起来比较复杂 首先我们修改polar 函数
在命令窗口输入edit polar 结果会出现polar 函数的程序 其中我们把 % plot spokes
th = (1:6)*2*pi/12;
cst = cos(th); snt = sin(th); cs = [-cst; cst]; sn = [-snt; snt];
line(rmax*cs,rmax*sn,'linestyle',ls,'color',tc,'linewidth',1,... 'handlevisibility','off','parent',cax) 修改为
% plot spokes
th = (1:3)*2*pi/6;
cst = cos(th); snt = sin(th); cs = [-cst; cst]; sn = [-snt; snt];
line(rmax*cs,rmax*sn,'linestyle',ls,'color',tc,'linewidth',1,... 'handlevisibility','off','parent',cax) 再将后面的所有程序中的30改为72 然后另存为work 中并命名为mypolar.m
然后输入程序 x=[0:pi/2.5:2*pi];
y1=[99 94 93 100 100 99];
y2=[99 88 96 99 97 99];
y3=[76 72 43 67 78 76];
y4=[85 75 50 34 37 85];
mypolar(x,y1,'b');
hold on;
mypolar(x,y2,'m');
hold on;
mypolar(x,y3,'g');
hold on;
mypolar(x,y4,'y')
legend('1','2','11','12');
输出结果
第五章聚类分析
习题5.3.下表给出我国历年职工人数（单位：万人），请用有序样品的fisher法聚类。
解第一步数据标准化后计算直径D
程序：
X=[1580 23;1881 121;2423 554;4532 662;5044 925;3303 1012;3465 1136;...
3939 1264;4170 1334;4792 1424;5610 1524;6007 1644;6860 1813;...
7451 2048;8019 2425];
stdr=std(X);
[n,m]=size(X);
X=X./stdr(ones(n,1),:);
[n p]=size(X);
D=zeros(n,n);
for i=1:1:n;
for j=1:1:n;
if i t=i:1:j; xgjunzhi=(1/(j-i+1))*sum(X(t,:)); y=zeros(1,j-i+1); for s=i:1:j y(s)=(X(s,:)-xgjunzhi)*(X(s,:)-xgjunzhi)'; end s=i:1:j; D(i,j)=sum(y); else D(i,j)=0; end end end D=D' 输出结果矩阵太大，所以用excel处理了一下 D= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.022567 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.44898 0.24578 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.0632 1.3981 0.60024 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.9256 2.651 1.1802 0.11098 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4.5022 3.0091 1.4238 0.56953 0.40862 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.179 3.4353 1.6648 0.82576 0.53831 0.02044 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6.0823 4.021 1.976 1.023 0.63343 0.12781 0.047757 0 0 0 0 0 0 0 0 7.0311 4.6502 2.3255 1.2313 0.755 0.26341 0.11275 0.012456 0 0 0 0 0 0 0 8.3322 5.5762 2.9094 1.6045 1.0531 0.60619 0.33881 0.13122 0.060032 0 0 0 0 0 0 10.312 7.1034 4.0117 2.4126 1.7772 1.3793 0.92314 0.52664 0.31541 0.099401 0 0 0 0 0 12.696 8.9972 5.4422 3.5114 2.7548 2.3553 1.669 1.0457 0.65496 0.25632 0.03671 0 0 0 0 16.291 11.998 7.8688 5.5038 4.5686 4.1193 3.1032 2.1468 1.4707 0.77122 0.30858 0.12762 0 0 0 21.117 16.128 11.321 8.4298 7.2316 6.6487 5.2116 3.8312 2.7793 1.6877 0.8881 0.46016 0.10709 0 0 28 22.167 16.528 12.978 11.386 10.546 8.5596 6.627 5.0716 3.4539 2.1748 1.3443 0.59832 0.19951 0 我们只看下三角所有元素，其它元素理解为空 第二步我们计算损失函数矩阵L 程序： %设计一个把样品分为两类的程序,以及对应最后一类分割点 D=D'; L=zeros(n-1,n-1); alp=zeros(n-1,n-1); for m=2:n; s=zeros(1,m-1); for j=2:m s(1,j-1)=D(1,j-1)+D(j,m); end L(m-1,1)=min(s(1,1:m-1)); for j=1:m-1 if L(m-1,1)==s(1,j); alp(m-1,1)=j+1; end end end %分为k类 for k=3:n; for m=k:n s=zeros(1,m-k+1); for j=k:m; s(1,j-k+1)=L(j-2,k-2)+D(j,m); end L(m-1,k-1)=min(s(1,1:m-k+1)); for j=1:m-k+1 if L(m-1,k-1)==s(1,j); alp(m-1,k-1)=j+k-1; end end end end 输出结果这里由于表太大，用excel处理一下 L= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.022567 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.44898 0.022567 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.55996 0.13355 0.022567 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0185 0.55996 0.13355 0.022567 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.2747 0.5804 0.15399 0.043007 0.02044 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.472 0.68777 0.26136 0.15038 0.043007 0.02044 0 0 0 0 0 0 0 0 1.6803 0.82337 0.39696 0.16644 0.055464 0.032897 0.012456 0 0 0 0 0 0 0 2.0535 1.1662 0.71162 0.28521 0.16644 0.055464 0.032897 0.012456 0 0 0 0 0 0 2.8616 1.7797 0.92277 0.49636 0.26584 0.15486 0.055464 0.032897 0.012456 0 0 0 0 0 3.9604 1.9366 1.0797 0.65328 0.32192 0.20315 0.092174 0.055464 0.032897 0.01246 0 0 0 0 5.9528 2.3621 1.4747 1.0202 0.59379 0.32192 0.20315 0.092174 0.055464 0.0329 0.012456 0 0 0 8.7188 2.9416 2.0437 1.1868 0.76037 0.42901 0.31024 0.19927 0.092174 0.05546 0.032897 0.012456 0 0 alp= 20000000000000 33000000000000 44400000000000 44550000000000 46666000000000 46666700000000 46668880000000 46688889000000 4688101010101000000 41010101010111111110000 410101011111112121212000 4111111111313131313131300 101113131313131314141414140 1012131415151515151515151515在这里解释一下这两个矩阵行表示分为k类，k从2到15；列表示样本数m，m从2到15 我们只看下三角所有元素，其它元素理解为空，接下来我们根据结果分析 如果我们要把样品分为三类，则第一个分割点为11，然后第二个分割点为6 得到 第一类：{1952，1954,1956,1958,1960} 第二类：{1962,1964,1966,1968,1970} 第三类：{1972,1974,1976,1978,1980} 第六章判别分析 例6.6对全国30个省市自治区1994年影响各地区经济增长差异的制度变量x1—经济增 解求均值及协方差的逆的估计值 程序 X1=[11.2 57.25 13.47 73.41;14.9 67.19 7.89 73.09;14.3 64.74 19.41 72.33;... 13.5 55.63 20.59 77.33;16.2 75.51 11.06 72.08;14.3 57.63 22.51 77.35;... 20 83.4 15.99 89.5;21.8 68.03 39.42 71.9;19 78.31 83.03 80.75;... 16 57.11 12.57 60.91;11.9 49.97 30.7 69.2]; X2=[8.7 30.72 15.41 60.25;14.3 37.65 12.95 66.42;10.1 34.63 7.68 62.96;... 9.1 56.33 10.3 66.01;13.8 65.23 4.69 64.24;15.3 55.62 6.06 54.74;... 11 55.55 8.02 67.47;18 62.85 6.4 58.83;10.4 30.01 4.61 60.26;... 8.2 29.28 6.11 50.71;11.4 62.88 5.31 61.49;11.6 28.57 9.08 68.47;... 84 30.23 6.03 55.55;8.2 15.96 8.04 40.26;10.9 24.75 8.34 46.01;... 15.6 21.44 28.62 46.01]; X3=[16.5 80.05 8.81 73.04;20.6 81.24 5.37 60.43;8.6 42.06 8.88 56.37]; [n p]=size(X1); [m p]=size(X2); i=1:1:n; x1junzhi=(1/n)*sum(X1(i,:)); j=1:1:m; x2junzhi=(1/m)*sum(X2(j,:)); S1=cov(X1); S2=cov(X2); sigamani=(((n-1)*S1+(m-1)*S2)/(n+m-2))^(-1) x1junzhi=x1junzhi' x2junzhi=x2junzhi' 输出结果 sigamani = 0.0049 0.0001 -0.0001 0.0001 0.0001 0.0071 0.0002 -0.0075 -0.0001 0.0002 0.0050 -0.0009 0.0001 -0.0075 -0.0009 0.0235 x1junzhi = 15.7364 64.9791 25.1491 74.3500 x2junzhi = 16.2875 40.1063 9.2281 58.1050 接着计算判别函数 根据111ln ''1,22 g g g g f q X g μμμ--=- ∑+∑= 11 ln 1ln 0.8979427 16 ln 2ln 0.52325 27q q =≈-=≈- 1123421234 45.86550.08960.08490.0715 1.240629.13440.08970.14430.0008 1.0591f x x x x f x x x x =-+-++=-+-++ 按照判别原则，若12f f >，则属于第一组，若12f f <，则属于第二组 回判 程序 A=sigamani*x1junzhi; B=sigamani*x2junzhi; C=zeros(27,2); C(:,1)=[1:1:27]; for i=1:1:11 f1=X1(i,:)*A-45.8655; f2=X1(i,:)*B-29.1344; if f1>f2 C(i,2)=1; else C(i,2)=2; end end for i=1:1:16 f1=X2(i,:)*A-45.8655; f2=X2(i,:)*B-29.1344; if f1>f2 C(i+11,2)=1; else C(i+11,2)=2; end end C 输出结果 C = 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 2 11 1 12 2 13 2 14 2 15 2 16 2 17 2 18 2 19 2 20 2 21 2 22 2 23 2 24 2 25 2 26 2 27 2 所以误判率为1 100% 27 ?≈3.7%很小，所以判别有效 最后对待判样品进行判别 程序 D=zeros(3,2); D(:,1)=[28:1:30]; for j=1:1:3 f1=X3(j,:)*A-45.8655; f2=X3(j,:)*B-29.1344; if f1>f2 D(j,2)=1; else D(j,2)=2; end end D 输出结果 D = 28 1 29 2 30 2 第七章主成分分析 例7.1对全国30个省市自治区经济发展基本情况的八项指标作主成分分析，原始数据如下: 解用matlab实现主成分分析 第一步在matlab输入原始数据 在这里由于输入数据量较大，我们可以在matlab的workspace中点击“新建变量”选项，命名为“x的变量，然后把你在excel中打好的表格中的数据直接复制粘贴到该变量中 接着我们将原始数据标准化 程序stdr=std(x); %求各变量的标准差 [n,m]=size(x); sddata=x./stdr(ones(n,1),:) %标准化变换 输出结果 sddata = 0.9458 2.9072 1.2882 6.2182 0.8129 57.9170 59.3231 1.4428 0.6239 3.1568 0.8575 4.9637 0.7453 56.8802 58.2694 0.9964 1.9321 1.4600 1.7496 3.6947 4.4208 56.8802 61.0090 2.1123 0.7408 1.4507 0.7220 3.6046 1.5596 57.7195 60.9036 1.1927 0.5647 1.6097 0.6211 3.1564 1.6996 58.0158 61.5358 0.7174 1.8941 2.7819 0.9630 3.7497 2.9811 57.3245 60.0607 3.1485 0.7657 2.1726 0.7954 3.3824 1.0815 56.8802 60.1660 1.3043 1.3660 2.7088 1.0815 3.1648 1.7933 57.3245 60.2187 2.1218 1.6698 6.2010 2.4734 7.0848 0.4509 58.6083 59.5338 2.8104 3.4955 2.2353 3.5617 4.5308 2.2297 57.1764 60.2187 3.4668 2.3900 2.6101 2.4980 5.0538 1.6402 57.5714 59.7972 1.5679 1.3585 1.4554 1.1765 3.5191 1.9748 56.6826 59.3757 1.4098 1.4650 2.6925 1.3750 4.4720 1.3248 56.8802 60.2714 0.7418 0.8171 1.3718 0.7020 3.2152 0.8951 57.7195 61.0617 0.9782 3.3919 1.7722 3.0519 3.9283 2.6017 58.0652 60.1660 3.7765 2.0360 1.2000 1.6639 3.3168 3.4231 57.5220 60.5348 2.3400 1.6215 1.7722 1.4190 3.5771 1.8459 59.2502 61.4305 2.0882 1.4888 1.6341 1.0490 3.6626 2.1999 58.7564 60.8509 1.4435 3.6491 3.1324 4.0702 6.2991 1.4274 56.2876 58.7962 2.3886 1.0891 1.5250 0.9496 3.9322 1.2089 58.4602 61.3251 0.9493 0.2469 2.1053 0.4923 4.0772 0.5046 56.0408 58.6382 0.1100 2.3962 1.4635 2.0416 3.5466 1.9618 58.5095 61.6412 2.4493 0.4272 1.0933 0.3744 3.4168 0.6547 59.9414 61.7466 0.5555 0.8182 1.4635 0.8290 3.9314 0.6749 59.8920 62.2207 1.2259 0.0380 1.2882 0.0444 5.6364 0.0091 57.9170 60.5348 0.0095 0.6781 1.4020 0.7453 3.3565 1.0891 58.7564 61.6412 1.0280 0.3752 1.1687 0.2850 4.1941 1.1023 59.1514 61.3778 0.8019 0.1121 1.6770 0.1185 4.3926 0.1339 58.2627 61.2724 0.1810 0.1151 1.5726 0.1538 3.8780 0.2648 57.8183 60.7456 0.1957 0.5659 1.7049 0.9356 4.0833 0.7371 59.1020 61.4831 0.7334 第二步建立指标间的相关系数矩阵R 在这里标准化之后的样本数据的相关系数矩阵与样本离差阵相等 所以我们接着在命令窗口输入R=cov(sddata) 输出结果 R = 1.0000 0.2668 0.9506 0.1899 0.6172 -0.2726 -0.2636 0.8737 0.2668 1.0000 0.4261 0.7178 -0.1510 -0.2351 -0.5927 0.3631 0.9506 0.4261 1.0000 0.3989 0.4306 -0.2805 -0.3591 0.7919 0.1899 0.7178 0.3989 1.0000 -0.3562 -0.1342 -0.5384 0.1033 0.6172 -0.1510 0.4306 -0.3562 1.0000 -0.2532 0.0217 0.6586 -0.2726 -0.2351 -0.2805 -0.1342 -0.2532 1.0000 0.7628 0.1252 -0.2636 -0.5927 -0.3591 -0.5384 0.0217 0.7628 1.0000 -0.1921 0.8737 0.3631 0.7919 0.1033 0.6586 -0.1252 -0.1921 1.0000 第三步求R的特征向量 程序[x,B]=eig(R) 输出结果 x = 0.7602 0.0939 0.0309 0.1486 0.3203 0.1099 0.2585 0.4568 0.1092 0.2162 0.4222 0.1634 -0.6441 0.2459 -0.4038 0.3130 -0.6080 0.3178 0.2226 0.1673 0.4262 0.1924 0.1084 0.4706 0.0320 -0.2981 -0.0452 -0.6589 0.2585 0.3340 -0.4878 0.2400 -0.0498 0.2678 0.0593 -0.6620 -0.3331 -0.2493 0.4980 0.2509 0.0205 0.4185 -0.4338 -0.0580 -0.1133 0.7227 0.1699 -0.2624 0.0131 -0.3601 0.6646 -0.0774 0.0422 0.3972 0.4010 -0.3197 -0.1907 -0.6148 -0.3685 0.2037 -0.3295 0.1915 0.2877 0.4247 B = 0.0150000000 00.065000000 000.13800000 0000.2130000 00000.402000 00000 1.21500 000000 2.1970 0000000 3.754 在这里由于输出结果数据长度太大，无法在这里显示，所以用excel对上面的矩阵B做了一 点小小的处理 在矩阵B中对角线上的元素对应的是R的特征值，对应的矩阵列向量为其特征向量 对结果分析 从上表看，前三个特征值累计贡献率已达89.575%，这说明前三个主成分基本包含了全部指标具有的信息，为此，我们取前三个特征值，并计算出相应的特征向量: 对应特征向量 u1u2u3 0.456790.258510.1099 0.31301-0.403790.24587 0.470560.108390.19243 0.23996-0.487770.33405 0.25090.49801-0.24933 -0.262440.169880.7227 -0.319660.401020.39716 0.424680.287690.19147 因而前三个主成为 第一个主成分 F1=0.45679X1+0.31301X2+0.47056X3+0.23996X4+0.2509X5-0.26244X6-0.31966X7 +0.42468X8 F2=0.25851X1-0.40397X2+0.10839X3-0.48777X4+0.49801X5+0.16988X6+0.40102X7 +0.28769X8 F3=0.1099X1+0.24587X2+0.19243X3+0.33405X4-0.24933X5+0.7227X6+0.39716X7 +0.19147X8 在第一个主成分的表达式中第一、二、三项指标的系数较大，这三个指标起主要作用，我们可以把第一主成分看成是由国生产总值，固定生产投资和居民消费水平所刻画的反映经济发展状况的综合指标。 在第二主成分中的表达式中第四、五、七、八项指标的系数较大·尤其四、五、七，我们把这四项指标看成一个综合指标。 在第三个主成分中，第六项指数影响最大，远远超出其它指标的影响，可单独看成是居民消费价格指数的影响。 一、判断题 （ 对 ） 1 X ( X 1 , X 2 ,L , X p ) 的协差阵一定是对称的半正定阵 （ 对 （ ） 2 标准化随机向量的协差阵与原变量的相关系数阵相同。 对） 3 典型相关分析是识别并量化两组变量间的关系，将两组变量的相关关系 的研究转化为一组变量的线性组合与另一组变量的线性组合间的相关关系的研究。 （ 对 ）4 多维标度法是以空间分布的形式在低维空间中再现研究对象间关系的数据 分析方法。 （ 错）5 X (X 1 , X 2 , , X p ) ~ N p ( , ) ， X , S 分别是样本均值和样本离 差阵，则 X , S 分别是 , 的无偏估计。 n （ 对） 6 X ( X 1 , X 2 , , X p ) ~ N p ( , ) ， X 作为样本均值 的估计，是 无偏的、有效的、一致的。 （ 错） 7 因子载荷经正交旋转后，各变量的共性方差和各因子的贡献都发生了变化 （ 对） 8 因子载荷阵 A ( ij ) ij 表示第 i 个变量在第 j 个公因子上 a 中的 a 的相对重要性。 （ 对 ）9 判别分析中， 若两个总体的协差阵相等， 则 Fisher 判别与距离判别等价。 （对） 10 距离判别法要求两总体分布的协差阵相等， Fisher 判别法对总体的分布无特 定的要求。 二、填空题 1、多元统计中常用的统计量有：样本均值向量、样本协差阵、样本离差阵、 样本相关系数矩阵． 2、 设 是总体 的协方差阵， 的特征根 ( 1, , ) 与相应的单 X ( X 1,L , X m ) i i L m 位 正 交 化 特 征 向 量 i ( a i1, a i 2 ,L ,a im ) ， 则 第 一 主 成 分 的 表 达 式 是 y 1 a 11 X 1 a 12 X 2 L a 1m X m ，方差为 1 。 3 设 是总体 X ( X 1, X 2 , X 3, X 4 ) 的协方差阵， 的特征根和标准正交特征向量分别 为： 1 2.920 U 1' (0.1485, 0.5735, 0.5577, 0.5814) 2 1.024 U 2' (0.9544, 0.0984,0.2695,0.0824) 3 0.049 U 3' (0.2516,0.7733, 0.5589, 0.1624) 4 0.007 U 4' ( 0.0612,0.2519,0.5513, 0.7930) ，则其第二个主成分的表达式是 多元统计分析实例 院系:商学院 学号: 姓名: 多元统计分析实例 本文收集了2012年31个省市自治区的农林牧渔和相关农业数据,通过对对收集的数据进行比较分析对31个省市自治区进行分类.选取了6个指标农业产值,林业产值.牧业总产值,渔业总产值,农村居民家庭拥有生产性固定资产原值,农村居民家庭经营耕地面积. 数据如下表: 一.聚类法 设定4个群聚,采用了系统聚类法.下表为spss分析之后的结果. Rescaled Distance Cluster Combine C A S E 0 5 10 15 20 25 Label Num +---------+---------+---------+---------+---------+ 内蒙 5 -+ 吉林 7 -+ 云南 25 -+-+ 江西 14 -+ +-+ 陕西 27 -+-+ | 新疆 31 -+ +-+ 安徽 12 -+-+ | | 广西 20 -+ +-+ +-------+ 辽宁 6 ---+ | | 浙江 11 -+-----+ | 福建 13 -+ | 重庆 22 -+ +---------------------------------+ 贵州 24 -+ | | 山西 4 -+---+ | | 甘肃 28 -+ | | | 北京 1 -+ | | | 青海 29 -+ +---------+ | 天津 2 -+ | | 上海 9 -+ | | 宁夏 30 -+---+ | 西藏 26 -+ | 海南 21 -+ | 河北 3 ---+-----+ | 四川 23 ---+ | | 黑龙江 8 -+-+ +-------------+ | 湖南 18 -+ +---+ | | | 湖北 17 -+-+ +-+ +-------------------------+ 广东 19 -+ | | 江苏 10 -------+ | 山东 15 -----------+-----------+ 河南 16 -----------+ Matlab 与多元统计分析 胡云峰 安庆师范学院 第三章习题 3.1对某地区的6名2周岁男婴的身高、胸围、上半臂进行测量。得样本数据如表3.1所示。 假设男婴的测量数据X （a ）（a=1，…，6）来自正态总体N 3(μ,∑) 的随机样本。根据以往的资料，该地区城市2周岁男婴的这三项的均值向量μ0=（90,58,16）’，试检验该地区农村男婴与城市男婴是否有相同的均值向量。 表3.1 某地区农村2周岁男婴的体格测量数据 1．预备知识 ∑未知时均值向量的检验： H 0：μ=μ0 H 1：μ≠μ0 H 0成立时 122)(0,)(1)(1,) ()'((1)))()'()(,1)(1)1(,) (1)P P X N n S W n n X n S X n X S X T p n n p T F P n p n p μμμμμ---∑--∑??∴----=-----+∴-- 当 2 (,)(1) n p T F p n p p n α-≥--或者22T T α≥拒绝0H 当 2 (,)(1) n p T F p n p p n α-<--或者22T T α<接受0H 这里2 (1) (, )p n T F p n p n p αα-= -- 2．根据预备知识用matlab 实现本例题 算样本协方差和均值 程序x=[78 60.6 16.5;76 58.1 12.5;92 63.2 14.5;81 59.0 14.0;81 60.8 15.5;84 59.5 14.0]; [n,p]=size(x); i=1:1:n; xjunzhi=(1/n)*sum(x(i,:)); 第一章： 多元统计分析研究的内容（5点） 1、简化数据结构（主成分分析） 2、分类与判别（聚类分析、判别分析） 3、变量间的相互关系（典型相关分析、多元回归分析） 4、多维数据的统计推断 5、多元统计分析的理论基础 第二三章： 二、多维随机变量的数字特征 1、随机向量的数字特征 随机向量X 均值向量： 随机向量X 与Y 的协方差矩阵： 当X=Y 时Cov （X ，Y ）=D （X ）；当Cov （X ，Y ）=0 ，称X ，Y 不相关。 随机向量X 与Y 的相关系数矩阵： )',...,,(),,,(2121P p EX EX EX EX μμμ='=Λ)')((),cov(EY Y EX X E Y X --=q p ij r Y X ?=)(),(ρ 2、均值向量协方差矩阵的性质 (1).设X ，Y 为随机向量，A ，B 为常数矩阵 E （AX ）=AE （X ）； E （AXB ）=AE （X ）B; D(AX)=AD(X)A ’; Cov(AX,BY)=ACov(X,Y)B ’; (2).若X ，Y 独立，则Cov(X,Y)＝０，反之不成立． (3).X 的协方差阵D(X)是对称非负定矩阵。例2.见黑板 三、多元正态分布的参数估计 2、多元正态分布的性质 (1).若 ,则E(X)= ,D(X)= . 特别地，当 为对角阵时， 相互独立。 (2).若 ，Ａ为sxp 阶常数矩阵，d 为s 阶向量， ＡＸ＋d ～ . 即正态分布的线性函数仍是正态分布． (3).多元正态分布的边缘分布是正态分布，反之不成立． (4).多元正态分布的不相关与独立等价． 例３．见黑板． 三、多元正态分布的参数估计 (1)“ 为来自p 元总体X 的（简单）样本”的理解---独立同截面． (2)多元分布样本的数字特征---常见多元统计量 样本均值向量 ＝ 样本离差阵Ｓ＝ 样本协方差阵Ｖ＝ S ;样本相关阵Ｒ (3) ,Ｖ分别是 和 的最大似然估计； (4)估计的性质 是 的无偏估计； ,Ｖ分别是 和 的有效和一致估计； ； Ｓ～ ， 与Ｓ相互独立； 第五章 聚类分析： 一、什么是聚类分析 ：聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。用于对事物类别不清楚，甚至事物总共可能有几类都不能确定的情况下进行事物分类的场合。聚类方法：系统聚类法（直观易懂）、动态聚类法（快）、有序聚类法（保序）...... Q-型聚类分析（样品）R-型聚类分析（变量） 变量按照测量它们的尺度不同，可以分为三类：间隔尺度、有序尺度、名义尺度。 二、常用数据的变换方法:中心化变换、标准化变换、极差正规化变换、对数变换（优缺点） 1、中心化变换（平移变换）：中心化变换是一种坐标轴平移处理方法，它是先求出每个变量的样本平均值，再从原始数据中减去该变量的均值，就得到中心化变换后的数据。不改变样本间的相互位置，也不改变变量间的相关性。 2、标准化变换：首先对每个变量进行中心化变换，然后用该变量的标准差进行标准化。 经过标准化变换处理后，每个变量即数据矩阵中每列数据的平均值为0，方差为1，且也不再具有量纲，同样也便于不同变量之间的比较。 3、极差正规化变换（规格化变换）：规格化变换是从数据矩阵的每一个变量中找出其最大值和最小值，这两者之差称为极差，然后从每个变量的每个原始数据中减去该变量中的最小值，再除以极差。经过规格化变换后，数据矩阵中每列即每个变量的最大数值为1，最小数值为0，其余数据取值均在0－1之间；且变换后的数据都不再具有量纲，便于不同的变),(~∑μP N X μ∑μ p X X X ,,,21Λ),(~∑μP N X ) ,('A A d A N s ∑+μ)()1(,, n X X ΛX )',,,(21p X X X Λ)')(()()(1X X X X i i n i --∑=n 1 X μ∑μX )1,(~∑n N X P μ),1(∑-n W p X X 多元统计分析方法 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 多元统计分析概述 目录 一、引言 (3) 二、多元统计分析方法的研究对象和主要内容 (3) 1.多元统计分析方法的研究对象 (3) 2.多元统计分析方法的主要内容 (3) 三、各种多元统计分析方法 (3) 1.回归分析 (3) 2.判别分析 (6) 3.聚类分析 (8) 4.主成分分析 (10) 5.因子分析 (10) 6. 对应分析方法 (11) 7. 典型相关分析 (11) 四、多元统计分析方法的一般步骤 (12) 五、多元统计分析方法在各个自然领域中的应用 (12) 六、总结 (13) 参考文献 (14) 谢辞 (15) 一、引言 统计分布是用来刻画随机变量特征及规律的重要手段，是进行统计分布的基础和提高。多元统计分析方法则是建立在多元统计分布基础上的一类处理多元统计数据方法的总称，是统计学中的具有丰富理论成果和众多应用方法的重要分支。在本文中，我们将对多元统计分析方法做一个大体的描述，并通过一部分实例来进一步了解多元统计分析方法的具体实现过程。 二、多元统计分析方法的研究对象和主要内容 （一）多元统计分析方法的研究对象 由于大量实际问题都涉及到多个变量，这些变量又是随机变量，所以要讨论多个随机变量的统计规律性。多元统计分析就是讨论多个随机变量理论和统计方法的总称。其内容包括一元统计学中某些方法的直接推广，也包括多个随即便量特有的一些问题，多元统计分析是一类范围很广的理论和方法。 现实生活中，受多个随机变量共同作用和影响的现象大量存在。统计分析中，有两种方法可同时对多个随机变量的观测数据进行有效的分析和研究。一种方法是把多个随机变量分开分析，一次处理一个随机变量，分别进行研究。但是，这样处理忽略了变量之间可能存在的相关性，因此，一般丢失的信息太多，分析的结果不能客观全面的反映整个问题，而且往往也不容易取得好的研究结论。另一种方法是同时对多个随机变量进行研究分析，此即多元统计方法。通过对多个随即便量观测数据的分析，来研究随机变量总的特征、规律以及随机变量之间的相互 练习题 一、填空题 1．人们通过各种实践，发现变量之间的相互关系可以分成（相关）和（不相关）两种类型。多元统计中常用的统计量有：样本均值、样本方差、样本协方差和样本相关系数。 2．总离差平方和可以分解为（回归离差平方和）和（剩余离差平方和）两个部分，其中（回归离差平方和）在总离差平方和中所占比重越大，则线性回归效果越显著。3．回归方程显著性检验时通常采用的统计量是（S R/p）/[S E/（n-p-1）]。 4．偏相关系数是指多元回归分析中，（当其他变量固定时，给定的两个变量之间的）的相关系数。 5．Spss中回归方程的建模方法有（一元线性回归、多元线性回归、岭回归、多对多线性回归）等。 6．主成分分析是通过适当的变量替换，使新变量成为原变量的（线性组合），并寻求（降维）的一种方法。 7．主成分分析的基本思想是（设法将原来众多具有一定相关性（比如P个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标来替代原来的指标）。 8．主成分表达式的系数向量是（相关系数矩阵）的特征向量。 9．样本主成分的总方差等于（1）。 10．在经济指标综合评价中，应用主成分分析法，则评价函数中的权数为（方差贡献度）。主成分的协方差矩阵为（对称）矩阵。主成分表达式的系数向量是（相关矩阵特征值）的特征向量。 11．SPSS中主成分分析采用（analyze—data reduction—facyor）命令过程。 12．因子分析是把每个原始变量分解为两部分因素，一部分是（公共因子），另一部分为（特殊因子）。 13．变量共同度是指因子载荷矩阵中（第i行元素的平方和）。 14．公共因子方差与特殊因子方差之和为（1）。 15．聚类分析是建立一种分类方法，它将一批样品或变量按照它们在性质上的（亲疏程度）进行科学的分类。 16．Q型聚类法是按（样品）进行聚类，R型聚类法是按（变量）进行聚类。 17．Q型聚类统计量是（距离），而R型聚类统计量通常采用（相关系数）。 18．六种Q型聚类方法分别为（最长距离法）、（最短距离法）、（中间距离法）、（类平均法）、（重心法）、（离差平方和法）。 19．快速聚类在SPSS中由（k-均值聚类（analyze—classify—k means cluster））过程实现。 20．判别分析是要解决在研究对象已（已分成若干类）的情况下，确定新的观测数据属于已知类别中哪一类的多元统计方法。 21．用判别分析方法处理问题时，通常以（判别函数）作为衡量新样本点与各已知组别接近程度的指标。 22．进行判别分析时，通常指定一种判别规则，用来判定新样本的归属，常见的判别准则有（Fisher准则）、（贝叶斯准则）。 23．类内样本点接近，类间样本点疏远的性质，可以通过（类与类之间的距离）与（类内样本的距离）的大小差异表现出来，而两者的比值能把不同的类区别开来。这个比值越大，说明类与类间的差异越（类与类之间的距离越大），分类效果越（好）。24．Fisher判别法就是要找一个由p个变量组成的（线性判别函数），使得各自组内点的 经济管理类“十二五”规划教材统计学 -基于典型案例、问题和思想 主讲林海明 第一章绪论 【引言】我们从如下9个重要事例，说明统计学有什么用。 事例1：二次世界大战中，最激烈的空战是英国抗击德国的空战，英军为了提高战斗力，急需找到英军战机空战中的危险区域加固钢板，统计学家瓦尔德用统计学 方法找到了危险区域，英军用钢板加固了这些危险区域，使英军取得了空战的胜利。 事例2：上世纪20-30年代，为了找到中国革命的主力军和道路，政治家毛泽东悟出了统计学的频数方法，用此找到了中国革命的主力军是农民，中国革命的道路是农村包围城市。由此不屈不饶的奋斗，由弱变强，建立了独立自主的中华人民共和国，他还发现了“没有调查，就没有发 言权”的科学论断。 事例3：1998年，美国博耶研究型大学本科生教育委员会发表了题为《重建本科生教育：美国研究型大学发展蓝图》的报告，该报告指出：为了培养科学、技术、学术、政治和富于创造性的领袖，研究型大学必须“植根于一种深刻的、永久性的核心：探索、调查和发现”。这说明了统计学中调查的重要性。 事例4：在居民收入贫富差距的测度方面,美国统计学家洛仑兹（1907）、意大利经济学家基尼（1922）找到了统计学的洛仑兹曲线、基尼系数，由此给出了居民收入贫富差距的划分结果，为政府改进居民收入贫富不均的问题提供了政策依据。 事例5：二战后产品质量差的日本，以田口玄一为代表的质量管理学者用统计学方法找到了3σ质量管理原则，用其大幅提 高了企业的产品质量，其产品畅销海内外，日本因此成为当时的第二经济强国。该学科现已发展到了6σ质量管理原则。 事例6：在第二次世界大战的苏联卫国战争中，专家们用英国统计学家费歇尔（1 925）的最大似然法、无偏性，帮助苏军破解了德军坦克产量的军事秘密，由此苏军组织了充足的军事力量并联合盟军，打败了德军的疯狂进攻并占领了柏林。 多元统计分析中的应用研究 , 摘要：许多实际问题往往需要对数据进行统计分析，建立合适的统计模型，过去一般采用SAS 、SPSS软件分析，本文给出 Matlab软件在多元统计分析上的应用, 主要介绍Matlab 在聚类分析、判别分析、主成份分析上的应用,文中均给以实例, 结果令人满意。 关键词：Matlab软件；聚类分析；主成份分析 Research for application of Multivariate Statistical Analysis Abstract:Many practice question sometimes need Statistical Analysis to data.,and establish appropriate Statistical model SAS and SPSS software were commonly used in foretime ,this paper give the application of Matlab software in Multivariate Statistical Analysis,mostly introduce the application of Matlab software in priciple component analysis and cluster analysis and differentiate analysis.The example are given in writing and the result are satisfaction. Key words: Matlab software; cluster analysis; priciple component analysis 0 引言 许多实际问题往往需要对数据进行多元统计分析, 建立合适的模型, 在多元统计分析方面, 常用的软件有SAS 、SPSS 、S-PLUS等。我们在这里给出Matlab在多元统计分析上的应用, 在较早的版本中, 统计功能不那么强大, 而在Matlab6.x版本中, 仅在统计工具中的功能函数就达200多个, 功能已足以赶超任何其他专用的统计软件,在应用上Matlab具有其他软件不可比拟的操作简单,接口方便, 扩充能力强等优势, 再加上Matlab的应用范围广泛, 因此可以预见其在统计应用上越来越占有极其重要的地位，下面用实例给出Matlab 在聚类分析、主成份分析上的应用。 1 聚类分析 聚类分析法是一门多元统计分类法，其目的是把分类对象按一定规则分成若干类，所分成的类是根据数据本身的特征确定的。聚类分析法根据变量（或样品或指标）的属性或特征的相似性，用数学方法把他们逐步地划类，最后得到一个能反映样品之间或指标之间亲疏关系的客观分类系统图，称为谱系聚类图。 聚类分析的步骤有：数据变换，计算ｎ个样品的两两间的距离，先分为一类，在剩下的ｎ－１个样品计算距离，按照不同距离最小的原则，增加分类的个数，减少所需要分类的样品的个数，循环进行下去，直到类的总个数为１时止。根 实用多元统计分析相 尖习题 练习题 一、填空题 1?人们通过各种实践，发现变量之间的相互矢系可以分成（相尖）和（不相尖）两种 类型。多元统计中常用的统计量有：样本均值、样本方差、样本协方差和样本相尖系数。 2?总离差平方和可以分解为（回归离差平方和）和（剩余离差平方和）两个部分，其中（回归离差平方和）在总离差平方和中所占比重越大，则线性回归效果越显著。 3 ?回归方程显著性检验时通常采用的统计量是（S R/P）/[S E/ （n-p-1） ]O 4?偏相尖系数是指多元回归分析中，（当其他变量固定时，给定的两个变量之间的） 的相尖系数。 5. Spss中回归方程的建模方法有（一元线性回归、多元线性回归、岭回归、多对多线性回归）等。 6 ?主成分分析是通过适当的变量替换，使新变量成为原变量的（线性组合），并寻求 （降维）的一种方法。 7 ?主成分分析的基本思想是（设法将原来众多具有一定相尖性（比如P个指标），重 新组合成一组新的互相无矢的综合指标来替代原来的指标）。 8 ?主成分表达式的系数向量是（相尖系数矩阵）的特征向量。 9 ?样本主成分的总方差等于（1）。 10 ?在经济指标综合评价中，应用主成分分析法，则评价函数中的权数为（方差贡献度）。主成分的协方差矩阵为（对称）矩阵。主成分表达式的系数向量是（相尖矩阵特征值）的特征向量。 11. SPSS 中主成分分析采用（analyze—data reduction — facyor）命令过程。 12?因子分析是把每个原始变量分解为两部分因素，一部分是（公共因子），另一部 分为（特殊因子）。 13 ?变量共同度是指因子载荷矩阵中（第i行元素的平方和）。 14 ?公共因子方差与特殊因子方差之和为（1） o 15 ?聚类分析是建立一种分类方法，它将一批样品或变量按照它们在性质上的（亲疏 程度）进行科学的分类。 16. Q型聚类法是按（样品）进行聚类，R型聚类法是按（变量）进行聚类。 17. Q型聚类统计量是（距离），而R型聚类统计量通常采用（相尖系数）。 18. 六种Q型聚类方法分别为（最长距离法）、（最短距离法）、（中间距离法）、（类平均法）、（重心法）、（离差平方和法）。 19?快速聚类在SPSS中由（k■均值聚类（analyze— classify— k means cluste））过程实 现。 20. 判别分析是要解决在研究对象已（已分成若干类）的情况下，确定新的观测数据属于已知类别中哪一类的多元统计方法。 21. 用判别分析方法处理问题时，通常以（判别函数）作为衡量新样本点与各已知组别接近程度的指标。 22. 进行判别分析时，通常指定一种判别规则，用来判定新样本的归属，常见的判别准则有 （Fisher准则）、（贝叶斯准则）。 23. 类内样本点接近，类间样本点疏 精品资料 一、对我国30个省市自治区农村居民生活水平作聚类分析 1、指标选择及数据：为了全面分析我国农村居民的生活状况，主要考虑从收入、消费、就业等几个方面对农村居民的生活状况进行考察。因此选取以下指标：农村产品价格指数、农村住宅投资、农村居民消费水平、农村居民消费支出、农村居民家庭人均纯收入、耕地面积及农村就业人数。现从２０１０年的调查资料中 ２、将数据进行标准化变换： ３、用Ｋ－均值聚类法对样本进行分类如下： 分四类的情况下，最终分类结果如下： 第一类：北京、上海、浙江。 第二类：天津、、辽宁、、福建、甘肃、江苏、广东。 第三类：浙江、河北、内蒙古、吉林、黑龙江、安徽、山东、河南、湖北、四川、云南。 第四类：山西、青海、宁夏、新疆、重庆、贵州、陕西、湖南、广西、江西、。从分类结果上看，根据２０１０年的调查数据，第一类地区的农民生活水平较高，第二类属于中等水平，第三类、第四类属于较低水平。 二、判别分析 针对以上分类结果进行判别分析。其中将新疆作作为待判样本。判别结果如下: **. 错误分类的案例 从上可知，只有一个地区判别组和原组不同，回代率为96%。 下面对新疆进行判别： 已知判别函数系数和组质心处函数如下： 判别函数分别为：Y1=0.18x1 +0.493x2 + 0.087x3 + 1.004x4 + 0.381x5 -0.041x6 -0.631x7 Y2=0.398x1+0.687x2 + 0.362x3 + 0.094x4 -0.282x5 + 1.019x6 -0.742x7 Y3=0.394x1-0.197x2 + 0.243x3-0.817x4 + 0.565x5-0.235x6 + 0.802x7 将西藏的指标数据代入函数得：Y1=-1.08671 Y2=-0.62213 Y3=-0.84188 计算Y值与不同类别均值之间的距离分别为：D1=138.5182756 D2=12.11433124 D3=7.027544292 D4=2.869979346 经过判别，D4最小，所以新疆应归于第四类，这与实际情况也比较相符。 三，因子分析： 分析数据在上表的基础上去掉两个耕地面积和农村固定资产投资两个指标。经spss软件分析结果如下: 多元统计分析有哪些应用? 比较 关系 预测 分类 评价 各种应用对应的多元统计分析方法 比较：多元方差分析 关系：回归模型 预测：回归模型 分类：聚类分析与判别分析、回归模型 评价：主成分分析与因子分析 ?多元回归、logisitic回归、Cox回归、Poisson回归 多元统计分析方法主要内容 多元T检验、多元方差分析 ?Hotelling T2 ?multivariate analysis of variance (MANOV A) 多元线性回归(multivariate linear regression) logistic回归(logistic regression) Cox比例风险模型(Cox model) Poisson回归(Poisson regression) 聚类分析(cluster analysis) 判别分析(discriminant analysis) 主成分分析和因子分析 生存分析 本课程的要求 上机做练习，分析实际资料 学会看文献，判断统计分析的应用是否正确 统计软件SAS，或Stata, SPSS10.01 考试： 理论占30%，实验占70% 二、多元统计分析的基本概念 研究因素从广义的角度看，所有可以测量的变量都可以成为研究因素，比如：年 龄、性别、文化程度、人体的各种生物学特征和生理生化指标环境因素、心理因素等。狭义来看，研究因素是指可能与研究目的有关的影响因素 多元统计分析对多变量样本的要求 ①分布：多元正态分布、相互独立、多元方差齐 ②样本含量 目前尚没有多元分析的样本含量估计方法，一般认为样本含量应超过研究因素5-10倍以上即可。 数值变量→分类成有序分类变量 哑变量的数量=K-1（K为分类数） Matlab多元统计分析程序 1. 主成分分析M程序 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 主成分分析 % % 设对变量x1,x2,...,xp进行n次观测，得到n×p数据矩阵x=x(i,j)， % 本程序对初始数据进行主成分分析，要求先请将观测矩阵输入到变 % 量x,再运行本程序。 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % 确定观测矩阵x 的尺寸，以便数据标准化. % [n,p]=size(x); % % 数据处理方式设置，即是否先将数据标准化. % fprintf('\n 1---使用原始数据直接计算距离') fprintf('\n 2---使用标准化后的数据计算距离') k=input('请输入你的选择（1～2）'); % % 数据标准化 % switch k case 1 xs=x; case 2 mx=mean(x); xs=(x-repmat(mx,n,1))./repmat(stdr,n,1); end % % 主成分分析，返回各主成分pc，所谓的z－得分score，x的协方差 % 矩阵的特征值latent和每个数据点的Hotelling统计量tsquare. % [pc score latent tsquare]=princomp(xs) 2. 典型相关分析M程序 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % 在运行本程序之前，请先把数据输入/导入到MATLAB 的 % 内存空间，并存放在变量x 中，每行存放一个样本。 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % 确定观测矩阵x 的尺寸 % [n,h]=size(x); % % 输入基本参数 % p=input('\n第一组变量的个数p = ? '); fprintf('\n1--使用样本协方差矩阵计算典型相关变量') fprintf('\n2--使用样本相关矩阵计算典型相关变量') ctl=input('\n请输入你的选择'); % % 默认的显著性水平为alpha=0.05，可以改变下面语句中的alpha值。 % alpha=0.05; % % 按要求计算样本协方差矩阵或样本相关矩阵 % switch ctl case 1 st=cov(x); case 2 多元统计分析重点宿舍版 第一讲：多元统计方法及应用；多元统计方法分类（按变量、模型、因变量等） 多元统计分析应用 选择题：①数据或结构性简化运用的方法有：多元回归分析，聚类分析，主成分分析，因子分析 ②分类和组合运用的方法有：判别分析，聚类分析，主成分分析 ③变量之间的相关关系运用的方法有：多元回归，主成分分析，因子分析， ④预测与决策运用的方法有：多元回归，判别分析，聚类分析 ⑤横贯数据：{因果模型(因变量数)：多元回归，判别分析相依模型(变量测度)：因子分析，聚类分析 多元统计分析方法 选择题：①多元统计方法的分类：1）按测量数据的来源分为：横贯数据（同一时间不同案例的观测数据），纵观数据（同样案例在不同时间的多次观测数据） 2）按变量的测度等级（数据类型）分为：类别（非测量型）变量，数值型（测量型）变量 3）按分析模型的属性分为：因果模型，相依模型 4）按模型中因变量的数量分为：单因变量模型，多因变量模型，多层因果模型 第二讲：计算均值、协差阵、相关阵；相互独立性 第三讲：主成分定义、应用及基本思想，主成分性质，主成分分析步骤 主成分定义：何谓主成分分析 就是将原来的多个指标（变量）线性组合成几个新的相互无关的综合指标（主成分），并使新的综合指标尽可能多地反映原来的指标信息。 主成分分析的应用 ：（1）数据的压缩、结构的简化；（2）样品的综合评价，排序 主成分分析概述——思想：①（1）把给定的一组变量X1,X2,…XP ,通过线性变换，转换为一组不相关的变量Y1，Y2，…YP 。（2）在这种变换中，保持变量的总方差（X1，X2，…Xp 的方差之和）不变，同时，使Y1具有最大方差，称为第一主成分；Y2具有次大方差，称为第二主成分。依次类推，原来有P 个变量，就可以转换出P 个主 实验报告 一、实验名称 多元统计分析作业题。 二、实验目的 （一）了解并掌握主成分分析与因子分析的基本原理和简单解法。 （二）学会使用matlab编写程序进行因子分析，求得特征值、特征向量、载荷矩阵等值。（三）学会使用排序、元胞数组、图像表示最后的结果，使结果更加直观。 三、实验内容与要求 四、实验原理与步骤 （一）第一题： 1、实验原理： 因子分析简介： (1) 1.1 基本因子分析模型 设p维总体x=(x1,x2,....,xp)'的均值为u=(u1,u2,....,u3)'，因子分析的一般模型为 x1=u1+a11f1+a12f2+........+a1mfm+ε 1 x2=u2+a21f1+a22f2+........+a2mfm+ε 2 ......... xp=up+ap1f1+fp2f2+..........+apmfm+εp 其中，f1,f2,.....,fm为m个公共因子；εi是变量xi(i=1,2,.....,p)所独有的特殊因子，他们都是不可观测的隐变量。称aij(i=1,2,.....,p;j=1,2,.....,m)为变量xi的公共因子fi上的载荷，它反映了公共因子对变量的重要程度，对解释公共因子具有重要的作用。上式可以写为矩阵形式 x=u+Af+ε 其中A=(aij)pxm 称为因子载荷矩阵；f=(f1,f2,....,fm)'为公共因子向量；ε=(ε1,ε2,.....εp)称为特殊因子向量 (2) 1.2 共性方差与特殊方差 xi的方差var(xi)由两部分组成，一个是公共因子对xi方差的贡献，称为共性方差；一个是特殊因子对xi方差的贡献，称为特殊方差。每个原始变量的方差都被分成了共性方差和特殊方差两部分。 (3) 1.3 因子旋转 因子分析的主要目的是对公共因子给出符合实际意义的合理解释，解释的依据就是因子载荷阵的个列元素的取值。当因子载荷阵某一列上各元素的绝对值差距较大时，并且绝对值大的元素较少时，则该公共因子就易于解释，反之，公共因子的解释就比较困难。此时可以考虑对因子和因子载荷进行旋转（例如正交旋转），使得旋转后的因子载荷阵的各列元素的绝对值尽可能量两极分化，这样就使得因子的解释变得容易。 因子旋转方法有正交旋转和斜交旋转两种，这里只介绍一种普遍使用的正交旋转法：最大方差旋转。这种旋转方法的目的是使因子载荷阵每列上的各元素的绝对值（或平方值）尽可能地向两极分化，即少数元素的绝对值（或平方值）取尽可能大的值，而其他元素尽量接近于0. (4) 1.4 因子得分 在对公共因子做出合理解释后，有时还需要求出各观测所对应的各个公共因子的得分，就比如我们知道某个女孩是一个美女，可能很多人更关心该给她的脸蛋、身材等各打多少分，常用的求因子得分的方法有加权最小二乘法和回归法。 注意：因子载荷矩阵和得分矩阵的区别： 因子载荷矩阵是各个原始变量的因子表达式的系数，表达提取的公因子对原始变量的影响程度。因子得分矩阵表示各项指标变量与提取的公因子之间的关系，在某一公因子上得分高，表明该指标与该公因子之间关系越密切。简单说，通过因子载荷矩阵可以得到原始指标变量的线性组合，如X1=a11*F1+a12*F2+a13*F3,其中X1为指标变量1，a11、a12、a13分别为与变量X1在同一行的因子载荷，F1、F2、F3分别为提取的公因子；通过因子得分矩阵可以得到公因子的线性组合，如F1=a11*X1+a21*X2+a31*X3，字母代表的意义同上。 (5) 1.5 因子分析中的Heywood（海伍德）现象 如果x的各个分量都已经标准化了，则其方差=1。即共性方差与特殊方差的和为1。也就是说共性方差与特殊方差均大于0，并且小于1。但在实际进行参数估计的时候，共性方差 作业一 1.2 分析2016年经济发展情况 排名省gdp 占比累计占比 1 广东79512.05 10.30 10.30 2 江苏76086.2 9.86 20.17 3 山东67008.2 8.68 28.85 4 浙江4648 5 6.02 34.87 5 河南40160.01 5.20 40.08 6 四川32680.5 4.24 44.31 7 湖北32297.9 4.19 48.50 8 河北31827.9 4.12 52.62 9 湖南31244.7 4.05 56.67 10 福建28519.2 3.70 60.37 11 上海27466.2 3.56 63.93 12 北京24899.3 3.23 67.16 13 安徽24117.9 3.13 70.28 14 辽宁22037.88 2.86 73.14 15 陕西19165.39 2.48 75.62 16 内蒙古18632.6 2.41 78.04 17 江西18364.4 2.38 80.42 18 广西18245.07 2.36 82.78 19 天津17885.4 2.32 85.10 20 重庆17558.8 2.28 87.37 21 黑龙江15386.09 1.99 89.37 22 吉林14886.23 1.93 91.30 23 云南14869.95 1.93 93.22 24 山西12928.3 1.68 94.90 25 贵州11734.43 1.52 96.42 26 新疆9550 1.24 97.66 27 甘肃7152.04 0.93 98.59 28 海南4044.51 0.52 99.11 29 宁夏3150.06 0.41 99.52 30 青海2572.49 0.33 99.85 31 西藏1150.07 0.15 100.00 将2016各省的GDP进行排名，可以发现，经济发达的的地区主要集中在东部地区。西部gdp的占比较小。作出2016各省的gdp直方图如下： 1、简述多元统计分析中协差阵检验的步骤 第一，提出待检验的假设H0和H1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布； 第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域； 第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。 协差阵的检验 检验0=ΣΣ 0p H =ΣI ： /2/21exp 2np n e tr n λ????=-?? ?????S S 00p H =≠ΣΣI ： /2/2**1exp 2np n e tr n λ????=-?? ????? S S 检验12k ===ΣΣΣ012k H ===ΣΣΣ： 统计量/2/2/2/211i i k k n n pn np k i i i i n n λ===∏∏S S 2. 针对一个总体均值向量的检验而言，在协差阵已知和未知的两种情形下，如何分别构造的统计量？ 3. 作多元线性回归分析时，自变量与因变量之间的影响关系一定是线性形式的吗？多元线性回归分析中的线性关系是指什么变量之间存在线性关系？ 答：作多元线性回归分析时，自变量与因变量之间的影响关系不一定是线性形式。当自变量与因变量是非线性关系时可以通过某种变量代换，将其变为线性关系，然后再做回归分析。 多元线性回归分析的线性关系指的是随机变量间的关系，因变量y 与回归系数βi 间存在线性关系。 多元线性回归的条件是： （1）各自变量间不存在多重共线性； （2）各自变量与残差独立； （3）各残差间相互独立并服从正态分布； （4）Y 与每一自变量X 有线性关系。 4.回归分析的基本思想与步骤 基本思想： MATLAB的统计工具箱中的多元统计分析中提供了聚类分析的两种方法： 1.层次聚类hierarchical clustering 2.k-means聚类 这里用最简单的实例说明以下层次聚类原理和应用发法。 层次聚类是基于距离的聚类方法，MATLAB中通过pdist、linkage、dendrogram、cluster等函数来完成。层次聚类的过程可以分这么几步： (1) 确定对象（实际上就是数据集中的每个数据点）之间的相似性，实际上就是定义一个表征对象之间差异的距离，例如最简单的平面上点的聚类中，最经常使用的就是欧几里得距离。 这在MATLAB中可以通过Y=pdist（X）实现，例如 >> X=randn(6,2) X = -0.4326 1.1892 -1.6656 -0.0376 0.1253 0.3273 0.2877 0.1746 -1.1465 -0.1867 1.1909 0.7258 >> plot(X(:,1),X(:,2),'bo') %给个图，将来对照聚类结果把 >> Y=pdist(X) Y = Columns 1 through 14 1.7394 1.0267 1.2442 1.5501 1.6883 1.8277 1.9648 0.5401 2.9568 0.2228 1.3717 1.1377 1.4790 1.0581 Column 15 2.5092 例子中X数据集可以看作包含6个平面数据点，pdist之后的Y是一个行向量，15个元素分别代表X 的第1点与2-6点、第2点与3-6点,......这样的距离。那么对于M个点的数据集X，pdist之后的Y 将是具有M*(M-1)/2个元素的行向量。Y这样的显示虽然节省了内存空间，但对用户来说不是很易懂，如果需要对这些距离进行特定操作的话，也不太好索引。MATLAB中可以用squareform把Y转换成方阵形式，方阵中多元统计分析模拟考题及答案.docx
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