【精品】基本不等式常考解题技巧
基本不等式
一、基础知识
1．（1）若R b
a,，则ab b a 222；（2）若R b a,，则222
b a ab
（当且仅当b a 时取“=”）．2．（1）若00a ,b
，则ab b a 2；（2）若00a ,b
，则ab b a 2（当且仅当b a 时取“=”）；（3）若00a ,b ，则22b a ab
（当且仅当b a 时取“=”）．3．若0x ，则1
2x x
（当且仅当1x 时取“=”）；若0x ，则1
2x x
（当且仅当1x 时取“=”）；若0x ，则1
2x x
，即12x x 或12x x （当且仅当b a 时取“=”）．4．若0ab ，则2a b
b a
（当且仅当b a 时取“=”
）；若0ab ，则2a
b b a ，即
2a b b a 或2a b b a （当且仅当b a 时取“=”
）．5．若R b
a,，则22222b a b a （当且仅当b a 时取“=”）．
二、拓展1．一个重要的不等式链：222
1
122a b a b ab a b
．2．函数0,0b
f x ax a
b x 图象及性质（1）函数0)(b a x
b
ax x f 、图象如右图所示：[来源:学科网Z （2）函数0)
(b a x b
ax x f 、性质：①值域：22,ab ab,
；
②单调递增区间：,,,b
b
a a ；单调递减区间：0,,,0b
b
a a ．
注：
（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的
最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大
”；
（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”；（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
三、基本类型
对称性：
“1”的代换：
四、利用基本不等式求最值常用技巧
技巧一：凑项
已知54x ，求函数1
4245
y x x 的最大值．
技巧二：凑系数
当04x 时，求82y x x 的最大值．
技巧三：分离
求2
710
(1)1x x y x x 的值域．
技巧四：换元
已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab
的最小值．技巧五：整体代换
已知0,0x y ，且1
91x y ，求x y 的最小值．
技巧六：取平方
已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值．技巧七：构造
要求一个目标函数
),(y x f 的最值，我们利用基本不等式构造一个以),(y x f 为主元的不等式（一般为二次不等式），解之即可得
),(y x f 的最值．已知0,0y x ，822xy y x
，则y x 2的最小值为技巧八：添加参数
若已知0,,c b a ，则bc ab c b a 22
22的最小值为．