北师大版八年级数学下册 同步练习题直角三角形

《直角三角形》分层练习

◆基础题

一、基础题

1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )

A．120° B．90°

C．60° D．30°

2.下列命题中，是真命题的是（）

A．相等的角是对顶角B．两直线平行，同位角互补

C．等腰三角形的两个底角相等D．直角三角形中两锐角互补

3.如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则直接得到△PEA≌△PFA 的理由是( )

A．HL B．ASA

C．AAS D．SAS

4.如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是( )

A．AB＝AC B．∠BAC＝90°

C．BD＝AC D．∠B＝45°

5.由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是( )

A．∠A＝37°，∠C＝53°

B．∠A－∠C＝∠B

C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5

D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5

6.(2017·平顶山市宝丰县期中)下列条件不能判断两个直角三角形全等的是( )

A．两条直角边分别对应相等

B．斜边和一个锐角分别对应相等

C．两个锐角对应相等

D．斜边和一直角边分别对应相等

7.如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，AC⊥CD，求四边形ABCD的面积．

8.如图所示，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：∠B=∠C.

◆能力题

二、训练题

1.(2017·安徽)直角三角板和直尺如图放置．若∠1＝20°，则∠2的度数为( )

A．60° B．50° C．40° D．30°

2.下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是( )

A．2，4，5 B．6，8，11

C．5，12，12 D．1，1， 2

3.△ABC中，若，则此三角形为（）三角形.

A 、等腰

B 、直角

C 、等腰直角

D 、等边

4.如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于F ，若BF=AC ，则∠ABC 的大小是（ ）

A 、40°

B 、45°

C 、50°

D 、60°

5.两个直角三角形全等的条件是（ ）

（A ）一锐角对应相等； （B ）两锐角对应相等；

（C ）一条边对应相等； （D ）两条边对应相等.

6.有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B 处有健身器材，由于居住在A 处的居民践踏了绿地，小明想在A 处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（ ）.

（A ）25米 （B ）8米 （C ）5米 （D ）6米

7.等腰直角三角形的斜边长为a ，则其斜边上的高为（ ） A.a 23 B.a 2 C.2

a D.a 42 8.一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行.上午8时，该船在处测得某灯塔位于它的北偏东30°的处(如图)，上午9时行到处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是_________ 海里(结果保留根号

).

A B 7 ６题图

9.(2017·成都)如图，数轴上点A表示的实数是__________．

10.下列命题中，其逆命题成立的是__________．(只填写序号)

①同旁内角互补，两直线平行；

②如果两个角是直角，那么它们相等；

③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；

④如果三角形的三边长a，b，c(c为最长边)满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．

11.如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直

角三角形拼和而成.若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的

和是_________ .

12.已知⊿ABC中，∠A = 90°，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC =_________.

13.如图，在等腰直角三角形ABC中，AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，则△DEF是 ___________ 三角形.

14.如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE.若BD ＝3，CE＝5，则DE＝___________．

15.如图所示，AD⊥BE于点C，C是BE的中点，AB＝DE，求证：AB∥DE.

16.(2016·益阳)如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．

17.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，使DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.

18.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE ＝CF.

(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；

(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．

19. 已知，如图，⊿ABC 中，∠A = 90°，AB =AC ，D 是BC 边上的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且BE = AF ，求证：ED ⊥FD

◆ 提升题

三、提升题

1.观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a ，b ，c.你能发现什么规律，根据你发现的规律，请写出：

(1)当a ＝19时，则b ，c 的值是多少？

(2)当a ＝2n ＋1时，求b ，c 的值．你能证明所发现的规律吗？

2.有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m ，8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.

B

参考答案：

一、基础题

1. D

2.C

3.A

4.A

5.C

6.C

7.解：∵AC⊥CD，CD ＝12，AD ＝13，

∴AC ＝AD 2－CD 2＝132－122＝5.

又∵AB＝3，BC ＝4，

∴AB 2＋BC 2＝32＋42＝52＝AC 2.

∴∠B ＝90°.

∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD

＝12AB·BC＋12AC·CD

＝12×3×4＋12×5×12

＝6＋30

＝36.

9. 证明：∵AD 平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD

又∵∠AED=∠AFD=90°，AD=AD

∴?AED ≌?AFD(AAS)

∴DE=DF

又∵BD=CD

∴Rt ?BED ≌Rt ?CFD(HL)

∴∠B=∠C

二、训练题

1. C

2.D

3.C

4.B

5.D

6.D

7.C 8.203 9.5-1 10. ④

11.10 12.135° 13.等腰直角 14.8

15.证明：∵AD⊥BE，

∴∠ACB ＝∠DCE＝90°.

∵C 是BE 的中点，

∴BC ＝EC.

在Rt △ABC 和Rt △DEC 中，

?

????AB ＝DE ，BC ＝EC ， ∴Rt △ABC ≌Rt △DEC(HL)．

∴∠A ＝∠D.

∴AB ∥DE.

16.解：在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，

设BD ＝x ，则CD ＝14－x.

由勾股定理，得AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x)2

，

故152－x 2＝132－(14－x)2，

解得x ＝9.

∴AD ＝AB 2－BD 2＝152－92＝12.

∴S △ABC ＝12BC·AD＝12

×14×12＝84. 17.证明：∵EF⊥AC，

∴∠F ＋∠C＝90°.

∵∠A ＋∠C＝90°，

∴∠A ＝∠F.

又∵DB＝BC ，∠FBD ＝∠ABC，

∴△FBD ≌△ABC(AAS)．

∴AB ＝BF.

18.解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，

∴∠CBF ＝∠ABE＝90°.

在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，

?????AE ＝CF ，AB ＝CB ， ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF(HL)．

(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90°，

∴∠CAB＝∠ACB＝45°.

∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°.

由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，

∴∠BCF＝∠BAE＝15°.

∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.

19.连接AD

∵AB=AC,D是BC的中点

∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=45°

又∵∠A=90°

∴∠B=∠C=45°

∴∠B=∠BAD=∠CAD=45°

∴BD=AD

又∵BE=AF

∴?BED≌?AFD

∴∠BDE=∠FDA

∴∠BDE+∠EDA=∠FDA+∠EDA=90°

∴DE⊥DF

三、提升题

1.解：(1)当a＝19时，设b＝k，则c＝k＋1，观察有如下规律：192＋k2＝(k＋1)

2.

解得k＝180.

故b＝180，c＝181.

(2)当a＝2n＋1时，设b＝k，则c＝k＋1，根据勾股定理a2＋b2＝c2得(2n＋1)2＋k2＝(k＋1)2，

解得k＝2n(n＋1)．

∴b＝2n(n＋1)，c＝2n(n＋1)＋1.

证明：∵a2＋b2＝(2n＋1)2＋[2n(n＋1)]2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，[2n(n＋1)＋1]2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，

∴a2＋b2＝c2.

∴(2n＋1)2＋[2n(n＋1)]2＝[2n(n＋1)＋1]2.

2.解：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

由勾股定理有AB=10.

扩充部分为Rt △ACD ，扩充成等腰△ABD ，应分以下三种情况： ①如图1，当AB=AD=10时，

可求CD=CB =6.

得△ABD 的周长为32m.

②如图2，当AB=BD=10时，可求CD=4.

由勾股定理，得AD=45.

得△ABD 的周长为(20+45)m.

如图③，当AB 为底时，设AD=BD=x ，

则CD=x-6，由勾股定理，得x=

325.得△ABD 的周长为380m.