解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章

第五章 二次曲线一般的理论

§5.1二次曲线与直线的相关位置

1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y .

（1）22221x y a b +=；（2）22221x y a b

-=；（3）22y px =；（4）22

3520;x y x -++=

（5）22

26740x xy y x y -+-+-=.解：（1）221

0010

000

1a A b ?? ?

? ?= ? ?- ? ???；121(,)F x y x a =221

(,)F x y y b

=3(,)1F x y =-；（2）2210010

000

1a A b ?? ?

? ?=- ? ?- ? ??

?

；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-.（3）0001000p A p -??

?

= ? ?

-??

；

1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-；（4）510

20

305022A ?? ?

?=- ? ? ?

??；

15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35(,)22

F x y x =+；（5）1232

1

71227342

A ??-

- ?

? ?=-

? ? ?-- ???

；11(,)232F x y x y =-

-；217(,)22F x y x y =-++；37

(,)342

F x y x y =-+-. 2. 求二次曲线2

2

234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点.（1）550

x y --=

（2）220x y ++=；（3）410x y +-=；（4）30x y -=；（5）2690x y --=.提示：把直线方程代入曲线方程解即可，详解略（1）1

5(,),(1,0)22

-；

（2??，??；（3）二重点(1,0)；（4）11,26?? ???

；

（

5

）

无

交

点

.

3. 求直线10x y --=与22

2210x xy y x y -----=的交点. 解：由直线方程得1x y =+代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点. 4 .试确定k 的值，使得（1）直线50x y -+=与二次曲线2

30x x y k -+-=交于两不同的实点； （2）直线1,{

x kt y k t

=+=+与二次曲线22

430x xy y y -+-=交于一点； （3）10x ky --=与二

次曲线2

2(1)10xy y k y -+---=交于两个相互重合的点；（4）1,

{1x t y t =+=+与二次曲线

222420x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点.解：详解略.（1）4k <-；（2）1

k =或3k =（3）1k =或5k =；（4）49

24

k >

. §5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线

1. 求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于何种类型的（1）2

2230x

xy y x y ++++=；

（2）2

2

342250x xy y x y ++--+=；（3）24230xy x y --+=.

解：（1）由2

2

(,)20X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:1:1X Y =-或1:1-且属于抛物

型的； （2）由22

(,)3420X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:(2:3X Y =-且属

于椭圆型的； （3）由(,)20X Y XY φ==得渐进方向为:1:0X Y =或0:1且属于双曲型的.

2. 判断下列曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线.

（1）2

2

224630x xy y x y -+--+=；（2）2

2

442210x xy y x y -++--=；（3）

2281230y x y ++-=；（4）2296620x xy y x y -+-+=.解：（1）因为

211101

2

I -=

=≠-，

所以它为中心曲线； （2）因为21202

4

I -==-且

121

241

-=≠

--，所以它为无心曲线； （3）因为200002

I =

=且

004

026

=≠，所以它为无心曲线； （4）因为29303

1

I -=

=-且

933

312

--==

-，所以它为线心曲线； 3. 求下列二次曲线的中心.

（1）2

2

5232360x xy y x y -+-+-=；（2）2

2

2526350x xy y x y ++--+=；（3）

22930258150x xy y x y -++-=.

解：（1）由510,3

302x y x y --=???-++=??得中心坐标为313(,)2828-； （2）由5230,2

532022x y x y ?

+-=????+-=??得中心坐标为(1,2)-； （3）由91540,

15

152502

x y x y -+=??

?-+-=??知无解，所以曲线为无心曲线. 4. 当,a b 满足什么条件时，二次曲线2

2

6340x xy ay x by ++++-=（1）有唯一中心；（2）没有中心；（3）有一条中心直线.

解：（1）由330,2

302

x y b x ay ?

++=????++=??知，当9a ≠时方程有唯一的解，此时曲线有唯一中心；（2）

当9,9a b =≠时方程无解，此时曲线没有中心；（3）当9a b ==时方程有无数个解，此时曲线是线心曲线.

5. 试证如果二次曲线22

111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=

有渐进线，那么它的两个渐进线方程是Φ

00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=式中00(,)x y 为二次

曲

线

的

中

心

.

证明：设(,)x y 为渐进线上任意一点，则曲线的的渐进方向为00:():()X Y x x y y =--，所以Φ

00(,)

x x y y --=

221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=.

6. 求下列二次曲线的渐进线.

（1）2

2

6310x xy y x y --++-=；（2）2

2

32340x xy y x y -++-+=；（3）

2222240x xy y x y ++++-=.

解：（1）由1360,22110

22

x y x y ?-+=????--+=??得中心坐标13(,)55-.而由22

60X XY Y --=得渐进方向为

:1:2X Y =或:1:3X Y =-，所以渐进线方程分别为210x y -+=与30x y += （2）

由310,223320

22

x y x y ?-+=????-+-=??得中心坐标13(,)55-.而由22

320X XY Y -+=得渐进方向为

:1:1X Y =或:2:1X Y =，所以渐进线方程分别为20x y -+=与210x y --=

（3）由10,10x y x y ++=??++=?

知曲线为线心曲线，.所以渐进线为线心线，其方程为10x y ++=.

7. 试证二次曲线是线心曲线的充要条件是230I I ==，成为无心曲线的充要条件是

230,0I I =≠. 证明：因为曲线是线心曲线的充要条件是

13

1112122223

a a a a a a ==也即230I I ==；为无心曲线的充要条件是

13

1112122223

a a a a a a =≠也即230,0I I =≠. 8. 证明以直线1110A x By C ++=为渐进线的二次曲线方程总能写成

111()()0A x By C Ax By C D +++++=. 证明：设以1110

A x By C ++=为渐进线的二次曲线为 22

111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=，则它的渐进线为Φ00(,)x x y y --=22

1101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=，其中

00(,)

x y 为曲线的中心， 从而有Φ

00(,)x x y y --=111()()0A x By C Ax By C ++++= ，而Φ00(,)x x y y --=0 因为00(,)x y 为曲线的中心， 所以有11012013a x a y a +=-，12022023a x a y a +=- 因此Φ

000033(,)(,)(,)x x y y F x y x y a φ--=+-， 令0033(,)x y a D φ-=-，代入上式得 即111(,)()()F x y A x By C Ax By C D =+++++， 所以以1110A x By C ++=为渐进线的二次

曲线可写为111()()0A x By C Ax By C D +++++=.

9.求下列二次曲线的方程.

（1）以点（0，1）为中心，且通过（2，3），（4，2）与（-1，-3）； （2）通过点（1，1），（2，1），（-1，-2）且以直线10x y +-=为渐进线. 解：利用习题8的结论即可得： （1）40xy x --=； （2）2

2

23570x xy y x ---+=.

§5.3二次曲线的切线

1. 求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程.

（1）曲线2

2

3457830x xy y x y ++---=在点（2，1）； （2）曲线曲线

223457830x xy y x y ++---=在点在原点； （3）曲线22430x xy y x y +++++=经

过点（-2，-1）； （4）曲线225658x xy y ++=经过点； （5）曲线

222210x xy y x y -----=经过点（0，2）.

解：（1）910280x y +-=； （2）20x y -=； （3）10,30y x y +=++=； （4）

1150,0x y x y +-=-+=； （5）0x =.

2. 求下列二次曲线的切线方程并求出切点的坐标.

（1）曲线2

2

43530x xy y x y ++--+=的切线平行于直线40x y +=； （2）曲线

223x xy y ++=的切线平行于两坐标轴.

解：（1）450x y +-=，(1,1)和480x y +-=，(4,3)-； （2）20y ±=，(1,2),(1,2)--和20x ±=，(2,1),(2,1)--. 3. 求下列二次曲线的奇异点.

（1）2

2

326410x y x y -+++=； （2）2

2210xy y x +--=； （3）

2222210x xy y x y -+-++=.

解：（1）解方程组330,220x y +=??

-+=?得奇异点为(1,1)-； （2）解方程组10,

y x y -=??+=?得奇异点

为(1,1)-.

4.试求经过原点且切直线4320x y ++=于点（1，-2）及切直线10x y --=于点（0，-1）的二次曲线方程. 解：利用（

5.3-5）可得2

2

6320x xy y x y +-+-=.

5.设有共焦点的曲线族22

2

222

1x y a h b h

+=++，这里h 是一个变动的参数，作平行于已知直线y mx =的曲线的切线，求这些切线切点的轨迹方程. 解：设切点坐标为00(,)x y ，则由（5.3-4）得曲线的切线为

002222

1x x y y

a h

b h

+=++， 因为它平行与y mx =，所以有22

2

0000x b my a h x my +=-+， 代入22002

2221x y a h b h +=++整理得222

220000(1)()0

mx m x y my m a b +----=， 所以切点的轨迹为

22222(1)()0mx m xy my m a b +----=.

§5.4二次曲线的直径

1. 已知二次曲线2

2

3754510x xy y x y +++++=.求它的

（1）与x 轴平行的弦的中点轨迹； （2）与y 轴平行的弦的中点轨迹； （3）与直线

10x y ++=平行的弦的中点轨迹.

解：（1）因为x 轴的方向为:1:0X Y =代入（5.4-3）得中点轨迹方程6740x y ++=； （2）因为y 轴的方向为:0:1X Y =代入（5.4-3）得中点轨迹方程71050x y ++=； （3）因为直线10x y ++=的方向为:1:1X Y =-代入（5.4-3）得中点轨迹方程310x y ++=. 2.求曲线2

24260x xy x y +---=通过点（8，0）的直径方程，并求其共轭直径. 解：（1）把点（8，0）代入(2)(21)0X x Y y -+-= 得:1:6X Y =，再代入上式整理得直径方程为1280x y +-=，其共轭直径为122230x y --=.

3.已知曲线2

2310xy y x y --+-=的直径与y 轴平行，求它的方程，并求出这直径的共轭直径. 解：直径方程为10x -=，其共轭直径方程为

230x y -+=.

4.已知抛物线2

8y x =-，通过点（-1，1）引一弦使它在这点被平分. 解：

430x y ++=.

5. 求双曲线22

164

x y -=一对共轭直径的方程，已知两共轭直径间的角是45度. 解：设直径和共轭直径的斜率分别为'

,k k ，则'

2

3

kk =

.又因为它们交角45度，所以''11k k kk -=+，从而13k =-或2，'

2k =-或13

，故直径和共轭直径的方程为30x y +=和20x y -=或20x y +=和30x y -=.

6.求证：通过中心曲线的直线一定为曲线的直径；平行于无心曲线渐进方向的直线一定为其直径. 证明：因为中心曲线直径为中心线束，因此过中心的直线一定为直径；当曲线为无心曲线时，它们的直径属于平行直线束，其方向为渐进方向，所以平行于无心曲线渐进方向的直线一定为其直径. 7．求下列两条曲线的公共直径.

（1）2

2

3234440x xy y x y -+++-=与2

2

23320x xy y x y --++=； （2）

220x xy y x y ----=与2220x xy y x y ++-+=. 解：（1）210x y -+=；

（2）5520x y ++=.

8.已知二次曲线通过原点并且以下列两对直线 320,5540x y x y --=??

--=?与530,

210

y x y +=??--=?

为它的两对共轭直径，求该二次曲线的方程. 解：设曲线的方程

为22

111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=，则由（5.4-3）和（5.4-5）可

得111222132333111

1,,1,,,0222

a a a a a a ==-=-=-=-

=，所以曲线的方程为220x xy y x y ----=.

§5.5二次曲线的主直径与主方向

1.分别求椭圆22221x y a b +=，双曲线22221x y a b

-=，抛物线2

2y px =的主方向与主直径.

解：椭圆的主方向分别为1：0和0：1，主直径分别为0,0x y ==；双曲线的主方向分别为1：0和0：1，主直径分别为0,0x y ==；抛物线的主方向分别为0：1和1：0，主直径分别为0y =. 2.求下列二次曲线的主方向与主直径. （1）

22585181890x xy y x y ++--+=； （2）22210xy x y -+-=； （3）229241618101190x xy y x y -+--+=.

解：（1）曲线的主方向分别为1：（-1）和1：1，主直径分别为0,20x y x y -=+-=； （2）其主方向分别为1：1和1：（-1），主直径分别为0,20x y x y +=-+=； （3）其主方向分别为3：（-4）和4：3，主直径分别为3470x y -+=； （4）任何方向都是其主方向，过中心的任何直线都是其主直径.

3.直线10x y ++=是二次曲线的主直径，点（0，0），（1，-1），（2，1）在曲线上，求该曲线的方程.

解：设二次曲线方程为22

111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=， 把点坐

标（0，0），（1，-1），（2，1）分别代入上面方程同时利用直线10x y ++=为其主直径可得

11122213233377

4,,4,,4,022

a a a a a a ==-==-==，所以所求曲线方程为

22474780x xy y x y -+-+=.

4.试证二次曲线两不同特征根确定的主方向相互垂直.

证明：设12,λλ分别曲线的两不同特征根，由它们确定的主方向分别为11:X Y 与22:X Y 则

1111211112122111,

,

a X a Y X a X a Y Y λλ+=??

+=?与

1121222212222222

,a X a Y X a X a Y Y λλ+=??

+=?，所以

11211211112121212212()()X X YY a X a Y X a X a Y Y λλ+=+++

11212211222221221221()(),

a X a Y X a X a Y X X X Y Y λλ=+++=+从

而

有

121212()()0X X YY λλ-+=，因为12λλ≠，所以12120X X YY +=，由此两主方向11:X Y 与22:X Y 相互垂直.

§5.6二次曲线方程的化简与分类

1. 利用移轴与转轴，化简下列二次曲线的方程并写出它们的图形.

（1）2

2

5422412180x xy y x y ++--+=；（2）2

2

2410x xy y x y ++-+-=；（3）

25122212190x xy x y +---=；（4）222220x xy y x y ++++=. 解

（1）因为二次曲线含xy 项，我们先通过转轴消去xy ，设旋转角为α，则324

ctg α=

，即21324tg tg αα-=，所以1

2tg α=或-2.取2tg α=-

，那么sin α=

，cos α=，所以

转轴公式

为'

'''2),2).x x y y x y ?

=+??

?

?=-+??

代入原方程化简再配方整理得新方程为

''2''26120x y +-=；类似的化简可得 （2

）''2''250y +=；（3）''2''2

94360x y --=；

（4）''2

210x -=.

2.以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列方程，并写出的坐标变换公式与作出它们的图形.

（1）2

2

845816160x xy y x y +++--=；（2）2

2

421040x xy y x y --++=；（3）

22446830x xy y x y -++-+=；（4）2244420x xy y x y -++-=.

解：（1）已知二次曲线的距阵是 82

42584816?? ?

- ? ?

--??

， 18513I =+=，2823625I ==， 所

以曲线的特征方程为2

13360λλ-+=，其特征根为14λ=，29λ=，两个主方向为

11:1:2X Y =-，22:2:1X Y =； 其对应的主直径分别为8200x y -+=，7740x y +-=.

取这两条直线为新坐标轴得坐标变换公式

'''

')1,2) 2.x x y y x y ?

=--??

?

?=++??

代入已知曲线方程并整

理得曲线在新坐标系下的方程为 '2

'2

94360x y +-=.

（2）已知二次曲线的距阵是 225222520-?? ?

- ? ???

坐标变换公式

'

'''2)1,) 2.x x y y x y ?

=--??

?

?=++??

代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系方程为

'2'2

3210

x y

-+-=. （3）已知二次曲线的距阵是

423

214

343

-

??

?

--

?

?

-

??

，坐标变

换公式

''

''

9

2),

10

1

).

5 x x y

y x y

?

=--

??

?

?=++

??

代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为'2'

50

y x=. （4

）坐标变换公式

''

''

2

2),

5

1

).

5

x x y

y x y

?

=--

??

?

?=++

??

代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为'2

510

y-=.

3.试证在任意转轴下，二次曲线的新旧方程的一次项系数满足关系式'2'222

13231313

a a a a

+=+.

证明：设旋转角为α，则''

131323

cos sin

a a a

αα

=-，''

231323

sin cos

a a a

αα

=+，两式平方

相加得'2'222

13231313

a a a a

+=+.

4.试证二次曲线22

2

ax hxy ay d

++=的两条主直径为220

x y

-=，曲线的两半轴的长分别为

. 证明：求出曲线的两主直径并化简即可得.

§5.7应用不变量化简二次曲线的方程

1. 利用不变量与半不变量，判断下列二次曲线为何种曲线，并求出它的化简方程与标准方程. （1）22

66210

x xy y x y

++++-=；（2）22

3234440

x xy y x y

-+++-=；（3）22

43220

x xy y x y

-++-=；（4）22

442210

x xy y x y

-++--=；（5）22

2246290

x xy y x y

-+--+=；（6

）；（7）22

22240

x xy y x y

++++-=；（8）22

4412690

x xy y x y

-++-+=.

解：（1）因为

1

2

I=，

2

13

8

31

I==-，

133

31116

311

=

-

，3

2

2

I

I

=-，而特征方程2280

λλ

--=的两根为

12

4,2

λλ

==-，所以曲线的简化方程（略去撇号）为

2

2

4220x y --=曲线的标准方程为 2

221012

x y --=，

曲线为双曲线； 类似地得下面：

（2）曲线的简化方程（略去撇号）为 2

2

2480x y +-=，

曲线的标准方程为 22

142

x y +=，曲线为椭圆； （3）曲线的简化方程（略去撇号）为

22

(2(20x y +=，

曲线的标准方程为

22

011x y -=， 曲线为两相交直线； （4）曲线的简化方程（略去撇号）为

2

50y =， 双曲线的标准方程为

2

y =

， 曲线为抛物线； （5）曲线的简化方程（略去撇号）为

22

33(

(022

x y +=， 曲线的标准方程为

22

011x y +=， 曲线为一实点或相交与一实点的两虚直线； （6）曲线的简化方程（略去撇号）为

2

20,

0,0)y x a y a -=≤≤≤≤（， 曲线的标准方程为

2

y =

，0,0)x a y a ≤≤≤≤（

曲线为抛物线的一部分；

（7）曲线的简化方程（略去撇号）为 2

250y -=， 曲线的标准方程为 2

5

2

y =

，曲线为两平行直线；

（8）曲线的简化方程（略去撇号）为 2

50y =，曲线的标准方程为 2

0y =， 曲线为两重

合直线.

2. 当λ取何值时，方程 2

2

44230x xy y x y λ++---= 表示两条直线.

解：方程 22

44230x xy y x y λ++---=表示两条直线当且仅当3222

1

10213

I λ

-=-=---，

即4λ=.

3. 按实数λ的值讨论方程2

2

22250x xy y x y λλ-+-++= 表示什么曲线.

解：因为12I λ=，2(1)(1)I λλ=-+，3(53)(1)I λλ=+-，12(51)K λ=-，所以当λ的值变化时，1231,,,I I I K 也随着变化，它们的变化关系如下表：

4. 设22

1112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++= 表示两条平行直线，证明这两条直线

之间的距离是d =. 证明：曲线的方程可简化为：

这里当曲线表示两条平行的实直线时，10K <.

所以这两条直线之间的距离是d =

5. 试证方程 22

1112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++= 确定一个实圆必须且只须

212124,0I I I I =<.

证明：当曲线 22

1112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=表示一个实圆的充要条件是其特征方程 2120I I λλ-+=有相等实根且120I I <，即2

1240I I ?=-=且120I I <，从而方程确定一个实圆必须且只须2

12124,0I I I I =<.

6. 试证如果二次曲线的10I =，那么20I <. 证明：因为

111220I a a =+=即1122a a =-，所以1112

222

211221*********

()a a I a a a a a a a ==-=-+，而111222,,a a a 不全0，所以有20I <.

7. 试证如果二次曲线的230,0I I =≠，那么10I ≠，而且120I I <.

证明：当230,0I I =≠时，由5.2节习题7知，曲线为无心曲线，从而有10I ≠，而且120I I <.