《方程的根与函数的零点》优秀公开课教案_(比赛课教案)
《方程的根与函数的零点》教学设计
一、学情分析 程度差异性:中低等程度的学生占大多数,程度较高与程度很差的学生占少数.知识、心理、能力储备:学生之前已经学习了函数的图象和性质,现在基本会画简单函数的图象,也会通过图象去研究理解函数的性质,这就为学生理解函数的零点提供了帮助,初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性,因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点,从认知规律上讲,应该是容易理解的.
二、设计思想
教学理念:培养学生学习数学的兴趣,学会严密思考,并从中找到乐趣. 教学原则:注重各个层面的学生.
教学方法:三学一导.
三、教学目标
1.知识与技能:
①理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程的关系,掌握零点存在的判定条件;
②培养学生的观察能力;
2.过程与方法:
①通过观察二次函数图象,并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点,找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法;
②让学生归纳整理本节所学知识.
3.情感、态度与价值观:
在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值.
四、教学重点、难点
重点:函数零点与方程根之间的关系;连续函数在某区间上存在零点的判定方法. 难点:发现与理解方程的根与函数零点的关系;探究发现函数存在零点的方法.
五、教学过程设计
1.指导学生进行课前学习
预习教材,完成以下习题:
2.指导学生进行课堂学习
(1)方程的根与函数的零点以及零点存在性的探索
问题1:先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象:如图1
①方程0322=--x x 与函数322--=x x y
②方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y
③方程0322=+-x x 与函数122+-=x x y
图1
[师生互动]
师:教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系,推广到一般的方程和函数引出零点概念.
零点概念:对于函数y =f (x )(x ∈D ),把使f (x )=0成立的实数x 叫做函数y =f (x )(x ∈D )的零点.
师提示:根据零点概念,提出问题,零点是点吗?零点与函数方程的根有何关
系?
生:经过观察表格,得出第一个结论
师再问:根据概念,函数y =f (x )的零点与函数y =f (x )的图象与x 轴交点有什么关系
生:经过观察图像与x 轴交点完成解答,得出第二个结论
师:概括总结前两个结论(请学生总结).
1)概念:函数的零点并不是“点”,它不是以坐标的形式出现,而是实数。例如函数322--=x x y 的零点为x =-1,3
2)函数零点的意义:函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根,亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标.
3)方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点.
师:引导学生仔细体会上述结论.
再提出问题:如何并根据函数零点的意义求零点?
生:可以解方程0)(=x f 而得到(代数法);
可以利用函数)(x f y =的图象找出零点.(几何法)
问题3:是不是所有的二次函数都有零点?
师:仅提出问题,不须做任何提示.
生:根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况,并进行交流,总结概括形成结论.
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点:看△
1)△>0,方程02=++c bx ax 有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次函数有两个零点.
2)△=0,方程02=++c bx ax 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
3)△<0,方程02=++c bx ax 无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点.
第一阶段设计意图
本节的前半节一直以二次函数作为模本研究,此题是从特殊到一般的升华,也全面总结了二次函数零点情况,给学生一个清晰的解题思路,进而培养学生归纳总结能力.
(2)零点存在性的探
你能将结论进一步推广到()y f x =吗?
新知:对于函数()y f x =,我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点(zero point ).反思:函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标,三者有什么关系?
2()(16)f x x x =-例1:求函数的零点
ln 260x x +-=思考:方程是否有实数根?有几个实数根?
一般地,我们有:如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f (a )·f (b )<0,那么函数y =f (x )在区间(a ,b )内有零点,即存在c ∈(a ,b ),使得f (c )=0,这个c 也就是方程f (x )=0的根. 函数y =f (x )在哪几个区间内必有零点?为什么?
探究1:如果函数y = f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f (a )·f (b )>0时,函数在区间(a ,b )内没有零点吗?
探究2:如果函数y = f (x )在区间[a ,b ]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f (a )·f (b )<0时,函数在区间(a ,b )内有零点,但是否只一个零点?
探究3:如果函数y = f (x )在区间[a ,b ]上的图象是一条连续不断的曲线,并且函数在区间(a ,b )内有零点时一定有f (a )·f (b )<0 ?
探究4:如果函数y = f (x )在区间[a ,b ]上的图象不是一条连续不断的曲线,函数在区间(a ,b )内有零点时一定有f (a )·f (b )<0 ?
图3(反例)
师:总结两个条件:
1)函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线;
2)在区间[a ,b ]上有f (a )·f (b )<0.
一个结论:函数y =f (x )在区间[a ,b ]内单调则函数在这个区间内有且只有一个零点.
补充:什么时候只有一个零点?
(观察得出)函数y =f (x )在区间[a ,b ]内单调时只有一个零点.
例2.
1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数?
2)判断函数的单调性,由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性? 设计意图:
教师引导学生理解函数零点存在定理
()++-例2:求函数f(x)=2lg 12的零点个数x x
+=3例3:方程log 3的解所在区间为()
A.(0,2)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
x x -?????? ? ? ???????
1变式训练3:函数f(x)=2的零点所在的区间()1133A :(0,)B.,1.1,.,22222x x C D 师:多媒体演示;结合图象考察零点所在的大致区间与个数,结合函数的单调性
说明零点的个数;让学生认识到函数的图象及基本性质(特别是单调性)在确定函数零点中的重要作用.
生:建议学生使用计算器求出函数的大致区间,培养学生的估算能力,也为下一
节的用二分法求方程的近似解做准备.
设计意图:利用练习巩固新知识,加深理解,为用二分法求方程的近似解做准备.
(3)探索研究(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整)
师:把学生分成小组共同探究,给学生足够的自主学习时间,让学生充分研究,
发挥其主观能动性.也可以让各组把这几个题做为小课题来研究,激发学生学习潜能和热情.老师用多媒体演示,直观地演示根的存在性及根存在的区间大小情况.
生:分组讨论,各抒己见,在探究学习中得到数学能力的提高.
设计意图:
一是为用二分法求方程的近似解做准备.
二是小组探究合作学习培养学生的创新能力和探究意识,本组探究题目就是为了培养学生的探究能力,此组题目具有较强的开放性,探究性,基本上可以达到上述目的.
(4)课堂小结:
(5)作业回馈
3.指导学生进行课后学习
通过学生的作业反馈,重点辅导没有落实的课标要求.
案例(教学)反思:
本设计根据“三学一导”的教学法,突出了学生的主体作用,有效激发了学生学习的兴趣.同时也遵循了由浅入深、循序渐进的原则,从学生认为较简单的
一元二次方程与相应的二次函数入手,由具体到一般,建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系,然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形.