概率论与数理统计复习汇总

第一章：概率论初步

基本概念：随机事件、古典概率、条件概率、事件的独立性

事件的关系与运算(结合集合论和文氏图来学习)

子事件(子集)、积事件(交集)、和事件(并集)、对立事件AB A B ∪A (补集)、 差事件 ;A B AB A AB ?==? 互斥事件 AB =Φ 事件发生：事件A 中至少有一个样本点出现.

处理技巧：把稍微复杂点事件处理成简单的互斥事件的和 []A B A B A =?∪∪运算规律：德摩根律 ;

AB A B A B AB ==∪∪

加法原理：(分类)，乘法原理：12m n n n +++ 12m n n n ??? (分步)

排列： 全排列：； 组合：,m m n

n

A P ,!n ,!

m m m n n

n P C C C m n m

n ?==

古典概型： 满足以下两个特点的随机试验 ()A

n P A n Ω

=

1. 试验的样本空间中有有限的样本点；

2. 每个样本点发生的可能性是相等.(对称性和均衡性) 例题1 计算下列概率题 (求概率前先设事件) 1. 抛两颗骰子，观察他们点数出现的情况， (1) 写出试验的样本空间；

(2) 设两颗骰子点数相同，:A :B 两颗骰子点数和为5，求

(),().P A P B 2. 袋子中有a 只白球，b 只红球，2个人依次在袋子中取一球，

(1) 做有放回的抽样，求第二个人取得白球的概率；()a

P A a b

=+

(2) 做无放回的抽样，求第二个人取得白球的概率；

1(1)()11()(1)b a a a a b a a P A a b a b a b a b a b a b a b ()

?+?=

?+?==++?++?++?+ 注：当箱子中奖券足够多时，摸奖不分先后； 概率的公理化定义

设E 是一个随机试验，S 是它的样本空间，对于E 中的每一个事件A 赋予一个实数，记为，称为事件的概率，如果他满足下列的假设：

()P A A (1) (2) 对于0()P A ≤≤1;S 有()1;P S = (3) 设 两两互不相容，则有

12,,,,n A A A 1212()()()n n P A A A P A P A P A =+++∪∪ ∪∪ ()

公理化定义的性质：

(1) ()1();P A P A =? (2) ()0;P Φ=

(3) 对任意的事件有 ,A B ()()(P A B P A P AB );?=? 差事件的概率

(4) 对任意的事件有 ,A B ()()()();P A B P A P B P AB =+?∪ 概率的一般加法公式 例题2 利用事件关系和运算及公理化定义计算下列概率

1. 设,A B 是两个事件，已知1118(),(),(),42P A P B P AB ===(),P A B ∪求

(),(),[()()].P AB P AB P A B AB ∪ 条件概率

在事件B 发生前提下，事件发生的概率，记为A ()

()()

P AB P A B P B =. 乘法公式：()()()()()P AB P B P A B P A P B A ==或 全概率公式和贝叶斯公式

样本空间的一个划分：设为随机试验S S E 的样本空间，12,,,n B B B 为E 的一组事件，若(1);i j B B =Φ (2) 12,n B B B S =∪∪ ∪则称12,,,n B B B 为样本空间的一个划分.或者S 12,,,n B B B 为一个完备事件组.

全概率公式：设设为随机试验S E 的样本空间，12,,,n B B B 为一个完备事件组，则有1122()()()()()()()n n P A P B P A B P B P A B P B P A B =+++

i B 称为原因，A 称为结果；全概率公式由原因找结果； 贝叶斯公式： 由结果找造成的原因

1122()()()

()()()()()()()()

i i i i n n P B P A B P AB P B A P A P B P A B P B P A B P B P A B =

=

+++ 注：不要盲目记公式，分析原因和结果

例题3 计算下列概率

1. 某商店收进甲厂生产的产品300个，乙厂生产的同种产品200个，甲厂生产产品的次品率为0.06，乙厂生产产品的次品率为0.05，求 (1) 任取一件产品为次品的概率是多少？

(2) 已知取得的产品为次品，求此次品来自甲厂生产的概率是多少？

2. 人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化. 现假设人们经分析评估知利率下降的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该

支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，求该支股票上涨的概率.

事件的独立性 设是两个事件，若有,A B ()()()P AB P A P B =，则称事件是

相互独立的.

,A B 结论1：设是两个事件，若事件相互独立，则,A B ,A B ()(P A B P A =). 若事件,A B 相互独立，则,;,;,A B A B A B 也是相互独立的. 三个事件相互独立 若事件满足

,,A B C ()()();()()();()()();()()()();P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C P ABC P A P B P C ====则称事件相互独立.

,,A B C 结论2：若事件相互独立，则其中任意12,,,n A A A (2)k k n ≤<个事件也相互独立；

若事件相互独立，则中任意多个事件换成他们各自的对立事件，所得的个事件也相互独立. 12,,,n A A A 12,,,n A A A n 例题4 计算下列概率

1. 某一治疗方法对一个患者有效的概率为0.9. 今对3个患者进行了治疗，求对

3个患者的治疗中，至少有一个是有效的概率. 设对各个患者的治疗效果是相互独立的.

第二章：随机变量及其相关内容

基本概念：随机变量、分布律、概率密度、分布函数

随机变量：设随机试验的样本空间为{},()S e X X e ==是定义在样本空间上的实值单值函数，称S ()X X e =为随机变量. ( 样本点到数的对应法则) 随机变量的分类：离散型随机变量和连续型随机变量(基于的取值类型) ..r v 离散型随机变量 取值为有限个或者无限可列个的随机变量

分布律 若..r v X 的取值为对应概率值为，即

12,,,,n x x x 12,,,,n p p p {}1,2,k k

P X x p k === 且满足：

1

0;1,k k k p p ∞

=≥=∑则称为{}1,2,k k

P X x p k === ..r v X 的概率分布律，简称分布律

常见的离散型随机变量的分布 (区分背景、分布律、记号)

贝努利试验 试验E 中只有两个结果，,A A ；

n 重贝努利试验 可以重复进行的，相互独立的贝努利试验 (搞清楚背景)

01?分布 (1,)X B p ～

X

0 1

k

p 1p ? p

二项分布 X ：次试验中出现的次数 取值：0, 分布律为

n A 1,2,,n (,)X B n p ～或 推导，验证是分布律

{}(1)0,1,k k

n k n P X K C p p k n ?==?= ,几何分布 X ：直到出现经历的试验次数 取值：1, A 2,,,n 分布律为： 推导，验证是分布律

1{}(1)1,,,n P X K p p k n ?==?= 例题1 计算下列概率题目

1. 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.

2. 某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击100次，记X 为击

中目标的次数

(1) 写出X 的分布律；(2) 恰好击中3次的概率；(3)求至少击中两次的概率。 泊松分布 ()X πλ～，即{}0,1,,,!

k e P X K k n k λ

λ?==

= 验证是分布律

结论1：二项分布的极限分布是泊松分布 (解释泊松分布律的由来)

注：当二项分布中比较大时，用泊松分布代替二项分布来计算. (10,0.1n n p ≥≤)例题2 计算下列概率题目

1. 已知随机变量()X πλ～，且有1(0),(22

P X P X >=≥求).

2. 某公司生产一种产品300件.根据历史生产记录知废品率为0.01.问现在这300件产品经检验废品数大于5的概率是多少？

连续型的随机变量

概率密度：设X 是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的可积函数(),f x 满足条件：

(1) (2) ()0,,f x x ≥?∞<<∞()d 1,f x x +∞?∞

=∫

(3) 且对任意的实数有 ,()a b a b <{}(b a

P a X b f x x ≤≤=∫)d .注：对于连续型随机变量X 而言，

(1) 则{}()d a a

P X a f x x ===∫0,{}{}{}{}P a X b P a X b P a X b P a X b ≤≤=<≤=≤<=<<

(2) 若()f x 是连续型随机变量X 的概率密度，习惯性的去验证第(2)条； (3) 设()f x 在x 点处连续，则有

00()d {}

lim lim ().x x x

x x f x x

P x X x x f x x

x

+

++ΔΔ→Δ→≤≤+Δ==ΔΔ∫

进而 {}，故称()P x X x x f x x ≤≤+Δ≈Δ()f x 为随机变量X 的概率密度.

均与分布 (,)X U a b ～

1

,()0,

a x

b f x b a ?<

1,0,

()(0)0,

x e x f x θ

θθ

??>?=>???其他 注：指数分布的无记忆性. ()(P X s t X s P X t >+>=>)

例题3 计算下列概率题目

1. 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟一班车，即7:00,7:15,7:30,7:45等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X 是7:00到7:30之间的均匀随机变量，试求他候车时间少于5分钟的概率.

分析： 求 (0,30)X U ～{1015}{2025}P X P X <<+<<2. 设随机变量X 的概率密度为

2,010,

()0,

Cx x f x ?<<=?

?其他 求 (1)求C ; (2) 求关于t 的方程2254t Xt X 0++?=有实根的概率.

分布函数 设X 是一个随机变量，函数(){},F x P X x x R =≤∈为X 的分布函数. 注：分布函数表示随机点X 落在(,]x ?∞的概率.

分布函数的性质：(1) 单调不减；(2) 0()1,F x ≤≤且()0,()1F F ;?∞=+∞=

(3) 右连续，对任意的x 有，0

lim ()();F x F x εε+

→+= (4) {}{}{}()()P a X b P X b P X a F b F a <≤=≤?≤=?例题4 求下列函数的分布函数 1. 设离散型随机变量X

(1) 求X 的分布函数，并画出其图形；(2) 求()F x 55

{},{242P X P X <≤≤<4}.

2. 设(,),X U a b ～求X 的分布函数 ().F x

3. 设(),X EP θ～求X 的分布函数

().F x 注：对连续型随机变量而言，在()f x 的连续点处有d

()().d F x f x x

=

二维的随机变量

根据随机变量,X Y 的取值，二维随机变量分为二维离散型随机变量(,)X Y 和二维连续型的随机变量(,)X Y

二维离散型随机变量 通过联合分布律来表示

{()()}{,},,1,2,i j i j ij P X x Y y P X x Y y p i j =======∩ ，且ij p 满足 (1) (2)

0,ij p ≥1

1

1.ij

i j p

∞∞

===∑∑称(,)X Y 为二维离散型的随机变量，且,,1,2,ij p i j = 为其联合分布律.

二维连续型随机变量 通过联合密度函数来表示 对于二元函数(,)f x y ，若满足(1) (2)

(,)0,f x y ≥(,)d d 1,f x y x y +∞+∞?∞

?∞

=∫

∫

(3) 对任意的平面区域有则称,G {(,)}(,)d d ,G

P X Y G f x y x y ∈=∫∫(,)X Y 为二维连续型的随机变量，且(,)f x y 为其联合密度函数.

注：结合一维随机变量的分布律和密度函数来学习二维随机变量的联合分布律和联合密度函数的概念.

例题5 求下列概率题目

1.袋子中有2只黑球，2只白球，3只红球，在其中任取2只球.以X 表示取到黑

球的只数，以Y 表示取到白球的只数，

(1) 求(,)X Y 的联合分布律；(2) 求.22{2},{1}P X Y P X Y +≥+≤

2. 一枚硬币一面刻有数字1.一面刻有数字2. 将硬币抛两次，以X 表示第一次、第二次出现的数字之和，以Y 表示第一次出现的数字减去第二次出现的数字，求(,)X Y 的联合分布律.

3. 设(,)X Y 的密度函数为

(),01,(,)0,kx x y x x y x f x y ,

?<

其他

(1) 求常数k (2) 求;{2P Y X <}.y P X x Y y p j ∞∞

========∑∑

边缘分布 根据随机变量分类有边缘分布律(离散)和边缘密度函数(连续) 边缘分布律

1

1

{}{,},1,2,i i j ij j j P X x P X x Y y p i ∞

∞

========∑∑ 1

1

{}{,},1,2,j i j ij i i P Y

边缘密度函数 ()(,)d ,;()(,)d ,X Y f x f x y y x R f y f x y x y +∞+∞?∞

?∞

=∈=∫

∫

R ∈]d

因为

{}{,}[(,)d b

a

P a X b P a X b y f x y y x +∞?∞

≤≤=≤≤?∞<<+∞=∫∫例题6 求下列概率题目

1. 对于例题5中的1,2题求其边缘分布律.

2. 设随机变量(,)X Y

在由曲线2,y x y ==围成的区域G 内服从均匀分布.

(1) 写出(,)X Y 的联合概率密度; (2) 求(),().X Y f x f y

3. 设(,)X Y 的联合概率密度为

24,(,),(,)13

0,

x

x y G f x y ?∈?

=???其他 求(),(),X Y f x f y 其中G 如右图. 相互独立的随机变量

对于(,)X Y ，若有 ，则称{,}{}{P a X b c Y d P a X b P c Y d <≤<≤=<≤<≤}(,)X Y 相互独立. (和事件独立性定义一样)

离散型：或者{,}{}{i j i P X x Y y P X x P Y y =====}j ij i j P P P ??=

连续型：(,)()().X Y f x y f x f y =?

推广一下，对于维随机变量的独立性定义和上面类似. n 例题7 求下列概率题目

1. 设一离散型随机变量Y

又设是两个相互独立的随机变量，且都与Y 有相同的分布律，求的联合分布律，并求12,Y Y 12,Y Y 12,Y Y 12{}P Y Y .= 2. 设,X Y 是两个相互独立的随机变量，(0,1),X U ～Y 的密度函数为

18,0,()20,

Y y y f y ?

<

=???其他

试写出,X Y 的联合密度函数，并求 {}P X Y >.随机变量函数的分布

=()Y g X 的函数分布(离散)；=Z X Y +的分布，12=max (,),=min (,)Z X Y Z X Y 的

分布(离散)；

例题8 求下列概率题目

1. 设随机变量X 具有分布律

Y 2? 1 2 3

k p 0.3 0.2 0.1 0.4

求的分布律.

21Y X =?2. 设随机变量X 具有密度函数(),.X f x x R ∈

(1) 求随机变量的概率密度2Y X =();Y f y (2) 设X 的概率密度为

1

,11,().20,

X x x f x +??≤≤?

=???其他，

求的概率密度2Y X =().Y f y

3. 设随机变量X 在区间上服从均匀分布，求(0,1)X Y e =的概率密度.

4. 设随机变量,X Y 的联合分布律为

(1) 求的分布律； (2) 求

的分布律； U X Y =+max(,)V X =Y Y (3) 求的分布律；

min(,)W X =

第三章：随机变量的数字特征

基本概念：数学期望，方差，协方差，相关系数

数学期望：设离散型随机变量X 的分布律为{}1,2,k k

P X x p k === ，连续型

随机变量X 具有概率密度(),f x 则随机变量X 的数学期望记为，定义为

()E X 1

,

()()d ,k k k x p X E X xf x x X ∞

=+∞?∞

??=???∑∫为离散型随机变量

为连续型随机变量

一元函数的期望

()Y g X =1,()[()]()()d ,k k k y p X E Y E g X g x f x x X ∞

=+∞?∞

?

′?

==?

??∑∫为离散型随机变量

为连续型随机变量

二元函数的期望 (,)Z g X Y =

1,,()[(,)](,)(,)d d ,,k k k z p X Y E Z E g X Y g x y f x y x y X Y ∞

=+∞+∞?∞?∞

?

′?

==?

??∑∫∫为离散型随机变量

为连续型随机变量

例题1 计算下列各题

1. 22(),(),();(,),(),();(),(),().X E X E X X U a b E X E X X EP E X E πλθ～～～求求求2X

2. 设随机变量,X Y 的联合密度函数

2,01,01,

(,)0,x x y f x y ≤≤≤≤?=??

其他

求

(),().E X E XY 3. 对第二章的例题8 的第4题，求

(),(),().E U E V E W

数学期望的性质 (借助连续型随机变量给出证明)

();()();()()();E C C E CX CE X E X Y E X E Y ==+=+ 设,X Y 为相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y .=

例题2 设在盒子中有25张形式各异的礼券，有人在盒中取10次，每次取一张，作放回抽样.设抽取的10张礼券中包含X 中不同的式样.求. ()E X 提示：把复杂随机变量拆成简单随机变量的和.

方差 设X 是随机变量，若存在，则称它为2{[()]}E X E X ?X 的方差，记为 ().D X 注： 用来计算方差 22(){[()]}()[()]D X E X E X E X E X =?=?2方差的性质 (借助定义给出证明)

2()0()();()()()2{[()][()]};D C D CX C D X D X Y D X D Y E X E X Y E Y ==+=++?? 设,X Y 为相互独立的随机变量，则有.()()()D X Y D X D Y =+X +例题3 计算下列各题

1.(),();(,),();(),().X D X X U a b D X X EP D πλθ～～～求求求

2.设(,),().X B n p D X ～求 协方差与相关系数

对于二维随机变量(,)X Y 称{[()][()]}E X E X Y E Y ??为随机变量,X Y 的协方差，记为，即(,)Cov X Y (,){[()][()]}()()()Cov X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y =??=? 而

XY ρ=

称为随机变量,X Y 的相关系数.

协方差与相关系数的性质

(,)(,);(,)(,);(,)(,);Cov X Y Cov Y X Cov X X Cov X X Cov aX bY abCov X Y === 1212(,)(,)(,);Cov X X Y Cov X Y Cov X Y +=+

1;XY ρ≤1XY ρ=的充要条件是X Y 与以概率1存在线性关系，即()P Y a bX 1.=+=

若0,XY ρ=则称,X Y 不相关 (,X Y 不相关指,X Y 不存在线性关系) 若随机变量,X Y 相互独立，则0,XY ρ=则,X Y 不相关；反之，不一定. 例题4 计算下列各题

1. 设随机变量(,)X Y 服从由曲线22y x y x ==和所围平面区域的均匀分布，求

(,),().XY Cov X Y D X Y ρ+，

2. 设随机变量(,)X Y 具有1()9,()4,,(),(34).6

XY D X D Y D X Y D X Y ρ===?+?+求

切比雪夫不等式 设随机变量X 具有数学期望方差则对于任意正数

(),E X (),D X ,ε有

2

2

()

()

{()},{()}1D X D X P X E X P X E X εεε

ε

?≥≤

?<≥?

或

例题5 在每次试验中，事件A 发生的概率为0.75，试用切比雪夫不等式求：独立试验次数最小取何值时，事件n A 出现的频率在0.740.76之间的概率至少为0.90？

～解：设:X n 次试验中，事件出现的次数，则，则所求为满足

A (,0.75)X

B n ～{0.740.76}0.90X

P n

<<≥的最小.由

n {0.740.76}{0.010.750.01}{()0.01}P n X n P n X n n P X E X <<=?

由切比雪夫不等式知

22

()0.18751875

{0.740.76}{()0.01}111(0.01)0.0001D X n X

P P X E X n n

n n

<<=?<≥?=?=?n 要使满足n 18751875

10.9,1875010.9

n n ?≥≥=?则

第五章及第六章：数理统计部分

基本概念：总体、样本、统计量、估计量、总体矩、样本矩

总体：研究对象全体的某项指标；如学生的身高、体重等，是随机变量X 样本：在总体取出的部分相互独立的和总体分布类型一致的指标，12,,n X X X 样本特点：代表性：12,,n X X X 与总体的分布类型一样； 独立性：12,,n X X X 相互独立；

样本值：样本的观测值12,,,n x x x

样本的分布函数：设总体X 的分布函数为则样本(),F x 12,,n X X X 的分布函数

为

*

121(,,,)()n

n i i F x x x F x ==∏ 样本的联合概率密度：设总体X 的密度函数为(),f x 则样本12,,n X X X 的分布

函数为 *

121

(,,,)()n

n i i f x x x f x ==∏

统计推断：通过总体X 的一个样本12,,n X X X 对总体X 的分布进行推断的问题称为统计推断问题.

总体、样本、样本值之间的关系

例题1 设总体(),X EP θ～12,,n X X X 是来自总体X 的一个样本. (1) 求121,,0X X X 的联合密度函数；

(2) 设121,,0X X X 分别为10块独立工作的电路板的寿命(以年计)，求10块电路

板的寿命都大于2的概率.

统计量：不含有未知参数的样本的函数 12(,,)n g X X X 统计量的观测值：

12(,,)n g x x x 总体距(P89): 总体X 的阶原点距， k 1(),1,2,(k k u E X k u E X === ) 总体X 的k 阶中心距，

2{[()]},2,3,()k k v E X E X k v D X =?== 常见的统计量

样本均值 11;n i i X X n ==∑ 样本方差 2222

11

11()(11n n

i i

i i S X X X n n n ===?=???∑∑);X 样本k 阶原点距 111,1,2,;n k

k i i A X k A n ===∑ ;X =

样本k 阶中心距 1

1(),2,3,n

k k i i B X X k n ==?=∑ ;

三大分布 2χ分布，t 分布，分布

F 2χ分布 设12,,n X X X 是来自总体的样本，则称统计量

(0,1)N 22212n 2X X X χ=+++

服从自由度为的n 2χ分布，记自由度指右端包含自由未知量个数.

22().n χχ～(1) 2χ分布的可加性 设并且22221122(),(),n n χχχχ～～22

12

,χχ相互独立，则有 22

21212()n n χχχ++～

(2) 2χ分布的期望和方差 若则有

22(),n χχ～22(),()2E n D χχn ==

(3) 2χ分布的上α分位数 22

22

()

{()}()d n P n f x x ααχχχχα∞

>=∫

= 画图！

t 分布 设2(0,1),(),X N Y n χ～～且,X Y 相互独立，则称随机变量

t =

服从自由度为的t 分布，记 n ().t t n ～ (1) t 分布的性质

22

lim ()x t n f x ?→∞= 分布的极限分布为标准正态分布 t (2) t 分布的上α分位数 ()

{()}()d t t n P t t n f x x ααα∞>==∫

画图！

1()()t n t n αα?=?

F 分布 设U n 且U V 相互独立，则称

2212(),(),V n χχ～～,12

U n F V n =

服从自由度的分布，记 12(,)n n F 12(,).F F n n ～ (1) 分布的性质 若则

F 12(,),F F n n ～211

(,)F n n F

～ (2) 分布的上F α分位数 1212(,)

{(,)}()d F F n n P F F n n f x x ααα∞>=∫

= 画图！

正态总体样本均值和样本方差的分布

(1) 设12,,n X X X 是来自正态总体2(,)N u σ的样本，X 是样本均值，则有

2

(,),X N u n

σ～

221

(

(n

i i X u

n χσ

=?∑～)

(2) 设12,,n X X X 是来自正态总体2(,)N u σ的样本，2,X S 分别是样本均值和样

本方差，则有 2

X S 与相互独立；

2

222

1

(1)(

(n

i i X X

n S n χσσ

=??1)=?∑～

(3) 设12,,n X X X 是来自正态总体2(,)N u σ的样本，2,X S 分别是样本均值和样

本方差，则有

(1t n ?～)

(1)t n ～?n (4) 设1212,,,,n X X X Y Y Y 与 分别为来自正态总体211(,)N u σ和2

22(,)N u σ的样本，且这两个样本相互独立，设2212,,,X Y S S 分别为对应的样本均值和样本方差，

则有

2

12

21221

22

(1,1S S F n n σ

σ)??～

例题2 计算下列题目

1. 求总体的容量分别为10和15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率.

)3,20(N 解：设容量分别为10和15的两独立样本的样本均值分别记为X 和Y ， 则)3.0,20(~N X ，)2.0,20(~N Y ，所以)5.0,0(~N Y X ?，

)]

5.03.0()5.03.0(

[1}3.03.0{1}3.0{1}3.0{?

Φ?Φ?=≤?≤??=≤??=>?Y X P Y X P Y X P 6744.0)42.0(22=Φ×?=.

2. 设12,,6X X X 是来自正态总体的样本，求使得

(2,3)N ,C 6

21

{(2)}0.95i i P X C =?≤=∑

3. 设总体123(76.4,383),,,,4X N X X X ～X 是来自容量为4的样本，是样本方差.

2S

问22

4

4

11

(76.4)(),383383i i i i X X X U W ==??==∑∑分别服从什么分布，并求

2()D S .解：因为

)1,0(~383

4.76N X ?，所以，)4(~3834.76383)4.76(24

12

4

12χ∑∑==????

???

??=?=i i i i X X U 而根据定理2 ，4

2

2

2

4

21

1

()()3~(3383383

383

i

i i i X

X X X S W χ==??==

=∑∑) 因为6)383

3()(2

==s D W D ，所以 3/2933789/3836)(22=×=s D 4. 已知，求证)(~n t X 2~(1,).X F n

证明：因为，所以存在随机变量 )(~n t X )(~),1,0(~2n Z N Y χ使得 n Z Y

X /=

， 也即 n Z Y X /2

2

=，

而根据定义所以),1(~2

2

χY ),1(~/1

/22

n F n

Z Y X =.

点估计 设总体X 的分布函数(,)F x θ形式已知，θ是未知的待估参数.设12,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，选取合适的统计量 12(,,n )X X X θ 来估计未知参数θ的方法称为点估计，其中 12(,,)n X X X θ 叫做θ的估计量， 12(,,)n

x x x θ 叫做θ的估计值. 评选估计量的标准 (样本容量固定)无偏性，有效性，(样本容量增加)一致性 n 设12,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，θ是总体X 分布中的待估参数. 无偏性：设 12=(,,)n

X X X θθ 是参数θ的估计量，若对任意的θ有， ()E θ

θ= 则称 θ

是未知参数θ的无偏估计量.否则称 θ是未知参数θ的有偏估计量. X 是总体均值的无偏估计量；是总体方差()E X u =2S 2()D X σ=的无偏估计量； 样本k 阶原点距1

1n k k i i A n ==∑X )是总体阶原点距的无偏估计量；

k (k

k u E X =

有效性 设 12112212=(,,)=(,,)n n X X X X X X θθθθ 与都是θ的无偏估计量，若对任意的θ有， 12()()D D θθ≤ 则称 1θ

较 2θ更有效. 距估计法 用样本距来代替总体距，找估计量的方法

最大似然估计法 构造似然函数，求极大值找估计量的方法 例题3 计算下列题目

1. 设12,,3X X X 是来自均值为θ的指数分布总体的样本，其中θ未知.设有估计量 12312312()

(2,34X X X X X X T T ++++=

=

)

(1) 判断中谁是12,T T θ的无偏估计量； (2)上述无偏估计量中那个较为有效. 2. 设总体X 的概率密度为

(1),0(;)0,

1x x f x θθθ?+<<=?

?其他 其中(1)θθ>?为待估参数，设12,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，求θ的距估计量和极大似然估计量.

3. 一批产品中含有次品，自其中随机的取75件，发现有10件次品，试求这批次品的次品率的极大似然估计值. (01)P P <<

4. 设总体X 的分布律为 1 2 3 X

k p 2θ 2(1)θθ? 2(1)θ?

其中(01)θθ<<为待估参数，已知取得样本值1231,2,1,x x x ===，求θ的极大似然估计值.

区间估计 设总体X 的分布函数(,)F x θ形式已知，θ是未知的待估参数. 12,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，对于给定的(01)αα<<，确定两个统计

量1212(,,),(,,)()n n X X X X X X ,θθθ< θ使得

1212{(,,)(,,)}1n n P X X X X X X θθθα<<= ?

则称随机区间(,)θθ为参数θ的置信水平为1α?的置信区间，,θθ分别成为置信先限和置信上限.

找置信区间的步骤：

(1) 取和未知参数θ有关的统计量以,U ,U θ为基础构造分布已知的枢轴量

(;)G U θ；

(2) 对于给定的置信水平1α?，结合上2

α分位点的定义，确定常数，使得

,a b {(;)}1P a G U b θα<<=?，在(;)a G U b θ<<中反解不等式()()U θθθ<

{()()}1P U U θθθα<<=?

则((),())U U θθ为所中找的未知参数θ的置信水平为1α?的置信区间. 对不同参数，不同类型置信区间的汇总如下图